教师 几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 - 副本

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

［目标］

1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 重点、难点：

1. 矩形、菱形性质的综合应用。特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点： 1. 矩形

（1）矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 （2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角 （3）矩形性质的应用

①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；

③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式： 宽长矩形?=S

（4）矩形的判定条件

①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 注意：

1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。）

3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别 2. 菱形

（1）菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 （2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等

②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角 （3）菱形性质的应用

由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

两条对角线的乘积菱形 S 的一半

思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？ （4）菱形的判定条件

①四边都相等的四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：

【典型例题】

例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆

分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A 、B 、D ，只选C 了

解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C 。

例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。

分析：关键在于证明四边形EGFH 为平行四边形，由中心对称图形性质易得OH ＝OG ，OE ＝OF 。

证明：O 是□ABCD 的对称中心，GH 经过O 点与BC 交于G ，与AD 交于H ∴G 、H 是以O 点为对称中心的对称点 ∴OG ＝OH

同理：OE ＝OF ，∴四边形EGFH 为平行四边形 又∵EF ⊥GH

∴四边形EGFH 为菱形

例3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的高，∠CAB 的平分线交CD 于E ，交CB 于F ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，连GE 。试说明四边形CEGF 为菱形。

A

B

C

F

D G

E

解：如图，∵AF 平分∠CAB ，CF ⊥AC ， FG ⊥AB ， ∴CF=GF ，∠CFA=∠GFA ， 又∵DE ∥FG ∴∠AFG=∠CEF

∴∠CEF=∠CFE ，则CE=CF ， ∴CE=FG ，

∴四边形ECFG 为平行四边形， 又CF=FG ，

∴四边形CEGF 为菱形

例4. 如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， ∠B=∠EAF=60°。说明∠

CEF=∠BAE 。

解：连结AC ，四边形ABCD 是菱形（已知），

∴AB=BC=CD=AD ， ∠D=∠B=60°（菱形的四边相等、对角相等）

∴△ABC与△CDA为等边三角形，

则AB=AC，∠ACF=∠BAC=∠B=60°

又∠EAF=60°，∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF

∴AE=AF。而∠EAF=60°∴则△EAF为等边三角形；

∴∠AEF=60°，又∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF=∠BAE

例5. 菱形以特殊的对称美而受人们的喜爱，在生产生活中有其广泛的应用。张伟同学家里有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备装修，现有如图（甲）所示的型号瓷砖，其形状是一块长30cm，宽20cm的长方形，点E，F，G，H分别是边BC、CD、DA，AB的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色。试问：

（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？

（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有多少个？

A G

(甲)

分析：通过拼图，运用由特殊到一般以及分类讨论的数学思想，解决图形的组合问题。例如，（1）墙面上有多少个淡蓝色菱形？先根据每相邻4块、6块、9块瓷砖可分别构成1、2、4个淡蓝色菱形，再确定当每行有14块、每列14块瓷砖时，可构成淡蓝色菱形的个数为13×13=169（个）；（2）白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块解：（1）因为墙壁总面积为4.2×2.8=11.76m2；每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06m2，则最少需要这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）

（2）如下图（1），4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，即（2－1）×（2－1）=1；如图（2），6块瓷砖构成2个淡蓝色菱形，（3－1）×（2－1）=2；如图（3），9块瓷砖构成4个淡蓝色菱形，（3－1）×（3－1）=4。所以在长4.2m，宽2.8m的墙壁上铺长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖每行需14块，每列需14块，可构成淡蓝色菱形的个数为（14－1）×（14－1）个，共有13×13=169（个），同时，白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块，故面积相等的菱形共有169+196=365（个）

(1) (2)

(3)

答：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖196块；（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现365个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有169个。

例6. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE= 15°，求∠BOE的度数

分析：先推出△ABE 为等腰直角三角形，再说明AB=OB=BE ，则∠BOE=75° 解：在矩形ABCD 中，∠DAB=∠ABE=90° ∵AE 平分∠BAD

∴∠EAB=

2

1

∠DAB=45°，而∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=45° ∴△ABE 为等腰直角三角形 ∴AB =BE 在直角三角形ABC 中，OB=

