如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.

在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.

由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.

柯西不等式∑∑∑===≥n

i i i n

i i

n

i i

b a b

a 1

21

2

1

2

)(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”

问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

∑∑∑===≥n

i i i n

i i

n i i b a b

a 1

21

2

1

2)(有一个推广形式：

n n q

q

n q q p

p

n p p b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 2211121121)()(.

其中111=+q

p .该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2==q p 时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.

此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式

∑∑∑===+≥

+

n

i i i

n

i i

n

i i

y x

y

x

1

21

21

2)(

（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.

这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢

1．首先熟悉“∑”的含义

有很多同学十分“痛恨” ∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.∑i A 下方写1i =，上方写n ，这里i 是下标变量，1是i 起始的值，n 是i 终止的值，这

时121

n

i n i A A A A ==++

+∑.

2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解

对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：

设()12,,,n a a a α=，()12,,n b b b β=，由αβαβ≥?，可得

22

21

1

1

()n

n

n

i i

i i i i i a b

a b ===≥∑∑∑ .

3．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想

20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（ Neumann ）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：

例1 设,,a b c 为正数，求证：222

a b c a b c b c a

++≥++.

分析：如果要运用cauchy 不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以a b c ++，即

222

2()()()a b c a b c a b c b c a

++++≥++，

而另一边要看成“方和积”，只需变形

2

2

2

a b c ++=

++，222222a b c

b c a ++=++，

应用柯西不等式，得

2222222)(])()()][()()()[(c

b c b

a b a

c a c

b b

a a

c c b a ?

+?+?

≥++++

即222

a b c a b c b c a

++≥++.

4．含有常数的不等式处理方法

在不等式中含有常数n ，这个常数一般与cauchy 不等式中向量的维数有关，通常把n 写成22221111++++的形式或111+++的形式,又如：

例2 证明：()()2

333366664a b c d a b c d +++≤+++.

分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“22221111+++”，用柯西不等式：

()()()2

3333222266661111a b c d a b c d +++≤++++++即可.

例3 设λ是实数，对任意实数,,x y z 恒有

()()2

222444x y z x y z λ++≤++成立，试求λ的取值范围．

分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方

和积”即可，由于()()()2

222222444111x y z x y z ++≤++++，

所以，3λ≥.

例4 求三个实数,,x y z ，使得它们同时满足下列方程

222

2313

49215382

x y z x y z x y z ++=??++-++=?. 分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得()()()222

2332108x y z ++++=． 由第1个方程变形，得()()233218x y z ++++=． 于是由柯西不等式，得

()()()2

2181213312x y z =?+?++?+????

()()()()222

2221112332x y z ??≤++++++??

218=.

从而由等号成立的条件可得23326x y z =+=+=， 故原方程的解为3,1,4x y z ===．

提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy 不等式等号成立的条件.

5．在应用cauchy 不等式求最值时，要善于构造

例5 （2001年全国初中联赛题） 求实数x 、y 的值，使得

()()()222

1326y x y x y -++-++-达到最小值．

分析：就需要把()()()222

1326y x y x y -++-++-看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子26x y +-对应的坐标为1，考虑3x y +-乘以2-就可以把x 抵消，因此2-就是3x y +-对应坐标，最后看

()()()12623x y x y y ?+-+-?+-=-,

因此1y -对应的坐标为1，从而就有cauchy 不等式：

()()()()2222221211326y x y x y ????+-+-++-++-????

()()()()2

1123126y x y x y ≥?-+-+-+?+-????． ∴()()()2

2

2

1326y x y x y -++-++-6

1

≥

. 例 6 若56741a b c d +-+=,求2222325a b c d +++的最小值,并指出等号成立的条件.

分析：由于,,,a b c d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求2222325a b c d +++的最小值，一定要把2222325a b c d +++看成“方和积”的一部分，而条件5674a b c d +-+是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.

6.知识小结

1．二维形式的柯西不等式：若d c b a ,,,都是实数，则

()()()2

2222

bd ac d c b a

+≥++，

当且仅当bc ad =时，等号成立.

2．柯西不等式的向量形式：设βα,是两个向量，则βαβα≤?，当且仅当

β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立.

