柯西不等式教学设计

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计

一、设计思想：

本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希

望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学

结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具

体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学

结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。

二、教材分析：

二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生

继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作

用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的

三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊

到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它

的简单应用。

三、学情分析：

学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推

理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最

近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。

四、教学目标

1、知识与技能目标

（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。

2、过程与方法目标

通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生

独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。

3、情感态度与价值观

简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。

五、教学重难点

（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式

（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值

六、教学过程

（一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,）

β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴

?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。

定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则

||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。

用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+

两边平方，得到二维柯西不等式的代数形式 22222)())((bd ac d c b a +≥++，等

号成立的条件为ad=bc

定理：（二维柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则

22222()()()a b c d ac bd ++≥+, 其中等号当且仅当bc ad =时成立。

代数证明过程如下:

222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+

当且仅当bc ad =时等号成立.（也可以用比较法证明）

【设计意图】不等式部分的课题引入很难，本节课利用学生的“最近发展区” 学生熟悉向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，

使两个定理的讲解浑然一体。突破了教学难点，突出了重点。

（二）定理应用

1.不等式的证明：

例1：已知a,b 为实数，求证4422332()()()a b a b a b ++≥+

2. 求最大（小）值：

例2：求函数51102y x x =-+-的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻

找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形

式就能用柯西不等式求其最大值。（2222||ac bd a b c d +≤+?+）

解：函数的定义域为【1，5】且y>0

222251255(2)(1)(5)27463

y x x x x =?-+?-≤+?-+-=?=例3: 设a,b 是正实数，a+b=1，求证

411≥+b a 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((b

a b a ++就可以用柯西不等式了。 讨论：其它证法（利用基本不等式） 当且仅当2155x x ?-=?-时，等号成立，即12727

x =时，函数取最大值36。 例4：已知321x y +=，求22x y +的最小值.

分析：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313

x y x y x y +=++≥+= 讨论：其它方法 （数形结合法）

【设计意图】1.培养学生用适当的变形手段解决问题的能力。

2.比较一个问题的多种解法，便于学生灵活应用。

（二）随堂练习

【设计意图】理解反思、巩固提高

（三）小结与作业

【设计意图】突出重点、夯实基础

一般形式的柯西不等式 教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥

2014年人教A版选修4-5教案 二 一般形式的柯西不等式

二 一般形式的柯西不等式 教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习： 2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课： 1. 教学一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,, ,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当 12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++， 22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥， 可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（ ）（222 12()n b b b +++???+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++ 22212()n b b b +++≤0 即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++ ≥++???+. （讨论如何证明）

人教版数学高二(人教A版选修4-5)1.1.1不等式的基本性质 素材

打印版 打印版 第01课时 不等式的基本性质 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么acb >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1) ⑥如果a> b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。 三、典型例题： 例1 已知a>b ，cb-d ． 例2 已知a>b>0，c<0，求证：b c a c >。

拉格朗日中值定理教学设计

教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：

六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

二维形式的柯西不等式知识点梳理

课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法：

2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式

[核心必知] 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )． (2)推论： （x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥ (x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )． [问题思考] 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d 吗？ 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立．

2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2 (x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？ 提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c， 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b， 同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)． 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋. 1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)． 证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，

如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

二维形式的柯西不等式（全部） 1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（） A． B． C． D． 2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．2 3、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( ) A．1 B．3 C．6 D．9 4、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( ) A．3 B．1 C． D． 5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( ) A．1 B．6 C．11 D． 6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A．1 B．n C．n2 D． 7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( ) A．1 B． C．3 D．9 8、函数的最大值是( )

A． B． C． D． 9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（） A．2 B． C．3 D． 10、函数的最小值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 11、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=， +=，则的值为（） A．2 B．1 C． D． 12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A． B． C． D． 13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（） A．2+ B．2 C．3 D． 14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（） A． B．3 C．4 D．5

15、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（） A．1 B．2 C．3 D．4 16、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（） A．1 B．4 C．8 D．9 17、已知a+b=1，则以下成立的是（） A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=1 18、二维形式的柯西不等式可用（）表示． A．a2+b2≥2ab（a，b∈R） B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R） C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） 19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（） A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定 20、（2014?湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（） A． B． C． D． 21、（2014?孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（） A．2 B．2 C．2 D．3 22、（2014?湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（） A．3 B．2 C． D．1

柯西不等式教学设计

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计 一、设计思想： 本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希 望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学 结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具 体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学 结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。 二、教材分析： 二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生 继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作 用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的 三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊 到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它 的简单应用。 三、学情分析： 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推 理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最 近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 （2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。 2、过程与方法目标 通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生 独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。 3、情感态度与价值观 简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。 五、教学重难点 （1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式 （2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值 六、教学过程 （一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,） β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴ ?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。 定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则 ||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。 用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+

高中数学一二维形式的柯西不等式试题

高中数学一二维形式的柯西不等式试题2019.09 1,某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(0C) 18 13 10 -1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程a bx y ?+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为________. 2,设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为________ 3,对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据i a 40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是________ 4,设P 为曲线 2 :1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是________ 5,已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则 1223341 n n a a a a a a a a ++++???+=________ 6,在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一 点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则P M P N ?必为定值k ”. 类比于此，对于双曲线22 2 21x y a b -=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命 题为:________. 7,现有下列命题:①命题“ 2 ,10x R x x ?∈++=”的否定是“ 2 ,10x R x x ?∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R e=A ；③

一般形式的柯西不等式优秀教学设计

一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2a b a b +>>及几种变式。 2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。 → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。 （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n ?=<>，则||||||m n m n ?≤。 ∴ …。。 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立。 ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即…。。

