广东海洋大学10--15第二学期高数(试题与答案)
广东海洋大学 2014—2015学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x2 □√ 考试 □√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×8=24分）
1. 设}{1,2,1-=a ，}{0,1,x b =→，→
⊥b a ，则=x 2. 设}{1,0,2-=a ，}{0,1,0=→
b ，则=?b a 3. 曲面222y x z +=在点)2,1,1(处的切平面方程为 4. 将xoz 平面上的曲线14
2
2
=-
z x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲
面的方程为
5. 函数)3ln(22y x z ++=的驻点为
6.设L 为连接)0,1(-到点)1,0(的直线段，则=-?ds x y L )
( 7.幂级数∑
∞
=1
3
n n
n
x 的收敛半径为
8.微分方程x e y 3-=''的通解为=y 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设)ln(22y x y z +=，求dz .
2.设函数),(y x f z =是由方程333a x yz z =+-所确定的具有
连续偏导数的函数，求22,x
z
x z ????.
姓名：
学
号：
试题共 5
页
加白纸 3 张
密
封
线
GDOU-B-11-302
三 .计算下列积分（7×4=28分） 1.
dxdy x y D
)(2
??
-，其中D 是由0=y , 2x y =及1=x 所围成的闭区域。
2.证明曲线积分dy xy x dx y xy )2()2(2)
1,1()0.0(2-+-?在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。 3. 计算
??∑
-+-+-dxdy z dzdx y dydz
x )3()2()1(,其中∑是球面
9222=++z y x 的外侧。
4.计算dxdy y
x D
??
++2
211，其中D 是由252
2≤+y x 围成的闭区域。 四 .计算题（7×4=28分） 1. 判别级数 2
1
21)1(n
n n
+-∑∞
= 是否收敛? 若收敛，是绝对收敛还
是条件收敛? 2. 将函数3
1
)(-=x x f 展开为x 的幂级数。 3. 求微分方程
62=+y dx
dy
满足初始条件20
==x y 的特解。
4.求微分方程x e y y ='+''的通解。 五.证明 ???
-=
π
π
π000
)()()(y
dx x f x dx x f dy （6分）
2014-2015学年第二学期
《高等数学》A 卷（参考答案及评分标准 课程号：19221101×2
一、 填空（3×8=24分）
1. 2-；
2. }{2,0,1 ；
3. 02=-+z y x ；
4. 4.14
2
22
=+-z y x ；
5.)0,0(；
6.2；
7.3；
8. 2139
1
c x c e x ++-
二、 计算题（14分）
1. 222y x xy x z +=??,2
2
22
22)ln(y
x y y x y z +++=??,(4分) dy y
x y y x dx y x xy dz ]2)[ln(22
222222+++++= (3分) 2. 令=),,(z y x F 333a x yz z -+- （1分），得y z F F z x 33,12-==，
则
y
z F F x z z x 331
2
--=-=??， （4分） 则3
22222)33(6)33(6y z z y z x z z
x z --=-??=??. (2分) 三．计算下列积分（7×4=28分）
1. 原式
10
1)21()
2
1
()(41
00
1
022分
32
10
分
42
2
-=-=
-=-=
???
?
dx x dx y x y dy x y dx x x 2. 设xy x y x Q y xy y x P 2),(,2),(22-=-=，有y x x
Q y P 22-=??=??， 所以曲线积分与路径无关。（4分） 原式=0)21(1
0=-?dy y （3分）
3.设V 表示∑围成的闭区域并表示它的体积 ，由高斯公式有
原式??????-=-=?-?+?-?+?-?=V V dv
dv z
z y y x x π108)3())
3()2()1((
分
3分4
4. 原式26ln )1ln(21211202
分320
50
2分
4ππθπ
=+=+=
?
?
r rdr r
d
四．1. 令2
21n
u n +=
，则1`+>n n u u ，且0lim =∞
→n n u ，所以级数
2
1
21)1(n
n n
+-∑∞
=收敛。（3分）
又 1121
lim
2=+∞
→n
n n ，而级数
∑∞=11n n 发散，所以级数2
1
21n
n +∑∞
=发散。（3分）
因此级数
2
1
21)1(n
n n
+-∑∞
=条件收敛。（1分）
2. 因为11,11
<<-=
-∑∞
=x x x
n
n ， （4分）
所以,
3
)3(3
1
)
3
1(313
1
)(0
1
∑
∑∞
=+∞
=-=-
=-
-
=-=n n n
n
n
x x
x
x x f
33<<-x . （ 3分）
3 . 设 6)(,2)(==x Q x P ，
则
])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P +??=?- （3分）
=]6[22C dx e e dx dx
+??
