平面向量 博尔思教育培训
老师
姓名
陈小飞学生姓名邓子聪教材版本人教版
学科
名称
数学年级高三上课时间 3 月10 日19 : 00 -- 21 : 00 课题
名称
平面向量
教学
重难
点
平面向量的性质
教学过程
一．知识梳理
一．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为()
,
a xi y j x y
=+=
，称()
,x y为向量a的坐标，a＝()
,x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
二．基本概念：
1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．（注意向量和数量的区别）
2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a
共线的单位向量
a
a
a
=±
3. 平行(共线)向量：若非零向量,a b
方向相同或相反，则//
a b
；规定零向量与任一向量平行提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
4、向量相等：b
a
=?模相等，方向相同；相反向量：b
a
-
=?模相等，方向相反
5、两个非零向量a
、b的夹角：做OA=a
；OB=b
；AOB
∠叫做a
与b
的夹角。
6、坐标表示：i
、j
分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若=
a
j y
i x+，则()y x,叫做a的坐标。
7.向量a
在b方向上的投影：设θ为a
、b的夹角，则cos
aθ
为a
在b方向上的投影
单位向量：①与向量a
→
=(12,5)平行的单位向量为
②若(6,8)
a=-
，则与a
平行的单位向量是．
三、基本定理、公式：
1、平面向量基本定理：若1e 与2e
不共线，则对平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数1λ、
2λ；使得=a
2211e e λλ+。
2、向量的模：a ＝
a a ?＝
2
2y
x +；非零向量a
与b 的夹角：
=
θcos 2
2
222
1
2
12121|
|||y x y x y y x x b a b a +++=
?
3、向量平行的充要条件：a ∥b
?b a λ=?1221y x y x =；
共线定理：向量a 与非零向量b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b a λ=
向量垂直的充要条件：a ⊥b
?0=?b a ?02121=+y y x x
四、基本运算：
运算 向量形式
坐标形式：()11,y x a =
；()22,y x b =
加法
<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连
记：AB BC AC +=
a +b
=()2121,y y x x ++
减法
起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减
向量） 记：OA OB BA -= =-AC AB CB
a -b
=()2121,y y x x --
若()()2211,,,y x B y x A
，则()2121,AB x x y y =--
数乘
a λ是一个向量，=a
λ||||a λ
方向：0>λ时，与a 同向；0<λ时，与
a 反向；0=λ时，0=a λ，方向任意。
()11,y x a λλλ=
数量积 a ·b
=θcos ||||b a a ·b
=2121y y x x +
五．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a
︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b
的数量积（或内积） 规定00a ?=
2向量的模与平方的关系：22||a a a a ?==
3乘法公式成立：
()()2
222a b a b a b a b +?-=-=- ；
()2
2
2
2a b a a b b
±=±?+ 222a a b b =±?+
4平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a b b a ?=?
②对实数的结合律成立：()()
()
()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈
③分配律成立：()a b c a c b c ±?=?±? ()c a b =?±
特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ??≠??
；注意数量积是实数，不再是向量
（2）消去律不成立a b a c ?=?
不能得到b c =?
（3）a b ?
=0不能得到a =0 或b =0
5两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==
，则a ·b =1212x x y y +
8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （0
01800≤≤θ）
叫做向量a 与b
的夹角
cos θ=cos ,a b
a b a b ?<>=? =2
2
2221212121y x y x y y x x +?++
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00；当且仅当a 与b 反方向时θ=1800。
六．向量的运算： 1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不
共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==
，那么
向量AC 叫做a 与b
的和，即a b AB BC AC +=+= ；
②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=
那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
一般地，对于任意三点O ，A ，B ，AB =OB —OA
二．典型例题
1．化简: (1)_____=-→→AD AB (2)_____=-→
→OA OD
(3)____=--→
→→DC AD AB (4)MN PN PM +-=__________
2、化简：AD DE AC CE --+=__________。
3．点C 在线段AB 上，且35
AC AB = ，则________AC CB =
变式训练2：已知A ()3,2,()y B ,1-,()2,-x C ，()6,3-D ，若→
→=CD AB ,求y x ,的值.
4．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB
→ －AC → ）
=0．则ΔABC 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
5．在ABC ?中， , AB c AC b ==
，若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）．
A. 2133b c +
B. 5233c b -
C. 2133b c -
D. 1233
b c +
变式训练：如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A ．－BC ＋BA 2
1B ．－BC －BA 21C ．BC －BA 21D ．BC ＋BA
21 A
D B
C
6．在ABC ?中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB = ，13
CD CA CB λ=+
，则λ等于（ ）
A ．23 B. 13 C.13- D. 23
-
坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==
，则：
①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±
，12)y y ±。
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==
。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--
，即一个向量的坐标等于表示这个向
量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+
。
⑤向量的模：
222
22
2||,||a x y a a x y =+==+ 。 ⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()
22
2121||AB x x y y =
-+-。
1．(2008年四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )
A ．(7,3)
B ．(7,7)
C ．(1,7)
D ．(1,3)
2. 若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则3
1AB
= .