《二 一般形式的柯西不等式》教案

《二 一般形式的柯西不等式》教案 教学目标 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点 重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式. 教学过程 一、复习引入： 定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立. 定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα?≥?，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到?αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到 2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立. 这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任 意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++L L L 即 2 11212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ====L 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ

教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义； 2、并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式： ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+ 2 22c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：

北师大版数学高二柯西不等式教案 选修4-5

高中数学 柯西不等式教案 选修4-5 教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式： ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 2 22c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：

一般形式的柯西不等式精品教案

一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：及几种变式。 (0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…= 22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） 222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。 （要点：展开→配方） 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。 ∴ …。。 m n ac bd ?=+u r r ||||cos ,m n m n m n ?=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ?≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则 22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。 22()()()f x ax c bx d =-+-

高中数学人教A版选修4-5教学案第三讲 一 二维形式的柯西不等式

一二维形式的柯西不等式 对应学生用书 ．二维形式的柯西不等式()定理：若，，，都是实数，则(＋)(＋) ≥ (＋) ，当且仅当＝时，等号成立． ()二维形式的柯西不等式的推论： (＋)(＋)≥(＋)(，，，为非负实数)； ≥ ＋ · (，，， )； ∈ ≥ · ＋ ∈ )． (，，， ．柯西不等式的向量形式 α·β ≤ α β· 是两个向量，则 α ， β 定理：设 零向量 ，当且仅当 β 时 α ＝ β 是 ，或存在实数，使 ，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤αβ，取等号“＝”的条件是β＝或存在实数，使α＝β. ．二维形式的三角不等式 ()定理：＋≥(，，，∈)． 当且仅当三点，与共线，并且，点在原点异侧时，等号成立． ()推论：对于任意的，，，，，∈，有 ＋ ≥. 事实上，在平面直角坐标系中，设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，根据△的边长关系有＋≥，当且仅当三点，，共线，并且点，在点的异侧时，等号成立． 对应学生用书 [例]已知θ为锐角，，∈ ，求证：＋≥(＋). ＋

[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“＝θ＋θ.”然后用柯西不等式证明． [证明]∵＋ ＝(θ＋θ) ≥θ)· θ＋( θ)· θ)) ＝(＋)， ∴(＋)≤＋. 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用 添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而 利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件． ．已知＋＝，＋＝，求证：＋≤. 证明：由柯西不等式得 (＋)≤(＋)(＋)＝， ∴＋≤. ．已知，，，为正实数． 求证：(＋)≥(＋). 证明：(＋)＝[()＋()]≥ ＝(＋). ．设，，为正数， 求证：＋＋≥(＋＋)． 证明：由柯西不等式： ·≥＋， 即·≥＋. 同理：·≥＋， ·≥＋， 将上面三个同向不等式相加得： (＋)＋(＋)))≥(＋＋) ∴＋＋≥·(＋＋).

教案对“柯西不等式”展开的联想

1 对“柯西不等式”展开的联想 我追求的教学境界： 与其说数学教师教学生学习数学，不如说数学教师引领学生一同走进数学殿堂来欣赏数学更为合适。 我展示的主题用义： 其用义在于呼唤更多的教师与学生走出题海，回归课本。 1．思想方法研究 例3：已知bc ad ≠，求证：2 2222)())((bd ac d c b a +>++； 体现的载体简单，饱含的方法经典，反映的思想深刻。 2．数学背景联想 例4：已知R b a ∈,，求证：222)()(2b a b a +≥+； 华罗庚：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉， 形少数时难入微。” 3．文化渊源概述 柯西是法国数学家.1789年8月21日生于巴黎；1857年5月23日卒于巴黎附近的索镇. 柯西的父亲是一位精通古典文学的律师，曾任法国参议院秘书长，和拉格朗日、拉普拉斯等人交往甚密，因此柯西从小就认识了一些著名的科学家. 柯西自幼聪敏好学，在中学时就是学校里的明星，曾获得希腊文、拉 丁文作文和拉丁文诗奖.在中学毕业时赢得全国大奖赛和一项古典文学特别奖.拉格郎日曾预言他日后必成大器.1805年他年仅16岁就以第二名的成绩考入巴黎综合工科学校，1807年又以第一名的成绩考入道路桥梁工程学校.1810年3月柯西完成了学业离开了巴黎，从1810年12月，柯西就把数学的各个分支从头到尾再温习一遍，从算术开始到天文学为止，把模糊的地方弄清楚，应用他自己的方法去简化证明和发现新定理，柯西于1813年回到巴黎综合工科学校任教，1816年晋升为该校教授.以后又担任了巴黎理学院及法兰西学院教授. 数学中以他的姓名命名的有：柯西积分、柯西公式、柯西不等式、柯西定 理、柯西函数、柯西矩阵、柯西分布、柯西变换、柯西准则、柯西算子、柯西序列、柯西系统、柯西主值、柯西条件、柯西形式、柯西问题、柯西数据、柯西积、柯西核、柯西网……等等。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5

3.3排序不等式 一、教学目标 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 四、教学难点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 五、教学过程 （一）导入新课 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19. 所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】19 25 （二）讲授新课 教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和． 教材整理2 排序不等式 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和． （三）重难点精讲

题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1 b . 又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1 ca ， 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1 c ， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1 ab ， 从而1bc ≥1ca ≥1ab . (2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1 ab >0且a ≥b ≥c >0， ∴ 1 b 2c 2 ≥ 1 c 2a 2 ≥ 1 a 2b 2 ，a 2 ≥b 2≥c 2 . 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 a 2 b 2 c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． [再练一题] 1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2 c 3. 【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5 ≥b 5 ≥c 5 ， 1 c ≥1b ≥1 a ＞0. ∴1bc ≥1ac ≥1ba ，