?-
=]3[22C e e
x x
+- （2分）
代入初始条件得1-=C ， 所以特解为x
e y 23--=. （2分）
4. 特征方程为02
=+r r
，特征根为1,021-==r r
所以对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21 . （4分）
设x ae y
=*
是x e y y ='+''的特解，则 2
1=
a 所以原方程的通解为x
x e e c c y 2
121++=- （3分） 五．积分区D 域为：y x y ≤≤≤≤0,
0π，更换积分次序有
?
??
??
-=
=
π
π
π
π
π0
)()()()(dx x f x dy x f dx dx x f dy x
y
（6分）
广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x2
□√ 考试 □√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×7=21分）
1.设,{}{}1,0,1,0,1,1a b =-=
，则=?
2.过点()1,1,1且与x 轴垂直相交的直线方程为
3.过()1,0,1与平面21x y z ++=平行的平面方程为
4.函数222z x y x =+-的驻点为
5.幂级数16n
n
i x n
=∑的收敛半径为
6.曲线222,0z x y x z =++=在xoy 面上的投影曲线的方程为
7.微分方程y y '=-满足(0)2y =的特解为 二 .计算题（7×2=14分） 1.设sin x z y
=，求dz .
2.设),(y x f z =是由方程0z e x yz -+=所确定的具有连续偏导数的函数，求
,z z x y
????. 三 .计算下列积分（7×4=28分）
班
级：
姓名：
学号：
试题共 5
页
加白纸 3 张
密
封
线
GDOU-B-11-302
1.()D
x y d σ-??，其中D 是由x 轴y 轴以及直线22x y +=所围成的闭
区域。
2.证明曲线积分(2,1)
(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++?在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。
3. 计算63xdydz ydzdx zdxdy ∑
++?? ,其中∑是某边长为2的正方体的
整个边界曲面的外侧。
4.计算2
2
x y D e d σ+??，其中D 是由224x y +≤围成的闭区域。 四 .计算题（8×4=32分） 1.判别级数 2
1n n n e
∞
=∑
是否收敛。 2.将函数3()x f x e = 展开为x 的幂级数。 3. 求微分方程2y y x '+=的通解。 4.求微分方程566y y y '''-+=的通解。
五.证明 ()000sin sin y
x x dy e xdx x e xdx π
π
πππ--=-???（5分）
广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》试题参考答案和评分标准
课程号： 19221101x2
□√ 考试 □√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×7=21分）
班级：
姓名： 密 GDOU-B-11-302
1.设,{}{}1,0,1,0,1,1a b =-=
，则=? {}1,1,1-
2.过点()1,1,1且与x 轴垂直相交的直线方程为 1,x y z ==
3.过()1,0,1与平面21x y z ++=平行的平面方程为 232x y z ++=
4.函数222z x y x =+-的驻点为 ()1,0
5.幂级数1
6n
n n
x ∞=∑的收敛半径为 1
6.曲线222,0z x y x z =++=在xoy 面上的投影线方程为 220,0x x y z ++==
7.微分方程y y '=-()02y =满足 的特解为 2x y e -= 二 .计算题（7×2=14分） 1.设sin x
z y
=，求dz .
()21cos ,cos ,4z x z x x
x y y y y y ??==-?? ()21cos cos ,3x x x
dz dx dy y y y y
=
- 2.设),(y x f z =是由方程0z e x yz -+=所确定的具有连续偏导数的函数，求
,z z x y
????.
两边对x 求导， （1）
110,z
z z z z e y x x x e y
???-+==???+ （3） 两边对y 求导，0z
z z e z y y y ??++=??，z z z
y e y
?=-?+ （3）
三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.()D
x y d σ-??，其中D 是由x 轴y 轴以及直线22x y +=所围成的闭区
域。
解：区域D 可表示为{
02201
y x
x ≤≤-≤≤ （2）
()D
x y d σ-??1
220
()x
dx x y dy -=-??
