层次分析法的应用

承诺书

我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们的参赛报名号为：3742

参赛组别（研究生或本科或专科）：本科

参赛队员(签名) ：

队员1：柯先庆

队员2：鲁松

队员3：李国强

获奖证书邮寄地址：安徽凤阳安徽科技学院数学系233100

编号专用页

参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：

3742

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

题目幸福感的评价与量化模型

摘要

本文针对身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活以及自我价值实现等因素对人们幸福感的影响，分别运用三种不同的模型建立衡量人们幸福感的量化模型。

模型一采用灰色关联分析方法，主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。经过分析求解得到五个隐变量影响程度由强至弱依次是物质保障(0.446)、身心健康(0．232)、社会幸福感(0．17)、自我价值的实现(0.093)、家庭生活（0.059）。

模型二先是用贴近度对数据进行处理，再运用层次分析法对幸福指数各因素进行权重分析，得自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。

模型三运用指数拟合方法对同一地区的教师和学生的幸福指数进行分析。得到社会地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸福的主要因素。而健康满意度，生活满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度师是影响学生幸福的主要因素。

最后对各个模型的优缺点和推广进行了讨论分析。

关键字：幸福感灰色关联分析贴近度层次分析拟合

一、问题重述

1.1 问题背景

幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。

1.2 涉及材料背景

吴启富等利用结构方程模型，通过路径分析，测定了影响北京市居民幸福感的五个隐变量及其影响强度，分别为身心健康(0．53)、物质条件(0．509)、家庭生活(0．298)、社会幸福感(0．143)和自我价值的实现(0．014)。

1.3 问题提出

根据附表数据，建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型；查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素；你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之；根据所建模型得出的结论，给相关部门写一封短信，阐明你对幸福的理解和建议。

二、问题分析与基本假设

2.1 对“幸福感”的定性及定量分析

“幸福感”仅仅是一个宽泛的概念，因此在实际生活中需要将幸福感转化为有参考价值的数据时，往往需要利用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。本文在评估幸福感时，正是应用了这种方法。通过三种不同的思路，分别建立模型。第一种方法是通过改进的灰色关联计算出各个指标与幸福感的关联程度和萨缪森公式建立幸福指数的

数学模型。第二种方法是基于层次分析方法的优点和幸福指数影响因素分析的特点分析各指标对幸福感的影响立幸福指数的数学模型。第三种方法是从统计学的角度并利用拟合思想建立幸福指数的数学模型。

2.2 参考角度

1．计算各个指标对幸福感的影响程度，与定性分析做比较。

2.比较三种方法建立的幸福指数建立的数学模型，选择更好的幸福指数的数学模型，

并对建立的模型进行比较讨论是否能推广到一般的人群与对结果分析得出对幸福的理解和建议。

2.3基本假设

1．调查问卷是科学的，包括了影响幸福感的基本指标。

2．调查问卷调查是随机的，且面向群众广。

3．调查问卷每项假设为非常、比较、一般、比较不、很不。

4．等级量化均为5、4、3、2、1。

三、符号说明

m ：为影响幸福感显性指标的个数； n ：表示影响幸福感隐性指标的个数； k ：表示程度等级；

()A k ：表示人群中幸福感程度的百分比；

()i hs k ：表示i 影响指标的各等级程度的百分比； S H :幸福量化值；

i hs ：表示第i 个影响幸福感的指标；

ω：表示显性指标对幸福感影响的权向量； i c ：表示第i 个指标对幸福感拟合的倍数参数； i a ：表示第i 个指标对幸福感拟合的指数参数； j r :表示影响幸福感指标的灰色关联值；

i α：表示显性变量对效用的调节系数；

v ω：表示隐形性指标对幸福感影响的权向量；

i σ：表示第 i 个指标的贴近度。

四、模型的建立与求解

4.1 模型一

通过多种方法建立相应的模型来分析各个因素之间的关系。灰色关联分析方法[8](22-57)[9](31-47)具有独特的优势，它主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，对样本量的多少和数据分布的规律性没有特殊要求，而且计算量小，易于实现。鉴于本文的研究问题，所以采用相对关联度进行分析。 4.1.1模型建立 第一步，确定分析序列。设幸福感等级的统计频率为参考序列，记为{1,2,,}A Ak q =∣= ，设各个指标为比较序列，记为i i hs {1,2,,}(i=1,2,,m)hs k q =∣= 。

第二步，标准化，即对原始数据进行无量纲化和初值化处理。()()()1/q

A k A k A k =∑，

()()()1

/q

hs k hs k hs k =∑， 则处理后相应的参考序列与比较序列分别为()0x k 和()i k hs 。

第三步，计算关联系数。()()()()()()()()()i i i i 0i i

min min|A k -hs k |+p max max|A k -x k |

==

|A k -hs k |+p max max|A k -hs k |

i

k

k

i k

k ε为序列A

和()i hs k 在等级k 的关联系数。式中()()()i |A k -hs k |i k = 称为在K 点()k A 和()i k hs 的绝对差；()()0i min min|A k -hs k |=min i

k

称为最小绝对差；()()i i

max max|A k -hs k |=max k

称

为最大绝对差；ρ 称为分辨系数。

第四步，计算关联度并对其进行排序。参考序列与比较序列的关联度为序列在各时刻关

联系数的均值，记作()1

11,2,,m

i i i k i m m r ===∑ε 。

第五步，计算指标的灰色关联度，并进行归一化处理得到效用调节系数i α，萨缪森公式

[5]建立幸福指数的数学模型(1

()5

i s i H hs α=∏均是量化值）。

4.1.2模型求解

据以上理论,选自己幸福程度作为参考数列,选幸福指数各指标程度的频数作为比较数列。经计算各个程度较数列的绝对差值和()i k 值,在此基础上根据上式运用MATLAB 数 学软件计算i r ,结果如下表2

表2 关联度计算结果

经过归一化处理后，得到五个隐变量对幸福指数影响程度的标准系数估计值，按照影响程度由强至弱依次是物质保障(0.446)、身心健康(0．232)、社会幸福感(0．17)、自我价值的实现(0.093)、家庭生活（0.059）。为了进一步了解影响幸福指数的具体因素， 下面从隐变量入手，分析每个显变量对隐变量和幸福指数[7]的影响情况。

