因式分解讲义

因式分解讲义

课 题 因式分解

学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。

2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。

学习重点

重点：因式分解的概念与提公因式法。

难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。

学习方法 讲解法 练习法

学习内容与过程

教师分析与批改 一、回顾：

1、整式乘法有几种形式？

（1） 单项式乘以单项式

（2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an

（3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn

2、乘法公式有哪些？

（1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+

（2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=±

3、试计算

（1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3）

（3）()22b a + （4）()23b a -

二、探索新知，找出规律

1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？

（1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ）

（3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。

想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？

因式分解与整式乘法的关系：

因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ）

说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形

式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。

三、巩固练习

1、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？

（1）()()y x y x y x 22422+-=- （2）()xy x y x x 62322-=-

（3）()110251522+-=-a a a （4）()22244+=++x x x

（5）（a ＋3）（a －3）=2a －9 （6）()()2242-+=-m m m

2、想一想：多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 ？你知

道这个相同的因式怎样称呼吗？

我们称之为公因式，介绍“提公因式法”：

把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

利用()()b a b a b a -+=-22和()2222b a b ab a ±=+±乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法。其中，a 、b 可以表示单项式，也可以表示多项式。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

四、例题精讲

例1对下列多项式进行因式分解：

（1）－5a 2＋25a ；

（2）3a 2－9ab ；

（3）25x 2－16y 2；

（4）x 2＋4xy ＋4y 2. 五、练习 1、多项式x 2+ax+b 因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b 的值

2、因式分解6a 2b+4ab 2-2ab ．

3、因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y．

4、因式分解64x6-1．

5、因式分解(x+y)2-6(x+y)+9．

6、（1）x2-2xy+y2-1 （2）x2-2y-y2-1

六、小结：在这节课中你学到了什么？

1、因式分解和整式乘法有何区别？

2、分解因式要注意几个问题？

3、常用的因式分解有几种方法？

因式分解专项练习题(含复习资料)

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6 （2）2x2+88 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣（2）3a3 ﹣6a232． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x22）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）62﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）22﹣8a （2）4x3+4x22 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x22）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣223 （2）（2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣44﹣b2

10．分解因式：a2﹣b2﹣21 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x42+21 ﹣a2 （3）（1）2﹣2x2（1﹣y2）4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+21 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣3115；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x51； （4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣2． 因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6；（2）2x2+88 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣63p（p﹣2q）， （2）2x2+88，=2（x2+44），=2（2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣（2）3a3﹣6a232． 分析：（1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可；

因式分解全章讲义包括练习

提公因式法（基础） 【学习目标】 1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即，而正好是 除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的 第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴； ⑵ ⑶； ⑷ 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． m m ( )()33 2 2 623a b a b ab -=-()ma mb c m a b c -+=-+()2 22 61266x xy y x y ++=+()()22323294a b a b a b +-=-

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.

因式分解-复习-专题-讲义-知识点-典型例题

因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。

因式分解讲义

因式分解讲义 课 题 因式分解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习

浙教版因式分解复习讲义

浙教版因式分解复习讲义． 一、基础知识因式分解概念：1.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，也可称为将这这就叫做把这个多项式因式分解，

个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。．常用的因式分解方法：2，分解成两个）提公因式法：把（1mcmb?ma?其中一个因式是各项的公因式因式乘积的形式，所得的商，除以mm，另一个因式是)?c(a?b mc??mbma像这种分解因式的方法叫做提公因式法。叫做这①多项式各项都含有的相同因式，个多项

式各项的公因式。各项系数的最大②公因式的构成：系数：公约数；各项都含有的相字母：同字母；相同字母的最低指数： 次幂。）公式法：（2 ①常用公式平方差：完全平方：222)2ab?b?(a?b?a②常见的 22)b)(a?b?ab?(a? 两个二项式幂的变号规律：．（为正整数）；2n2n2n?12n?1)?(ab(?)b?()?b()?aa??ban）十字相乘法3（． ①二次项系数为1的二次三项式2?px?xq的积，分解成两个因式中，如果能把常数项q ba,那么它就可以分解等于一次项系数中并且，pba?

