gauss-seidel迭代法收敛判断
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。
1. 收敛性定义
在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。
2. Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。然而，它的收敛性需要进行严格的判断。
3. 收敛条件
对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：
a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那
么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
4. 不收敛的情况
尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。
5. 收敛速度
除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
6. 数值实例
接下来，我们将通过一个数值实例来说明Gauss-Seidel迭代法的收敛判断。
假设我们有如下线性方程组：
3x1 + 1x2 - 1x3 = 4
3x1 + 6x2 + 2x3 = 2
3x1 + 3x2 + 7x3 = -2
其系数矩阵为：
3 1 -1
3 6 2
3 3 7
我们可以通过计算该系数矩阵的特征值来判断Gauss-Seidel迭代法的收敛性。如果特征值都是正的或者都在单位圆内，就可以判定迭代法
收敛。如果特征值中存在大于1的特征值，迭代法则可能不收敛。
在这个具体的例子中，我们可以通过运用特征值计算公式来计算出这
个矩阵的特征值。若特征值全部小于1，则Gauss-Seidel迭代法收敛。
7. 结论
Gauss-Seidel迭代法在实际应用中是一种非常常用的求解线性方程组的方法，它的收敛性以及收敛速度对于算法的准确性和效率至关重要。我们可以通过判断对角占优条件、正定条件和非奇异条件来预判Gauss-Seidel迭代法的收敛性，如果无法满足这些条件，就需要进行改进或者选择其他更适合的算法来求解线性方程组。在实际使用中，
也可以通过数值实例来验证Gauss-Seidel迭代法的收敛性。通过合理的判断和应用，可以保证Gauss-Seidel迭代法的准确性和可靠性，为科学计算和工程问题的求解提供有力的支持。
gauss-seidel迭代法收敛判断
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。 1. 收敛性定义 在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。 2. Gauss-Seidel迭代法 Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。然而，它的收敛性需要进行严格的判断。 3. 收敛条件 对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断： a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那
么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。 b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。 c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。 4. 不收敛的情况 尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。 5. 收敛速度 除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
高斯-塞德尔迭代法
实验报告 一．实验名称：高斯-塞德尔迭代法 二．实验目的： 理解解线形方程组的迭代法，会编写解线性形方程组的迭代算法（高斯-赛德尔迭代法）。 三．实验内容： 用matlab实现高斯-赛德尔迭代法，并用其解线性方程组： 四．实验基础知识及原理： 1.)高斯-赛德尔迭代法计算公式：（Ax=b） 误差计算： 2.) 高斯-赛德尔迭代法算法步骤： 设Ax=b，其中A∈R n×n为非奇异矩阵切a ii≠0(i=1,2,…,n),本算法用高斯 -赛德尔迭代法解Ax=b，数组x(n)开始存放x(0),后存放x(k), N0为最大迭 代次数。 1、x i←0.0(i=1,2,…,n) 2、对于k=1,2,…,N0 迭代一次，这个算法需要的运行次数至多与矩阵A的非零元素 的个数一样多。
五. 具体实验过程 1）算法设计和代码： function[ x_result ] = Gauss_Seidel( A,b,e ) %---------该函数只是针对实验提供的矩阵，精确值是确定的，其他线性方程组要先 求出精确值 %A为系数矩阵 %b为结果矩阵 %e为误差范围 [row,cod]=size(A); accuracy=[1,1,1]';%精确值 disp(['精确值为: ',num2str(accuracy')]); %%对系数矩阵分解A=M-N=(D-L)-U, x(k+1)=Bx(k+1)*+f D=blkdiag(A(1,1),A(2,2),A(3,3)); %A的对角阵 L=tril(-A,-1); %A的下三角阵 U=triu(-A,1); %A的上三角阵 B=(D-L)\U; f=(D-L)\(b'); %开始迭代 x0=[0,0,0]';%初始量 e_temp=norm((x0-accuracy),inf); %求x0-accurate的无穷范数，即精确值 number_cicle=1; disp('迭代次数误差迭代值'); while(e_temp>e) for i=1:row k=B(i,:); l=f(i,:); x_temp=k*x0+l; x0(i,1)=x_temp; end; e_temp=norm((x0-accuracy),inf); x_result=x0; fprintf(' %d %f ',number_cicle,e); disp(x_result'); number_cicle=number_cicle+1; end; end； 2）测试结果：
Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法