1．身心健康。在影响身心健康的众多因素中，排在第一位的是对自己的自信程度(0．6482)，下面依次是生活态度(0．6460)，工作和生活压力(0．5753)，业余生活丰富(0．5553)，自己目前的身心健康状况(0．5274)。排在前三位的都是属于心理健康，可见在身体和心理健康的对比上，民众普遍认为心理健康对幸福指数影响更为显著。 2．物质保障。对目前社会经济发展状况满意(0．8745)在物质保障中是影响最大的，其次分别是对所在地公共安全满意(0．8652) ，所在城市的环境(0．84634)，对自己目前住房条件满意(0．8304)，所在城市的生活节奏(0．8144)，公共交通很便捷(0.8106)，对自己目前经济收入满意（0.6804）。从关联系数可以看出，社会经济发展状况对一个人的幸福感影响最大。主要原因在于，在竞争激烈的当今社会，居民的社会保障体系还不太完善，加上对生活质量要求高，所以城市的经济发展状况是制约物质和精神生活的关键因素。

3．社会关系。朋友或同学关系友好(0．7320)，对社会幸福感来说是最重要的，其他几个因素按影响系数由大到小依次是同事关系(0．7308)，邻里关系(0．7294)。影响因素都是指良好的人际关系，这与现实也是相符合的。良好的人际关系能缓解工作生活方面的压力，增强自信心，自然也就提高社会幸福感，最终影响幸福指数的大小。

4．自我价值的实现。个人价值实现中最具影响力的是在事业上的发展前途(0．6270)，以及在工作或学业上有成就感（0.5770）。居民对事业发展有较高的预期，说明对未来是积极乐观的，保持一种愉悦的心情，自然会提高幸福指数。

5．家庭生活。自己与家庭成员之间的关系(0．7553)。幸福的家庭生活就是有一个稳定的家，理解支持自己的家人，与家人之间的关系和睦必然会促进幸福感的提高。

4.2 模型二

层次分析法[1](224-244)是一种定性与定量相结合、系统化、层次化的分析法。基于本文的数据都是主观感受的数据和幸福感地特点，所以利用层次分析法对幸福感进行分析，并结合贴近度对数据进行处理。 4.2.1模型建立

贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标,有限域{},,,,U=非常比较一般比较不很不设为{}51234U=,,,,x x x x x ,令幸福感为A ,各个幸福指标为i hs 。 （1）.选取改进的贴近度[2](102-111)公式()[]

[]

5

k

k=1

i 5

k

k=1

A()()A,hs =

(1,2,A()()i

k

i i

k

x hs x i x hs x σ∧=?,18)

∨∑∑计算各个指标与幸福感的贴近度。

表3 关联度计算结果

找出贴近度的最大值M 与最小值m, 118

118

max (),max ().m m m m M

m σσ≤≤≤≤==选取正整数

9p =，利用公式M m p

-计算出贴进度分成p 组的组距，并利用择近原则得到正互反评

判矩阵

1111m m mm a a A a a =?? ? ? ???

利用根法求出正互反矩阵的最大特征根和特征向量，即1111111111111111m m m mm m mm a a A B a a C D b b b b C D ω==???????? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

→→→ 列向量归一化按行求和归一化()1

/A m

λωω=

从而得到各个指标对幸福感的权重，及得到权向量ω。 4.2.2模型求解

根据以上各指标的贴近度，我们对各个因素（hs6,hs8,hs10,hs9,hs7,hs5,hs14,hs13,hs11,hs12,hs18,hs4,hs17,hs15,hs16,hs2,hs3,hs1）建立如下判断矩阵：

11111111111 1 3 4 1 4 4 1 526526635321111 5 1 4 1 4 7 8 4 8 8 5 1 3 4 22231 2 4A =1111111 1 1 4 5 2 5 7 1 15455242

6 2 5 1 2 5 8 9 6 9 1 9 6 1 4 2 4 51 5 1 4 211 1 4

7

8 5 8 8 5 3 1 3 42211111111 2 1 1 3 5 2 5 5 2 145455242111111 374873********* 2 2 3 37385753111111111111111 1 1 1 48

598524959686511111 1 3 4 1 4 42652111111 4 1 5635321111111

11111111 1 1 1 4859852484968641 6 5 1 2 5 7 9 5 8 1 9 21 5 3 2 4 52111111111111111 1 1 1 4879853494968651111111 1 1 3 5 1 4 4 1 565256311

153 6 2 5 1 2 5 8 9 6 9 2 9 6 1 4 2 4 611111 3 3 2 2 5 6 3 6 6 3 1 43343 1 31111 5 4 1 4 7 8 5 8 8 5 3 1 3 47222111111

3 2 2 5 6 3 6 6 3 1 1 33434431 2 41111111

1 1 3 5

2 4 5 1 15456343?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

??

由MATLAB 7.8.0进行编程整理，得：

()

2

max (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18)103,9.1,5.1,.9,18.975

T

w hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs hs λ-===0 3.3,2.3,9.5,8.7,13.7,3.4,2.4,0.9,0.9,1.4,14,5,6.4,2.6,1.19

对判断矩阵进行一致性检验：

max

..1

......

m C I m C I C R R I λ-=-=

经过查找可得： 当n 为18时, ..1R I > ..0.0556

..0.05560.1

C I C R =<<

所以满足一致性要求。（其中..I C 表示一致性指标，..I R 表示平均随机一致性指标，..R C <0.1表示矩阵一致性是可以接受的）

根据显变量的权向量.经过均化衡处理得到隐变量的权向量为

()

2

10

6.33,5.98,1,41,1.35,10.4T

v w -=

计算指标的权重，并进行归一化处理得到效用调节系数i α，均值期望公式建立幸福指数的数学模型(s i i H hs α=均是量化值） 4.2.3结果分析

通过对影响民众幸福感的各因素的权重的分析，根据幸福感指标体系，我们得之，自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。