3．二维形式的三角不等式：设R y x y x ∈2211,,,，则

()()2

212

21

22222121y y x x y x y x -+-≥

+++. 4.三维形式的柯西不等式：设321321,,,,,b b b a a a 是实数，则

()()()2

3

3

2

2

1

1

2

3

22

2

1

23

22

2

1

b

a b a b

a b

b b

a

a a

++≥++++

当且仅当)3,2,1(0==i b i 或存在一个数k ，使得()3,2,1==i kb a i i 时等号成立.

5.一般形式的柯西不等式：

设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 是实数，则

()()

222212222

1

n n b b b a a a

++++++ ()2

2211n n b a b a b a +++≥ .

当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得()n i kb a i i ,,2,1 ==时等号成立.

7.应用举例

例1 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x .

证明：由柯西不等式得

()

()()

???

???????? ??+???? ???????

?+≤+222

2

2

2132232y x y x ()11611621342322=?≤??? ??++=y x 所以112≤+y x .

例2 设d c b a ,,,是4个不全为零的实数，求证：

2

1

222

222+≤+++++d c b a cd bc ab . 证明：ad)(bc ad)(bc cd)(ab cd 2bc ab ++-++=++

()()[](

)()22222

2

d c a b ad bc cd ab 2+++-++≤()()()()

22222222d c b a d b c a 2+++++≤

()()()()

2

d c b a 2d b c a

222222222

++++

+++?

≤

()2222

d c b a 212++++= 所以

2

1

222

222+≤+++++d c b a cd bc ab . 例3 若243=+y x ，试求22y x +的最小值及最小值点. 解：由柯西不等式得()()()2

22224343y x y x +≥++，

得()4252

2

≥+y x ，所以25

42

2≥+y x .

当且仅当4

3y

x =时等号成立，

为求最小值点，需解方程组?????==+4

3243y x y x ∴??

??

?

==258256y x

即当258,256==

y x 时，22y x +的最小值为254，最小值点为??

? ??258,256. 例4 已知+∈R b a ,且,1=+b a 求证：()222

by ax by ax +≤+ 证明：设(

)

b a y b x a ,),,(=

=，则

by ax ≤=+()()()()

2

2

2

2

b a y b x a +?+=

2222by ax b a by ax +=+?+=，

∴()222

by ax by ax +≤+.

例5 若??

?

??∈2,0πx ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值，并求出

相应的x 的值.

解：设()

x x n m 2sin 1,cos ),4,3(+

=

=，则

2

5sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++?+=≤?=++=x x x x x f

当且仅当n m //时，上式取“=”，此时x x cos 4sin 132=+，解得

5

7

arcsin

,523cos ,57sin ===

x x x ∴当5

7

arcsin

=x 时，函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=取最大值25. 例6 设z y x ,,是正数，证明：

()()()

11111112

22≥++++++++++++++x z yz

xy z y xy zx y x zx yz .

证明：由柯西不等式得

()[]()2

111++≥??

?

?

?++++y x z

y x y x z . 所以

()z

y x z

y x zx yz ++≥++++2

11. 同理

()z y x x z y xy zx ++≥++++211，()z

y x y

z x yz xy ++≥++++2

11. 将三个不等式相加，得

()()()

11111112

22≥++++++++++++++x z yz

xy z y xy zx y x zx yz . 说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.

例7 解方程 1521234=-++x x . 解：原方程变形为

2

21223

2215???

? ??-?++?=x x ()

(

)

???

?

???

?-+???? ??+

??????+≤2

2

22

2123

222x x 15=.

其中等号成立的重要条件是

2212

232x x -=+

.

解得3

1

-=x .

说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.

例8 m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的n m 、，问n m 43+的最大值是多少试证明你的结论.

解：设),,2,1(m i a i

=为互不相同的正偶数，),,2,1(n j b j

=，则

m a a a m

2422

1

+++≥+++ ，

()12312

1

-+++≥+++n b b b n

，

()()19872

1

2

1

=+++++++m

m

b b b a a a

，

由上述三式可得()198712

≤++n m m ，即41

1987212

2

+≤+?

