平面向量基本定理

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力．

二、目标和目标解析

1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养．

2．目标解析：

本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．

三、教学问题诊断分析

学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点．

综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明．

四、教学支持条件分析

为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养．

五、教学过程设计

1．创设情境，激发思考

问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题．

之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？

【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a .

【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．

问题2 ：在物理中，我们知道为求放置在斜坡上的木块受到的摩擦力，需要将重力分解．如图1所示，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？

力的分解是向量分解的物理模型，根据受力分析，我们可以通过作平行四边形将向量OG 分解为两个向量OF 与OA ，这里向量OG 是这两个向量的和，即OG OF OA =+．这引发我们思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式表示？如果可以，这样的向量需要几个？

图1

【师生活动设计】教师提出问题学生思考，教师引导学生从力的分解过渡到向量的分解．如果学生能正确回答可以用两个向量表示平面内任意一个向量，就追问这两个向量需要满足什么条件？引向问题3，如果学生没有反应或回答错误，就采用追问1和．

追问1．我们之前学过向量的加法、减法、数乘向量的运算，如果给定向量a ，平面中任意一个向量b ，能否用向量a 来表示？

追问2．已知平面内的两个非零向量1e ，2e ，请你作出向量122+e e ，123-+e e ．给你什么启发？

【设计意图】通过力的分解的物理模型引出平面向量分解的平行四边形模型，让学生明确向量的分解的依据是平行四边形法则作为基本模型，从运算与表示的角度为后续做铺垫，发展学生数学建模和数学抽象的核心素养．追问1和追问2目的是引导学生理解表示平面内任意一个系列需要两个不共线的向量．

2.活动探究，发现规则

问题3：如图2所示，给定两个不共线的向量1e ，2e 及同一平面内的向量a ．将

a 沿着1e ，2e 的方向分解，你有什么发现？

图2

【师生活动设计】学生动手作图，教师提问一名学生在黑板上作图展示．在学生作图的基础上，向学生强调先在同一起点O 作1OA =e ，2OB =e ，之后再做出向量OC =a ，然后将向量a 沿着1e ，2e 的方向分解．如果学生在作图上比较顺利，能够作图并表示，那么导向问题４，如果学生在作图上有困难，无法作图或者作图后无法用线性运算表示出来，则教师进入以下环节：

追问1：在物理中，我们将力根据需要进行分解，依据的是平行四边形法则，现在你可以运用平行四边形法则进行分解吗？

追问2：当你将向量a 沿着向量1e ，2e 方向分解，分解后的向量和向量1e ，2e 是什么关系？这种关系如何表示？

【设计意图】引导学生经历作图过程进行体会，将平面内的向量a ，沿着1e ，2e 的方向分解，并用1122λλ=+a e e 的形式表示出来，掌握向量平行四边形分解的方法，初步认识平面向量基本定理的图形表示与代数表示，实现从图形到代数表示的过渡，发展学生数学抽象的核心素养．

问题4：如果再给出平面内的另一个向量a ，还能用给定两个不共线的非零向量1e ，2e 来表示吗？

【师生活动设计】教师改变向量a 的方向和位置，分别呈现出以下几种状态，让学生进行作图、表示、展示．其中几种状态如图3所示：

e 1

e 2

a

a

图3

追问：如果a 是零向量，可以用给定两个不共线的非零向量1e ，2e 来表示吗？从

这个探究过程中，你可以得到什么结论？

【师生活动设计】教师提问，请两位学生到白板上画图，并将结果表示出来并解释作图的关键．同时运用多媒体辅助手段，动态展示向量a 的不同情形下（含共线向量）如何通过构造平行四边形来表示它．

【设计意图】让学生体会平面内的任一非零向量，都可以用两个不共线的非零向量表示出来，突破“任意性”这个难点，发展学生逻辑推理的核心素养． 问题5：对于给定的向量a ，可以用给定两个不共线的向量1e ，2e 表示为1122λλ=+a e e 那么这种表示的12,λλ是唯一的吗？你可以给予证明吗？

【师生活动设计】引导学生从图形和代数两个角度解释原因，如果学生可以回答，则进入问题6，否则引导学生思考：表示的结果唯一，就意味着分解的唯一，从图形上看就是平行四边形的唯一，你能通过所学的几何知识来解释吗？