4.3 模型三

根据查找资料和数据分析得到教师的幸福指数与自我实现价值，工资与福利待遇，工作压力，和学生的关系，社会地位，工作集体关系，业余活动，身体健康等因素有关。而学生的幸福指数与健康满意度，生活满意度，家庭满意度，友谊满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度，专业满意度，成绩满意度，经济满意度，社会实践满意度等因素有关。我们可以利用指数拟合找到影响他们的主要因素。合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。利用拟合分别建立某一地区教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。 4.3.1模型建立

设y 是总体幸福感分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例，i x 为各个指标分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例，在MATLAB[3](142-144)[4]中拟合负指数模型i a i y c e -=得到参数值,(1,2,,)i i c a i m =

进行相乘处理：

1,2...i i a x m i i m

y c e -==∏

开n 次根号可得：1

ln m

i i i

c a x y e -∑=

4.3.2教师模型求解

（1） 运用MATLAB 拟合每个指标的模型参数(见表5)

表5 （2）进行相乘处理，得到810.011760.03928

7.2585**15.6x x y e e =

（3）开8次根号可得：

12345678

0.004975x 0.0049825x 0.00263875x + 0.00488x + 0.0054725x + 0.00451875x

0.00445125x 0.00147x 8.78e

y ++++=（4）将i a 进行归一化处理记为：i b

（5）将幸福与各指标进行量化，记{非常，比较，一般，比较不，很不}为{5,4,3,2,1}，得到幸福指数的计算公式：8

18.78i i

b x s H ∑=

（6）经过分析，将0.05i b >的指标作为对幸福感影响的主要因素。所以社会地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸福的主要因素。 4.3.3学生模型求解

表6 某地区学生关于学生幸福感调查[11]

项目 很满意 满意 一般 不满意 很不满意

总体满意度（y ） 8.40% 37.80% 32.30% 15.40% 6.20% 健康满意度（x 1） 12.4% 31.5% 35.3% 15.9% 4.9% 生活满意度（x 2） 13.7% 33.4% 29.1% 16.2% 7.5% 家庭满意度(x 3) 51.3% 33.7% 13.3% 1.7% 0.0% 友谊满意度(x 4) 20.0% 58.0% 20.0% 2.0% 0.0% 学习环境满意度(x 5) 13.5% 27.5% 39.4% 14.3% 5.4% 自我满意度(x 6) 13.3% 26.7% 40.0% 10.0% 10.0% 教师满意度(x 7) 23.3% 33.3% 30.0% 10.0% 3.4% 专业满意度(x 8) 4.0% 16.4% 44.7% 26.1% 8.6% 成绩满意度（x 9） 6.7% 20.0% 40.0% 23.3% 10.0% 经济满意度(x 10) 10.0% 23.3%

43.3%

13.4%

10.0%

社会实践满意度(x 11)

10.7%

13.3% 40.0% 23.3% 12.7%

（1）运用MATLAB 拟合每个指标的模型参数(见下表)

（2）进行相乘处理，得到1110.051170.0244611 6.13**11.8x x y e e = （3）开10次根号可得：

12345

67891011

0.0046520.0058410.000260.0017670.0033180.0031210.0062560.001990.0027060.0025090.0022249.081x x x x x x x x x x x y e ++++++++++=

（4）将i a 进行归一化处理记为：i b

（5）将幸福与各指标进行量化，记{非常，比较，一般，比较不，很不}为{5,4,3,2,1}，

得到幸福指数的计算公式：11

1

s i i H b x =∑

（6）经过分析，将0.10i b >的指标作为对幸福感影响的主要因素。所以健康满意度，生活满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度师影响学生幸福的主要因素。

五、模型的评价与推广

5.1 模型的评价

5.1.1 模型一的优点： 1）、模型一全面考虑各个指标对幸福感的影响，运用灰色关联计算出各个指标与幸福感的灰色关联度，最终找出了各个指标对幸福感的权重； 2）、运用塞缪斯公式得出幸福指数的计算公式。 5.1.2 模型二的优点：

1)、考虑因素全面而且深刻，采用层次分析方法，找出对幸福感的影响权重，使用定性与定量相结合的处理方法； 2）、对模型二进行稳定性分析，方法科学严谨； 3）、采用贴进度进行分析。 5.1.3模型三的优点

直接得到了量化的幸福指数的计算公式。 5.1.3 模型的不足 模型一缺点：

利用灰色关联得到权重，有一定的偏差； 模型二缺点：

虽然采用了 贴进度的比较，但也用一定的主观性，可能偏离客观现实； 模型三

假设各指标相互独立，忽略了指标间的相关性。

六、模型的推广

题1中的评价体系、模型可以推广到普通群众。因为题1中影响幸福感的调查问卷比较全面，基本上包了影响幸福感的主要指标。面向普通人群也只需考虑主要影响指标，如果考虑过多无关紧要因素不仅增大了任务量而且也可能导致主要因素的减弱，故评价体系可以推广到普通的人群。 模型1灰色关联分析法面对性广，可以推广到更加普遍的群众。而且结合了塞缪斯公式综合对数据处理得好得到了良好的效果。模型2层次分析法也可以推广到更加普片的群众，但由于方法的主观性，偏差可能会很大，故推广性大打折扣。但采用了贴进度比较选择评判矩阵，是偏差较小，从而有一定的推广性。

题2中的评价体系和模型难以推广到普通群众。评价主要是针对教师和学生，所以评价的指标针对性较强。所选择的指标不是十分全面，只是选择了主要影响幸福感的指标。而且指数模型是针对特定数据分布的，而且也要假设指标独立性。

综上所述，题1中所选取的评价体系和灰色关联模型可以推广到更加普遍的群众，但对特定的群众可以缩小评价体系和改变模型以达到减小任务量和增强精确度。

参考文献：

[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2008。

[2] 谢季坚，刘承平，模糊数学方法及其应用，武汉：华中科技大学出版社，2006。

[3] 岂兴明，王占福，郭正彪，矫津毅，MATLAB7.0程序设计快速入门，北京：人民邮电出版社，2009。

[4] 胡庆婉，使用MATLAB曲线拟合工具箱做曲线拟合，https://www.wendangku.net/doc/1313836854.html,/p-172985814.html，2011.5.1。