?? ?

?+n m . 由柯西不等式得，()2

2

2

2

2

43214213+??

????+???

??+≤??????+??? ??+n m n m .

即2

2

54119872343???

?

??+≤??? ??+

+n m . ∴2222

341

1987543<-+≤+n m .∴22143≤+n m .

又当35,27==n m 时，22143=+n m 且满足()198712

≤++n m m .

故所求最大值为221.

说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.

例

9 设n

a a a ,,,2

1

为实数，运用柯西不等式证明：

n

n

n

a

a n

n

a a n a a 111

1

2

2

1

++≥

++≥++ . 证明：由柯西不等式得()()()n

n n

a a a a ++≥++++

1

2

1

2

1

2

2

1

11个

.

于是n

n a a a n a a +++≥?++ 21221即得n

a

a n a a n

n ++≥++ 12

2

1.

再由柯西不等式得

()???? ??++++++n n a a a a a a 1

1121

21 22

2211111n a a a a a a n n =???

? ???++?+?≥ .

于是

n

n

a

a n

n a a 111

1

++≥++ . 综合知原不等式成立.

例10 已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，且56322

2

2

2

=+++d c b a ，试求a 的

最大值与最小值.

解：由柯西不等式得，()()2

2

2

2

613

12

1632d c b d c b ++≥??

?

??++++.

即()2

2

2

2

632d c b d c b ++≥++.

综合得()2

2

35a a -≥- ，21≤≤a

当且仅当

6

163

132

1

2d c b =

=

，即d c b 632==时等号成立.

由3=+++d c b a 和d c b 632==知，

当3

1,32,1===d c b 时，1m in

=a

当6

1,31,21===d c b 时，2max

=a

例11 已知正数z y x ,,满足xyz z y x =++，且不等式λ≤+++++x

z z y y x 1

11恒成立，求λ的取值范围.

解

zx

yz xy x z z y y x 21

2121111+

+≤+++++ ???

? ??++?+++?+++?=

z y x y

z y x x z y x z 11121

(

)2

1

22211121??

???

????? ?

?++++++++++≤

z y x y

z y x x z y x z 2

3=

所以λ的取值范围是???

?

???+∞,23. 例12 求出所有实数a ，使得存在非负实数,,,3

2

1

x x x 5

4,x x ，适合下列关系式：

a x x x x x =?+?+?+?+?5

4

3

2

1

54321 ①

2

5

3

4

3

3

3

2

3

1

3

54321a x x x x x =?+?+?+?+? ②

3

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

54321a x x x x x =?+?+?+?+? ③

解：设有非负实数,,,3

2

1

x x x 5

4,x x 满足题设要求，那么由柯西不等式得

()

2

5323134521x x x a +++=

2

525521225212125121552211???

????????? ???????? ???++???? ???????? ???+???? ???????? ???=x x x x x x

()()

552515521521521x x x x x x ?++?+??++?+?≤ 4a =

这样一来，上式中唯有等号成立，于是()()5,4,3,2,102

51

2

=>=k x k

x k

k

k

λλ

如果5

4

3

2

1

,,,,x x x x x 中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能

有上述两种情形：

⑴,05

4

3

2

1

=====x x x x x 此时0=a .

⑵()5,4,3,2,1=i x i

中有且仅有一个不为零，不妨设0≠k

x ，依题设

3

5

2

3

,,a x k a x k a kx k

k

k

===

解得()5,4,3,2,1,2

===k a k k x k

综上知，当25,16,9,4,1,0=a 时，存在非负实数5

4

3

2

1

,,,,x x x x x 满足题设要求.

例13 P 是ABC ?内一点，z y x ,,是P 到三边c b a ,,的距离，R 是ABC ?外接圆的半径，证明：

2

2

2

21c b a R

z y x ++≤

++.

证明：记S 是ABC ?的面积，则 R

abc

S cz by ax 22=

=++

2

2

2

21211112111111c b a R

ca bc ab R c

b a R ab

c c b a cz by ax c

cz b by a ax z y x ++≤++?=

++?=++?++≤?+?+?=++ 所以2

2

2

21c b a R

z y x ++≤

++

说明：本题中给出ABC ?三边的长，又给出了ABC ?内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC ?的面积可以把这些量联系起来：()cz by ax S ++=?