从代数上如何证明12,λλ是唯一的呢？代数中要证明唯一性我们一般采用的方法是什么？如何证明？

【设计意图】从几何和代数两个角度让学生认识表示结果的唯一性，发展学生直观想象和逻辑推理的核心素养．

3．抽象概括，阐述规则

问题6：你能把上述探究发现的结果，用数学的语言描述出来吗？

【师生活动设计】教师提问，学生回答，教师给予引导和纠正，共同得出平面向量基本定理：

如果12,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122λλ=+a e e ．

我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所用向量的一组基底．

【设计意图】让学生在探究、发现的基础上，将已有的图形语言，用文字语言、符号语言表示出来，培养学生会用数学的语言表达所发现的结论的能力，发展数学抽象的核心素养．

4．辨析思考， 理解规则

问题7：已知12,e e 是平面内向量的一组基底．

（1）1e 和12+e e 可以作为平面向量的一组基底吗？

（2）用1e 和12+e e 表示向量1246+e e ．

【师生活动设计】教师提问，学生作答，在问题中引导学生从平行四边形和待定系数法两个角度来思考问题，根据学生回答的情况，教师给予适当的启发和拓展 如果学生对问题（1）有困难，则可追问：作为平面向量的一组基底需要满足的条件是什么？

如果学生对问题（1）能够解答，则追问：你们还有其他的解决问题的方法吗？ 如果学生对问题（2）有困难，则可追问：如果向量1246+e e 用1e 和12+e e 表示，则表示的结果是什么形式？

【设计意图】理解基底的概念，能够运用平面向量基本定理的代数特征，通过待定系数法来表示平面内的任一向量，发展学生逻辑推理的核心素养．

5．规则应用， 凸显本质

问题8：如图4所示，在正方形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，用,a b 来表示AB ，AD .

图4 【师生活动设计】教师提问，学生回答，引导学生思考解决问题的两种方法．若学生回答出其中一种方法，则教师引导思考另一种方法．指出向量的表示，能够运用待定系数法来表示平面内的向量，也可以通过图形特征，构造平行四边形、三角形建立向量的表示，突出平面向量基本定理的两大主要特征.

【设计意图】理解基底的概念，既能够运用平面向量基本定理的代数特征，

通过

C

待定系数法来表示平面内的任一向量，也能够运用平行四边形、三角形法则，通过几何图形实施向量的线性运算，求出结果，发展学生直观想象和逻辑推理的核心素养．

问题9：如图5所示，平面向量,OA OB 不共线，且AP t AB =（t ∈R ），试用,OA OB 表示OP ．

图5 【师生活动设计】教师提问，学生思考后回答，教师给予解题指导后，指出这是向量OP 具有特殊情形时（点P 在直线AB 上），用,OA OB 表示的结果，并询问这种结果有什么特殊性，引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系．

【设计意图】通过该例题，熟悉掌握平面向量基本定理的运用，同时体现了平面向量基本定理的基本性，可以用来表示平面向量共线，在此基础上可以对平面向量基本定理的认知进行扩充，即可以表示平面内的任意一点的位置，发展学生数学抽象的核心素养．

6. 总结归纳， 提炼感悟

问题10：在本节课探究、发现、表述、证明平面向量基本定理的过程中，你有哪些收获？平面向量基本定理为我们通过向量的方法解决问题提供了哪些便利？

【设计意图】回顾探究过程，整理研究思路，揭示定理本质，为平面向量的正交分解及坐标表示打下伏笔，揭示数学的简洁美，在此基础上过渡到坐标架的角度给予学生更深层次的认识．

A

六、目标检测设计

1．设1e ，2e 是平面内一组基底，则下面四组向量中，能作为平面内一组基底的

是（ ）

A ．12-e e 与21-e e

B ．122+3e e 与1246--e e

C ．12-e e 与12+e e

D ．122-e e 与2112

-e e 解析：不共线的两个向量能作为平面内一组基底，因此需要判断选项中所给的两个向量是否共线：

其中，对于选项A ：12-e e 21()=--e e ，所以12-e e 与21-e e 共线；

选项B ： 1246--e e 12=2(2+3)-e e ，所以122+3e e 与1246--e e 共线；

选项D ：122-e e 与211=2()2--e e ，所以122-e e 与2112

-e e 共线； 选项C ：12-e e 与12+e e 是以1e ，2e 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为1e ，2e 不共线，所以12-e e 与12+e e 不共线．

