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考研数学线代定理公式汇总

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概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解，

0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

???

?????

??=????==?? 是初等阵

存在阶矩阵使得或 ○

注：全体n 维实向量构成的集合n

R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的??

?????特征向量

○

注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

+=?+=???

有非零解=-

?????

→????

:;具有

向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???：

①称为n

的标准基，n

中的自然基，单位坐标向量87p 教材；

②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.

行列式的定义 1212121112121222()

1212()n n n

n n

j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=-∑

L L

L M M M L

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线：

(1)2

1121

12111

()n n n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N

N 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）

⑤范德蒙德行列式：()1

12n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L

M M

111

矩阵的定义由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??

= ?

???

L L

M M M L 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ?

伴随矩阵 ()

1121112

222*

12n T

n ij

n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?

== ?

???

L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:

① 1

A A A *-= ○注： 1

a b d b c d c a ad bc --????= ? ?

--??

??1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M

M 初等行变换

③1

3111

13a a a a a a -???? ? ?

? ? ? ? ??

112

13a a a a a a -????

? ?

? ? ? ? ?????

√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()

m n

A A =

√ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，

则

m s

AB C ?=?

()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα??

? ?

???=

???

L L L M M M L ?

i i

A c β= ，

(,,)i s =L 1,2?

β为

Ax c =的解

?()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ???=???=L ?12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα???线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩

阵.

同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T

A 为系数矩阵.

即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ??????

??? ?

??? ?= ??? ?

??? ???????L L M M M M M L

?111122121

211222

222

11222n n m m mn m

a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=????+++=?L L L L L L

√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵Λ○

右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√ 分块矩阵的转置矩阵：T

T T

T A B A C C D B

D ??

??= ? ?????

分块矩阵的逆矩阵：1

11A A B B ---????

? ????

? 1

11A B B A

---?

??= ? ?????

111A C A A CB O B O

B ----????= ? ????? 1

111A O A O C B B CA

B ----????= ? ?

-???? 分块对角阵相乘：11

112222,A B A B A B ????==

? ????

??1111

2222A B AB A B ??= ??

?,1122n

n n A A A ??

= ??

分块对角阵的伴随矩阵：*

*A BA B AB ????=

? ????? *

(1)(1)mn mn A A B B

B A **?

?= ? ?

?-????

√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)

A B E X ????→M

M 初等行变换

(I)的解法：构造()()

T T T T

A X

B X X

=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.

⑨ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○

列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○

右乘A .

矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r = 向量组的秩向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL 矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%

向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ???=???%

? 矩阵A 与B 等价?PAQ B =，,P Q 可逆?()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?AX B =有解?12(,,,)=n r ααα???1212(,,,,,,)n s r αααβββ???????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关.

向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价；p 教材94,例10

? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；

若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα???线性无关. √ 矩阵的秩的性质：

①()A O r A ≠?若≥1 ()0A O r A =?=若 0≤()m n r A ?≤min(,)m n ②()()()T

r A r A r A A == p 教材101,例15

③()()r kA r A k =≠ 若0

④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?

若若0的列向量全部是的解

⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B

⑥

()()()()

A r A

B r B B r AB r A ?=?=若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο??=??

=??=???=?=?

?????=?=??

? 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律；

若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=???

在矩阵乘法中有右消去律.

⑧()r

E O E O r A r A A O O O O ????

? ?????

若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70

⑩()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ????? ()()A C r r A r B O B ??≠+ ???

121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα?=?????→=

当为方阵时

有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ??

???

?=??

??≠?

?=?

M L M M 教材72

讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○

注：Ax Ax ββ?=<≠

?=<≠

有无穷多解

其导出组有非零解

有唯一解

其导出组只有零解

线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=L

111211121

2222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

? ? ? ? ? ?=== ? ? ?

? ? ???????L L M M M M M

L 12,,2,,j j j mj j n αααα?? ? ?

== ? ? ???

L M 1

1212(,,,)n n x x x αααβ?? ? ?= ? ???