成 ??????22bxx?a??pxq?x??ab?xab?x?的二次 三项式1②二次项系数不为分解成两个因中，如果能把二次项系数2cax?bx?a的积，分解成两个因数数的积，把常数项cc,a,ac2211，那么它就可以分等于一次项系数并且c?aac b1221??????解成：。 （4）分组分解法适用 22c?axaax??ccaac?c?xacbxax???ax?12122112122 于四项以上的分组分解法，①定义：没有

因式分解-讲义

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因式分解(一)-一般方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7． 2

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且

，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：

因式分解专题复习讲义

因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值

3.指出下列各多项式的公因式： （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

（一）提公因式法 1、公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法， 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2

因式分解讲义

因式分解 知识点1：因式分解的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： 例如： 1．的公因式是 -aby +_________ abx- 3ab 多项式9 6 2．多项式32232 a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（） 81624 A．2 2ab D．33 24a b c -C．3 -B．3 4ab c 8ab

3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如： 用到平方差公式时） 如： 22188y x +- 练习： 1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )

y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431-- 2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)3 3. 公因式只相差符号的类型： 公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负 (1 2A ．))(3(x x y +- B ．))(3(x x y -- C ．)1)(3(x y x +- D ．)1)(3(x y x --3．分解因式： （1）)(()()(y x x y n y x m -=-+-________) （2）－6(x －y)4－3y(y －x)5 知识点4公式法分解因式

因式分解的四种方法(讲义)

因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1．平方差公式：___________________；完全平方公式：_______________________； _______________________． 2．对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3．探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100-=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ 知识点睛 1．__________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽；②首项为负时要提出负号；③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式；②找准公式中的a 和b ． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．

因式分解-复习-专题-讲义-知识点-典型例题

因式分解复习 、基础知识 1?因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2?常用的因式分解方法: (1 )提公因式法：把ma mb me,分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a b e)是ma mb me除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幕。 (2 )公式法： ①常用公式 2 2 平方差：a b (a b)(a b) 2 2 2 完全平方：a 2ab b (a b) ②常见的两个二项式幕的变号规律： (a b)2n (b a)2n；(a b)2n 1 (b a)2n 1? ( n 为正整数) ①二次项系数为1的二次三项式X px q中，如果能把常数项q分解成两个因式a,b的积，并且a b 等于一次项系数中p，那么它就可以分解成 x2 px q x2 a b x ab x a x b 2 ②二次项系数不为1的二次三项式ax bx e中，如果能把二次项系数a分解成两个因数印，去的积，把常数项C分解成两个因数C1，C2的积，并且印① a2C1等于一次项系数b，那么它就可以分解成： 2 , 2 ax bx e a^x a? a2& x c? a〔x a a?x c? 。 (4)分组分解法 2 2 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如 a b a b没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

因式分解专题复习讲义

因式分解专题复习 【知识回顾】 1、下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()() ()112+-=+-b ab a b b a a 2、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A.()21a a a a +=+ B. ()23131a a a a +=++－ C.()2242( 2)x y x y x y =+－－ D. ()33()a b b a -=－－ 一、提公因式法 （1）提公因式法： ()ab ac a b c +=+ ①提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 ②当某一项全部提出时，括号内加1； ③当第一项系数为负数时，一般提取此负号。 【例题辨析】 1、把多项式－8a 2b 3c ＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( ) A.－8a 2bc B. 2a 2b 2c 3 C.－4abc D. 24a 3b 3c 3 2、20032002)2()2(-+-因式分解后是( ). A.22002 B.–2 C.–22002 D.–1 3、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 二、公式法 1、平方差公式： 2、完全平方公式： 【例题辨析】 1、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a

整式的乘法与因式分解讲义课

整式乘除与因式分解 一．知识点 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ） 2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0 =-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ??? ??=? ?? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）2231 23abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1(n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232 (2? - （3）)32()5(-22n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(2322 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1） )6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是

因式分解讲义(适合基础的)

因式分解 知识网络详解： 因式分解的基本方法： 1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个： 平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式 ()2 222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、 凑、拆、分”等技巧。 4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， （A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（ ） （A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2 （C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()222y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )． （A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 经典例题讲解：