2

1

，又

R a

A R A a 2sin ,2sin =

= R

abc

R a bc A bc S 4221sin 21=

?==

?

练习1 一、选择题

1．若直线1=+b y

a x 通过点()ααsin ,cos M ，则（D ）

A ．122≤+b a

B ．122≥+b a

C ．

11122≤+b a D ．11

12

2≥+b

a 2．已知0,0≥≥

b a ，且2=+b a ，则（C ）

A ．21≤ab

B ．2

1

≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a

3．若y x n m ,,,满足,,2222b y x a n m =+=+其中b a ,为常数，那么ny mx +的最大值为（B ）

A ．2b a +

B ．ab

C ．22

2b a + D ．

2

22b a +

4.若d c b a ,,,都为实数,则不等式()()()2

2222bd ac d c b a +≥++取等号的条件是D ） A. 0=+dc ab B. 0=+bc ad C. 0=-dc ab D .0=-bc ad

5.已知+∈R b a ,且,1=+b a 则

b

a 1

1+与4的关系为（B ） A. 411>+b a B. 411≥+b a C. 411<+b a D. 411≤+b a

6.设+∈R b a ,，则()??

?

??++b a b a 212的最小值为（D ）

A. 5

B. 6

C. 8

D.

9

7.若b a ,是非零实数且,1=+b a +∈R x x 21,，()()2121ax bx bx ax M ++=，21x x N =，则M 与N 的大小关系为（A ）

A.N M ≥

B. N M >

C. N M ≤

D. N M < 8.若实数y x ,满足()()22

2

14125=-++y x ，则22y x +的最小值为（D ）

A. 2

B. 1

C. 3

D. 2 9.函数1463222+-++-=x x x x y 的最小值为（C ）

A ．10

B ．10

C ．110+

D ．110- 10不等式99922≤-+-a b b a 等号成立的条件为（D ）

A ．3=+b a

B ．9=+b a

C ．322=+b a

D ．922=+b a 二、填空题

11．设0,,,>y x n m ，且

1=+y

n

x m ，则y x u +=的最小值为 .答案：(

)2

n

m +

12．设b a ,为正数，则??? ??+??? ?

?

+a b b a 2121的最小值为 .答案：29

13.函数x x U -+-=9453的最大值为 .答案：10

14.设()1,0,∈y x ，则()()x y y x -+-11的最大值为 .答案：1

15.设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P +=，n

d m b nc am Q +?

+=， 则P 与Q 的大小关系为 .答案：Q P ≤

16.若132=+y x ，则22y x +的最小值为 ，最小值点为 .答案：??

? ??133,132,131 三、解答题

17.求证：53452≤-++a a . 证明：由柯西不等式得

()()()[]()

2

452451445a a a a -++≥-+++=∴53452≤-++a a

当且仅当

1425a a -=

+即5

11

=x 时等号成立. 18.设1=+b a ，求证：8

1

44≥+b a .

证明：由柯西不等式得 ()()()111122

22==+≥++b a b a

∴2

1

2

2

≥+b a .

再由柯西不等式得()()()

4

121112

2

2244=??? ??≥+≥++b a b a ∴8

1

44≥+b a .

19已知+∈R q p ,且233=+q p ，求证：2≤+q p .

证明：设??

? ??==21

21

2

32

3

,),,(q p q p ，则

q

p q p q p q q p p q p +=+?+=≤?=+=+2332

12321232

2

又()()222

2q p q p +≤+

∴

()q p q p q p +≤+≤+22

222

∴()()q p q p +≤+84

()83

≤+q p

∴2≤+q p

20求函数21374x x y -+=的最大值. 解：定义域为[]

13,13-，由柯西不等式得

()()()[]

(

)

2

2

22

1374134916134916x

x x x

-+≥-++=?+

∴513136513742=?≤-+x x

当且仅当71342x x -=即5

5

4=x 时等号成立.