2

1

AC=AO ∵AO=BO ，∠OAB=∠EAB +∠CAE =45°+15°=60° ∴AB=OB=BE

而∠OBE=∠ABE-∠ABO=30°

∴在等腰三角形BOE 中，∠BOE=75°

例7. （1）菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形一边上的高等于这边的一半，则菱形与三角形的面积之比为（ ）

A. 1︰2

B. 1︰1.5

C. 1︰1

D. 3︰4

（2）如图，在矩形ABCD 中， 点E 、F 分别在边AB 、CD 上， BF ∥DE 若AD=12cm ， AB=7cm ，且AE ︰EB=5︰2。则阴影部分EBFD 的面积为 cm 2

（1）分析：此菱形的面积等于边长平方的一半，与等腰直角三角形面积相等 解：选C

（2）分析：先说明四边形BEDF 是平行四边形，从而EB=2 解：阴影部分面积为BE ×AD=2×12=24

例8. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E 。试说明AC=CE 。

解：过A 作AF ⊥BD 于点F ，

∵GE ⊥BD

∴AF ∥CE （两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行）， ∴∠FAE=∠AEC （两直线平行，内错角相等），

在Rt △ABD 中，∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠BAF=∠ADB

又∵四边形ABCD 是矩形，

∴OA=OD ，∴∠BDA=∠CAD ，∴∠BAF=∠DAC 而AE 平分∠BAD ，∴则∠BAE=∠DAE ，

∴∠BAE －∠BAF=∠DAE －∠DAC 即∠FAE=∠CAE ， ∴∠CAE=∠CEA ，故CA=CE

例9. 如图，在矩形ABCD 中， AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：

（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC 的面积；并提出一个与计算结果有关的结论。

解：（1） ∵AP=2 t ，DQ= t ，则QA=6－t 只有当QA=AP 时△QAP 为等腰三角形， 从而6－t=2t 解得：t=2（秒），

∴当t=2秒时，△QAP 为等腰三角形；

（2） 在△QAP 中，QA=6－t ，QA 边上的高DC=12，

则S △QAC =21QA ·DC=2

1

（6－t ） ·12=36－6t ， 在△APC 中，AP=t ，BC=6，

则S △APC =21AP · BC=2

1

· 2t · 6=6t ，

∴S △QAC ＋S △APC =（36－6t ）＋6t=36（厘米2）

由计算结果发现：当P 、Q 两点在移动的过程中， 四边形QAPC 的面积始终保持不变。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

A. 矩形

B. 三角形

C. 梯形

D. 菱形

2. 如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）

3. 已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别添加下列条件： （1）∠ABC=90°；（2）AC ⊥BC ；（3）AB=BC ；（4）AC 平分∠BAD ；（5）AO=DO ， 使得四边形ABCD 是矩形的条件的序号有

4. 在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的面积为______

5. 四边形ABCD 为菱形，且∠A=60°，BD=8cm ，则此菱形的周长为 cm

6. 若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形较短的对角线长为

7. 如图，小华剪了两条宽度相同的纸条，交叉叠放在一起，则它们重叠部分的形状为___________。

8. 矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直BD 于E ，若∠DAE=3∠BAE ，则∠EAC=

9. 如图，矩形的周长为2 ，一边中点与对边两顶点连线所夹角为直角，则矩形各边的长分别为________

10. 下列说法错误的是（ ）

A. 任何一个具有对称中心的四边形是平行四边形；

B. 平行四边形即是轴对称图形又是中心对称图形；

C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；

D. 正三角形、矩形、菱形都是轴对称图形，且对称轴都不只一条 11. 矩形具有的平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等

12. 矩形两条对角线的交点到小边距离比到大边的距离多4，若矩形的周长为56，则矩形的两邻边的长为（ ）

A. 19和9

B. 10和8

C. 16和12

D. 18和10

13. 如图，设等边△AEF 与菱形ABCD 有一公共顶点A ， 且边长相等， 三角形另两角的顶点E 和F 分别在菱形的边BC 和CD 上。求∠BAD 的度数

14. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，DF ∥AB ，交BC 于F 。试说明 BD ⊥EF

F

E D

C

B

A

15. 如图，已知M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD 、BC 的中点， 且AD=2AB ， AN 、BM 交于点P ，DN 、CM 交于Q 。试说明四边形PMQN 为矩形