L M

矩阵转置的性质： ()T T A A = ()T T T AB B A = ()T T kA kA = T A A = ()T T T A B A B ±=± 11()()T T A A --= ()()T T A A **=

矩阵可逆的性质： 11()A A --=

111()AB B A ---= 111()kA k A ---= 1

1A A --=

111()A B A B ---±≠± 11()()k k k A A A ---==

伴随矩阵的性质：

()n A A

A -**= ()A

B B A ***= 1()n kA k A *-*= 1

n A A

-*=

***()A B A B ±≠±

11()()A A

A A -**-==

()()k k A A **=

() () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=??

==-??<-?

若若若

AB A B =

n kA k A = k

k A A =

A B A B ±≠±

AA A A A E **==（无条件恒成立）

线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+??=??

=??++?

==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解

211212112212112212),(7),,,,1

00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??++=?++=?

?++=?++=?L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则

也是的解是的解

√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =?()()r A r A β=M

?Ax β=一定有解，当m n <时,一定不是唯一解?

<方程个数未知数的个数

向量维数向量个数

,则该向量组线性相关.

m 是()()r A r A βM

和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；

③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.

√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若η*

是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη*L 线性无关

√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解?()()A r r A r B B ??

== ???

√ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解?()()A r r A r B B βγ??== ???

M .

√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：

① 把(I)与(II)联立起来求解；

② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；

当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.

即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M

当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解?2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：

12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M

③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共

解。

标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量()12,,,T

n a a a α=L 与()12,,,T

n b b b β=L 的内积 11221

(,)n

i i n n i a b a b a b a b αβ==

+++∑L

αβ与正交 (,)0αβ=. 记为：αβ⊥

向量()12,,,T

n a a a α=L 的长度 2222

121(,)n

i n i a a a a ααα==

==+++∑L

α是单位向量 (,)1ααα==. 即长度为1的向量.

√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=

③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+

1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==

A 的特征矩阵 E A λ-.

A 的特征多项式 ()E A λ?λ-=.

√ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=

A 的特征方程 E A λ-=0. Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量) 与线性相关

√ 12n A λλλ=L

i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 的迹.

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.

√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.

√ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???

L M 、2

1122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：

11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0 p 指南358.

○注()12,,,T

n a a a L 为A 各行的公比，()12,,,n

b b b L 为A 各列的公比. √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:

① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0

②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .

√ 初等矩阵的性质：

(,)E i j =-1

[()]E i k k =

[,()]E i j k =1

(,)(,)T E i j E i j = [()][()]T E i k E i k = [,()][,()]T E i j k E j i k = 1(,)(,)E i j E i j -=

11[()][()]k E i k E i -=

1[,()][,()]E i j k E i j k -=-

*(,)(,)E i j E i j =-

*1[()][()]k E i k kE i =

*[,()][,()]E i j k E i j k =-

√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1

110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的

一个多项式.

√ 1231

122,T A m

m k kA

a b aA bE A A A A A A

λλλλλλλλλλλ-*

??++???=L 是的特征值则:分别有特征值 .???

???

√ 123

1122,A m m

k kA

a b aA bE

x A x A A A λλλλλλλλλλλ-*??++????=?????

L 是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2

A A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与T

A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

A 与

B 相似 1P AP B -= （P 为可逆矩阵）记为：A B : A 与B 正交相似 1P AP B -= （P 为正交矩阵）

A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A 的相似标准形）

√ A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1

P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

1212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n P

A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ

?===

? ??

L L L L O

14424431442443144424443

. ○注：当i

λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化?i λ的重数()n r A =-= Ax ο=基础解系的个数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化.

√ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()r A =.

√ 若A Λ:?k A =1k P P -Λ，1211()

()()()()n g g g A Pg P P

P g λλλ--??

?=Λ= ? ??

O √ 相似矩阵的性质：

①

E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

○注x 是A 关于0λ的特征向量,1

P x -是B 关于0

λ的特征向量. ②A B =tr tr

③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④()()r A r B =

⑤T

A B :；1

A B --: （若,A B 均可逆）；*

A B : ⑥k

A B : （k 为整数）；()()f A f B :，()()f A f B =

⑦,A B A B C D C D ????