Matlab线性方程组的迭代解法（Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法）实验报告2008年11月09日星期日12:49 1.熟悉Jacobi迭代法，并编写Matlab程序matlab程序 按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m) function [x, k, index]=Jacobi(A, b, ep, it_max) %求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中 % A ---方程组的系数矩阵 % b ---方程组的右端项 % ep ---精度要求。省缺为1e-5 % it_max ---最大迭代次数，省缺为100 % x ---方程组的解 % k ---迭代次数 % index --- index=1表示迭代收敛到指定要求； % index=0表示迭代失败 if nargin <4 it_max=100; end if nargin <3 ep=1e-5; end n=length(A); k=0; x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1; while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j~=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i))<1e-10 | k==it_max index=0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf) 【题目】：Gauss-Seidel迭代法及Matlab代码实例 【内容】： 1. Gauss-Seidel迭代法介绍 Gauss-Seidel迭代法是一种用于解线性方程组的数值方法，基于逐次逼近的思想，通过不断迭代逼近线性方程组的解。该方法通常用于求解大型稀疏线性方程组，其收敛速度相对较快。 2. 迭代公式推导 假设有如下线性方程组： $$ Ax=b $$ 其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为： $$ x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b- Ux^{(k)}) $$ 其中，D为A的对角矩阵，L为A的严格下三角矩阵，U为A的严格上三角矩阵，k为迭代次数。 3. Matlab代码实现 下面给出Gauss-Seidel迭代法的Matlab代码实例： ```matlab function [x, k] = gaussSeidel(A, b, x0, tol, maxIter) A: 系数矩阵 b: 常数向量 x0: 初始解向量 tol: 容差 maxIter: 最大迭代次数 x: 解向量 k: 迭代次数 n = length(b); x = x0; k = 0; while k < maxIter x_old = x; for i = 1:n x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i); end if norm(x - x_old, inf) < tol return end k = k + 1; end disp('迭代次数达到最大值，未达到容差要求'); end ``` 4. 应用实例 假设有如下线性方程组： $$ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_3 = 5\\ -x_1 + 2x_2 - x_3 = -2\\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \end{cases} $$ 系数矩阵A为： $$ \begin{bmatrix} 2 -1 1\\ 线性方程组的迭代解法（Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭 按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m) function [x, k, index]=Jacobi(A, b, ep, it_max) % 求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中 % A --- 方程组的系数矩阵 % b --- 方程组的右端项 % ep --- 精度要求。省缺为1e-5 % it_max --- 最大迭代次数，省缺为100 % x --- 方程组的解 % k --- 迭代次数 % index --- index=1表示迭代收敛到指定要求； % index=0表示迭代失败 if nargin <4 it_max=100; end if nargin <3 ep=1e-5; end n=length(A); k=0; x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1; while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j~=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i))<1e-10 | k==it_max index=0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf) Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。 一、Gauss-Seidel迭代法简介 Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。它的迭代更新公式为： xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj) 其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量； ∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。 二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断 针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算： function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk) n=length(b); x=x0; for k=1:maxk x0=x; for i=1:n x(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i)); end if norm(x-x0,inf) Matlab 数值分析Gauss_Seidel高斯赛德尔迭代法 %* Gauss_Seidel迭代法求解线性方程组-----------------------------------------%* 输入方程组、预处理------------------------------------------------------- A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; %A矩阵 b=[-12;20;3]; %列向量b x1=[-3;1;1]; %初始x1 eps=1e-3; % 精度要求 %* 开始迭代求解------------------------------------------------------------ max=1000; % 最大迭代次数 n=length(A); % 系数矩阵A的维数 k=0; while 1 x=x1; %保存每次的x1，用于判定精度 %* 先计算X1(1)，与Jacobi迭代法计算一致 x1(1)=( b(1)-A(1,2:n)*x1(2:n,1) )/A(1,1); %* 再计算X1(i)，i=2,3,...,n-1 for i=2:n-1 x1(i)=( b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x1(i+1:n,1) )/A(i,i); end %* 最后计算X1(n) x1(n)=( b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1) )/A(n,n); k=k+1; %* 计算前后迭代解X1的误差 if sum( abs(x1-x) ) 2.