16. 已知菱形ABCD 中（如图），∠A ＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数；不要求写出画法，不要求说明理由（注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法））

试题答案

1. D （点拨：因为四边都相等（或对角线互相垂直平分）的四边形是菱形）

2. S 1=S 2（点拨：图中有五个矩形，根据矩形的一条对角线将其分成两个面积相等的直角三角形，则S △ABD = S △BCD ，S △PDK = S △DNK ，S △BMK = S △BQK ，而S 1= S △ABD －S △PDK －S △BMK ，S 2= S △BCD －S △DNK － S △BQK ，所以S 1=S 2）

3. （1） （5）（点拨：有一个角是直角（或对角线相等）的平行四边形是矩形）

4. 24（点拨：菱形的面积等于两对角线乘积的一半）

5. 32（点拨：△ABD 是等边三角形，则AB=BD=8㎝，菱形的周长为32㎝）

6. 4（点拨：由菱形的周长为16可知AB=4，△ABC 是等边三角形，AC=AB=4）

7. 菱形（点拨：由图形知，重叠部分的四边相等）

8. 45°（点拨：因为四边形ABCD 是矩形，则OA=OD ，∠ADO=∠BAE=22.5°，从而∠EAC=90°－2×22.5°=45°） 9.

31、32、31、3

2

（点拨：图中的三个三角形都是等腰直角三角形） 10. B （点拨：平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形的对称轴有两条） 11. D （点拨：平行四边形的对角线互相平分但不一定相等）

12. D （点拨：设矩形对角线的交点到大边的距离等于x ，到小边的距离等于x+4，矩形的长和宽分别为：2（x+4）、2x ，则4（x+x+4）=56，x=5） 13. 100°（点拨：设∠BAE=x ，由AE=AB 得∠ABE=2

1

（180°－x ）。根据∠DAB+∠ABC=

180°得2x ＋60°＋

2

1

（180°－x ）=180°， x=20°， ∠BAD=100°） 14. 先推出EB=ED ，再说明四边形BFDE 是菱形，EF ⊥BD

15. 连MN ，由DM ∥BN ，DM=BN ，得到四边形DMBN 为平行四边形，则PM ∥NQ ；同理可得PN ∥MQ 。所以四边形PNQM 为平行四边形AM=MD=MN ，∠AND=90°，故PNQM 为矩形

16. 画法如图所示：

［课外阅读］

用纸折黄金矩形

长宽之比约为1.6的矩形称为黄金矩形。它看上去协调、匀称、舒适，在建筑、美术造型等方面有许多这样的矩形。你能用纸折出这样的矩形吗？请按以下的步骤折叠：

找一张矩形的纸，它的长宽之比要大于1.6，不妨用四边形ABCD 代表它。 （1）把纸片折一个角，使DA 边落在DC 上折痕为DE （如图（1））； （2）过点E 将ABCD 对折，得到正方形ADFE （如图（2））；

（3）将正方形ADFE 对折，使AD 与EF 重合，得到折痕GH （如图（3））； （4）使HC 过点E ，把矩形HCBG 再折一次（如图（4）），HC 上与点E 重合的点记为J ；

（5）过I 、J 点对折矩形，得到折痕IJ （如图（5））；

（6）沿I 、J 剪开，所得矩形AIJD 就是一个黄金矩形（如图（6）） 图(1)

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

D

图(6)

A I

J

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特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 ［目标］ 1. 理解矩形、菱形的定义与性质。 2. 掌握矩形、菱形的判定方法。 二. 重点、难点： 1. 矩形、菱形性质的综合应用。特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。 2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。 三. 知识要点： 1. 矩形 （1）矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 （2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角 （3）矩形性质的应用 ①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形； ③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式： 宽长矩形?=S （4）矩形的判定条件 ①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 注意： 1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。 2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。）

3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。 4）矩形的判定与性质的区别 2. 菱形 （1）菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 （2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等 ②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角 （3）菱形性质的应用 由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。 两条对角线的乘积菱形 S 的一半 思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？ （4）菱形的判定条件 ①四边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图： 【典型例题】 例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆 分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A 、B 、D ，只选C 了 解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C 。 例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。