? ?

????

::: ○

注前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

② 不同特征值对应的特征向量必定正交；

○

注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③一定有n 个线性无关的特征向量.

若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--；

④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；

⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.

正交矩阵 T AA E =

√ A 为正交矩阵?A 的n 个行（列）向量构成n

?的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质：① 1

T A A -=；

② T T

AA A A E ==；

③ 正交阵的行列式等于1或-1；

④ A 是正交阵,则T A ，1

A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.

二次型 1211

(,,,)n n

n ij i

i j f x x x x Ax a x x

====

∑∑L ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T

n x x x x =L

A 与

B 合同 T

C AC B =. 记作：A B ; （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）

正惯性指数二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - 符号差 2p r - (r 为二次型的秩)

√ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =

√ 12(,,,)T

n f x x x x Ax =L 经过正交变换

合同变换

可逆线性变换

x Cy =化为21

i i f d y =∑标准形.

√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由{

()r A +正惯性指数负惯性指数

唯一确定的.

√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√ 惯性定理：任一实对称矩阵

A 与唯一对角阵11

00??

? ?- ? ? ?- ? ? ? ? ??

O O

合同. √ 用正交变换化二次型为标准形:

① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量正交规范化；

③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则

122

21()()T

T T T T

n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -??

???? ?

??? ?

???=== ? ??? ?

??????

???

M O M

④ 新的二次型为

i i f d y =∑,Λ的主对角上的元素

d 即为A 的特征值.

施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,

112122111313233121122(,)

(,)(,)(,)

(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??

?=-

-??

正交化

单位化：111βηβ=

222β

ηβ= 333

βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方

程，确定其自由变量. 例如：123x x x +-=0取1β-?? ?= ? ???1 1 0，2β?? ?

= ? ???

112.

正定二次型 12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0. 正定矩阵正定二次型对应的矩阵.

√ ()T

f x x Ax =为正定二次型?（之一成立）：

① x ο?≠ ，T

x Ax >0； ② A 的特征值全大于0； ③ f 的正惯性指数为n ； ④ A 的所有顺序主子式全大于0；

⑤ A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T

C AC E =； ⑥ 存在可逆矩阵P ，使得T A P P =；

⑦ 存在正交矩阵C ，使得1

T n C AC C AC λλλ-??

?== ? ??

O （i

λ大于0）.

⑧ 合同变换不改变二次型的正定性.

√ A 为正定矩阵?ii a >0 ； 0A >. √ A 为正定矩阵?1

,,T

A A A -*

也是正定矩阵. √ A 与B 合同，若A 为正定矩阵?B 为正定矩阵

√ ,A B 为正定矩阵?A B +为正定矩阵，但,AB BA 不一定为正定矩阵.

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则；，，. (2)当a<0时，若，则，若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。

(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

考研数学公式大全(考研必备)

高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式：基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π

高一数学定理总结(全)

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边（济南加誉学堂） 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360°

考研数学线代定理公式汇总

3 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解， 0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

4 ? ? ????? →???? :;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n ? 的标准基，n ? 中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

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高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

高中数学公式定理大集中

高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα 2cotα＝1 sinα 2cscα＝1 cosα 2secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)

考研必备数学公式大全

·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：

考研数学公式大全(考研同学必备)

考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

高一数学余弦定理公式

正弦、余弦定理解斜三角形建构知识网络 1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=；证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA

考研数学公式大全(数三)

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学公式大全(考研必备)

高等数学公式篇导数公式：基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-='

考研高数各章重点总结

一、一元函数微分学求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。二、一元函数积分学计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。三、函数、极限与连续求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。四、向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。五、多元函数的微分学判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。六、多元函数的积分学二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。七、无穷级数判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