高斯塞德尔迭代法 令M=D-L,A=M-N,得B=(D-L)^-1U=G,G 为高斯塞德尔迭代法的迭代 矩阵，得到 1 111 1 i n k k k ii i ij j ij j i j j i a x a x a x b -++==+=-- +∑∑，所以高斯塞德尔计算公式为 000012(X ,X ........X )T n x =， 1k i x +=（1 11 1 i n k k ij j ij j i j j i a x a x b -+==+-- +∑∑）/ii a ， i=1,2,3.......,k=0,1,2..... 【实验问题】 用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法求解线性方程组，判断收敛性 【实验过程与结果】 1.理解两种迭代法的计算思想，掌握方法推到计算公式 2.用matlab 编程实现 3.对实验结果进行分析，比较两种方法，并判断收敛性 【结果分析、讨论与结论】 两种方法得到的结果一样， 雅可比 k = 17 x = -0.1348 -1.0829 3.9203 2.高斯塞德尔k = 17 x = -0.1348 -1.0829 3.9203 【附程序】 1.雅可比程序算法 function x=jacobi(A,b,x0,tol) n=length(b); x=zeros(n,1); x=x0+1; k=0; while norm(x-x0)>tol if k>20 disp('jacobi fails') break; end k=k+1; for i=1:n x0=x; x(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0+A(i,i)*x(i))/A(i,i); end end 2011-2012（1）专业课程实践论文 Gauss-Seidel迭代法 彭泳，30号，R数学071班 1.Gauss-Seidel 迭代法的基本思想 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量)1(+k i x 时，用最新分量)1(1+k x ，⋅⋅⋅+)1(2k x )1(1-+k i x 代替旧分量)(1k x ，⋅⋅⋅)(2k x )(1-k i x ，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，⋅⋅⋅= (初始向量)， )(11111)()1( ) 1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，，，；，，， 或者写为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==∆+=∑∑-=-+=+++)(1)210i 210(1111)( )1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 2. Gauss-Seidel 迭代法的矩阵表示 将A 分裂成U D L A ++=，则b x =A 等价于b x =++U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 )()1()1(k k k Ux Lx b Dx --=++ 故 )()1()(k k Ux b x L D -=++ 若设1)(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--++++-= 令 b L D f U L D G 11)()(--+=--=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+)()1( 数值计算 高斯消去法和高斯-塞德尔迭代法 摘要 虽然已学过加减消元法、代入消元法、矩阵变换法和Cramer 法则等，但是无法满足实际计算需要，故在此讨论在计算机上实现的有效而实用的解法。线性方程组的解法大致分2类：直接法（高斯消去法）和迭代法（高斯-赛德尔迭代法），在此对着此类算法进行比较分析。 一、算法设计 当计算线性方程组如下时， 11112211 21122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨ ⎪ ⎪+++=⎩ (1-1) 为方便起见，常将线性方程组表示成矩阵形式 Ax b = 其中 1111n n nn a a A a a ⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1n x x x ⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1n b b b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 并始终假定A 是非奇异的，即方程组的解存在且唯一。 1.1高斯消去法 消去法就是按特定顺序进行的矩阵初等变换法，当消元按自然顺序进行时，称为 高斯顺序消去法。一般情况下的高斯顺序消去法的计算机算法如下，现将方程组（1-1）的增广矩阵记作 (0)(0)(0)11111(0)(0)(0)11n n n nn nn a a a a a a ++⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 假设经k-1步消元后，增广矩阵化为 (0)(0) (0)(0)1112111 (1)(1)(1)22 221(1)(1) (1)1(1)(1)(1) 1n n n n k k k kk kn kn k k k nk nn nn a a a a a a a a a a a a a ++---+---+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣ ⎦ 其中() s ij a 的上标表示是由s 步消元得到的植。 Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代 法算法比较 目录 1 引言 (1) 1.1Jacobi迭代法 (2) 1.2Gauss-Seidel迭代法 (2) 1.3逐次超松弛（SOR）迭代法 (3) 2算法分析 (3) 3 结论 (5) 4 附录程序 (5) 参考文献 (8) Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较 1 引言 解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。 迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。 迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。设n 元线性微分方程组 b Ax = (1) 的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： b x P N =-)（ b Px Nx += b N Px N x 11--+= 可得到迭代方法的一般公式： d Gx x k k +=+) ) 1(（ （2） 其中：P N G 1 -=，b N d 1 -=，对任取一向量) 0(x 作为方程组的初始近似解，按递推公式产 生一个向量序列) 1(x ，) 2(x ，...，） k x (，...，当k 足够大时，此序列就可以作为线性方程组的 近似解。 