矩形菱形正方形练习题及答案

1.矩形ABCD对角线是10cm，那么矩形的周长最大是_______，此时两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 2.如图矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_ 3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___ 4.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC 延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形； 5.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 6、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。求证：DE=DF 7、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______． 8．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为__。 9、菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。 10、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。 11、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形； 12、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。 13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

初中平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结(精)

平行四边形、矩形、菱形、 正方形知识点总结 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形 的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图 形 性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分互相平分且相等 互相垂直平分，且每条 对角线平分一组对角 互相垂直平分且相 等,每条对角线平分 一组对角 对称 性 只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 ah = S ab = S212 1 S d d =（注：d1,d2 为菱形两条对角线的 长度。） 2 S a =

2. 判定方法小结：(1) 平行四边形： ①两组对边分别平行的四边形是平行 四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行 四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行 四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四 边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形。 (2)矩形：有一个角是直角的平行四边形叫 做矩形。 ①有一个角是直角的平行四边形是矩 形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是 矩形。 (3) 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形. ①有一组邻边相等的平行四边形是菱 形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱 形； ③四边都相等的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱 形 (4) 正方形：有一组邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形。 ①有一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边 形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； ⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边 形是正方形。

矩形菱形正方形及其性质判定

矩形、菱形、正方形及其性质、判定 第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的 中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分） （2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分） 答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点 ∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB A C AE CF =?? ∠=∠??=? (SAS)AED CFB ∴ △≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 证明：AD BD ⊥ ， ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ） E 是AB 的中点， 1 2 D E A B B E ∴= =． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形． 第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过 点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形， AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ． ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠． 12∴∠=∠． 在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠?? =??∠=∠? ， ，， A D E C D F ∴ △≌△．DE DF ∴=． A B C D E F A E B C F D 1 2 3

矩形菱形正方形练习题.docx

矩形 A 组题 1 、⑴矩形ABCD中， AC与BD相交于点O，如果AC=8㎝，那么BD=________ ， OB=________ ； ⑵有三个角是直角的四边形是________________ ；对角线___________的平行四边形是矩 形； 2 、如图，平行四边形ABCD 中，∠ BAD=90 °，对角线AC 、BD 相交于点O，则∠ ___= ∠_______=∠ _______=_________=90 ° ,△ ABC 与三角形 __________ 重叠（只需写出一个）。 所以AC=___________ ，既矩形的四角都是_________ ，矩形的对角线____________ 。 A D O B C 3 、已知：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，且 AC=BD ，则四边形 ABCD 是__________,理由是 ________________________ ；OA=OB=OC ，由此可以得出直角三角形 斜边上的中线等于 ____________________. 4、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） . A 对角线相等B对边相等 C 对角相等 D 对角 线互相平分 5、下面说法中正确的是（）（可能有多个答案） . A有一个角是直角的四边形是矩形. B 两条对角线相等的四边形是矩形. C两条对角线互相垂直的四边形是矩形.D四个角都是直角的四边形是矩形. E 对角线互相平分且相等 F 对角线垂直且相等 6、已知平行四边形 ABCD 中对角线 AC ，BD 相交于 o，△ AOB 是等边三角形，求∠ BAD 的度 数。 解：∵△ AOB是等边三角形（∵四边形ABCD 是平行四边形（∴AC=_____ （ ∴平行四边形ABCD 是矩形（∴∠ BAD ＝ 90°（ ），∴ OA=_____=_____ （ ），∴ AC=2OA,BD=2BO ）， （ ） ） ） ） 7、下列各判定矩形的说法是否正确？为什么？ （ 1）对角线相等的四边形是矩形 （ 2）对角线互相平分且相等的四边形是矩 形（ 3）有一个角是直角的四边形是矩形 （ 4）有四个角是直角的四边形是矩 形（ 5）四个角都相等的四边是矩形 （ 6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形 （ 7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（ 8）对角线相等且互垂直的四边形的矩形 8、某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案。要求设计的图案由圆和正方形组成(圆

平行四边形、矩形、菱形-正方形练习题

/ 平行四边形、矩形、菱形、正方形 1．已知：如图，在?ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE． 2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由． ` 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE． "4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证： （1）AE＝AB； （2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE． / 5．如图，在?ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD． 求证：四边形AECF是平行四边形． ,