3.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60
，那么|3|a b + ＝_____
变式训练1: 已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．
变式训练2：已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )．
2014年个性化辅导教案
向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?= 22
()(||||)a b a b ??= 1212x y y x ?-＝0。
例题：已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -
∥b ，则k = ．
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==
，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同
（2）已知(1,1),(4,)a b x == ，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v
，则x ＝______
（3）.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1
B.x=3
C.x=2
9
D.x=51
（4）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===
，则k ＝_____时，A,B,C 共线
（5）.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( )
A.109-
B.109
C.1019-
D.10
19
（6）已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于 （ ） A ．10 B ．－10 C ．2 D ．－2
（7）．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线， 则m 的值等于 A ．－ 53 B ．－ 95 C ．－ 35 D ．－ 59
2014年个性化辅导教案
向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-
12120x x y y ?+=
(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=
，若OA OB ⊥ ，则m =
（2）已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x ·b 与b 垂直，则x 的值为（ ）
A.323
B.23
3 C.2 D.-52
（3）已知(,),n a b =
向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________
（4）、已知|a |=5,|b |=4,a 与b
的夹角为60°，求k 为何值时，向量b a k -与b a 2+垂直。
平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==
，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0
时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反
向，当θ＝
2
π
时，a ，b 垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量
||||cos a b θ
叫做a 与b 的数量积
（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．b 在a 上的投影为||cos b θ
，它是一个实数，但不一定大于0。如
已知3||=→
a ，5||=→
b ，且12=?→
→b a ，则向量→
a 在向量→
b 上的投影为______
4．a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a
与b 在a 上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=
；
②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，222
,a a a a a a =?== ；当a 与b 反
向时，a ?b ＝－a b
；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、
不反向，0a b ?<
是θ为钝角
的必要非充分条件；
③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b
a b
θ?=
；④||||||a b a b ?≤ 。
例题：设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；
②|a ＋b |=|a －b |；③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．
其中正确等式个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
（1）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +
等于____
（2）已知,a b
是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____
（3）△ABC 中，3||=?→
?AB ，4||=?→
?AC ，5||=?→
?BC ，则=?BC AB _________
（4）.在△ABC 中，已知,4==AC AB 且,8=?AC AB 则这个三角形的形状是 .
（5）、如果向量a 与b ，c 的夹角都是?60，而c b ⊥，且1||||||===c b a ，
求)()2(c b c a +?-的值。
十．线段的定比分点：
1．定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一
个实数λ ，使12PP PP λ=
，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP
的以定比为
λ的定比分点； 2．λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当
P 点在线段 P 1P 2的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时
10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P
所成的
比为1λ。如：若点P 分AB 所成的比为3
4
，则A 分BP 所成的比为_______
3．线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP
所成
的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ
+?
=??
+?
+?=?+?
，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222
x x x y y y +?
=???+?=
??。 （1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3
--→
--→
=-，则点P 的坐标为_______
变式训练：设|AB|＝5，点p 在直线AB 上，且|PA|＝1，则p 分AB 所成的比为 ．
（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1
2
y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB = ，则a 等于
_______
（3）．在ABC ?中，已知(2,3),(6,4),(4,1)A B G --是中线AD 上一点，且2AG GD =
，则
点C 的坐标为（ ） A.(4,2)- B.(4,2)-- C.(4,2)- D.(4,2)
平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k = 平移至(,)P x y ''，则x x h
y y k
'=+??
'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =
平移得曲线(,)0f x h y k --=.
如：（1）按向量a
把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a
把点(7,2)-平移到点______
（2）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3－2 (C) e x -2+3 (D) e x +2－3
三．课堂练习
0．下列命题正确的是 （ ）
)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线
1.
已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．
2. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．
3.
已知3,2==b a ，且4=?b a ，则向量b
在向量a
上的投影为
4. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-
，，则cos θ=_______． 5. 若向量a ，b 满足12a b == ，
且a 与b 的夹角为3
π
，则a b += ________ 6、已知6=a ，8=b ，10=-b a ，则=+b a ． 7、已知=a 1e +2e ，=b ２1e －2e ，则向量a +2b 与2a －b （ ）
A 、一定共线
B 、一定不共线
C 、仅当1e 与2e 共线时共线
D 、仅当1e =2e 时共线 8.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后，得到22x y =的图象，且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b = .
