1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论;
2.能够初步运用余弦定理解斜三角形.
1.余弦定理
三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________.即a 2=________________,b 2=________________,c 2=____.
2.余弦定理的推论
cos A =________________;cos B =______________;cos C =________________.
3.在△ABC 中:
(1)若a 2+b 2-c 2=0,则C =________;
(2)若c 2=a 2+b 2-ab ,则C =________;
(3)若c 2=a 2+b 2+2ab ,则C =________.
一、选择题
1.在△ABC 中,已知a =1,b =2,C =60°,则c 等于( )
A . 3
B .3
C . 5
D .5
2.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6
C .π4
D .π12 3.在△ABC 中,已知a =2,则b cos C +c cos B 等于( )
A .1
B . 2
C .2
D .4
4.在△ABC 中,已知b 2=ac 且c =2a ,则cos B 等于( )
A .14
B .34
C .24
D .23
5.在△ABC 中,sin 2A 2=c -b 2c
(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对应边),则△ABC 的形状为( )
A .正三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰三角形
6.在△ABC 中,已知面积S =14
(a 2+b 2-c 2),则角C 的度数为( ) A .135° B .45° C .60° D .120°
二、填空题
7.在△ABC 中,若a 2-b 2-c 2=bc ,则A =________.
8.△ABC 中,已知a =2,b =4,C =60°,则A =________.
9.三角形三边长为a ,b ,a 2+ab +b 2 (a>0,b>0),则最大角为________.
10.在△ABC 中,BC =1,B =π3
,当△ABC 的面积等于3时,tan C =________.
三、解答题
11.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.
12.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+
B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长;
(3)求△ABC的面积.
能力提升
13.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,AD为边BC上的高,则AD的长是________.
14.在△ABC中,a cos A+b cos B=c cos C,试判断三角形的形状.
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题:
(1)已知两边和夹角,解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
1.2 余弦定理(一)
答案
知识梳理
1.平方 平方 夹角 两倍 b 2+c 2-2bc cos A c 2+a 2-2ca cos B a 2+b 2-2ab cos C 2.b 2+c 2-a 22bc c 2+a 2-b 22ca a 2+b 2-c 22ab
3.(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计
1.A
2.B [∵a>b>c ,∴C 为最小角,由余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab =72+(43)2-(13)2
2×7×43=32
. ∴C =π6
.] 3.C [b cos C +c cos B =b·a 2+b 2-c 22ab +c·c 2+a 2-b 22ac =2a 2
2a
=a =2.] 4.B [∵b 2=ac ,c =2a ,∴b 2=2a 2,b =2a ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 22a·2a =34
.] 5.B [∵sin 2A 2=1-cos A 2=c -b 2c ,∴cos A =b c =b 2+c 2-a 22bc
?a 2+b 2=c 2,符合勾股定理. 故△ABC 为直角三角形.]
6.B [∵S =14(a 2+b 2-c 2)=12
ab sin C , ∴a 2+b 2-c 2=2ab sin C ,∴c 2=a 2+b 2-2ab sin C.
由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴C =45° .]
7.120°
8.30°
解析 c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+42-2×2×4×cos 60°=12
∴c =2 3.
