74160_741611_74138_7447真值表

表1 74161计数器功能表

表2 74160计数器功能表

表3 3－8译码器74138功能表

表4 BCD－7段码译码器7447功能表（驱动共阳数码管）

证明组合恒等式的方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧 摘要本文是以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础，对几个常见重要的例题作分析，总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。对组合恒等式的证明方法本文主要讲了组合公式法，组合数性质法，二项式定理法，比较系数法，数列求和法，数学归纳法，组合分析法。 关键字组合，组合数，组合恒等式，二项式定理 Proof Methods and Skills of Combinatorial Identity ABSTRACT This thesis primarily analyses some common but significant examples on the basis of binomial theorem and permutation and combination knowledge of senior middle school to summarize the common demonstrating methods and technique of combinatorial identity. For combinatorial identity, here it mainly introduces the methods of combination formula, unitized construction, mathematical induction ，and so on . KEY WORDS combination，combinatorial identity，binomial theorem 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排 列组合、二项式定理为基础。组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的

习题三：真值表与等价公式

习题三：真值表与等价公式 1．求下列各复合命题的真值表。 （1） )(R Q P ∨→ （2） )()(Q P R P →∨∧ （3） )()(P Q Q P ∨?∨ （4） R Q P ∧?∨)( （5） ))()(())(R P Q P R Q P →→→→→→（ 2．试求下列各命题的真值表并解释其结果。 （1） )()(P Q Q P →∧→ （2） P )Q P (→∧ （3） )Q P (Q ∨→ （4） )Q P ()Q P (∨??→ （5） ))Q P ((Q)P (?∧?∧∨? 3．作出下列命题的真值表：并非“室内很冷或很乱”也不是“室外暖和且室内太脏”。 4．试以真值表证明下列命题。 （1） 合取运算之结合律； （2） 析取运算之结合律； （3） 合取（∧）对析取（∨）之分配律； （4） 德.摩根律。

5．有下表求出公式654321,,,,,F F F F F F 。在表上有问号（？）的地方以F 或T 代入都可以，只要所求的公式形式较为简单。 表（1-4.11） 此两个变元的命题公式。 7．证明下列等价试。 （1） )()(B A A A B A ?→→??→→ （2） )()()(B A B A B A ∧?∧∨??? （3） B A B A ?∧?→?)( （4） )()()(B A B A B A ∧?∨?∧??? （5） )))((()))(())(((D B A C D B A C D C B A →?∧?∨∨→∧→∧∧ （6） C B A C B A →?∧?∨→)()( （7） D B A D B D A →∨?→∧→)()()( （8） C A D B C D B C B A →→∧?∨→∧→∧))(())(())(( 8．化简以下各式 （1） C A B B A ∧?→??→))()(( （2） ))((B B A A ?∧∨?∨

使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)

硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣 口杨黎霞 (江南大学江苏?无锡214122 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛 ‘::, 必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。 关键词洛必达法则 极限未定式等价无穷小代换 变量代换 中图分类号:0172 文献标识码:A 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就可能出错。 首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。 其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无穷大。

例如:t/mx"。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+ ,-.-e’r_? e’ Jr--JO e‘r_?e。 此题用了n次法则。 再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。 土- 例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆 号等力 此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注意。 例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑 =lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2 本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。 (J呵+{,一、/瓦芦 fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子

恒等式的证明

恒等式的证明

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第五讲恒等式的证明 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等． 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 1．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例1 已知x+y+z=xyz，证明： x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz． 分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边． 证因为x+y+z=xyz，所以 左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边． 说明本例的证明思路就是“由繁到简”．

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

洛必达法则完全证明

洛必达法则完全证明 定理1 00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明见经典教材。 定理2 lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞==，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明：101lim ()lim ()0t x x t f x f t = →∞→==，1 01lim ()lim ()0t x x t g x g t =→∞→==，由定理1 11 200021111()'()()'()()'()lim =lim lim lim lim 1111()'()()'()()'()t x x t x t t t x f f f f x f x t t t t g x g x g g g t t t t ==→∞→→→→∞-===-。 定理300lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞，0'()lim '() x x f x g x →存在或为∞，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明：001 ()()lim =lim 1 ()() x x x x f x g x g x f x →→，由定理1 0000221'()()()'()()()lim =lim =lim lim(())1'()()()'()()() x x x x x x x x g x f x f x g x g x g x f x g x g x f x f x f x →→→→-=- 1） 设0()lim () x x f x g x →存在且不为0，则 0002()()'()lim lim()lim () ()'()x x x x x x f x f x g x g x g x f x →→→=，00()'()lim lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→= 2） 设0 ()lim ()x x f x g x →存在且为0，设0k ≠，则 0()lim()0() x x f x k g x →+≠ 有00()()+()lim()=lim ()() x x x x f x f x kg x k g x g x →→+