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩阵G 的谱半径小于1，即1<）（G ρ；又因为对于任何矩阵范数恒有≤） （G ρ‖G ‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖G ‖< 1。 G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数值分析课程论文 姓名: 学号: Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 摘要 线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组. 论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础. 论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确. 论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组. 关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序 目录 1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1) 1.1线性方程组的迭代法求解 (1) 1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2) 2.具体的算例和操作步骤 (3) 2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3) 2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3) 3．MATLAB程序 (4) 参考文献 (6) 数值计算方法考试试题 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1⎰ =的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x Gauss-Seidel 迭代矩阵求法的思考 在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵B 的某种范数1<=q B ， 则迭代法 ,1,0,)()1(=+=+k d Bx x k k 对任意的初始向量)0(x 都收敛 于方程组b Ax =的精确解*x 。从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法是否收敛，就要知道迭代矩阵（当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代一定收敛），Jacobi 迭代矩阵为A D I U L D B J 11)(---=+-=，Gauss-Seidel 迭代矩阵， U L D B G 1)(-+-=这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆。 从上高等代数时学到矩阵的逆开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵A 的逆* 11A A A = -,这就必须求出A 的行列式A 与A 的伴随矩阵*A ,对于求矩阵A 的行列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此， 这儿还要求出矩阵A 的伴随矩阵*A 。如果矩阵⎥ ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 ，则 ⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111*，而其中的nn j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a A 1 ,1 ,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 ij +-+++-++-+----+-=， 因此求*A 的计算量比求A 的行列式的计算量还要大的多，所以1-A 很难求。因此数学家便开始寻找求1-A 的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即对 ()E A 进行初等行变换，当把A 变成E 时，E 便变成了1-A ，此方法要简单的多， 但在变换过程中要消耗大量空间。 在用迭代法解线性方程组的方法中，都涉及到了一个矩阵的逆，而且其涉及到的还不仅仅是一个矩阵的逆那么简单，其涉及到的是用一个矩阵的逆去乘另一个矩阵，如果一步一步算，想要算出矩阵的逆，再算两个矩阵相乘，没有一步是简单的，两步计算过程都很繁琐，极易出错。仔细观察后，我发现正是因为矩阵 一类新的预条件Gauss-Seidel迭代法 摘要：本文给出了一个新的预条件因子 P,证明了在非奇异M矩阵和严 t 格对角占优L矩阵下，该预条件不仅加快了Gauss—Seidel迭代法的收敛速度，而且说明了在该预条件下Gauss—Seidel迭代法的谱半径是单调下降的.最后再用相关的数值例子说明文中给出的预条件 P要优于文献中所给的预条件. t 关键词：预条件；Gauss—Seidel迭代法；谱半径；收敛性；收敛速度. A New Class of Preconditioned Gauss-Seidel Interative Method P. Abstract: This paper give a new preconditioner large sparse linear equations t In the pre condition,by using Gauss-Seidel iteration format was linear equations .we first present a preconditions factor and then prove the accelerated convergence of the iteration method by the preconditions under the nonsingular Mmatrix．Discussed the in the the Strictly Diagonally Dominant the L matrix under the conditions of, the pre-conditions to speed up the the the convergence speed of of the Gauss-Seidel iterative method, but also in the the pre-under the conditions of the the Spectral Radius of the Gauss-Seidel iterative method is monotonic declining．Finally，some numerical examples are given to explain our theoretical result. Key words:pre-conditions factor，Gauss—Seidel iteration method ，spectral radius，weak regular splitting;，convergence rate.gauss-seidel迭代法例题matlab代码
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