因式分解-讲义

因式分解(一)-一般方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；

(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

因式分解讲义

因 式 分 解 专 题 课 题 因 式 分 解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习

因式分解讲义doc资料

环球雅思学科教师辅导教案

(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； (2 )取相同的字母，字母的指数取较低的； (3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的 (4 )所有这些因式的乘积即为公因式? 4、注意事项： 多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示： 1、将下列各式分解因式： (1)3a(x y)-2b(x y); (2)12(m n)218(m n)3 4; (3)3(2x y)6( y 2x)3; (4) 1 2 a b(2P 3 2 2 2 q) . ab (q p ) 4 8 2、下列分解因式结果正确的是() A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x) B. x3 2x2 x x(x22x) 2 2 C. a(a b) ab(a b) a(a b) D. 3x n 6xn 3xn(x 2) 提高练习 1、如果b-a=—6, ab=7，那么a2b ab2的值是() A.42 B. —42 C.13 D. —13 3 2 2 2、若4x —6x =2x(2 x+k)，贝U k= ______ . 3.2( a—b)3—4(b—a)2=2(a—b)2( ________ ). 4.36 X 29—12X 33=

5、分解因式 2 2 ⑴(x y)(x y) (x y) ⑵8a(x y) 4b(y x) 6. 计算与求值 29X 20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 —14X 20.03. 7、.先化简，再求值 1 1 a(8 —a)+ b(a—8) —c(8 —a)，其中a=1, b= , c=. 2 2 1 8、已知2x y - , xy 2，求2x4y3 x3y4的值. 8 方法二?公式法 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 F面我们就来学习用公式法进行因式分解

沪科版七年级数学下册第8章 整式的乘法与因式分解复习讲义(解析版)

沪科版七年级数学下册第8章 整式的乘法与因式分解复习讲义 01 本章结构图 整式的乘法与因式分解?????幂的运算性质 整式的乘法、整式的除法乘法公式?????平方差公式完全平方公式因式分解?????提公因式法公式法 02 重难点突破 重难点1 幂的运算 【例1】 下列计算错误的是(C ) A ．a ·a 2＝a 3 B ．a 6÷a 2＝a 4 C ．(x 2)3＝x 5 D ．(ab 2)3＝a 3b 6 【方法归纳】 运用幂的运算法则进行计算时，应注意几种运算性质之间的区别，不能混淆． 变式训练 1．(云南中考)下列运算正确的是(D ) A ．3x 2＋2x 3＝5x 6 B ．50＝0 C ．2－3＝16 D ．(x 3)2＝x 6 2．已知a m ＝3，a n ＝4，则a 3m ＋2n ＝432． 3．计算：(－12a 2b)3＝－18 a 6 b 3． 重难点2 整式的乘除 【例2】 (南通中考)计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y. 解：原式＝[x 2y(xy －1)－x 2y(1－xy)]÷x 2y ＝[x 2y(2xy －2)]÷x 2y ＝2xy －2. 【方法归纳】 整式的混合运算与有理数的混合运算类似，主要紧扣运算顺序和运算法则两点． 变式训练 4．计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷3x 2y ，其中x ＝1，y ＝3. 解：原式＝(x 3y 2－x 2y －x 2y ＋x 3y 2)÷3x 2y

＝23xy －23 . 当x ＝1，y ＝3时， 原式＝23×1×3－23＝43 . 5．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值． 解：原式＝x 2－5x ＋1. 当x 2－5x ＝14时， 原式＝(x 2－5x)＋1＝14＋1＝15. 重难点3 乘法公式 【例3】 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(C ) A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2 B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2 C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b) D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 2 【方法归纳】 将整式乘法公式的验证融合在几何图形中，解答这类问题的关键是用不同方法来表示一个图形的面积． 变式训练 6．利用乘法公式计算： (1)982－101×99； 解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1 ＝－395.

因式分解(讲义)(含答案)

因式分解（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：______________________________________． 2. 探索新知：39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 3229999 9999991 99(991) 999800 9998100-=?-?=?-=?=?? 所以39999-能被100整除． 类比小明的做法，请说明38989-能被90整除．

? 知识点睛 1. _________________________________________，这种变形叫做因式分解．因式分 解也可称为分解因式． 2. 多项式各项都含有的___________，叫做这个多项式各项的公因式． 3. 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把_________ 提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 运用提公因式法需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时，先提出负号； ③提公因式后项数不变． 4. 公式法： 利用__________把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．“两项”通常考虑___________，“三项”通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ． 5. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围 的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ??++=++ ???； ⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-． 2. 因式分解（提公因式法）： （1）33x x -； （2）32520y y +； 解：原式= 解：原式= （3）2212246a b ab ab -+； （4）32a a a --+；

因式分解四种方法(讲义)

因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗 小明是这样做的： 32299999999991 99(991)99(991)(991)9998009998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗你是怎样想的 （3）3m m -能被哪些整式整除 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①___________________________； ②___________________________； ③___________________________． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．