(完整版)高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题-

基本初等函数知识点

1.指数

(1)n 次方根的定义：

若n

x a =，则称x 为a 的n 次方根，

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。 (2)方根的性质：

①

n

a =

②当n 是奇数时，a a n n =；当n 是偶数时，???<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

(3)分数指数幂的意义：

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a n m n

m ，)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

(4)实数指数幂的运算性质：

(1)_______(0,,)r s a a a r s R ?=>∈ (2)_______(0,,)r s a a a r s R ÷=>∈

()(3)_______(0,,)s

r a a r s R =>∈ ()(4)________(,0,)r

ab a b r R =>∈

2.对数

(1)对数的定义：

一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，

记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 常用对数：以10为底的对数______；

自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数______． (2)指数式与对数式的关系：

__________x a N =?（0>a ，且1≠a ，0N >）

(3)对数的运算性质：

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N ____________________；

②=N M

a

log __________________________； ③log n

a M =_________________________)(R n ∈．

注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

(4)几个小结论：

①log _____n n

a b =；②log ______a

=；

③log _______n m

a b =；④log log ____a b b a ?= (5)对数的性质：

负数没有对数；log 1____;log _____a a a ==. 3.指数函数及其性质 (1)指数函数的概念：

一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

(1)对数函数的概念：

函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 （0，+∞）．

(2)

5.(1)幂函数定义：

一般地，形如α

x y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数．

(2)幂函数性质归纳：

①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1，1），不过第四象限； ②0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间(0,)+∞上是增函数； ③0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．与x 轴、y 轴没有交点； ④当α为奇数时，α

x y =为奇函数；当α为偶数时，α

x y =为偶函数。

习题

=（ ）

A.

B.

2.若函数1x

y a b =+-（0>a ，且1≠a ）的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ） A.01a <<且0b > B.1a >且0b > C.01a <<且0b < D.1a >且0b <

A B C D 4.下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）

A.3

y x =- B.3

y x -= C.3

2y x = D.3

1y x =- 5.在R 上是增函数的幂函数为（ ）

A.12

y x = B.2

y x = C.13

y x = D.2

y x -=

6.0,0)a b >>的结果是__________.

7.方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______.

8.3128x

y

==，则

11

______x y

-=. 9.若103x =，104y

=，则210

x y

-=________.

10.已知函数2log ,0()2,0

x x x f x x >?=?≤?，若1

()2f a =，则______a =.

11.用“<”或“>”连结下列各式：

0.6

0.50.50.50.40.40.32____0.32;0.32____0.34;0.8____0.6--.

12.函数2

223

()(1)m

m f x m m x --=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则m =_____.

13.幂函数()f x 的图像经过点12,4?

? ???，则12f ??

???

的值为______.

14.函数222

12x x y -+??= ???

的递增区间是___________.

15.计算：

23

0.5

20

7103720.12392748π--????++-+ ? ?

????

；

12

4839(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-

16.设a>0，x x e

a

a e x f +=

)(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值；

（2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数

17.设函数)(log )(2x

x

b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f （1） 求a,b 的值；

（2） 当[]2,1∈x 时，求)(x f 最大值

指数函数、对数函数测试题答案

一、1、A;2、D ；3、D ；4、A ；5、A ；6、C ；7、B ；8、C ；9、D ；10、C ；11、D ；12、D ；13、A 。

二、14、a ＜b ＜c ；15、a=0；16、x ＞0;17、log1.11

.0＜log0.1

1

.1；18、1/4。19、44；20、

1. 三、

21、解：由题意得：

由①得x ≤-4或x ≥1，由②得x ≠-5，由③得x ＜0. 所以函数f(x)的定义域{x| x ≤-4, x ≠-5}

22、解：（1）∵f(x)= 1

21

_2)(+=x x x f

∴f(-x)=

1212+---x

x

=1211

21+-x

x =x

x 2121+-=-1212+-x x ∴f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数。 （2）设x 1﹥x 2

则f(x 1)=1

21211+-x x ,f(x 2)=121

222+-x x

f(x 1)-f(x 2)=121211+-x x -121222+-x x =)

12)(12(2221211

1++-++x x x x ﹥0

所以，f(x)在定义域内是增函数。 23解：（1）函数f(x)+g(x)= f(x)=loga

)

1(+x +loga

)

1(x -=loga

2

1x -

则1-x 2

＞0，函数的定义域为{x|-1＜x ＜1} (2) 函数f(-x)+g(-x)= f(x)=loga 2

1x -=f(x)+g(x)

所以函数f(x)+g(x)为偶函数。 (3) f(x)+g(x) =loga

2

1x -＜0，

x 2+3x-4≥0 ① X+5≠0 ② x-|x|≠0 ③

则0＜1-x 2

＜1,x 的集合为{x|-1＜x ＜1}

24、解：∵方程x )31(=3-2a 有负根，x

)3

1(﹥1

∴3-2a ﹥1，即a ﹤1 A 的取值范围（-∞，1） 25、解：（1）∵f(x)= )1_(log x

a a

（a ＞0且a ≠1）

∴a x

-1﹥0，即a x

﹥a 0

当a ﹥1时，x 的定义域（0，+∞） 当0﹤a ﹤1时，x 的定义域（-∞，0）

（2）当a ﹥1时，y=a

x

-1是增函数，f(x)= )1_(log x

a

a 是单调增。 当0﹤a ﹤1时，y=a x

-1是减函数，f(x)= )1_(log x

a a 是单调减

（3）∵f(x)= )1_(log x

a a

（a ＞0且a ≠1）

∴ f(2x)=loga )

1(2-x a , f

1

-(x)=loga

)

1(+x a

即loga )

1(2-x a = loga

)

1(+x a

a

x

2-1=a x

+1，a

x

2-a x

-2=0，

a x =-1，(无解) a x

=2，x=loga 2

26、解:（1）设x=a=0, ∵f(x+a)=f(x)+f(a) ∴f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0 (2)设x=-a

∵f(x+a)=f(x)+f(a)

∴f(0)=f(-a)+f(a),即f(-a)=-f(a) ∴f(x)为奇函数. 27略

28、解：（1）由题意可知，用甲车离开A 地时间th 表示离开A 地路程Skm 的函数为：

（2）由题意可知，若两车在途中恰好相遇两次，那么第一次相遇应该在甲车到达中点C 处停留的两个小时内的第t 小时的时候发生，2h ＜t ＜

4h,

75t (0≤t ﹤2)

150 (2≤t ≤4) 150+100t (4﹤t ≤5.5)

S=

则150/4＜U＜150/2,即37.5km/h＜U≤75km.

而第二次相遇则是甲车到达中点C处停留两小时后，重新上路的第t小时赶上乙车的，4h ＜t＜5.5h,

则150/4＜U＜300/5.5，即37.5km/h＜U＜54.55km/h

所以，综合以上情况，乙车行驶速度U的取值范围是：

37.5km/h＜U＜54.55km/h。