[5] 吴云勇，从统计学角度看幸福，统计教育，09: 13,2007。

[6] 俞灵燕，王岚，“幸福指数”编制及指标体系构建探析，统计科学与实践，10：23-25，2010。

[7] 吴启富，陈红梅，张晓波，基于结构方程的北京居民幸福指数因素分析，首都经济贸易大学学报，3：89-93,2007。

[8] 刘思峰,党耀国,方志耕，灰色系统理论及其应用(第3版)，北京: 科学出版社,2008。

[9] 邓聚龙，灰色控制系统(第3版)，上海: 华中理工大学出版社,1993。

[10] 高校青年教师职业幸福感调查问卷,https://www.wendangku.net/doc/1313836854.html,/FormViewResult.aspx?UserID=53904&FormID=60888,2011 .5.1。

[11] 当代大学生幸福指数问卷调查报告,https://www.wendangku.net/doc/1313836854.html,/s/blog_67f973e90100n0k0.html,2011.5.1。

尊敬的领导：

您好！

非常感谢您在百忙之中阅读此信。

随着经济的迅速发展，人们对生活的质量要求越来越高，人们都想过上幸福生活。那么，幸福感主要与哪些因素有关呢？

通过阅读相关书籍以及一些调查研究报告，我们得知影响幸福感的因素很多，包括身心健康、物质条件、家庭生活、社会幸福感、自我价值的实现等。另外，不同地区不同群体之间幸福感指数差异比较大，主要跟各地区经济发展状况、所从事的职业、家庭生活以及人际交往等因素有关。

我们通过对某地区网上调查的一系列数据，建立网民的幸福感的评价指标体系，利用相关知识研究分析得知，民众普遍认为身心健康以及物质保障对幸福感影响最大，其次是人际交往，自我价值实现。在另外一份关于某地区某高校以及老师的幸福感调查问卷中，我们通过对相关数据的整理，统计分析得知，影响学生幸福感的主要因素有：人际交往、自我价值实现以及家庭生活。工资与福利待遇、工作压力、社会地位、业余活动以及自我价值实现在老师的幸福感影响因素中占主导地位。

根据这些结果我得到对幸福的理解就是：在一个体制健全，拥有良好的经济，政治，文化环境的社会里，我们拥有良好的物质保障，对未来充满希望，并且能够实现自我价值。

政府是引导我们走向幸福生活的主要的引导力。所以我想向你们提出几点我的想法：

一、不断健全自己的社会体系，提高人民对社会的信心度。加强医疗和教育体系，提高社会的公平度。在物质方面，健全福利和最低社会保障制度，提供良好基础设施，增加就业和创业机会。

二、对于不同的群体要采取适宜的方法来提高他们的幸福指数。在身心健康方面，可以多主办一些体育和文化活动，提高电视电影广播文化的质量等。在物质保障方面，可以给弱势群体提高物质保障等。在自我实现方面，你们可以提供投资给创业者或提供补贴等。在社会幸福度方面，鼓励人民说真话和上访。在家庭生活方面，宣传优秀家庭生活的方式等。

三、对于一些特殊群体，影响他们的幸福感因素更多，他们需要政府的帮扶，希望政府能给予一些特别照顾，以促进经济的发展，提高民众的整体素质。

此致

敬礼

XXX

2011年5月2日

层次分析法案例

层次分析法的应用 层次分析法由美国著名运筹学家萨蒂于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。 层次分析法的基本原理 人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有n 个物品，其真实重量用w 1，w 2 ，…表示。要想知道w 1 ，w 2 ，…的值， 最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。 如果用物品重量向量[w 1，w 2 ，…]T右乘矩阵A，则有：

由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根据矩阵理论，n是矩阵A的唯一非零解，也是最大的特征值。这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。从而确定最重的物品。 将上述n个物品代表n个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。依此类推，如果n个物品代表n个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。 应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下： （1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。 （2）标度及描述。同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。 （3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。 （4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。 （5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。 具体案例： 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区

层次分析法实例与步骤

层次分析法实例与步骤 结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。 【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。 1. 建立递阶层次结构 应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。 AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成： *目标层（最高层）：指问题的预定目标； *准则层（中间层）：指影响目标实现的准则； *措施层（最低层）：指促使目标实现的措施； 通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。 然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。 在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。 最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。 明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。 【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。

层次分析法的应用实例

第二节 层次分析法的应用实例 层次分析法在解决定量与定性复杂问题时，由于方法的简单性、直观性，同时在解决各种领域的实际问题时又显示其有效性和可行性，因而深受广大工程技术人员和应用数学工作者的欢迎而被广泛采用。下面我们举例说明它的实用性。 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，要确定是否建立桥梁或隧道以代替现在的轮渡。 此问题可得到两个层次结构：过河效益层次结构和过河代价层次结构；由图5-3(a)和(b)分别表示。 例 过河的代价与效益分析。 (a) 过河效益层次结构 (b) 过河代价层次结构 图5-3 过河的效益与代价层次结构图 过河的效益 A 过河的效益 2B 经济效益 1B 过河的效益 3B 隧 道 2D 桥 梁 1D 渡 船 3D 美化 11 C 进出方便 10 C 舒适 9 C 自豪感 8 C 交往沟通 7C 安全可靠 6 C 建筑就业 5 C 当地商业4C 岸间商业3C 收入2C 节省时间1 C 过河的代价 A 社会代价 2B 经济代价 1B 环境代价 3B 隧 道 2D 桥 梁 1D 渡 船 3D 对生态的污染 9 C 对水的污染 8 C 汽车的排放物 7 C 居民搬迁 6 C 交往拥挤 5C 安全可靠 4 C 冲击渡船业 3 C 操作维护 2 C 投入资金 1 C