6．在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． } 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF， （1）求证：AE＝CE； （2）求证：四边形ABDF是平行四边形； ； （3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°， 则四边形ABCF 的面积为．8．如图，在?ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 为平行四边形． ~ 9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE． 求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE． ~

矩形、正方形的性质和判定(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？ 问题3：矩形的判定定理是什么？ 问题4：正方形的判定定理是什么？ 矩形、正方形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等 C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形 BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )

最新平行四边形-矩形-菱形试题

平行四边形、菱形、矩形辅导练习题时间：60分钟 满分：100分一、复习平行四边形、矩形、菱形、有关的性质和判定方法。 （一）选择题（40分，每题5分） 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平 分 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分 且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是 直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有 一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（） A、3 个 B、4个 C、5个 D、6个 3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、对边平行且相等 B、对角线互相平分 C、内角和等于外角和 D、每一条对角线所在直线都是它的对 称轴 4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( ) A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边 形 C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边 形 5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( ) A、AB=CD B、AC=BD C、当AC⊥BD时，它是菱形 D、当∠ABC=90°时， 它是矩形 6、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的 周长为（） A、6 B、5.8 C、2（1+ 3 ） D、5.2 7、如图，菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（） A、4和2 B、1和2 3 C、2和2 3 D、2和 3 8、如图，矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE 的形状最准确的判断是（） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形 第8题 （二）填空题（35分，每题5分） 9、已知一个菱形的面积为8 3 ㎝2，且两条对角线的比为1∶ 3 ，则菱形短的 对角线长为_________。 10、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为 ____________________。

矩形、正方形和菱形的判定方法

,、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考 点。 二、教学目标： 1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固练习 例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上 一动点?（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置. 【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13. 例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变?不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下： D 第28题图

连接BP,延长DP交EF于Q. （1）：四边形ABCD是正方形 ??? CB=CD∠ BCP∠ DCP=45 ???△ BCP^△DCP ??? PD=PB 又???PEIAB PF⊥ BC， ???∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形

???PB=EF,??? PD=EF (2)：PEIAB PF⊥ BC ???△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形 ??? AE=PE,CF=PF ???矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值) (3)：PF// CD ???∠ FPQ∠ PDC ???△ BCP^△ DCP ?∠PDC∠ PBF ???四边形PEBF是矩形,?∠PBF=/ PEF ?∠PEF=Z FPQ 又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ?∠ FPQ∠ PFE=90 ?∠PQF=90 ,??? PDL EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形 ?可证△ PEF^△ RDF ?∠PEF=Z PDR 又τ∠ DPR∠ EPQ 而∠ PDR∠ DPR=90 ,?∠ PEF+∠ EPQ=90 ?∠EQP=90°,??? PD L EF. 课堂练习1如图1,在边长为5的正方形 ABCD 中，点E、F分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE — EF, BE =2 (1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； (2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由? 梯形 图1 图2

(精典整理)平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

O A 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结 一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形 一般 性质 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 面积 二. 判断（识别）方法小结： (1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面） ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ） ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（ ⊕对角线互相平分对角线 =）

(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕Y 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥Y 对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边） ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=Y 对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线） ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似） 三、其他性质： 1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的 （1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。 ?推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的 线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。

矩形菱形与正方形测试题及答案

第19章 矩形、菱形与正方形测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。 （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ） A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ） A.S 1 > S 2 B.S 1 = S 2 C.S 1

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 一、判定定理 二、平行四边形的判定 例1：（定义）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形．线段AD 和BC 的长度有什么关系？ 例2：（一组对边平行且相等）已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF ＝CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形． 练习：如图, □ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E,AF=CG, 100=∠DGE ． (1)试说明DF=BG; (2)试求AFD ∠的度数． A B C D F E G

例3：（两组对边分别相等）已知如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD E F ==，，、是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：BE DF =． 练习：（1）、在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的三等分点。求证：四边形AFCE 是平行四边形。 （2）已知，如图所示，在□ABCD 中，BN DM =，BE DF =．求证：四边形MENF 是平行四边形． 例4：（对角线互相平分）如图所示，□ABCD 中，AC BD 、相交于点O E F ，、在对角线BD 上，且BE DF =．试说明四边形AECF 的形状． 三、平行四边形判定综合 1、如图，在□ABCD 中，E F G H 、、、各点分别在AB BC CD DA 、、、上，且A E B F C G D ===，请说明：EG 与FH 互相平分． A E F B C D A E B C F D O Ｎ Ａ Ｍ Ｆ Ｃ Ｂ Ｅ Ｄ Ａ Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ Ｈ Ｇ