课后
小结
上课情况： 课后需再巩固的内容： 配合需求：家 长 _________________________________
学管师 _________________________________
组长签字
平面向量基本定理练习试题整理
专题八平面向量的基本定理 （A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A 【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-， ()1,7MB =，则 1 2 AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】 ()()() 111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()11 11,732,41,222 =+-==，故选B. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A 【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r =()5,7，故选A. 4.【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点 ，向量 ， ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵向量 ， ，
∴，又 ∴ ∴点的坐标为 故选：C. 5.在ABC ?中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，2 3 CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B. 1 3 C.1- D.2 【答案】B 【解析】由已知得，13AD AB =，故13C D C A A D C A A B =+=+1()3CA CB CA =+-21 33 CA CB =+, 故1 3 λ= ． 6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C. 【解析】∵a 与b 共线，∴?=-?-?0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故2|2|435a b -= +=,故应选D. 8.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为 ABC ?的重心（三边中线的交点） ．设,GB a GC b ==，则1 2 AB 等于 （ ） A. 3122a b - B. 1 2 a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
专题10、平面向量中的范围和最值问题
专题十、平面向量中的最值和范围问题 平面向量中的最值和范围问题， 是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根 据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问 题的一般思路是建立求解目标的函数关系， 通过函数的值域解决问题， 同时，平面向量兼具“数” 与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合. 考点1、向量的模的范围 例1、⑴已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ADC 90°,AD 2,BC 1,P 是腰DC 上的 动点，贝U PA 3PB 的最小值为 ______________ . 120 °贝U 的取值范围是 _________________ 变式：已知平面向量a, B 满足| | | | 1，且a 与 的夹角为120 ，则 |(1 t) 2t |(t R)的取值范围是 ______________________ ; 小结1、模的范围或最值常见方法：①通过 |了|2=；2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. 考点2、向量夹角的范围 例 2、已知 O )B = (2,0), OC = (2,2), CA = (Q2cos a,返 in ",贝 UO )A 与 Ofe 夹角的取值范围是( ) n n n 5 n n 5 n 5 n n A.初 3 B. 4 / C. H ，匚 D. 石，2 小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法. (2) ( 2011辽宁卷理) 若a,b, c 均为单位向量，且a b 0, (a c)(b c) 最大值为( ) (3) ( 2010浙江卷理) A. 2- 1 卜 F B . 1 C. 2 D . 2 )满足 1，且与-的夹角为
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,
uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)
必修四2.3.1平面向量基本定理优秀试题练习题
平面向量基本定理课时练 1．给出下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．② 解析：因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B. 答案：B 2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1 D ．e 1＋e 2和e 1－e 2 解析：分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C. 答案：C 3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13 (AC →＋2AB →) B.13 (AB →＋2AC →) C.14 (AC →＋3AB →) D.14 (AC →＋2AB →) 解析：如右图所示，AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13 BC →
＝AB →＋13 (AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →＝13 (AC →＋2AB →)，故选A. 答案：A 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( ) A ．λ(A B →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋B C →)，λ∈? ???0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈? ???0，22 解析：∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在 AC 上， ∴三点A 、P 、C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A. 答案：A 5．若四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．b ＋12 a B ． b －12a C ．a ＋12b D ．a －12 b 解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12BA →＝b －12 a . 答案：B 6．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析：∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0. 答案：0 7．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________， n ＝________. 解析：OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案：k 1＋h 1 k 2＋h 2 8．已知向量a 与b 的夹角是45°，则－2a 与3b 的夹角是________． 答案：135°
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
平面向量中的线性问题专题(附答案)
平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.
题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）
高中数学必修4平面向量典型例题及提高题
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y = +2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos |||| a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算
平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习
平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积 一、向量的概念 1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量. 2.几何表示: 向量可以用有向线段表示. 长度：向量AB u u u r 的大小,也就是向量AB u u u r 的长度(或称模),记做|AB|u u u r . 向量也可用字母L a b,c ,（印刷用黑体a ，手写用a r ）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB u u u r ，CD uuu r . 零向量：长度为0的向量.记做0. 单位向量: 长度为1的向量. 平行向量: 方向相同或相反的向量.记作a //b . 规定: 零向量与任一向量平行. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a =b . 注意: 向量相等与有向线段的起点无关. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1.向量加法的三角形法则 已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC uuu r 叫 做a 和b 的和，记做a +b ，即 AB BC =+u u u r u u u r a +b 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 以同一个点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作Y OACB ,则以O 为起点的对角线 OC u u u r 是a 与b 的和,即OA OB OC =+=u u u r u u u r u u u r a +b .此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定：对零向量与任一向量a ，00a +=+a =a 3.小结论 对任意向量a 、b ，有≤|a +b ||a |+|b |； 当a 、b 同向时，|a +b |=|a |+|b |； 当a 、b 反向是，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |） 4.向量加法交换律：a +b =b+a ；向量加法结合律：(a +b)+c =a +(b+c) 5.与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量. 6.向量减法的几何意义：a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 7.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1) ||||||λλ=a a ；
平面向量基本定理03913
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1
2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3
必修四平面向量基本定理
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)