【设计意图】检测学生对基底的概念的掌握情况．

2．设,D E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23

BC ，若12DE AB AC λλ=+（λ1，λ2为实数）

，则λ1+λ2的值为 ． 解析：由题意结合向量的运算可得：DE DB BE =+. 其中12DB AB =，22()33

BE BC AC AB ==-. 所以1263

DE AB AC =-+. 所以116λ=-，22=3λ，所以121+=2λλ. 【设计意图】检测学生对平面向量基本定理的理解，以及运用平面向量的线性运算表示向量的能力．

3． 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，试用,a b 分别表示向量,,,MA MB MC MD ．

解析：平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，

则

11

22 MA=--

a b，

11

22

MB=-

a b，

11

22

MC=+

a b，

11

22

MD=-+

a b．

【设计意图】检测学生运用平面向量基本定理表示平面向量的掌握情况．

七、点评（黄炳锋，福州第三中学）

平面向量基本定理是一节规则课，有些老师认为本节课所涉知识浅显，难度不大，常常省略了定理的发现与证明过程，把这节课上成定理的应用课。与这种极端功利的教学不同，耿熹老师的这节课遵循了规则课的一般结构，经历了定理的发现与提出、定理的阐述与证明、定理的理解与应用等环节，并为每个环节的教学都进行了设计，深入思考了课堂结构的严谨性与知识内容的逻辑连贯性，将看似平淡的定理教学演绎得风生水起。

第一，定理的发现与提出。在这一环节，耿熹老师为规则学习的必要性做了精心的设计，首先在创设的问题情境中，教师提出力的分解是向量分解的物理模型，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？然后根据表示的结果，引发学生思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式表示？如果可以，这样的向量需要几个？这样贴近学生思维发展区的问题自然导向向量的分解与合成，并在平行四边形法则这一熟悉的基本模型下，进行操作活动，积累向量分解与合成的认知经验，依此开始探究并发现规则。

第二，定理的阐述与证明。为了突破定理阐述过于抽象的难点，耿熹老师设计了两个问题进行铺垫，问题4突破“任意性”，问题5突破“唯一性”，这样到问题6，要求学生将探究发现的结果，用数学的语言描述出来就顺利了。仔细观察这一环节，我们还发现从动手操作到归纳概括，从几何图形到代数阐述，从定理的具象呈现到抽象表示，教师遵循学生的认知规律，循序渐进发展学生的数学抽象、直观想象以及逻辑推理等核心素养，可谓匠心独具。

第三，定理的理解与应用。在定理应用之前，耿熹老师设计了辨析思考，理解规则这一步骤，看似不经意的问题7其实有深意，两个小题，分别解释了基底的选择和不同基底的表示。从图形上看，任意两个不共线的向量均可作为基底，这是几何特征；转换基底进行向量表示，体现了代数特征，学生不再需要动手操作向量的分解，而是借助代数运算实现从形到数的过渡。定理的应用也凸显本质，两个问题的设计既是呼应又有发展，从基底表示到表示的特殊性，揭示了定理的代数特征，引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系，为向量从“形”到“数”转型提供了认知基础．

纵观本课教学过程，我们不难得到这样的启发，作为中学数学重要的一种课型，规则课的教学应遵循其应有的课堂结构，教学中要积极创设问题情境，引导学生还原生动活泼的定理发现与证明过程，揭示定理的内涵。惟其如此，才能有效提升学生发现和提出、分析和解决问题的能力。

1 平面向量系数

平面向量系数 1、如右图,在△ABC 中, 13 AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC ??→??→??→ =+,则实数m 的值为( ) A. 19 B 3 1 C. 1 D. 3 【答案】A 2、在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+， 2AC i m j =+，则实数m= ． 答案 －2或0 3、在△ABC 中，已知D 是边AB 上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB → ，则λ＝______. 答案：23 4、在△ABC 中，=++===n m n m 则若,,2,2( ) A ． 3 2 B 97 C ．9 8 D ．1 答案 B 5、在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ． 21 33 +b c B ．5 233 - c b C ． 2133 -b c D ．1 2 3 3+ b c 答案 A 6、在OAB ?中，=a ，=b ，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，则= （ ） A ． 32a -31b B ．-32a+31b C ．31a -32b D ．-31a+32 b 答案 B 7、在△ABC 中，1 ,3,,,2 BD DC AE ED AB a AC b BE ====若则=（ ） A ．1133a b + B ．1124a b -+ C ．1124a b + D ．11 33 a b -+ 8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F ．若AC =a ，BD =b ，则AF = （ ） A ． 11 42 +a b B ． 2133+a b C ．11 24+a b D ．1 2 3 3+ a b 答案 B 9、已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14 OB →， 则OA →与OC → 的夹角大小为 o 60 10、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =， CD =1 3 CA CB λ+，则λ=( ) A ． 23 B ．13 C ．13- D ．23 -选A. 11、如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 B A O N

巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系

巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系 濮阳市华龙区高中张杰 平面向量作为高中数学的解题工具之一，选择恰当基底，确定基底系数的关系，进而用基底表示相关向量往往是能否顺利解决问题的关键，而如何确定平面向量基本定理中基底系数的关系对学生而言通常很难形成有效解决办法，下面通过实例给出一个巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系的办法。 问题：点P是平行四边形ABCD对角线BD上一点，若AD y AB x AP+ =，则系数x,y 满足何种关系是什么？若点P是ABD ?内部一点呢？ 确定办法：将基底转化为正交单位基底，在正交单位基底下x,y的关系即为所求。如图在正交基底下BD对应直线1 = +y x，所以1 = +y x即为所求。若点P在ABD ?内部，则有 ? ? ? ? ? < + < < < < < 1 1 1 y x y x 考题链接：已知点P是ABC ?内一点，且满足()R y x AC y AB x AP∈ + =,，则x y2 -的取值范围是（） A.()1,2- B.()2,1- C.()2,1 D.[]1,2- -解析：因为点P是ABC ?内一点，且满足()R y x AC y AB x AP∈ + =,，∴ ? ? ? ? ? < + < < < < < 1 1 1 y x y x 由线性规划问题的解法可知()1,2 2- ∈ -x y，所以选A. 考题链接：如图，已知四边形OABC是边长为1的正方形，3 = OD，点P为BCD ?内（含边界）的动点，设(,) OP OC OD R αβαβ =+∈ ，则αβ +的最大值等于___. 解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点D C B, ,的坐标分别为：? ? ? ? ? 1, 3 1 ，()1,0，()0,1，

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

平面向量的基本定理

平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

平面向量基本定理说课稿

一、说教材 .教材的地位和作用 （）向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具， 它有着及其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，因此，它有很高的教育价值。 （）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔 的应用空间。 .教学目标 （）知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义,会利用平面向量基本定理解决简单问题;理解记忆直线的向量参数方程式和线段中点的向量表达式. （）过程与方法：通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳总结能力；体验用基底表示平面内任一向量的方法. （）情感态度与价值观：通过本节课的学习培养学生的理性思维能力。 .重点和难点 根据学生的认知规律及教学内容，我认为本节课的 重点是：对平面向量基本定理的探究。 难点是：对平面向量基本定理的理解及其应用 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。此模式的流程为激发兴趣发现问题，提出问题自主探究，解决问题自主练习，科学应用。

采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。 三、说学情分析与学法指导 学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算等；学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速 度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。 学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、 全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。 四、说教学过程设计 为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我把本节课的教学实施分为以下环节来进行： （）创设情景，提出问题 复习回顾平行向量基本定理,强调系数惟一确定,说明用一个向量就可以表示平面内任何一 个与其平行的向量.然后在平面内任意画出一个与其不平行的向量，问能不能只用前一个向 量来表示?学生会说不能.接下来设问:那该如何表示.提出问题同时点题. （）自主探究，解决问题 这一环节，是教学的重点，学生在富有启发性的问题下，自主作图，自主探究，不仅得出了 定理，而且思维也得到了发展。主要采用问题的形式启发学生思考，有层次、有启发性的五 个问题可以进一步使学生的思维走向深入。 ．学生拿出网格,讨论该如何表示. ．利用投影仪让学生观察,在平面内任意画出一个向量还能否用这两个向量来表示?表示成

平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理 【学习目标】 （1）了解平面向量基本定理；理解向量夹角的定义； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【学习重点】平面向量基本定理. 【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程 一、学情分析，课前导入 前面我们学习过了向量的线性运算及共线向量定理。本节我们继续研究向量的其它性质，在学习之前我们来复习一下前面的内容， 二、提出问题，引入新课 师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足什么样的等式？ 生：a＝λb. 师：这就是我们上节课学习的共线向量定理（放幻灯片2） 结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb. (2)引导探究 师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？ (学生讨论) 结论：不成立． 师：也就是说一个向量不能表示另一个与它不共线的向量，两个向量能不能表示出与它们不共线的向量呢？我们来看:（幻灯片3） 师：我平时没事的时候喜欢看一些军事新闻，元旦时我看到这一新闻：新华社(12月31日电），来自中国航天科工集团第四研究院的消息，我们快舟-11固体运载火箭将于2018年上半年首飞，可一次性实现星座的快速构建，大幅提升发射效率和降低运载成本，怎么样，这技术，利害了，我的国！你们看下面的这个图：（幻灯片4） 在物理中速度可以合成，也可以分解。合成即向量的加法，分解也可以推广到向量中来。 师：我们先分析一下向量加法过程 三、任务下达，课堂探究