∴当5

5

4=

x 时，函数21374x x y -+=的最大值为513. 21.试用柯西不等式求点()4,3P 到直线0532:=-+y x 的距离. 解：∵直线 上的任意一点),(y x Q 到定点()4,3P 的距离为()

()

2

2

43-+-y x

∴由柯西不等式得

()(

)()[]()()[]()()2

2

22

2

2

13

185183243324394=-=-+=-+-≥-+-+y x y x y x 即()()[]13432

2≥-+-y x ∴

()

()13432

2

≥-+-y x

当且仅当

3

4

23-=

-y x 且532=+y x 即1==y x 时等号成立. ∴当1==y x 时，

()

()2

2

43-+-y x 取最小值13即为所求的距离.

练习2 一、选择题

1.设c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则（D ）

A.

3111<++c b a B. 3111≥++c b a C. 91

11≤++c

b a D. 9111≥++c

b a 2.设z y x ,,为正数，且1=++z y x ，则 (A )

A. 31222≥

++z y x B. 31222≤++z y x C. 9

1

222≥++z y x D. 9

1222≤

++z y x 3.求使()()()2

2

2

6231-++-++-y x y x y 达到最小值的实数y x ,的值（A ）

A ．65,25==y x

B ．45,35==y x

C ．5,3==y x

D ．6

5,21==y x 4.设c b a ,,为正数，且A c b a =++，则（D ） A.A c b a 3111<

++ B. A c b a 3111≥++ C. A c b a 9111≤++ D. A

c b a 9111≥++

5.设1=++z y x ，则2

2

2

32z y x ++的最小值为（B ）

A ．

103 B ．116 C ．113 D ．10

7

柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

一般形式的柯西不等式 教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥

9.2一元一次不等式教学反思[1]

9.2一元一次不等式（1）教学反思 安阳市第十一中学陈丽娜 本节课的设计思路：复习不等式的基本性质，掌握一元一次不等式的概念，解一元一次不等式，找满足不等式的正整数解及带有字母的不等式的解法等内容，以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。对培养学生分析问题，解决问题的能力，体会数学的价值都有较大的作用。 教学中我采用类比（对比一元一次方程的解法），让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后系数化为1不同，其它的步骤是相同的，强调最后一步“负变，正不变”，学生掌握得很好。并强调在数轴上表示不等式的解集时，可以画简易数轴，“<”是向左拐，“>”是向右拐，空心是不包含，实心是包含。让学生在易错点上引起足够重视。 通过探究新知的环节鼓励学生自己探究，让学生真正去思考、去尝试，；真正体现了学生是数学学习的主体，教师是学生数学学习的引导者和帮助者。讲练结合的教学方法，倡导学生主动参与教学实践活动，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。肯定成绩，使其具有成就感，提高学生学习的兴趣和学习的积极性。 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，在课堂的整体把握上，能做到游刃有余，学生整体回答时，都非常认真、投

入，整个班的班风、班貌非常好。课堂巡视时特别关注与学生的交流，能及时肯定、鼓励、帮助学生，更好地调动学生的学习积极性。让学生自己板书，自己讲题，既锻炼了学生的口头表达能力，又增加了学生的自信心，起到事半功倍的效果。 以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。 本节课的几点遗憾： 1、在例1的处理上有点稍快，虽然强调了易错点，大部分学生能正确求解一元一次不等式，但是部分学困生可能还存在一定的困难。今后应加强跟踪训练员，及时发现问题，解决问题，有针对性的进行学法指导。 2、在列不等式的时候很多学生不懂如何用不等式表示“负数”、“正数”、“非正数”、“非负数”，“不大于”、“不小于”，应该加强训练，让学生理解其实质内涵，为后面的应用题作准备， 3、部分学生虽然会做题，但是由于粗心导致出错，说明细心不够，重视程度不够，掌握还是不踏实，在以后的学习中，让学生养成细致、耐心的习惯，潜移默化中渗透到解题中。 如何让学生真正成为课堂的主人，让他们在学习数学中体验到成功的快乐， 从而增加学习数学的积极性，这是我们当前急需解决的问题。这就要求我们精心设计好每一节课的教学环节，换位思考，在不断的反思中提高自己，尽力做到每一次都是精彩的课堂！