平行四边形、菱形、矩形

A B C D E O H G F E D C B A 平行四边形、菱形、矩形 一、知识点回顾 二、特殊平行四边形与角平分线 角平分线 例1. 如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，DE 平分∠ADC，∠AOB＝60°， 则∠COE＝ ． 练习1. □ABCD 中，AE 、CF 、BF 、DE 分别为四个内角平分线，求证：EGFH 是矩形.

ADE CBF △≌△ 练习2. 如图，∠BAC=90 o ，BF 平分∠ABC 交AC 于F ，EF ⊥BC 于E ，AD ⊥BC 于D ，交BF 于G ．求证：四边形AGEF 为菱形． 三、特殊平行四边形的判定 例2.如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO=FO ； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论． 练习3.如图，在ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连接E 、BF 、BD ． （1）求证： （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊 四边形？请证明你的结论． 四、中点四边形 如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BD ， BC ，AC 的中点。 （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； A B C E F M N O (第19题图） A B C D E F G

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。

非常重要平行四边形矩形菱形正方形的判定练习题

一次函数与反比例函数综合题 一、选择题 1. 已知函数1 y x =的图象如图所示，当1x -≥时， y 的取值范围是（ ） A. 1y <- B. 1y -≤ C. 1y -≤或0y > D. 1y -<或0y ≥ 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC=3，点P 从起点B 出发， 沿BC 、CD 逆时针方向向终点D 匀速运动.设点P 所走过 路程为x ，则线段AP 、AD 与矩形的边所围成的图形面积为y ， 则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是（ ） 3. 反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 4. 直线y = x + 3与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（0，3） B ．（0，1） C ．（3，0） D ．（1，0） 5. 已知函数5 2)1(-+=m x m y 是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是 （ ） A. 2 B. -2 C.±2 D. 2 1 - 6. 如图，已知双曲线(0)k y k x =<经过直角三角形OAB 斜边 OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 7. 如图，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ， 分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，小球从点A 运动到点B ，速度v （米/秒）和时间t （秒）的函数关系式是v ＝2t ．如果小球运动到点B 时的速度为6米/秒，小球从点A 到点B 的时间是（ ）． A .1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒

(完整版)矩形、菱形、正方形经典难题复习巩固(教案)

DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲 矩形、菱形、正方形 一、 导入 老先生与服务生 老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?” 大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。 二、 知识点回顾 矩形、菱形、正方形 1.性质： （1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线 平分一组对角．③具有平行四边形所有性质． （3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直 平分，每条对角线平分一组对角． 2．判定： （1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的 平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． （2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形． （3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等 的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算： （1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：121 2 S l l =?（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长2

八年级数学平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 平行四边形： 性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分； 判定： ①定义：两组对边分别平行的四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形 矩形： 性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等；判定： ①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等菱形： 性质： ①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④面积：则S菱形=底×高=ah；或者S菱形= 1 2 ab（对 角线乘积的一半）． 判定： ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 正方形： 性质： ①边：四条边都相等； ②角：四角相等； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 判定： ①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形； ③对角线互相垂直的矩形． ④有一个角是直角的菱形 ⑤对角线相等的菱形； 几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD的四条相等． （3）识别正方形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．

矩形菱形正方形练习题综合测

矩形菱形正方形练习题 一、选择题 1、下列说法不正确的是（） （A）一组邻边相等的矩形是正方形（B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形（D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 2、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则 BD：AC等于（）． （A） 2 （B）1（C）1：2 （D 1 3、矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（） （A）6 cm和9 cm （B）5 cm和10 cm （C）4 cm和11 cm （D）7 cm和8 cm 4、如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）（A）DE=AE （B）BD=CE （C） ∠EAC（D）E = 90 ∠2 = ABC∠ 5、菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为（） （A）6 （B）12 （C）18 （D）24 6、矩形长是8cm，宽是6cm，和它面积相等的正方形的对角线的长是（） （A）4 cm （B）43 cm （C）8 cm (D)82 cm 7、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（） A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF 二、填空题 9、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________． 10、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是． 11、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂线GH交于G，交CD于H，若AM ＝10cm，则GH＝________。 12、正方形的边长a，则顺次连结四边中点 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为________。 13、已知：如图，菱形ABCD中， AC=16cm,BD=12cm,菱形的高为________.

