图论平面图

平面图平面图

Jordan曲线定理欧拉公式

对偶图

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：若G是简单连通平面图，则G至少有一个结点它的用反证法，设G的所有结点的次数都大于等于6，则

图论讲义第7章-平面图

第七章 平面图 §7.1 平面图的概念 定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。 例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。 根据定义，下列定理是显然的。 定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。 定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。 定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。 注：由以上定理知 (1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。 定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。包围一个面的所有边称为该面的边界。一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。 定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即 其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。 证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。可见每条边在计算总次数时，都提供2。因而结论成立。 1 deg()2().r i i R G ε==∑