（3）
=13
- （2）
2.证明曲线积分(2,1)
(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++?在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。 解：设2,2,P x y Q x y =+=+ 则
2Q P
x y
??==?? （2） 所以曲线积分与路径无关 （2） 原式=2
1
00(4)xdx y dy ++??=
13
2
（3）
3. 计算63xdydz ydzdx zdxdy ∑
++?? ,其中∑是某边长为2的正方体
的整个边界曲面的外侧。
解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式=(6)(3)
(
)V x y z dv x y z
???++?????? (3) =10V dv ??? (1) =10V (2) =3102 = 80 (1)
4.计算2
2
x y D e d σ+??，其中D 是由224x y +≤围成的闭区域。 解：区域D 在极坐标下可表示为02,02r θπ≤≤≤≤， （2）
原=2
22
00r d e rdr πθ?? （3） = ()41e π- （2） 四 .计算题（8×4=32分） 1.判别级数 2
1n
n n e ∞
=∑
是否收敛。 解：()
3
1211lim n n n
n e n e
e +→∞
+= （4） 所以级数收敛 （4）
2.将函数3()x f x e = 展开为x 的幂级数。
解：0!
n
x
n x e n ∞
==∑ （4）
303()!
n n
x
n x f x e n ∞
===∑，+∞<<∞-x （4）
3. 求微分方程2y y x '+=的通解。
解：0y y '+=的通解为x y ce -=， （2） 设原方程的通解为()x y c x e -=，代入方程得 ()2x c x xe '=，得()()21x c x x e c -=-+ （4）
原方程的通解为
22x y x ce -=-+ （2） 4.求微分方程566y y y '''-+=的通解。
解：特征方程为2560λλ-+=，特征根为 122,3λλ== （2）
对应的齐次方程的通解为2312x x y c e c e =+ （2）
1y =是方程的一个特解， （2）
原方程的通解为23121x x y c e c e =++ （2） 五.证明()000sin sin y
x x dy e xdx x e xdx π
π
πππ--=-???（5分） 证明：设区域D 为{
00x y
y π
≤≤≤≤ 则
sin x D
e xd πσ-=??0
sin y
x dy e xdx π
π-?
? （2）
区域D 可表示为{
0x y x π
π
≤≤≤≤
sin x D
e
xd π
σ-=
??0
sin x x
dx e
xdy π
π
π
-?
?=()0
sin x x e xdx π
ππ--?
广东海洋大学 2012—2013学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x2
□√ 考试 □√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×7=21分）
1.设,{}{}0,1,2,2,0,a b k =-=
，若a b ? =2 ，则=?
2.过点()1,0,1且与平面232x y z +-= 平行的平面方程为
3.设曲线:4cos ,4sin ,(02)L x t y t t π==≤≤，则223()L
x y ds +? = 4.函数z =的驻点为
5.幂级数
1
3
n
n n
x ∞
=∑的收敛域为 6.曲线22,1z x y y z =++= 在xoy 面上的投影线方程为
班级：
姓名：
学
号：
试密
封
7.微分方程sin 2y x '=()01y =满足 的特解为 二 .计算题（7×2=14分） 1.设x y
z e =，求dz .
2.设),(y x f z =是由方程220z e xyz -=所确定的具有连续偏导数的函数，求
,z z x y
????. 三 .计算下列积分（7×4=28分） 1.
()23D
x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴以及
2x y +=所围成的闭区
域。
2. 设曲线积分(2,1)
(0,0)(2)(3)x ky dx x y dy ++-?在整个xoy 平面内与路径无关，求常数k ，并计算积分值。
3. 计算24xdydz ydzdx zdxdy ∑
++??
,其中∑
是圆锥体1z z ≤≤的整个表面的外侧。
4.计算()221D x y d σ++??，其中D 是由221x y +≤围成的闭区域。 四 .计算题（8×4=32分） 1.判别级数 3
13
n n n ∞
=∑
是否收敛。 2.将函数()cos 2f x x x = 展开为x 的幂级数。 3. 求微分方程y y x '-=的通解。 4.求微分方程322y y y '''-+=的通解。 五. 设级数∑∞
=12
n n u 收敛，证明级数1
1
n n a n ∞
=+∑
发散。 （5分）
广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题答案和评分标准
课程号： 19221101x2
□√ 考试 □√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×7=21分）
1.设,{}{}1,0,1,1,2,0a b =-=
，则→→?b a = 1 ，=?b a {}2,1,2-
2.过点()1,1,1-且垂直于直线
21212
x y z
+-==-的平面方程为 2(1)(1)2(1)0x y z ---++=
3.设曲线:3cos ,3sin ,(02)L x t y t t π==≤≤，则ds y x L )(22+?=54π
4.改变积分次序110(,)x dx f x y dy ??=1
00(,)y
dy f x y dx ??
