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数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案

1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），

（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。

解：(1)Lagrange 插值基函数为

0(1)(2)1

()(1)(2)(01)(02)2

x x l x x x +-=

=-+-+-

同理 1211

()(2),()(1)36

l x x x l x x x =

-=+ 故 2

2151

()()(1)(2)(2)(1)

23631

i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为

011215

5(1)

[,]4,

[,]20(1)

f x x f x x ---=

=-=

=-----

0124(2)

[,,]102

f x x x ---=

实际演算中可列一张差商表：

（3）用对角线上的数据写出插值多项式

2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+

2. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x

e 的近似值，要使

截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少

解：

()40000(),

(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3)

2000

()

()[(()]()[()]

(1)(1)

3!3!

.(4,4).

R x x x h x x x x h

t t t

t h th t h e h

=----+

≤+??-=

≤∈-

则

((1)(1)

100.006.

t t t

-+±

Q在点

得

3.求2

()

f x x

=在［a,b］上的分段线性插值函数()

I x，并估计误差。

解：

111

()

k k k k

h k k

k k k k k k

k k k k

k k

x x x x x x

I x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

+++

---

=+=

---

?-?

-=+-

[]

()()()[()]

()()

h h k k k k

k k k k

R x f x I x x x x x x x

x x x x x x h

=-=-+-

=--≤-=

4.已知单调连续函数()

y f x

=的如下数据

用插值法计算x约为多少时() 1.

f x=（小数点后至少保留4位）

解：作辅助函数()()1,

g x f x

=-则问题转化为x为多少时，()0.

g x=此时可作新

的关于()

g x的函数表。由()

f x单调连续知()

g x也单调连续，因此可对()

g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10)

0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)

x g y y y y

y y y

==-+++++

-++-

故 1(0) 1.321497.x g -==

5. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高

于3的多项式3()P x ，使其满足3(0)0P =，3(1)1P =，3'(1)3P =,3(2)1P = 。并写出误差估计式。

解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x ， 32357()722

p x x x x =-+-

2112(1)()(2);()(1)(2);();2

x x x x x x x x x x αβα-=--=---=

由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--

为确定待定函数()k x ，作辅助函数： 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=，从而得

(4)

1()()4!

k x f ξ=

。故误差估计式为(4)

21()()(1)(2)(0,3)4!

R x f x x x ξξ=

--∈

6. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的

三次样条插值函数()S x ：

（1）'

(0)1,(3)0f f == （2）''

(0)1,(3)0f f ==

解：（1）取i x 处的一阶导数i m 作为参数，1,2i =。由于

11111

,1,3([,][,])022

i i i i i i i i i i i i i h g f x x f x x h h λμλλμ-+-=

==-==+=+

以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==

得 012123

12022

1120

m m m m m m ?++=????++=?? 由于031,0,m m ==从而 12124140m m m m +=-??+=?

解之可得124/15,1/15m m =-=

故 2(1)(1511)/15,

[0,1]()(1)(2)(73)/15,[1,2](3)(2)/15,[2,3]x x x x S x x x x x x x x --∈??

=---∈??--∈?

（2）取i x 处的二阶导数i M 作为参数，1,2i =。由于

111111

,1,6[,,]022

i i i i i i i i i i h d f x x x h h μλμ--+-=

==-===+

以及由三弯矩方程

01211123

1202221,21120

i i i i i i

M M M M M M d i M M M μλ-+?++=??++==???++=?? 由于031,0,M M ==代入方程可得 134/15,1/15,M M =-=

故 (1)(1926)/90,

[0,1]()(1)(2)(512)/90,[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]x x x x S x x x x x x x x x --∈??

=---∈??---∈?

7．编程实现题：

略。

8、试求 ()sin ,

[0,]2

f x x x π

=∈最佳一次一致逼近多项式。

解：因为''()sin f x x =-在[0,/2]π内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为

1111()[(0)()]/2(/2)P x f f x a x x =++-

式中 '11111(/2)(0)2

0.63661977()cos 0.88068924/20f f a a f x x x πππ

====?=-

从而 *

1111()(sin )/2(/2)0.105256830.63661977P x x a x x x =+-=+

9、给定43

()1f x x x =+-，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求()f x 的三次最佳一致逼近多项式。

2342234(()21,()43,()881)T x x T x x x T x x x =-=-=-+

解：令43

11121()(

)()3() 1.222

t t t t x f x f +++=-?==+- 设*3()P x 为()f x 在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式，由于1

()2

t f +的首项系数为

，故 *3441*43423*4342332111

16[(

)()]()2221111()()()1(881)

222168

()(31)[8(21)8(21)1]

168

51129

3.[0,1]

44128

t t f P T t t t t P t t P x x x x x x x x x -++-=+++?=+---+??=+-----+?=-+-∈

10、设{}{}

100101121,,,span x span x x ??==，分别在12??、上求一函数，使其为

2[0,1]x C ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。

解：

01112000100121110011220100***

010*1***101

122

1 (,)11,(,),

211

(,),(,),

3211

(,)1,(,),

1123()6111612

34a a x

dx xdx x dx f x dx f x xdx a a a x x

a a a f

????????????δ=+========?==?=?+=??=-?????=-+????=+=???=-?????*1(1)设因1

(,)0.00556k k k a f ?=≈∑

**100

*101

2011

11002

100101000110001111012102

1031101000*

*01**01

(2)()11(,)(),(,)(,),

201202111(,)(),(,),(,).