平面向量基本定理

形如AD x AB y AC =+条件的应用 一、基础知识： 1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+。其中12,e e 称为平面向量的一组基底。 （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量 （2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则11 22λμλμ=??=? 2、“爪”字型图及性质： （1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD x AB y AC =+。则,,B C D 三点共线 ?1x y += 当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧 1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线 上 （2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n =+++ 3、AD x AB y AC =+中,x y 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解 B

平面向量基本定理

一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。 二：重点难点：平面向量基本定理 三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。 （2） 三角形法则的实施步骤： 先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向量。 减法可转化为加法运算。 2：向量的数乘运算：设λ为实数，则 λa 表示与a 的向量。 （1）当λ＞0时，λ与方向 ， = （2）当λ＜0时，λ与方向 ， = （3）当λ=0时，λ= 3：向量共线定理：非零向量与向量共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ： 1：如图，在平面内任取一点O ，作=1e ,=2e ，=, 如何将 a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解） A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？ 3：平面向量基本定理的内容： ； 不共线的向量1e 和2e 称为 。讨论：同一平面的基底是否唯一？ 4：设=，=，则 为和的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00 时， ；当θ=1800时， ；当0，记作 。 讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a 的坐标,记作 . 比如力的分解， 6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成） 变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600 ,试用1e 和2e 表示 提示：将向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和 2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ (2):已知ABCDEF 是正六边形，且=，=,试用，表示 (提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x A y O 1 e 2 e

[精品]新人教版高一数学平面向量基本定理优质课教案

第六教时 教材：平面向量基本定理 目的：要求生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。[§§] 过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。 2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到： 1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量 1 e，2e是不是平面上的所有向量都可以用它们表示？ ——提出课题：平面向量基本定理 三、新授：1．(P105-106) 1 e，2e是不共线向量，a 是平面内任一向量 OA=1e OM=λ11e OC=a =OM+ON=λ11e+ λ2 2 e = 2 e=λ22e 得平面向量基本定理：如果 1 e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ 2使a =λ 11 e+λ22e 注意几个问题：1? 1 e、2e必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2?这个定理也叫共面向量定理 3?λ1，λ2是被a ， 1 e，2e唯一确定的数量 2．例一( P106例三)已知向量 1 e，2e求作向量-251e+32e。 [] 作法：1?取点O，作=-25 1 e =3 2 e 2?作 OAB，即为所求+ 例二、(P106例4)如图 ABD的两条对角线交于点M，且AB=a ， =b ， 用a ，b 表示，，和 解： 在 ∵ =+=a +b[] =-=a -b ∴ =- 2 1=- 2 1( a +b )=- 2 1 a - 2 1 b 1 e 2 e a C M 1 e 2 e O N A B M C M M C a

全国优质课- 平面向量基本定理

《平面向量基本定理》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力． 二、目标和目标解析 1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养． 2．目标解析： 本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．

三、教学问题诊断分析 学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点． 综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明． 四、教学支持条件分析 为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养． 五、教学过程设计 1．创设情境，激发思考 问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题． 之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？ 【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a . 【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．

平面向量基本定理

平面向量基本定理 教材分析： 平面向量基本定理是学习向量的一个非常重要的内容，它是应用平面向量知识解决平面几何问题的一个重要而有效的工具．它可以由数乘向量的几何意义以及向量的矢量的合成与分解导出．同时，平面向量基本定理在几何中又有着及其重要的应用： 一方面，可以利用基本定理将任意一个向量代换成统一的基向量，从而进行几何运算与证明；另一方面，在向量的平面直角坐标系的建立方面更是一个理论基石，有了基本定理才有正交分解，才有单位正交基，才有直角坐标系，从而有了用代数法（坐标法）解决几何问题的可能．最后，从空间来看平面向量基本定理，它实际上又是空间向量共面的一种表达形式，即空间向量共面定理，从而提供了线共面与点共面的又一种证明方法——向量法． 平面向量基本定理还蕴含着数学中常用的两种基本思想：数形结合思想和转换与化归思想，有着广泛的应用空间．所以理解并掌握平面向量基本定理，是学好向量问题的基础，更是利用向量方法解决几何问题的重中之重，我们有必要学好它、掌握它、应用它． 教学目标： 1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义． 2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示．2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题． 教学重难点： 重点：平面向量基本定理的内容的形成过程和平面向量基底的不唯一性；让学生在例题中体会平面向量基本定理的应用价值，以达到自觉想学好基本定理的目的．难点：通过实应用平面向量基本定理证明平面几何中的平行关系，增强学生对平面向量基本定理的应用意识． 教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结． 从学生知识结构出发，先由已学过的数乘向量以及向量的平行四边形法则和三角形法则进行矢量作图，从实际作图中得出概念和结论，即形成性归纳与总结，这是符合学生认知规律的教学．用旧知识生成新知识，这是一个知识的再生与创造的过程，教学过程中让学生动