在过河效益层次结构中，对影响渡河的经济因素来说桥梁或隧道具有明显的优越性。一种是节省时间带来的效益，另一种是由于交通量的增加，可使运货增加，这就增加了地方政府的财政收入。交通的发达又将引起岸间商业的繁荣，从而有助于本地商业的发展；同时建筑施工任务又创造了大量的就业机会。以上这些效益一般都可以进行数量计算，其判断矩阵可以由货币效益直接比较而得。但社会效益和环境效益则难以用货币表示，此时就用两两比较的方法进行。从整体看，桥梁和隧道比轮渡更安全，更有助于旅行和交往，也可增加市民的自豪感。从环境效益看，桥梁和隧道可以给人们更大的舒适性、方便性，但渡船更具有美感。由此得到关于效益的各个判断矩阵如表5-9—表5-23所示。 表5-9 表5-10 表5-11 表5-12 表5-13 表5-14

基于Matlab的层次分析法与运用

基于Matlab的层次分析法与运用 摘要:本文通过使用Matlab软件进行编程,在满足同一层次中各指标对所有的下级指标均产生影响的假定条件下,实现了层次分析法的分析运算。本程序允许用户自由设定指标层次结构内的层次数以及各层次内的指标数,通过程序的循环,用户只需输入判断矩阵的部分数据,程序可依据层次分析法的计算流程进行计算并作出判断。本程序可以方便地处理层次分析法下较大的运算量,解决层次分析法的效率问题,提高计算机辅助决策的时效性。 关键词:Matlab层次分析法判断矩阵决策 在当前信息化、全球化的大背景下,传统的手工计算已不能满足人们高效率、高准确度的决策需求。因此计算机辅助决策当仁不让地成为了管理决策的新工具、新方法。基于此,本文在充分发挥计算机强大运算功能的基础上,选用美国MathWorks公司的集成数学建模环境Matlab R2009a作为开发平台,使用M语言进行编程,对计算机辅助决策在层次分析法中的运用进行讨论。试图通过程序实现层次分析法在计算机系统上的运用,为管理决策探索出新的道路职称论文。 1 层次分析法的计算流程 根据层次分析法的相关理论,层次分析法的基本思想是将复杂的决策问题进行分解,得到若干个下层指标,再对下层指标进行分解,得到若干个再下层指标,如此建立层次结构模型,然后根据结构模型构造判断矩阵,进行单排序,最后,求出各指标对应的权重系数,进行层次总

排序。 1.1 构造层次结构模型在进行层次分析法的分析时,最主要的步骤是建立指标的层次结构模型,根据结构模型构造判断矩阵,只有判断矩阵通过了一致性检验后,方可进行分析和计算。其中,结构模型可以设计成三个层次,最高层为目标层,是决策的目的和要解决的问题,中间层为决策需考虑的因素,是决策的准则,最低层则是决策时的备选方案。一般来讲,准则层中各个指标的下级指标数没有限制,但在本文中设计的程序尚且只能在各指标具有相同数量的下级指标的假定下,完成层次分析法的分析,故本文后文选取的案例也满足这一假定。 1.2 建立判断矩阵判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较给判断矩阵的要素赋值时,常采用九级标度法(即用数字1到9及其倒数表示指标间的相对重要程度),具体标度方法如表1所示。 1.3 检验判断矩阵的一致性由于多阶判断的复杂性,往往使得判断矩阵中某些数值具有前后矛盾的可能性,即各判断矩阵并不能保证完全协调一致。当判断矩阵不能保证具有完全一致性时,相应判断矩阵的特征根也将发生变化,于是就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的一致性程度。在层次分析法中,令判断矩阵最大的特征值为λmax,阶数为n,则判断矩阵的一致性检验的指标记为:⑴ CI的值越大,判断矩阵的一致性越差。当阶数大于2时,判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性

层次分析法案例

层次分析法 一. 层次分析模型和一般步骤 二. 建立层次结构模型 三. 构造成对比较矩阵 四. 作一致性检验 五. 层次总排序及决策 一. 层次分析模型和一般步骤 层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。 层次分析的四个基本步骤： （1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构； （2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵； （3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性； （4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并进行决策。 二. 建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等，也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内，用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 〔例1〕购物模型 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：

〔例2〕选拔干部模型 对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 〔例3〕评选优秀学校 某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构） （2）教学设施 （3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）

层次分析法案例与步骤

层次分析法实例与步骤 下面结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。 【案例】 市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。 1. 建立递阶层次结构 应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。 AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成： ●目标层（最高层）：指问题的预定目标； ●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则； ●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施； 通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。 然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。 在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。 最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。 明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。 【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。

数学建模期末作业谈层次分析法在就业中的应用讲课稿

数学建模期末作业谈层次分析法在就业中 的应用

谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ? ??? ?=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /...... 2/1//2........3/22/21/2/1........3/12/11/1M M M M 通过Matlab 等数学工具，得到特征向量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--= n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标RI 。 平均随机一致性指标RI 数值

层次分析法步骤介绍

层次分析法整个计算过程包括以下五个部分。 (1)建立递阶层次结构 应用AHP解决实际问题，首先明确目标；接下来分析影响目标决策的各个因素，并将它们之间的关系条理化、层次化；最后，用线将各个层次、各个因素间的关系连接起来就构成了递阶层次结构。[25] 通常，递阶层次结构包括以下三个基本层次： 1.目标层：通过分析，明确目标是什么，将其作为最高层的元素，必须是唯一的， 如：选择最合适的供应商 2.准则层：即中间层，元素包含所有可能影响目标实现的准则，且会随着问题的复 杂程度增多。这时，需要详细分析各准则元素间的相互关系（是同级关系还是隶属关系）。如果是隶属关系，则需要构建子准则层甚至更下一层准则。 3.措施层：即方案层。分析解决问题的方案有哪些，并将其作为最底层因素。(2)构造判断矩阵并赋值 1.构造判断矩阵：将每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素（位 于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。 2.填写判断矩阵：最常用的方法是咨询专家，将两个元素两两比较，按照重要性程 度表赋值（见下表）。 表3 重要性标度含义表 设填写后的判断矩阵为A=(a ij)n×n，判断矩阵具有如下三个性质： 1.a ii=1 2.a ji=1/a ij 3.a ij>0 (3)层次单排序与检验 1.层次单排序 利用数学方法将专家填写后的判断矩阵进行层次排序。层次单排序是将每一个因