中学高中数学必修1集合概念公式定理汇总

必修1集合解集合题首先想到Φ=方程无解

一，数学思想应用 1、数形结合思想在解集合题中的具体应用: 数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文 2、函数与方程思想在解集合题中具体应用: 函数法方程法判别式法构造法 3、分类讨论思想在解集合题中具体应用: 列举法补集法空集的运用数学结合 4、化归与转化思想在解集合题中具体应用: 列方程补集法文氏图法

二,集合的含义与表示方法 1、一般地，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫做集合 2、集合元素三特性 1.确定性； 2.互异性； 3.无序性 3、a是集合A的元素，a∈A a不属于集合A 记作 a?A 立体几何中体现为点与直线/ 点与面的关系元素与集合之间的关系 4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0 正整数集N*或 N+ 不含0 整数集Z 有理数集Q 实数集R 3、集合表示方法：列举法描述法韦恩图 4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是 {x∈R| x-3>2} Y {x| x-3>2} 集合的分类：有限集无限集空集

三、集合间的基本关系 A?有两种可能 “包含”关系—子集B 立体几何中体现为直线与面关系（a）A是B的一部分（b）A与B是同一集合。反之: A?/B Y B?/A A??C U B?C U A （c）A∩B=A ?B A?? C U B?C U A （d）A∪B=B ?B B??C U A?C U B （e）A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5?5=5) ①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B且A≠ B ? A B或B A ③A?B, B?C ? A?C ④ A?B 且B?A ?A=B B ? Y A= =I A B A B 我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ 规定: 空集是任何集合的子集，Φ?A 空集是空集的子集Φ?Φ 空集是任何集合的子集?该集合可为空集，必考虑Φ空集是任何非空集合的真子集 ΦA∩B?A∩B集合一定非空?方程有解

考研数学线代定理公式总结(新)

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解， 0总有唯一解是正定矩阵 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ ? ? ????? →???? 具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 12 1212 11 12121222() 1212 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

高考数学公式定理经验总结

三角形的三条中线的交点叫三角形的重心. 如图,设O为三角形的重心,则有： 7.重心在向量中的重要结论:外心二.外心

三.内心

四.旁心 1 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2旁心到三角形三边的距离相等。 3三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。 4直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。五.垂心三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

1.常见的配方：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 BD AC CAD ∠ sin 4.共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出即若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，

2020考研线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组

高中数学必修公式总结

高中必修4、5公式定理及常见规律 1.三角函数 1.1终边相同的角 ⑴α与)(Z k k ∈+απ 表示终边相同的角度; ⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; ⑶而α与)(Z k k ∈+απ 表示终边共线的角. ⑷终边相同的角的集合表示:},2|{Z k k S ∈+==παββ或者},360|{Z k k S ∈?+==οαββ 1.2特殊位置的角的集合的表示 1.3孤独之与角度制互化 rad 1（弧度）π 180 = 度ο 7.53≈ 1.4扇形有关公式 ⑴弧长公式:R l ||α=; ⑵扇形面积公式:2||2 1 21R lR S α==扇形 (注想象成三角形面积计算公式) 1.5任意角的三角函数定义以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距

离记为r ,则x y r x r y === ααα tan ,cos ,sin . 1.6三角函数的同角关系 ⑴商数关系: αααtan cos sin =, 其中Z k k ∈+≠,22ππ α. ⑵平方和关系: 1cos sin 22=+αα; 1.7三角函数的诱导公式诱导公式（一）απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k ; 诱导公式（二）α απsin )sin(-=+; ααπcos )cos(-=+; ααπtan )tan(=+; 诱导公式（三）ααπ sin )sin(=-; ααπcos )cos(-=-; ααπtan )tan(-=-; 诱导公式（四）ααsin )sin(-=-; ααcos )cos(=-; ααtan )tan(-=-; 诱导公式（五）ααπcos )2sin(=-; ααπ sin )2cos(-=-; 诱导公式（六）ααπ cos )2sin( =+; ααπ sin )2 cos(-=+; 1.8特殊的三角函数值 1.9三角函数的图象与性质

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