三角函数恒等式的证明

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式 教学目的： （1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。 （2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 （3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学对象：高一（5）班 教学设计： 一．引题：（A，B环节） 1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答： ， …… ， ，

…… 这些结果是诱导公式，的特殊情况。 1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。 1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明： 提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。 二．第一层次的问题解决（C，D环节） 2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。 （2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2

洛必达法则5种常见错误(1)

洛必达法则使用中的 5 种常见错误 求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。 在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于 普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如： 0 , ∞ 0 ∞ , ∞ ? ∞,0 ? ∞, ∞0 ,1∞ ,00 （其中后面 3 种可以通过 A = e ln A 进行转换） 的 7 种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。 17 世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案， 我们称之为洛必达法则 （L,Hospital Rule ）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。 在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技 巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。 首先，复述洛必达法则的其中一种情形： 1 1 1 ′ ′ 错误： lim xe x = lim x ? (e x ) = lim 1? e x ? (? ) = ?∞ x →0+ 1 x →0+ 1 e x 1 e x ? ( x →0+ x 2 1 )′ 正确： lim xe x = lim = lim x = +∞ x →0+ x →0+ 1 x →0+ ( 1 )′ x x 例：错解 lim x 3 ? 3x + 2 = l im 3x 2 ? 3 = l im 6 x = lim 6 = 1 x →1 2x 3 ? x 2 ? 4x + 3 x 3 ? 3x + 2 x →1 6x 2 ? 2x ? 4 3x 2 ? 3 x →1 12x ? 2 6x 3 x →1 12 2 正确解： lim x →1 2x 3 ? x 2 ? 4x + 3 = l im x →1 6x 2 ? 2x ? 4 = lim = x →1 12x ? 2 5 lim = e x ? c os x = l im e x + s in x = l im e x + c os x = 2 = 1 x →0 x sin x x →0 sin x + x cos x x →0 cos x + cos x ? x sin x 2 正确解： lim = e x ? c os x = l im e x + sin x = ∞ x →0 x sin x x →0 sin x + x cos x 更好的解法： lim = x →0 e x ? cos x x sin x = l im x →0 e x ? cos x x 2 = l im x →0 e x + s in x = ∞ 2x 经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则 █ 失误一 不预处理 Hospital Rule ：1 lim f (x ) = lim g (x ) = 0 x →a x →a 2 在某U (a ,δ) 内， f ′(x ), g ′(x ) 存在，且 g ′(x ) ≠ 0 0 3 lim f ′(x ) 存在（或者 ∞ ） x →a g ′(x ) 则lim f (x ) f ′(x ) x →a g (x ) x →a g ′(x ) = l im █ 失误二 急躁蛮干 1

恒等证明-第4讲恒等式证明竞赛班教师版

第四讲 利用恒等式解题 代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。 一、 基础知识 1． 恒等变形的意义 如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。 2． 恒等变形的分类 恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。 3． 三种数学方法在恒等变形中的体现 初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。 二、 例题部分－分式部分 例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111 a b c a b c ++= ++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。 《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P113，例5 例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足 1111 a b c a b c ++= ++，求证：对任意整数n ， 21 21 21 212121 1 111 n n n n n n a b c a b c ------++= ++； 《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P116，4 《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P90，例3 例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，1111 2 a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2； 【证明】：由 11112a b c ++=，得2abc ab bc ca =++，故()()0a b c ab bc ca abc ++++-= 从而()()()0a b b c c a +++=，若a ＋b ＝0，则c ＝2，其余类似； 例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111 x y z p y z x + =+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p += 【证明】：由x 、y 、z 不全相等，则x 、y 、z 必互不相等；∵1 p z x =+ ，及1x p y =-，得1y p z yp =+-，

代数恒等式的证明练习

1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab ②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0 求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2 4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3 5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz 6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c 7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证： c b b a 1111-=- 9．己知：a c z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc

练习20 1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-1 2.左边－右边＝（a-b）2 3.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=…… 4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入 5.用z=x+2y代入右边 6.用已知的（左－右）×2 7.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式 8.在已知的等式两边都除以abc 9.设三个比的比值为k, 10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法

逻辑大题1到8卷

大题一 四、图表题(共20分，1小题7分，2小题7分，3小题6分) 1.已知：a、b、c、d是概念，且 1)没有一个a是d，且也没有一个b是d。 2)a与b交叉。 3)c真包含于b。 请用欧拉图表示a、b、c、d可能的外延关系。 2.已知：某球队在三个前锋A、B、C中要派一个上场。教练征求领队、副教练和队医的意见，三人陈述如下： 领队：只要A不上场，B就上场。副教练：除非B不上场，C才上场。 队医：要么B上场，要么或者A上场或者C不上场。 请用真值表的方法回答下列问题： 真值表的行数可以根据需要增加或减少。请据表回答： 1)教练采纳一人的意见，上场？ 2)教练采纳二人的意见，上场？ 3)教练采纳三人的意见，上场？ 2.请用简化真值表的方法判定下面的推理是否有效。 p→q∨r, q →(?p→r), ?r∨(q←?p) ├? (p?q?r) 五、分析题（共20分，每小题5分） 写出1、2、3小题的推理形式，推理是否正确，为什么？ 1. 所有的律师都是司法工作者，因此，有些司法工作者不是律师。 2. 如果张某是自杀致死的，那么，他或有自杀原因，或者身上不应有搏斗伤痕。经查他身上没有搏斗伤痕但有自杀原因，所以，张某是自杀致死的。 3. 用10克、20克、40克的马铃薯块分别种在同一块田里，施肥、光照、水分、 管理等等情况都一样，结果，10克块茎的产量是245克，20克和40克块茎的 产量分别是430克和535克，可见，播种大块的马铃薯块茎，能提高产量。【共变法】 4. 甲：或者所有的S都是P，或者有M不是P。 乙：有的S不是P，并且所有的M是P。 丙：甲和乙说的都对。 丁：甲和乙说的都不对。 请问：丙与丁谁违反了逻辑基本规律，为什么？ 六、证明题（10分） 已知：四个有效三段论，它们的式相同，格不同，其大、小前提的主项都周延。 写出它们的形式，并写出推导过程。 七、综合题（10分） A、B、C、D涉嫌参与某一案件，公安人员已掌握： 1、如果B不参与，那么A不参与。 2、或者D参与，或者A和C同时参与。

三角函数恒等式证明的基本方法

三角函数恒等式证明的基本方法 三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式： （1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2） 22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-； （3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0， =±2tan 2 α 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。 【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就

可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】（1）Q 左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1 =右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）Q 左边= cos 2α-2 cos α+1+ sin 2α =2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） Q sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，?2 α 是第一象限或第三象限的角，①当 2 α 是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos | 2α α+- |1sin |2|cos | 2 α α-=1sin 1sin 2 2cos 2 α α α +-+=2tan 2α；②当2 α是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos |2α α+-|1sin | 2|cos | 2α α- = 1sin 1sin 2 2cos 2 α α α --+-=-2tan 2α；?左边=±2tan 2 α=右边，∴若若 sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0 ±2tan 2α。 2、求证：22sin()sin() sin cos αβαβαβ+-=1-22tan tan βα ； 【解析】

组合恒等式的证明方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧 前言 组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来． 1. 利用组合公式证明 组合公式：m n C = n! !n m m （－）！ 例1． 求证：m m n C =n 1 1m n C －－ 分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式 代入，经过简化比较，等号两边相等即可． 证：∵ m m n C = m n! !n m m （－）！ … 1 1m n C －－= n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n! !n m m （－）！ ∴ m m n C =n －－1 1m n C . 技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取． 2. 利用组合数性质证明 组合数的基本性质：（1）m n C =n m n C － （2）1m n C ＋=m n C +1 m n C － （3）k k n C =n k 11n C －－ （4）＋＋...＋＝012n 2n n n n n C C C C ?

