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数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)

1(2)

(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)

1()

1(111q q q

a a q q a

q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n k n

4、)12)(1(6

12++==∑=n n n k S n

k n

5、 213)]1(2

1[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=n n

S n S

n f 的最大值.

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·

b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：13

2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列

??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n ，…

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=-则 [例9] 求数列

???++???++,11

,,321

,211

n n 的前n 项和.

[例10] 在数列{a n }中，11211++???++++=

n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

[例11] 求证：

sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1111111111个n ???+???+++之和 [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=1

1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.

几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4）解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列前n项和(分组求和法)教案资料

1.求数列的前n 项和：ΛΛ,231,,71,41, 1112-++++-n a a a n 2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( ) A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0 3.设f (x )＝12x ＋2 ，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________． 4.求?+?+???+?+?+?89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222的值。 5.求数列13521,,,,,2482 n n -L L 的前n 项的和。

6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上． (1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=22，n ∈N*，数列{}n b 满足3log 42+=n n b a ，n ∈N*. (1)求n n b a ,； (2)求数列{}n n b a ?的前n 项和Tn. 8.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝n a n ，求数列{ b n }的前n 项和S n . 9.求和 )2(1 531 421 311 +++?+?+?n n Λ

求前n项和公式的常用方法

求数列前N项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和S n 解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和

等差数列前n项和公式》教学设计

《等差数列的前n项和公式》教学设计职业技术学校刘老师大纲分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。学生分析：数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n项和公式是重点。获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。教学用具：ppt 整节课分为三个阶段：问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段问题呈现1：首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。问题呈现2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

数列前n项和的求和公式

For personal use only in study and research; not for commercial use 数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：????? ≠--=--==) 1(11)1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++== ∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

等比数列前n项和公式

数列等比数列前n项和公式 ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=() A.-20 B.0 C.7 D.40 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列, ∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0, ∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A. 答案:A ■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1,若a1=1,则数列{a n}的前n项和为() A.n B. - C.3- D.3- - 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴- - =3, 即 - =3, 化简,得3a k+1=2a k,即, 又∵a1=1,∴S n=- - =3- - ,故选D. 答案:D ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1=2a n,则使不等式+…+<5×2n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1. 当n≥2时,∵S n+1=2a n,S n-1+1=2a n-1, ∴a n=2(a n-a n-1),∴ - =2. ∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n=2n-1,∴=4n-1. ∴+…+ =1+4+42+…+4n-1=- - (4n-1). ∴(4n-1)<5×2n+1. ∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4. 答案:4 专题2数列与函数相结合问题 1

《等差数列前n项和公式》教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计一、设计理念让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．二、背景分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭

关于自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n 项和公式证明 huangjianwxyx 以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。一、证明：Sn=∑=n k k 1=1＋2＋3＋…＋n ＝(1+n)n/2 证：(略) 二、证明：Sn=∑=n k k 12=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 证： (n ＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n ＋1)－n3=3n2＋3n ＋1，则： 23－13=3×12＋3×1＋1（n 从1开始） 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 53－43=3×42＋3×4＋1 63－53=3×52＋3×5＋1 … (n ＋1)3－n3=3×n2＋3×n ＋1（至n 结束）上面左右所有的式子分别相加，得： (n ＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ∴ (n ＋1)3－1=3Sn ＋3×[n(n ＋1)/2]＋n ∴Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 三、证明：Sn=∑=n k k 13=13+23+.....+n 3=n 2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2 证： (n+1) 4-n 4=[(n+1)2+n 2][(n+1)2-n 2]=(2n 2+2n+1)(2n+1)=4n 3+6n 2+4n+1则： 24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n 从1开始） 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 ... (n+1) 4-n 4=4*n 3+6*n 2+4*n+1（至n 结束）上面左右所有的式子分别相加，得： (n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n 3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n ∴4*(13+23+.....+n 3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]2 ∴Sn=13+23+.....+n 3=[n(n+1)/2] 2