由正弦定理:a sin A =c sin C 得sin A =12
. ∵a 9.120° 解析 易知:a 2+ab +b 2>a ,a 2+ab +b 2>b ,设最大角为θ, 则cos θ=a 2+b 2-(a 2+ab +b 2)22ab =-12 , ∴θ=120°. 10.-2 3 解析 S △ABC =12 ac sin B =3,∴c =4. 由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13, ∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-113,sin C =1213, ∴tan C =-12=-2 3. 11.解 由条件知:cos A =AB 2+AC 2-BC 22·AB·AC =92+82-722×9×8=23,设中线长为x ,由余弦 解三角形 模块一:正余弦定理 在△ABC 中的三个内角A ,B ,C 的对边,分别用a ,b ,c 表示. 1.正弦定理:在三角形中,各边的长和它所对的角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C =2R . ① a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ② sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ; ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C . ④ 面积公式:S =1 2 ab sin C =1 2 bc sin A =1 2 ac sin B . 2.正弦定理用于两类解三角形的问题: ① 已知三角形的任意两个角与一边,求其它两边和另一角; ② 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其它的边与角. 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即:{c 2=a 2+b 2?2ab cos C ,b 2=a 2+c 2?2ac cos B ,a 2=b 2+c 2?2bc cos A. 变形式为:{ cos C =a 2+b 2?c 2 2ab , cos B =a 2+c 2?b 2 2ac ,cos A =b 2+c 2?a 22bc . 4.余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题: ① 已知两边和任意一个内角解三角形; ② 已知三角形的三边解三角形. 考点1:正弦定理 例1.(1)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若4 A π=,3 B π = ,a =, 则(b = ) A .1 B C .2 D .【解答】解:因为4 A π = ,3 B π = ,a =, 所以,由正弦定理 sin sin a b A B = ,可得:sin sin a B b A ===g 高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 A B = 真子集 A ≠ ?B (或 B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子 集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A =I (2)A ?=?I (3)A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)A A A =U (2)A A ?=U (3)A B A ?U A B B ?U B A 数列 1.1数列的概念 预习课本P3~6,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?数列的项指什么? (2)数列的一般表示形式是什么? (3)按项数的多少,数列可分为哪两类? (4)数列的通项公式是什么?数列的通项公式与函数解析式有什么关系? [新知初探] 1.数列的概念 (1)定义:按一定次序排列的一列数叫作数列. (2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n…,简记为数列{a n}.数列的第1项a1,也称首项;a n是数列的第n项,也叫数列的通项. [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置. (2)项a n与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次. (3){a n}与a n是不同概念:{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…;而a n表示数列{a n}中的第n 项. 2.数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列. 3.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式. [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N +或它的有限子集{1,2,3,…,n }为定义域的函数解析式. (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种:列表法、图像法、解析法. [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同.( ) (2)数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列.( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1-(-1)n +1 2,则该数列的前4项依次为( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 解析:选B 把n =1,2,3,4分别代入a n =1-(-1)n + 12中,依次得到0,1,0,1. 3.已知数列{a n }中,a n =2n +1,那么a 2n =( ) A .2n +1 B .4n -1 C .4n +1 D .4n 解析:选C ∵a n =2n +1,∴a 2n =2(2n )+1=4n +1. 4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x 的值是( ) A .12 B .13 C .15 D .16 解析:选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4, ∴? ???? x -10=5,21-x =6,∴x =15. [典例] (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3;(3)0,1,2,3,4,…; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…;(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合,不是数列; 必修五第一讲 正弦定理 知识梳理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C . 2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 题型分析 [例1] 在△ABC 中,已知a [解] A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°.由 b sin B =a sin A 得,b =a sin B sin A =8×sin 60°sin 45°=46,由a sin A = c sin C 得, c =a sin C sin A =8×sin 75°sin 45°=8×2+642 2=4(3+1).∴A =45°,b =46,c =4(3+1). [变式训练]在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解:∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°.由 a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°sin 30°=10 2. 由 b sin B = c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°sin 30°=20sin 75°,∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64,∴b =20×2+64 =52+5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin A a =6×sin 45°2=32,∴C =60°或C =120°. 当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b = c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. [变式训练]在△ABC 中,若c =6,C =π3 ,a =2,求A ,B ,b . 解:由a sin A =c sin C ,得sin A =a sin C c =22.∴A =π4或A =34π.又∵c >a ,∴C >A ,∴只能取A =π4 , ∴B =π-π3-π4=5π12,b =c sin B sin C =6·sin 5π12sin π3=3+1. (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结 构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必 修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时, 必修5期末综合测试卷 一、选择题:本大题共有10小题,每小题5分,共50分. 1.