素对于其准则的重要性进行排序，实际就是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法等，以下详细介绍特征根法的计算方法。 A. 计算判断矩阵每一行元素的乘积 ∏==n j ij i a M 1 (3.2) 式中： M i 第i 行各元素的乘积 a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值

层次分析法实例

层次分析法应用实例 问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。 目标：选购一款合适的手机 准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。 方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○1欧美（iphone）；○2亚洲（索爱）；○3国产（华为）. 解决步骤： 1.建立递阶层次结构模型 图1 选购手机层次结构图 2.设置标度 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1；i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 3.构造判断矩阵 A B1 B2 B3 B4 B1 1 3 5 1 B2 1/3 1 3 1/3 B3 1/5 1/3 1 1/5 B4 1 3 5 1 表1 判断矩阵A—B B1 C1 C2 C3 C1 1 1/3 1/5 C2 3 1 1/3 C3 5 3 1 表2 判断矩阵B1—C

B2 C1 C2 C3 C1 1 3 3 C2 1/3 1 1 C3 1/3 1 1 表3 判断矩阵B2—C B3 C1 C2 C3 C1 1 3 6 C2 1/3 1 4 C3 1/6 1/4 1 表4 判断矩阵B3—C B4 C1 C2 C3 C1 1 1/4 1/6 C2 4 1 1/3 C3 6 3 1 表5 判断矩阵B4—C 4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值： ○1将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij ； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n ）； ○3将ci 归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T ，wi=ci /Σci ， W 即为A 的特征向量的近似值； ○4求特征向量W 对应的最大特征值： 1).1 5 3 1 51131513131311531 = A ，按列归一化后为 38 1514 522 938 1538314122138338514322338539151452293815 2).按行求和并归一化后得()T 389 .0069 .0153 .0389.0=W

层次分析法的应用

承诺书 我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为：3742 参赛组别（研究生或本科或专科）：本科 参赛队员(签名) ： 队员1：柯先庆 队员2：鲁松 队员3：李国强 获奖证书邮寄地址：安徽凤阳安徽科技学院数学系233100

编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）： 3742 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

题目幸福感的评价与量化模型 摘要 本文针对身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活以及自我价值实现等因素对人们幸福感的影响，分别运用三种不同的模型建立衡量人们幸福感的量化模型。 模型一采用灰色关联分析方法，主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。经过分析求解得到五个隐变量影响程度由强至弱依次是物质保障(0.446)、身心健康(0．232)、社会幸福感(0．17)、自我价值的实现(0.093)、家庭生活（0.059）。 模型二先是用贴近度对数据进行处理，再运用层次分析法对幸福指数各因素进行权重分析，得自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。 模型三运用指数拟合方法对同一地区的教师和学生的幸福指数进行分析。得到社会地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸福的主要因素。而健康满意度，生活满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度师是影响学生幸福的主要因素。 最后对各个模型的优缺点和推广进行了讨论分析。 关键字：幸福感灰色关联分析贴近度层次分析拟合

层次分析法在决策中的应用

数学在决策中的应用 ———层次分析法 学习应用数学后，我结合海运学院的相关专业，寻找数学应用的相关领域时，被利用数 学进行决策的层次分析法吸引住了，现在将所学习到的和所想到的做了总结，并将我学习层 次分析法的心得分享一下。 首先简单的介绍一下层次分析法，层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP) 是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量 分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美 国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络 系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法[1]。 层次分析法是一种定性与定量相结合、系统化的决策方法。它将决策者的主观判断与实 践经验导入模型，并进行量化处理，体现了决策中分析、判断、综合的基本特征。该方法首 先将复杂问题按支配关系分层，然后两两比较每层各因素的相对重要性，最后确定各个因素 相对重要性的顺序，按顺序做出决策。 层次分析法的具体方法和步骤如下。[2] 1． 建立层次结构模型 通过深入分析实际问题，将问题分解成三个层级，即目标层、准则层(要素层)和方案层 ， 同一层次的因素对上层因素有影响，同时又支配下层因素。目标层是最高层，通常只有 1 个 因素，最下层通常为方案措施，要素层可以不止一层，当要素过多时( 譬如多于 9 个) ， 可以进一步分解出子要素层，并建立关联，见图1。 2. 构造判断(成对比较)矩阵 从第二层开始，把同一层级的因素用成对比较法和一定比较尺度构造判断矩阵 A ，直到 最后一层。 ji j i ij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=?，其中i ，j=（1,2,3，……，n ） 矩阵 A 中，aij 表示因素 i 与因素 j 对上一层因素的重要性之比，aij 表示因素j 与因素i 的重要性之比，且aij= 1 / aji 。对于aij 的值，Saaty 等建议引用数字 1 至 9 及 其倒数作为标度，见表1。

层次分析法的应用

层次分析法的一个应用 摘要 关键词： Abstract Keywords: 前言 1层次分析法理论概述 1.2层次分析法的概念 层次分析法是由美国运筹学家匹兹堡大学的 T.L.saaty教授于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将评价对象或问题视为一个系统，根据问题的性质和想要达到的总目标将问题分解成不同的组成要素，并按照要素间的相互关联度及隶属关系将要素按不同层次聚集组合，从而形成一个多层次的分析结构系统，把问题条理化、层次化。 层次分析法的结构符合人们思维的基本特征分解、判断、综合，把复杂的问题分解为各组成要素，再将这些要素按支配关系分组，从而形成有序的递阶层次结构，通过两两比较判断的方式确定每一层次中要素的相对重要性，然后在递阶层次结构内进行合成得到相对于目标的重要程度的总排序。因此，层次分析法从出现开始就受到了理论界广泛的支持和认可，并得到了不断的改进和完善。