八年级矩形菱形正方形知识点及

平行四边形的性质： 1、对边相等且平行 2、对角相等 3、对角线互相平分 平行四边形的判定： 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、两组对角相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形的性质： 1、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 2、矩形的四个内角都是直角. 3、矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的识别方法： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2、对角线相等的平行四边形是矩形. 3、有三个角是直角的四边形是矩形. 菱形的概念：四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的特征: 1、菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有特征. 2、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形. 3、菱形的四条边都相等. 4、菱形的两条对角线互相垂直平分，并且分别平分每一组对角. 菱形的识别: 1、四条边都相等的四边形是菱形. 2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形的性质： 1、对边平行，４边相等. 2、４个角都是直角. 3、对角线相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角. 4、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 正方形的识别： 1、有一组邻边相等的矩形是正方形. 矩形菱形正方形同步测试

一、填空 1. 菱形的两个邻角之比为2：3，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________. 2. 正方形ABCD 中，对角线BD 的长为20cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距 离之和是_______________-. 3. 如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE:∠ECB=3：1，那么∠AEC=_________. 4.矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线的长为_______. 5.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，BF ∥DE ，若AD=12cm,AB=7cm ，AE:EB=5:2,则阴影部分的面积为________cm 2 . 6.如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AECF ，则∠FAB=____________. 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的度数是_______________. 8.已知如图菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为_____ 9.已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=60°，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=32,那么AP 的长为_______. 10.在四边形ABCD 中，给出四个条件：（1）AB=CD(2)AD ∥BC （3）AC ⊥BD(4)AC 平分 ∠BAD ，由其中三个条件可以推出四边形ABCD 为菱形你认为这三个条件是___________. 二、选择 11.在矩形ABCD 中AD 与BD 相交于点O ，作AP ⊥BD ，垂足为P,若PD=3PB,则∠AOB 的度数是 C B E O 第3题图 D C A B F 第5题图 C B E F 第6题图 O D C A E 第7题图 F D C A B E 第8题图 F D E C 第12题图

平行四边形菱形矩形正方形证明题(能力提升题)

已知：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。 已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点，求：EF的长。 已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD _B_C

平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。 如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60?，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。 如图，在矩形A B C D 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且 ,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． _ A _ B

已知，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，E 是垂足， ∠DAE ∶∠EAB=2∶1，求∠CAE 的度数。 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。 如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的中点，（1）求证四边形BDEF 是菱形。（2）若AB=12cm ，求菱形BDEF 的周长？ 如图：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DE ∥AC 交AB 于E ， DF ∥AB 交AC 于F ，求证：DE+DF=AC 矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED=1∶3，求证：AC=2AB

矩形、菱形、正方形单元试题(有答案)

华师大版八年级下册第１９章矩形菱形正方形单元复习题 一、选择题（４分×１２＝４８分） １、下列图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（Ｄ） A．等边三角形B．矩形C．菱形D．平行四边形 ２、下列命题正确的是（Ｄ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 ３、矩形，菱形，正方形都具有的性质是（Ｃ） A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 ４、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（Ｄ） A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形 ５、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（Ｂ） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm ６、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（Ｃ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1

７、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8， AB=4，则DE的长为（Ｃ） A．3 B．4 C．5 D．6 ８、平行四边形ABCD中，AB≠BC，其四个内角的角平分线所围成的四边形一定是（Ｄ）A．有一个角为30°的平行四边形 B．有一个角为45°的平行四边形 C．有一个角为60°的平行四边形 D．矩形 ９、（2015辽宁省朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时， 则点B′到BC的距离为（Ａ） A．1或2 B． 2或3C． 3或4D． 4或5 １０、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（Ｃ） A．28°B．52°C．62°D．72°