高中数学等差数列前n项求和

第五课时等差数列的前n 项和(一) 教学目标：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数. （2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b 2 . （3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. 例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101， …… 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×1002 ＝5050. 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1 ② ①＋② 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2

求数列前N项和的常用方法

求数列前n项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

数列前n项和(分组求和法)

1.求数列的前n 项和： ,231,,71,41, 1112-++++-n a a a n 2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( ) A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0 3.设f (x )＝12x ＋2 ，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________． 4.求?+?+???+?+?+?89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222的值。 5.求数列13521,,,,,2482n n -的前n 项的和。

6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上． (1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=22，n ∈N*，数列{}n b 满足3log 42+=n n b a ，n ∈N*. (1)求n n b a ,； (2)求数列{}n n b a ?的前n 项和Tn. 8.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 9.求和 ) 2(1531421311+++?+?+?n n

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，

再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

数列前n项和的求和公式31109教学教材

数列前n项和的求和公式31109

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==)1(11)1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、)1(211+==∑=n n k S n k n 4、)1 2)(1(61 12++== ∑=n n n k S n k n 5、213)]1(2 1 [+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32 的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

等差数列前n项和公式及性质

2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31

解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A.

求数列前N项和的方法

求数列前N 项和的方法 1. 公式法等差数列前n 项和： 11() (1) 2 2 n n n a a n n S n a d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S n a = ( ) 1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。其他公式： 1、)1(2 11+= = ∑ =n n k S n k n 2、)12)(1(6 11 2 ++= = ∑ =n n n k S n k n 3、21 3 )]1(2 1[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 2 3 -= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3 log 1log 3 3 2 3 = ?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(2 1 - -n ＝1－ n 2 1 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(2 1+= n n S n ， )2)(1(2 11++= +n n S n （利用常用公式） ∴ 1 )32()(++= n n S n S n f ＝ 64 342 ++n n n

高中数学等差数列前n项和经典教案-等差数列前n项和公式教案

《等差数列前n项和》（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析 ●教学内容《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。 ●地位与作用本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。二、学情分析 ●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。 ●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。 ●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、目标分析 1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： ●知识技能 (1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。 ●数学思考 (1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法； (2)通过公式的运用体会方程的思想；

(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。 ● 解决问题创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n 项和 n n a a a a s ++++=......321的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。 ● 情感态度结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。 2、教学重点、难点 ● 重点等差数列前n 项和公式的推导和应用。 ● 难点等差数列前n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。 ● 重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。四、教学模式与教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式。教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。学生的学法突出探究、发现与交流。五、过程设计数形结合类比化归公式应用知识回顾

求前n项和公式的常用方法

求前n项和公式的常用方法 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

求数列前N 项和的常用方法核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 解：S n =a 1+a 2+a 3+...+a n ① 倒序得：S n =a n +a n-1+a n-2+…+a 1② ①+②得：2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+…+(a n +a 1) 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1 ∴2S n =n(a 2+a n )S n =n(a 1+a n )/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n 项和S n 解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。

数列前n项和的求和公式复习进程

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==)1(11)1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、)1(211+==∑=n n k S n k n 4、)1 2)(1(61 12++== ∑=n n n k S n k n 5、213)]1(2 1 [+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132 )12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列前n项和的求和公式

几种求数列前n项和的方法

数列前n项和的求和公式

数列前n项和(分组求和法)教案资料

求前n项和公式的常用方法

等差数列前n项和公式》教学设计

最新数列前n项和的求和公式

数列前n项和的求和公式

等比数列前n项和公式

最新求数列的前n项和列(教案-例题-习题)

《等差数列前n项和公式》教学设计

关于自然数数列前n项和公式证明

高中数学等差数列前n项求和

求数列前N项和的常用方法

数列前n项和(分组求和法)

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

数列前n项和的求和公式31109教学教材

等差数列前n项和公式及性质

求数列前N项和的方法

高中数学等差数列前n项和经典教案-等差数列前n项和公式教案

求前n项和公式的常用方法

数列前n项和的求和公式复习进程