在数列{}n a 中,122,211=-=+n n a a a ,则101a 的值为( ) A .49 B .50 C .51 D .52 2.设x >0,y >0,y x y x a +++=1,y y x x b +++=11,a 与b 的大小关系 () A .a >b B .a 0,,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=() A.5 B.10 C.15 D.20 4.x 、y >0,x +y =1,且y x + ≤a 恒成立,则a 的最小值为() A 2C .2D .2 5.已知在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( ) A .135° B .90°C .120° D .150 6.设a 、a +1、a +2为钝角三角形的边,则a 的取值范围是( ) A 0<a <3B3<a <4 C1<a <3 D4<a <6 7.数列Λ,16 1 4 ,813,412,211前n 项的和为( ) A .22 12n n n ++ B .12212+++-n n n C .22 12n n n ++- D .2 2121 n n n -+- + 8.已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-,则不等式250bx x a -+>的解 是() A 32x x <->-或 B 12x <- 或13 x >- C 11 23 x - <<-D 32x -<<- 9.目标函数y x z +=2,变量y x ,满足?? ? ??≥<+≤+-125530 34x y x y x ,则有 () A .3,12min max ==z z B .,12max =z z 无最小值 C .z z ,3min =无最大值 D .z 既无最大值,也无最小值 10.等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若 231n n S n T n =+,则n n a b =() A 23B 2131n n --C 2131n n ++D 21 34 n n -+ 二、填空题:共5小题,每小题5分,共25分. 11.若x>0,y>0,且 19 1=+y x ,则x+y 的最小值是___________ 12.不等式组6003x y x y x -+≥?? +≥??≤? 表示的平面区域的面积是 13.已知数列{}n a 中,1a =-1,1+n a ·n a =n n a a -+1,则数列通项n a =___________ 14.ΔABC 中,若C A C B A sin sin sin sin sin 2 22=+-那么角B=___________ 15.若方程x x a a 2 2 220-+-=lg()有一个正根和一个负根,则实数a 的取值范围是_________________ 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,或演算步骤。 16.(本小题满分12分) 如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ,AD =10,AB =14,BDA =60,BCD =135. 求BC 的长. C D 必修五正余弦定理习题练习 一.选择题(共5小题) 1.(2015?秦安县一模)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=() A.B.C.D. 2.(2016?太原校级二模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为() A.B.C. D. 3.(2016?大连一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足acosA=bcosB,那么△ABC的形状一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2016?宝鸡一模)在△ABC,a=,b=,B=,则A等于()A.B.C. D.或 5.(2014?新课标II)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B.C.2 D.1 二.填空题(共6小题) 6.(2015?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为______. 7.(2015?重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c=______. 8.(2015?广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=______. 9.(2015?北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=______.10.(2015?安徽)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=______.11.(2013?福建)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为______. 高中数学学习材料 (灿若寒星 精心整理制作) 必修五模块测试卷 (150分,120分钟) 一、选择题(每题5分,共60分) 1.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cos 2 2A =c c b 2+,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.在等比数列{a n }中,如果a 1+a 2=40,a 3+a 4=60,那么a 7+a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.80 3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(3b -c )cos A =a cos C ,则cos A 的值等于( ) A. 23 B. 33 C. 43 D. 6 3 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t 2 5 -?n - 5 1 ,则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 5 1 5.某人向正东方向走x km 后,向右转150°,然后朝新方向走3 km ,结果他离出发点恰好是3 km ,那么x 的值为( ) A.3 B.23 C.3或23 D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列,S n 为{a n }的前n 项和,则( ) A. 44S a =66S a B. 44S a >66S a C. 44S a <66S a D. 44S a ≤6 6S a 7.已知数列{a n }的首项为1,并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ,若以(a n ,S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y = 2 1 x (x +1)上运动,则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n =n 2+1 B.a n =n 2 C.a n =n +1 D.a n =n 高一数学必修1质量检测试题(卷) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本答题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合{0,1}的子集有 ( )个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知集合2 {|10}M x x =-=,则下列式子正确的是 A .{1}M -∈ B . 1 M ? C . 1 M ∈- D . 1 M ?- 3.下列各组函数中,表示同一函数的是 A .1y =与0y x = B .4lg y x =与2 2lg y x = C .||y x =与2 y = D .y x =与ln x y e = 4.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-,则B A = A .{x =1,y =2} B .{(1,2)} C .{1,2} D .(1,2) 5. 函数()ln 28f x x x =+-的零点一定位于区间 A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 6.二次函数2 ()23f x x bx =++()b R ∈零点的个数是 A .0 B .1 C .2 D .以上都有可能 7.设 ()x a f x =(a>0,a ≠1),对于任意的正实数x ,y ,都有 A.()()()f xy f x f y = B. ()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D. ()()()f x y f x f y +=+人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳:正余弦定理
高中数学北师大版必修1全册知识点总结
北师大版高中数学必修五教学案
必修五正弦定理和余弦定理
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