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附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结

一、形如()ax b f x cx d

+ (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求21()32

x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332

x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠??

一般性结论，()ax b f x cx d +=

+ (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠??

注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。例2：求21()32x f x x +=

+，()1,2x ∈的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1

3y x

=-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ???

小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时，对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x >

时，(x ∈-∞?

+∞），'()0f x <时，

(x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常

其图像

例3：求4()2,((1,4)f x x x x

∈上的值域。解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为)

?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n

++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。

例3：已知0t >，则则函数241t t y t

-+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t

-+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-

x x ++解：令1,1,x t x t -==+则则2()(1)(1)2t f x t t =

++++=214343t t t t t

=++++，其中t 0.>则由基本不等式得1()7f x ≤ 例5:求24221()()212

x x f x x x ++=>-+的值域。解：令21,t x =+则12t x -=，21142()222()t t f x t

--??++ ???==22t t t -+=21t t +- ，其中0t >

，由基本式得()1f x ≥

小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成()(0)a f x x a x

=+>这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题三、形如22()(0,0)ax bx c f x a m mx bx c

++=≠≠++在定义域内求值域。例5：求22211

x x y x x ++=++的值域。分析：当定义域为R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R 时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：2

10x x ++>恒恒成立，所以此函数的定义域为x R ∈，将函数整理成关于x 的方程， 2221yx yx y x x ++=++，2(2)(1)(1)0,y x y x y -+-+-=当20,y -≠关于x 的方程

恒有解，则2(1)4(2)(1)y y y ?=----0≥即713

y ≤≤，显然，2y =也成立，所以其值域为{}7

/13y y ≤≤

以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。

附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时，对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常其图像例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-

分数函数的值域

分数函数的值域这里说的是二次即二次以下分式函数的值域，由于高二学了一阶导数，笔者见到不少学生学了导数之后，看到分式函数想都不想就直接求导做，毫无疑问是可以做出来的，但是，对于分式的导数，比原函数还要麻烦，如果函数很简单，用导数似乎有些大材小用，如果函数很复杂，求导之后就更加复杂，做起来也比较麻烦，因此，对于此类分式函数题目求最值，轻易莫求导！！！下面进入正题，这里说的分式函数大致以下几种形式：y=， y=，y=，y=其中y=与y= 基本一致对于这个问题，一般来说可能会用到三个方法：分离常数、均值不等式、几何法（构造斜率）、反函数法、判别式法。反函数法和判别式法这里不再赘述，以下我们分别讨论首先，对于最简单的分式线性函数y=，反函数法在此不再赘述，即是反解出x，利用定义域求值域，这里说下分离常数法，这个方法很重要，要谨记例1：若x∈[-1,2)求函数y=的值域解一（分离常数法）：y= =

=2+ 由x∈[-1,2)则y∈(-∞，1] 分离常数的目的是为了将自变量“挤”到分母或分子，则函数单调性、值域显而易见解二（构造斜率法）：原式可看作点A（2,1）到点P（x，2x）的斜率，其中P在直线y=2x(x∈[-1,2))上，作出图像即可得到答案构造斜率法运用时要注意，若定点与动点连线中有x轴的垂线，则垂线应画成虚线，它是正、负无穷的分界线（斜率k=tanθ）反函数法略然后是分子或分母中出现二次，无论是在分子还是在分母，处理方法基本一致。同样用到类似分离常数的配凑方法，对于功底不好的同学，可以对一次式换元，例2求函数y==，x∈[0，2] 解一：令t=x+2（t∈[2，4]），则x=t-2 则y== 分子分母同除以t后得，y=t+-6≥2-6（当且仅当t=时“=”成立）

分式函数值域的求法

分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。一、若21a a ，同时为零，则函数2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。例１求函数3 12+-=x x y 的值域解法１：（分离常数法）利用恒等变形可化为：3 7237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：解法２：（求反函数法）函数312+-=x x y 的反函数为132 x y x -=-所以原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。例２求函数2 312+--=x x x y 的值域解：可先将函数变为)2)(1(1)(---= =x x x x f y 。约分后函数变为2 1)(-= x x g 。所以0)(≠x g

约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2 312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。例３求函数2 652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32 )3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。三、若21a a ，不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数法、基本不等式法求函数的值域。例４函数221 x x y x x -=-+的值域．解法1：(判别式法) 将221 x x y x x -=-+转化为关于x 的一元二次方程（y 看作参数）： (这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数y 的范围，恰为函数221 x x y x x -=-+的值域） ①若1=y ，则10=矛盾 ②由1≠y ，这时由0≥?解得1113y y -≤≤≠且；13y =-时，12 x =。 ∴综上所述知原函数的值域为1[,1)3 -．解法2：(分离常数法) 221x x y x x -=-+＝2111x x --+＝21113()24 x --+ 设213()()24g x x =-+，则()g x 的值域是3[,)4 +∞ 所以，原函数值域为1[,1)3 -。

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法 1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义，而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数值域方法大全

值域最值专题一．知识点 1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、基本初等函数的值域 1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ，值域为R 2 2.二次函数的定义域为R ， f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}。 y|y y|y 4a4ak y (k 0) 3.反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； xx+ 4.y ＝a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y ＝logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三．当函数y=f(x)用解析式给出时，求函数值域的方法 1.直接法分析：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（也可以利用常见函数的值域来求） 222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴， ⑵3 x y f(x) 2 4 x ⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； 222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴（≤≤） ⑵ xx y 1 x x 31f(x) 1 24 ⑶（≤≤） ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值），则 max 3.利用函数的单调性――利用

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。分析：此类函数中，当0a 时，对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y