恒等式的证明

第五讲恒等式的证明 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等． 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 1．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz． 分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边． 证因为x+y+z=xyz，所以 左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz

试用列真值表的方法证明下列异或运算公式

[2-1] 试用列真值表的方法证明下列异或运算公式。 （1）A A =⊕0 （2）A A =⊕1 （3）0=⊕A A （4）1=⊕A A (5)B A ⊕=A ⊙B (6)()A B C AB AC ⊕=⊕ [2-2]证明下列等式（方法不限） (1)AB BC AC AB BC AC ??=++ (2) ()()()AB BC AC A B B C A C ++=+++ （3）AB AC AB AC +=+ （4）()()()A C B D B D AB BC +++=+ [2-3] 写出下列函数的对偶式及反函数： (1)Y AB CD =+ （2）Y A B C D E =++++ （3）Y AB C D BC D C E D E =++++++ （4）()Y A C BD AC AC D E ??=+++?? （5）()Y ABC A B C AB BC AC =+++++ （6）()Y AD B C D =++ [2-4] 已知逻辑函数的真值表如表P1-1（a ）、（b ）,试写出对应的逻辑函数式。 表 表P1-1（b ）

[2-5] 用逻辑代数的基本公式和常用公式将下列逻辑函数化为最简与或形式 （1）B A B B A Y ++= （2）C B A C B A Y +++= （3）B A BC A Y += （4）()()()()Y A B A B C A C B C D =++++++ （5） ） ）（（B A C B AD CD A B A Y +++= （6））（）（CE AD B BC B A D C AC Y ++++= （7）Y AC ABC ACD CD =+++ （8）)( )(C B A C B A C B A Y ++++++=）（ （9））（）（D A D A B AD D A B E C AB C B Y +++++= （10）F E AB E D C B E D C B E D B F E B A D C A AC Y +++⊕+++= ） （ [2-6] 写出图P2-1中各逻辑图的逻辑函数式，并化简为最简与或式。 图2－1 [2-7] 将下列各函数式化为最小项之和的形式。

(完整版)洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则巧解高考压轴题 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 00 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 ∞∞ 型 注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则 也成立。 ○ 2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 典例剖析 例题1。 求极限 （1）x x x 1ln lim 0 +→ (∞∞型) （2）lim x ?p 2 sin x -1cos x (00型) （3） 20 cos ln lim x x x → (00 型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型) 变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22 )2(sin ln lim x x x -→ππ 例题2。 已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2

《离散数学》双语教学 第一章 真值表,逻辑和证明

《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 CHAPTER 1 TRUTH TABLES, LOGIC, AND PROOFS Glossary statement, proposition:命题 logical connective:命题联结词 compound statement:复合命题 propositional variable:命题变元 negation:否定(式) truth table:真值表 conjunction:合取 disjunction:析取 propositional function:命题公式fallacy: 谬误 syllogism:三段论 universal quantification:全称量词化 existential quantification:存在量词化 hypothesis(premise): 假设～前提～前件 conditional statement, implication:条件式～蕴涵式 consequent, conclusion:结论～后件 converse:逆命题 contrapositive:逆否命题 biconditional, equivalence:双条件式～等价 (逻辑)等价的 logically equivalent: contingency:可满足式 tautology:永真式(重言式) contradiction, absurdity:永假(矛盾)式 logically follow:是…的逻辑结论 argument:论证

axioms:公理 第 1 页共 47 页 2010-12-27 《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 postulate:公设 rules of reference:推理规则 modus ponens:肯定律 modus tollens:否定律 reductio ad absurdum:归谬律 proof by contradiction:反证法 counterexample:反例 minterm:极小项 disjunctive normal form:主析取范式 maxterm:极大项 conjunctive normal form:主合取范式 第 2 页共 47 页 2010-12-27 《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 本章内容及教学要点: 1.1 Statements and Connectives 教学内容:statements(propositions)～compound statement～ connectives:negation～conjunction～disjunction～truth tables 1.2 Conditional Statements 教学内容:implications(conditional statements)～biconditional～equivalent～and quantifications 1.3 Equivalent Statements 教学内容:logical equivalence～converse～inverse～contrapositive～tautology～contradiction(absurdity)～contingency～properties of logical connectives

(完整版)浅析洛必达法则求函数极限

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名：卫瑞娟 学号： 1004970232 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日

用洛必达法则求未定式极限的方法 内容摘要 极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。 关键词：洛必达法则函数极限无穷小量

目录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)

恒等式证明

初一数学竞赛系列讲座(7) 有关恒等式的证明 一、知识要点 恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。 二、例题精讲 例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) 分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) 证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ] =…… =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) ∴ 原等式成立 例2 证明恒等式 ()()()()()() 11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题) 证明 评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法 ()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=???? ??+-++???? ??+-+???? ??+-=???? ??+-++???? ??+-+???? ??+-=++++++