1.3 AHP法下优点 （1）AHP对于解决多层次、多指标的递阶结构问题行之有效。保险公司绩效评价各指标之间相互作用，相互制约，且绩效受到多种因素的影响，可以分解成不同的子指标，例如我们从财务维度可将保险公司的绩效分解为增加盈利能力、偿付能力和发展能力三个层面，而各个层面又可以从多个角度来衡量，从而构成关联保险公司绩效评价指标体系的递阶结构体系。这样，我国上市保险公司绩效评价指标体系的递阶结构为层次分析法提供了“结构”基础。 （2）把定性分析和定量分析有机地结合起来，避免了单纯定性分析的主观臆断性和单纯利用定量分析时对数据资料的严格要求。 （3）层次分析法思路简单明了，将人们的思维数字化、系统化，便于接受并容易计算；同时，层次分析法是一种相对比较成熟的理论，有大量的是实践经验可以借鉴，这就避免了在保险公司绩效评价指标权重的确定过程中由于缺乏经验而产生的不足。 当然层次分析法也存在着缺陷：首先，其结论是建立在判断矩阵是一致性矩阵的基础上的，而在实际应用中所建立的判断矩阵，由于各方面的原因，往往不能一次性得到具有一致性的判断矩阵，而需要对其一致性进行检验，并进行多次的修改。因此，判断矩阵的建立过程比较复杂，且存在较大的主观性；其次是特征值的计算量较大；再次，许多专家认为层次分析法中采用的1-9标度法不能准确地反映专家和决策者的真实感觉和判断。采用层次分析法来确定两个指标的相对重要性时，当人们认为A1比A2重要(记为a)，B1比B2明显重要(记为b)，C1比C2强烈重要(记为c)时，则(c-b)比(b-a)要大得多，因而标度不应该的线性的，而是随着重要程度的增加差距越来越大。而1-9标度是等距的，所以Saaty 提出的线性评判标度与人们头脑中的实际标度并非一致。因此，这些问题都需要进行改进，但整体上不影响本文采用层次分析法确定评价指标权重。 1.4 AHP的基本步骤 用层次分析法作系统分析，首先需要把问题层次化，根据问题的性质和总目标把问题分解成为不同的因素，并且根据这些因素间的相互影响及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，并最终系统分析归结为最底层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要性权重的确

层次分析法决策问题中的应用

浅析层次分析法在多目标决策问题中的应用 周欣欣 [摘要]层次分析法是一种解决多目标决策问题很实用的方法。该方法能够解决多因素复杂系统的决策问题，有效地综合测度决策者的判断。本文先介绍了层次分析法的基本原理以及运用层次分析法分析问题时的基本步骤，然后运用层次分析法成功地解决了一个多目标决策问题，进一步证明了层次分析法的可行性和实用性。 [关键词]层次分析法；决策；一致性 [Abstract] AHP is a very practical method to solve multi-objective decision problems. This method can solve decision problems in multi-factor and complex system, and integrate the judge of decision-maker effectively. This paper describes the basic principle of AHP and the basic steps to solve decision problems at first, and then using AHP resolved a multi-objective decision problem successfully, evidenced the feasibility and practicality of AHP. [Key words]AHP; decision; consistency 1 引言 层次分析法（analytic hierarchy process,AHP）是Saaty教授于1971年提出的一种系统分析方法。1982年11月，在我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美国Nezhed教授首次向我国学者介绍了层次分析法，层次分析法的理论研究和实际应用从此在我国得到了迅速展开[1]。该方法是一种综合定性与定量分析的多属性决策方法，能够模拟人的决策思维过程，解决多因素复杂系统特别是难以定量描述的社会系统的决策问题，有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。随着层次分析法应用范围的扩大，它的理论也得到了发展并逐步完善。 2 层次分析法的基本原理 层次分析法是处理有限个方案的多目标决策问题时常用的也是最重要的方法之一。它是以层级架构来组织决策元素，进而融入专家与实际参与决策者的意见，帮助决策者作评估判断的思维方法。它的基本思想是把复杂问题分解为若干层次，即把决策问题按总目标、子目标、评价标准直至具体措施的顺序分解为不同层次

层次分析法具体案例

层次分析法实例与步骤 结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。 【案例分析】合理购买电脑决策：层次分析法问题提出 很多的电脑小白需要对购买哪个品牌的电脑进行决策，可选择的方案是购买戴尔公司生产的笔记本（简称购买戴尔）或购买联想公司生产的笔记本（简称购买联想）。除了考虑主板来源外，还要考虑CPU 性能、显卡方式等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。 1. 建立递阶层次结构 【案例分析】合理购买电脑决策：建立递阶层次结构 在购买哪个品牌的电脑决策问题中，很多电脑小白希望通过选择不同的电脑品牌使性价比最高，即决策目标是“合理购买电脑使性价比最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即主板来源，CPU 性能，显卡方式。但问题绝不这么简单。通过深入思考，还认为还必须考虑本工厂自产、代工厂提供、主频的大小、核心数、独立式显卡、集成式显卡等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即购买戴尔或购买联想，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A 、B 、C 、D 。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 目标层A 准则层B 准则层C 措施层D 图1 递阶层次结构示意图 2. 构造判断矩阵并赋值

(完整版)层次分析法实例讲解学习

层次分析法实例讲解学习 生活实际例题： 旅游实例，有三个旅游地点供游客们选择，连云港，常州，徐州。影响游客们决策的因素主要有以下五项：景色、费用、居住、饮食、旅途。请根据个人偏好选择最佳旅游地点。 分析：旅游点是方案层，将它们分别用B,B2,B3表示，影响旅游决策的因素为准 则层AAAAA；目标层为选择旅游地，即可以建立以下模型: 建立判断矩阵： 准则层判断矩阵（即各种因素在旅客偏好选择中所占有的不同比重） 1 1/ 2 4 3 3 2 1 7 5 5 A 1/4 1/7 1 1/2 1/3 1/3 1/5 2 1 1 1/3 1/5 3 1 1 方案层判断矩阵建立（针对每一个影响因素来对方案层建立） 1 2 5 1 1/3 1/8 1 1 3 B 1/2 1 2 B1 3 1 1/3 B1 1 1 3 1/5 1/2 1 8 3 1 1/3 1/3 1 1 3 4 1 1 1/4 B1 1/3 1 1 B1 1 1 1/4 1/4 1 1 4 4 1 求准则层判断矩阵A的特征值： Matlab 运行程序：[a,b]=eig（A）