如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

人教版数学高二(人教A版选修4-5)1.1.1不等式的基本性质 素材

打印版 打印版 第01课时 不等式的基本性质 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么acb >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1) ⑥如果a> b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。 三、典型例题： 例1 已知a>b ，cb-d ． 例2 已知a>b>0，c<0，求证：b c a c >。

不等式的基本性质教学反思

不等式的基本性质教学 反思 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

《不等式的基本性质》教学反思 房县城关四中黄小妹 本节课我采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。接下来出示的问题1从学生的学习经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。问题2、3的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。还有就是给他们时间先记一下不等式的基本性质，便于后

面的练习。让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。 在运用符号评议的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号评议表达能力。 练习，给学生一个充分展示自我的舞台，在情感和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环节，为了照顾学困生，让学生起来回答时候有点耽误时间。 让学生通过总结反思，一是有利于培养归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系；二也是为了激起学生感受成功的喜悦，力争用蕴育自信，学生以更大的热情投入学习中去。 本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。其中不存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学。

(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

人教版数学高二作业第三讲二、一般形式的柯西不等式

一、基础达标 1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2 n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大 值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1. 当且仅当a i ＝x i ＝n n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A 2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2 D.1n 解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )? ????1x 1＋1 x 2＋…＋1x n ≥? ? ???x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2 ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C 3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( ) A.－25 B.－5 C.5 D.25 解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3 ＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2， ∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，

拉格朗日中值定理教学设计

教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：

六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

不等式性质教学反思 (2)

不等式的性质教学反思 这次公开课准备的比较充分，使得我这次的转正课能够顺利完成。第一次当着这么多前辈老师讲课，我显得紧张。特别是我们初一数学科组的各位老师建言献策，给了我充分的鼓励与帮助，充分展示了集体智慧的力量。 上课前我做了一些准备工作。比如，设计“不等式的性质”学习卷。在集备组的多次建议修改下，我把不等式的概念、不等式的性质、运用不等式性质解简单不等式这三个内容整合到本节课；基本思路是：用比较数的大小引进不等式的概念；利用表格对不等式两边进行运算来探索不等式的性质并展开小组讨论加深对不等式性质3的认识；运用不等式的性质把不等式转化为()x a a >是常数的形式（其实就是解简单不等式，但本节课还没出现“方程的解”这个概念）。 本节课用的是平行班，强调的是实用性。从新课到练习都充分调动了学生的思考能力。小组讨论又锻炼了学生的创造性和合作性；为后续学习解一元一次不等式打下了一定的基础。 自己在这节公开课吸取的经验是： 1、 充分准备是保证。从怎么引入怎么引导学生填写表格及探索性质都进行充分的准备，写了份大概的讲话稿，在脑海里反复演练，以帮助克服紧张情绪。 2、 专业术语阐述不够清楚，需要加强。部分学生会对数量关系中的“不大于”、“是负数”、“是非负数”等数学术语理解不清，我只是从字面上给予解释，并没有对学生为什么出错进行深究，导致学生在复习回顾环节出错又在新课后的巩固练习出错。 3、 对性质3这个难度的教学不够。学生以小组讨论的形式展开了对性质3的探索，但由于我对设计意图没有说清楚，导致有几个小组在不等式两边乘了不同的两个数来进行比较；对于不等式两边同时除以同一个负数的教学完全回避了（我以为除法都可以化作乘法来做，所以讲乘法就够了），结果学生在遇到250>－化作25x <-之类的题目都卡住了。

柯西不等式常见题型解法例说

上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．

2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式

[核心必知] 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )． (2)推论： （x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥ (x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )． [问题思考] 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d 吗？ 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立．

2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2 (x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？ 提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c， 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b， 同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)． 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋. 1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)． 证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，

不等式的性质1教学反思

不等式的性质教学反思 本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动。本节课，我觉得基本上达到了教学目标。难点的突破上也基本上把握得不错。在整个教学过程中学生的参与积极性也还不错。课堂气氛比较活跃。 一、成功之处： 1、复习引入让学生更易接受 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而示得，口欲言而示能”的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。 2、类比探究新知让学生更易把握 类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。 3、分析等式性质和不等式性质的异同发展学生思维 让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。