5.幂级数1
2n
n n
x ∞=∑的收敛半径为 1
6.函数sin()z x y =+在点)0,0(处的梯度为{}1,1
7.微分方程cos3y x ''=的通解为=y 121cos39
y x c x c =-++ 二 .计算题（7×2=14分） 1.设22ln(1)z x y =++，求dz . 解：
222,1z x x x y ?=?++ （2） 22
21z y y x y ?=?++ （2） z z
dz dx dy x y
??=
+?? （2） 班级：
姓名：
学
号：
试题共 6
页
加
白纸 3 张
密
封
线
GDOU-B-11-302
=2222
2211x y
dx dy x y x y
+++++ （1）
2.设),(y x f z =是由方程321z z xz ye -+=所确定的具有连续偏导数的函数，求
,z z
x y
????. 解：在方程两边对x 求偏导数， （1）
2
2320z z z z z z xz ye x x x
???--+=??? （2） 得，2232z
z z x z xz ye
?=?-+ （1） 在方程两边对y 求偏导数，
2
320z z z z z z xz e ye y y y
???-++=??? （2） 得，232z z
z e y z xz ye
?-=?-+ （1）
三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.D
xyd σ??，其中D 是由直线0,0y x ==以及1x y +=所围成的闭区
域。
解：区域D 可表示为01,01y x x ≤≤-≤≤， （1）
D
xyd σ??1100
x
dx xydy -=??
（3）
=1
201(1)2
x x dx -? （2） =
1
24
（1）
2.设曲线积分12
00x+ky )()dx x y dy +-?（，）（，）（在整个xoy 平面内与路径无关，求常数k ，并计算积分值。 解：设,,P x ky Q x y =+=- 则
Q P
x y
??=
?? （2） 1,Q P
k x y
??==??，所以1k = （2） 原式=12
00(1)xdx y dy +-??=1
2
（3）
3. 计算??∑
++zdxdy ydzdx xdydz 32,其中∑是球面2221x y z ++=的外
侧。
解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式=(2)(3)
(
)V x y z dv x y z
???++?????? (3) =6V dv ??? (1) =6V (2)
=34613
π
=8π (1)
4. 22D
cos()x y d σ+??，其中D 是由224x y +≤围成的闭区域。
解：区域D 在极坐标下可表示为02,02r θπ≤≤≤≤， （2） 原=22
200cos d r rdr πθ?? （3） =20
1
sin 42
d π
θ? （1） =sin 4π （1）
四 .计算题（8×4=32分） 1.0判别级数
1n
n ∞
=∑
是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是
条件收敛。
解：1n ∞
=∑
=1
n ∞
=∑
发散， （2）
0n =， （3）
所以1
n
n ∞
=∑
（收敛，并且是条件收敛。 （3）
2.将函数2()x f x xe = 展开为x 的幂级数。
解：0!
n
x
n x e n ∞
==∑ （4）
20
(2)!n
x
n x e n ∞
==∑ （2） 1
20
2()!n n x
n x f x xe n +∞
===∑，+∞<<∞-x （2）
3. 求微分方程23y y x '+=的通解。
解：20y y '+=的通解为2x y ce -=， （2） 设原方程的通解为2()x y c x e -=，代入方程得 2()3x c x xe '=，得223
3()2
4
x x c x xe e c =-+ （4） 原方程的通解为
23324
x y x ce -=-+ （2）
4.求微分方程231y y y '''+-=的通解。
解：特征方程为2230λλ+-=，特征根为 123,1λλ=-= （2）
对应的齐次方程的通解为312x x y c e c e -=+ （2）
1
3
y =-是方程的一个特解， （2）
原方程的通解为3121
3
x x y c e c e -=-++ （2）
五. 设级数∑∞=1
2
n n u 收敛，证明级数21
1()n n u n
∞
=+∑也收敛。 （5分）
证： 2212
n n u u n n
≤+ 2
2
2
112n n n u u u n n n ??+=++ ??
?2212()n u n ≤+ （2） 而∑∞
=1
2
n n u 收敛，2
11
n n
∞
=∑
也收敛。 （1） 由比较判别法知，原级数收敛。 （2）
广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》试题答案和评分标准
课程号： 19221101x2
□√ 考试 □ A 卷 □√ 闭卷
□ 考查
□√ B 卷
□ 开卷
一、填空（3×7=21分）
1.设{1,2,0},{1,1,1}a b ==- ，则=?b a
，=?