平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量基本定理 教学目标 1．了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点) 2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点) 3．两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点) [基础·初探] 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题． 1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．() (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．() (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.() 解：(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．

(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示． (3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 两向量的夹角与垂直 阅读教材P 94第六行以下至例1内容，完成下列问题． 1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图2－3－1所示)． 图2－3－1 (1)范围：向量a 与b 的夹角的范围是0°≤θ≤180°． (2)当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 2．垂直：如果a 与b 的夹角是90°， 我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 如图2－3－2，在△ABC 中，AC →，AB →的夹角与CA →，AB →的夹角的关系为________． 图2－3－2 解：根据向量夹角定义可知向量AB →，AC →夹角为∠BAC ，而向量

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示 一．知识点总结 1.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作 为这一平面内所有向量的一组基底） （1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组； （2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同； （3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。 2.向量的坐标表示与坐标运算: (1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标 (2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 (3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 (4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。 (5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x . 二．练习 1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。

2017优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案

《平面向量基本定理》教案 参赛号：70 一、教材分析 本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。 二、教学目标 知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量. 过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力. 情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。 教学重点：平面向量基本定理的探究； 教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程. 三、教学过程 1、情景创设 七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢 问题1 给定一个非零向量a r ，允许做线性运算，你能写出多少个向量 a r a r 问题2 给定两个非零向量12 ,e e u r u u r ，允许做线性运算，写出尽量多的向量

1、12 //e e u r u u r 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλu r u u r u r u u r 的形式，本质上它们表示的都是1e u r 的数乘。 2、12 e e u r u u r ，不共线 通过线性运算会得到1122+e e λλu r u u r ，它表示的是什么向量 1e 2e 不妨我们作出几个向量12+e e u r u u r ，122+e e u r u u r ， 12-e e u r u u r ， 12-2e e u r u u r 来看看。只要 给定1λ和2λ的值，我们就可以作出向量1122+e e λλu r u u r ，本质上是1e u r 的数乘和2e u u r 的数乘的合成。随着1λ和2λ取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。 问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由1e u r 和2e u u r 来合成呢 我们在平面上任取一个向量a r ，看看它能否由1e u r 和2e u u r 来合成，也就是能否找 到这样的1e u r 和2e u u r ，使1122+a e e λλ=r u r u u r 这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量1e u r 和2e u u r ，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示 思考探究： 根据探寻的目标1122+a e e λλ=r u r u u r ，结合上面向量合成的做法，显然a r 就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是1e u r 和2e u u r 所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。 1e 2e a ρ 如图所示，在平面内任取点O ，作=OA 1e ,=OB 2e ,=OC . 作平行四边形 ONCM. 则ON OM OC +=.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1λ，使

高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

衡阳市数学学会 高三数学复习微专题之 《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》 衡东一中朱亚旸 一、问题的提出 平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题． 二、等和线定理 平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和 线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1； （2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)； （3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈ (1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0； （5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数； （6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比； ? x y ? 简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ? OA + OB? = λOD ， λ λ ? ? 从而有x + y = 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ 点 C'，连接 OC'? AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ . 三、定理运用 （一）基底起点相同 例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD 中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相 切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（） A .3 B .22 C . 5 D .2 【分析】 如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l

耿熹-平面向量基本定理

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2018年高中青年数学教师优秀课展示与培训活动参赛作品 《平面向量基本定理》教学设计 耿熹 （福州第三中学福建福州350003） 一、内容和内容解析 1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力． 二、目标和目标解析 1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养． 2．目标解析： 本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原

有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用． 三、教学问题诊断分析 学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点． 综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明． 四、教学支持条件分析 为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养． 五、教学过程设计 1．创设情境，激发思考 问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题． 之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a与向量b共线，我们可以如何表示向量b？