4、现代信息技术的使用让学习事半功倍 电子白板的交互使用，在白板上及时书写，修改错误之处，都给学生的学习、老师的教学带来了极大的便利，节省了时间。 二、不足之处 1、在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。导致后面的目标检测部分课上没有时间完成。 2、应用不等式的性质时，语言规范不到位，学生没有掌握整体回答问题的思路脉络，在这里花费了很多时间。 3、整节课在时间的分配上把握的不是很恰当，主要是由于课前预设不到位。 4、自己的语言表达不是很好，表扬性语言很单一而且生涩。 三、改进措施 针对本节课课堂上出现的问题，我在今后的教学中应该加强备课，抓住重点，详略得当，充分相信学生，把课堂还给学生。在课前，充分预判课堂上可能出现的各种问题以及处理方法，考虑学生的认知能力和已有的知识水平，设置问题要具有灵活性、针对性、可操作性，给学生更多的思维想象空间。 如果重新讲这节课，我会缩短探究不等式的性质的时间，因为类比等式的性质同学们很容易归纳出不等式的性质，要重点强调不等式的性质3，这样大量的课堂时间交给学生应用不等式的性质，易出错的问题比如不等式的性质3的应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法

柯西不等式的应用(整理篇).doc

柯西不等式的证明及相关应用 摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容， 也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美， 结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词 ：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（ Cauchy ）不等式： a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n 等号当且仅当 a 1 a 2 a n 0 或 b i ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2 n ） 现将它的证明介绍如下： 方法 1 证明：构造二次函数 f ( x) a x b 2 a x b 2 a x b 2 1 1 2 2 n n = a 12 a 22 a n 2 x 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n x b 12 b 22 b n 2 由构造知 f x 0 恒成立 又 Q a 12 a 22 L a n n 4 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 即 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 当且仅当 a i x b i 0 i 1,2 n 即 a 1 a 2 L a n 时等号成立 b 1 b 2 b n 方法 2 证明 :数学归纳法 （ 1） 当 n 1 时 左式 = a 1b 1 2 2 右式 = a 1 b 1 显然 左式 =右式 当 n 2 时 a 12 a 22 b 12 b 22 a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 12 b 22 右式 a 22 b 12 2 2 2a a bb 2 左式 a b a b 2 a b a b 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 故 n 1,2时 不等式成立 （ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立 即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k 2 a 12 a 22 a k 2 b 12 b 22 b k 2 当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1 a 2 L a k 0 时等号成立 设 A= a 12 a 22 a k 2 B= b 12 b 22 b k 2 C a 1b 1 a 2b 2 L a k b k AB C 2

一般形式的柯西不等式全面版

课 题：§3.2一般形式的柯西不等式 教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并 应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ?≤ ，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？ 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，222 12n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有 20B AC -≥，可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222 12()n b b b +++???+ ，则 22 21122 ()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++? 22212()n b b b +++ ≤0 即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）有唯一零点时，判别式0?=，这时不等式取等号； 00i i a x b ?=?+=0i b ?=或i i a kb =（1,2,,i n = ） 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则： 21 1 2 1 2)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，当且仅当0=i b （=i 1，2，…，n ）或存在 一个数k ，使得i i a kb =（1,2,,i n = ）时等号成立。 ⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式： (,,1,2,,)i i x y R i n ∈= 具体证法为：展开2 ，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。 ⑤ 变式：222212121()n n a a a a a a n ++≥++???+ . （讨论如何证明） 2. 柯西不等式的应用：

柯西不等式教学设计

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计 一、设计思想： 本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希 望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学 结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具 体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学 结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。 二、教材分析： 二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生 继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作 用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的 三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊 到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它 的简单应用。 三、学情分析： 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推 理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最 近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 （2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。 2、过程与方法目标 通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生 独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。 3、情感态度与价值观 简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。 五、教学重难点 （1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式 （2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值 六、教学过程 （一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,） β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴ ?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。 定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则 ||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。 用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+