'矩阵的对角线为准则层判断矩阵 A 的特征值: 5.073 0 0 0 0 0.031 0 0 0 b 0 0 0.031 0 0 0 0 0 0.005 0 0.005 即 1 5.073, 2 0.031, 3 0.031, 4 0.005, 5 0.005 选出最大特征值： max ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 1 最大特征值的特征向量即为准则层的影响因素所占的权重， 为： 所对应的特征向量 w 1 -0.4658 -0.8409 -0.0951 -0.1733 -0.1920 归一化(最简 matlab 程序为 w=w1./sum(w1)) w 0.2636 0.4759 0.0538 0.0981 0.1087 一致性指标的检验： 由max 是否等于5来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。由于特征根连续地依 赖于矩阵A 中的值，故max 比5大得越多，A 的非一致性程度也就越严重， max 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出对因素 A i (i 1, ,5)的影 响中所占的比重。 计算一致性指标CI : 此题的一致性指标为 5.073-5 0.018 5-1 平均随机一致性指标RI 相对固定，如下表： RI 随机一致性指标 3456789 10 11 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 计算一致性比例CR : CR q RI 当CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。 本题： CR ? 皿 0.016 0.1 RI 1.12 可行。 按照如上方式处理矩阵B, B 2, B 3, B 4, B 5得: CI max n n 1 max n n 1 CI n 1 2 RI 0

层次分析法介绍

2 层次分析法 2.1层次分析法的简单介绍 层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。 在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。 2.2层次分析法的基本层次结构 第一类：最高层，又称顶层、目标层。 第二类：中间层，又称准则层。 第三类：最底层，又称措施层、方案层。 层次结构图 （一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层

(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型 2.3 判断矩阵 设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ?=A 显然，判断矩阵具有性质： ?????? ? ??=A nn n n n n a a a a a a a a a ΛM M M ΛΛ212222111211 ,0>ij a ,1 ij ji a a = 1=ii a )...,2,1,(n j i = 所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。 现在，来看看如何确定ij a 的取值？T.L.Satty 的做法是用数字1～9及其倒数作为标度 （见表2-1）。选择1～9方法是基与下述根据：

层次分析法具体应用与实例

层次分析法步骤与实例 1 层次分析法的思想：将所有要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要到达的总目标，将问题分为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较排序. 2次分析法的步骤： 找准各因素之间的隶属度 关系建立递阶层次结构 构造判断矩阵（成对比较阵） 并赋值 层次单排序（计算权向量）与检验 （一致性检验） 层次总排序（组合权向量）与检验 （一致性检验） 结果分析

3以一个具体案例进行说明： 【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经 济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层 次分析法解决。 【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综 合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互 关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以 有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作 为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。 同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、 B、 C、 D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用 1、 2、 3、 4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 目标层 A 合理建设市政工程，使综合效益最高(A) 准则层 B 经济效益 (B1) 社会效益 (B2) 环境效益 (B3) 准则层 C 直接经间接带方便日方便假减少环改善城 济效益动效益常出行日出行境污染市面貌 (C1)(C2)(C3)(C4)(C5)(C6) 措施层 D 建高速路 (D1) 建地铁 (D2) 图1 递阶层次结构示意图 2.构造判断矩阵（成对比较阵）并赋值 根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。 构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。

层次分析法简单介绍

层次分析法 层次分析法(ＡHP）又称多层次权重分析法，是一种用于定性分析的多目标分析方法。它能有效地分析指标体系各层次之间排序关系,有效地综合衡量和判断评价者的意图.适用于多目标、多准则、多因素、难以量化的大型复杂系统，已广泛应用于资源系统分析、建设管理、交通、评标、经济评价等各个社会领域。 层次分析法解决复杂问题的基本思想是：首先，将总目标进行分层，并根据各个指标之间隶属关系和相关影响，将各个指标按不同层次进行分类。形成指标层、准则层和目标层,然后利用层次分析法，求本各层次的指标对上一层次指标的权重,然后利用最大特征值方法依次归并,最终求出总目标权重系数。指标越重要,其指标权重系数越大. 因此，层次分析方法的计算需要以下步骤： (1）建立层次结构模型 首先，将问题分解为不同的组成部分,并根据各个指标之间的相互影响和隶属关系,对各指标进行分组和组合，形成多层次结构,相对于确定最高层的综合相对重要性系数，即相对优序,系统分析被简化到最底层。 (２）调查问卷设计 ,对同一层次的指标将进行重要性等级进行两两访问对比,确定其重要性,然后利用比例标度法，。构成比较判断矩阵。 表1-1 比例标度法 Table4－1 Proportionaｌsｃaｌｉnｇmｅtｈｏｄ 两指标影响比较相等稍微重要明显重要非常重要极其重要δ1１13579

（３)调查对象的构成 在选择范围上，主要选择具有绿色施工、绿色建筑、节能环保等研究领域的高校专家和学者、建设单位项目管理人员、工程项目施工单位工作人员和涉及环保监督政府人员。 （４）整理分析问卷并构建判断矩阵 整理出问卷中的信息,并将问卷中信息进行汇总分析，计算出各因素的要性程度,建立判断矩阵。见表1-2. 表1—2 各因素相对重要性判断矩阵 Table４—2 Relative imporｔaｎce ｊudgment maｔrix B k B1Ｂ2B n Ｂ１δ11δ12。．. δ1n Ｂ2δ21δ２2．．。δ2ｎ ....．．．．. .．。..． Ｂnδn1δn２.．. δｎｎ其中，δiｊ是对于A k而言，Bｉ对B j的相对重要性的数值表示,δｉj是δi与δj 的比值. （5)排序一致性检验 层次分析法最主要的优点就是将调查问卷专家的主观定性思维过程定量化,因为不同方面的专家信息具有主观片面性以及层次分析法本身所存在的主观性，即使九级标度也无法完全保证每个判断矩阵都具有完全一致性，所以对各项指标的权重间是否存在着矛盾性还要经过一致性的检验。 检验一致性的步骤如下。