班级：
姓
名： 密
2.过点(1,0,1)且与平面10x y z ++-=垂直的直线方程为
3.设曲线L :cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，则222()L
x y ds +? = 4.改变积分次序2
1
00(,)x dx f x y dy ??=
5.函数()y x x ππ=-≤≤的傅立叶级数在x=π处收敛于
6.函数22z x y =+在点(1,1)处的梯度为
7.微分方程sin 5y x ''=通解为=y 二 .计算题（7×2=14分） 1.设2
2x
z x y =
+，求dz . 2.设),(y x f z =是由方程10z z xye ++=所确定的具有连续偏导数的函数，求
y
z x z ????,. 三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.()D
x y d σ+??，其中D 是由直线y 0,y x ==以及1x =所围成的闭区
域。
2.22D
sin()x y d σ+??，其中D 是由221x y +≤围成的闭区域。
3.设曲线积分(1,1)
(0,0)()()x y dx kx y dy ++-?在整个xoy 平面内与路径无关，求常数k ，并计算积分值。 4.计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++?? ,其中
∑
是区域
01,01,01x y z ≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧。
四 .计算题（8×4=32分）
1.判别级数 1
1)3n
n n ∞
=-∑（ 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条
件收敛。
2.将函数23()x f x x e = 展开为x 的幂级数。
3. 求微分方程3y y x '-=的通解。
4.求微分方程2y y y x '''+-=的通解。
五. 设级数∑∞=1
2
n n u 收敛，证明级数21
2()n n u n
∞
=-∑也收敛。 （5分）
试题答案和评分标准
一、填空（3×7=21分）
1.设{1,2,0},{1,1,1}a b ==- ，则=?b a
-1 ，=?{2,1,3}--
2.过点(1,0,1)且与平面10x y z ++-=垂直的直线方程为
11
111
x y z --== 3.设曲线L :cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，则222()L x y ds +? =2π
4.改变积分次序2
1
00(,)x dx f x y dy ??
=11
0(,)dy f x y dx ?
5.函数()y x x ππ=-≤≤的傅立叶级数在x=π处收敛于 0
6.函数22z x y =+在点(1,1)处的梯度为{2,2}
7.微分方程sin 5y x ''=通解为=y 211
sin 525
x c x c -++ 二 .计算题（7×2=14分） 1.设2
2x
z x y
=
+，求dz . 解：2
22
2,()
z y x x y ?=?+ （2） 224()z xy y x y ?-=?+ （2） z z
dz dx dy x y
??=
+?? （2）
=22222
24()()
y xy
dx dy x y x y -+++ （1）
2.设),(y x f z =是由方程10z z xye ++=所确定的具有连续偏导数的函数，求
y
z
x z ????,. 解： 在方程两边对x 求偏导数， （1）
0z z z z ye xye x x
??++=?? （2） 得，1z z
z ye x xye
?-=?+ （1） 在方程两边对y 求偏导数，
0z z z z xe xye y y
??++=?? （2） 得，1z z
z xe y xye
?-=?+ （1）
三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.()D
x y d σ+??，其中D 是由直线y 0,y x ==以及1x =所围成的闭区
域。
解：区域D 可表示为0,01y x x ≤≤≤≤， （1）
D
xyd σ??10
()x
dx x y dy =+?? （3）
=1
2032
x dx ? （2） =12
（1）
2.22D
sin()x y d σ+??，其中D 是由221x y +≤围成的闭区域。
解：区域D 在极坐标下可表示为02,01r θπ≤≤≤≤， （2） 原=21
200sin d r rdr πθ?? （3） =2011(cos1)22
d π
θ-? （1） =(1cos1)π- （1）
3.设曲线积分(1,1)
(0,0)()()x y dx kx y dy ++-?在整个xoy 平面内与路径无关，求常数k ，并计算积分值。 解：设,,P x y Q kx y =+=- 则
Q P
x y
??=?? （2） ,1Q P
k x y
??==??，所以1k = （2） 原式=11
00(1)xdx y dy +-??=1 （3） 4. 计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++?? ,其中∑是区域
01,01,01x y z ≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧。
解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式=dv z
z
y y x x V ))2((
??+??+????? (3) =dv V ???4 (1) =V 4 (2) =4 （1）
四 .计算题（8×4=32分）
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