203103104

111201202103

111

202203104x b x b x x dx x x dx x dx f x dx f x dx b b b b ???????????=+====?=======?+=?+=?????设*0*

10010121

222

375.24253375.14825()375.24253375.14825.

(,)[375.24253375.14825]0.16406103104

k k k b b x x x f

b f x dx ?δ?=??≈????≈-?????=-=-=-?-?≈∑? 由结果知（1）比（2）好。

11、用最小二乘法求一个形如2

y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。

22010000

20110010

4111100

00004

2110

()1,().(,)()15,

(,)(,)()()5327,

(,)()()7277699,

(,)()271.4,

(,)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x y x y y y x y x ???????????????????==========================∑∑∑∑∑∑∑∑∑因有4

222

01222

369321.5,

55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.

(,)(,)0.016954.0.130207526.

i i y a b a a b b y x y a y b y δ??δ

==+==??????

+==???=+=--==∑

12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）解：构造正交多项式

0()1x ?= 1

00011000

(,)

1(,)

1xdx

x dx

??α??==

111()2x x x ?α=-=- 1

011212110

1()(,)121(,)2()2

x x dx x x dx ??α??-

==-?? 1

1121

000

1()(,)

12(,)

1x dx

??β??-

? 2222120111()()()()()2

126

x x x x x x x ?α?β?=--=--

=-+ 于是

000

(,)11dx ??==? 1

2110

(,)()212

x dx ??=

12222011

(,)()6180

x x dx ??=-+=

(,)sin f xdx ?ππ

101(,)()sin 02

f x xdx ?π=-=? 212

230112(,)()sin 63f x x xdx π?ππ-=-+=? 所以，

()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为

0120120011222(,)(,)(,)

()()()()

(,)(,)(,)4.1225 4.12250.05047

f f f x x x x x x ?????????????=

++≈-+-

13、求()x

f x e =在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre 正交多项式）

解先计算(,)

(0,1,2,3)k f P k =。

3504.21

d ),(11

0≈-

==?

-e

e x e P

f x ； 7358.02d ),(11

1≈==--?

e x xe P

f x ；

1431.07d 212

3),(211

2≈-=??? ??-=

-e e x e x P f x

；

.02013.05137d 2325),(31

3≈-=??

??-

-e e x e x x P f x ；

又有

1752.12/),(0*

0==P f a ， 1036.12/),(31*

==P f a

3578.02/),(52*

2==P f a ， 07046.02/),(73*3

==P f a ，得

23323

() 1.1752 1.10360.3578(31)0.07046(53)22

0.99630.99790.53670.1761S x x x x x x x x =++?

-+?-=+++均方误差

()0.0084

x n

e S x δ=-=

≤

14、 A 、B 、C 三点连成一条直线，AB 长为1x ，BC 长为2x ，某人测量的结果为115.5x =米，

2 6.1x =米，为控制丈量的准确性，又测量1220.9AC x x =+=米，试合理地决定1x 和2x 的

长度。（小数点后取四位有效数字）

解：令*1x 为AB 的所求值，*

2x 为BC 的所求值，则**

11122215.5, 6.1,x x x x εε==+==+

******

12123112231220.9.15.5, 6.1,20.9().x x x x x x x x εεεε+==++=-=-=-+故在最小二乘意义下，要222

123f εεε=++达到极小，

即求*2*2**2

1212(15.5)( 6.1)(20.9)f x x x x =-+-++-的极小点。令

***

112212**12

2(15.5)2(20.9)0,2( 6.1)2(20.9)0,f f x x x x x x x x ??=-++-==-++-=??

解的*

*1215.2667, 5.8667x x ==。故应取1215.2667, 5.8667x x ≈≈。

15、求函数()x

f x e =在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）

解：三种方法，见参考讲义。（1）截断切比雪夫级数

由富利叶级数系数公式得

*cos 02cos d k C e k πθ

θθπ

?，它可用数值积分方法计算，得到

,13031821.1,

53213176.2*1*0==C C ,04433685.0,

27149534.0*3*

2==C C

由 ),(2)(*

*0*

x T C C x C k k n k n

∑=+= 及)(x T k 的公式得到 *233()0.9945710.9973080.5429910.177347,C x x x x =+++

3()

0.00607.x e C x ∞

-≈

（2）拉格朗日插值余项的极小化

由)(4x T 的4个零点 21

cos

(1,2,3,4)8

k k x k π-==

做插值点可求得

23175176.0542900.0998967.0994584.0)(x x x x L +++=，

00666.0)

(3=-∞

x L e x

（3）台劳级数项数的节约

应用x

的台劳展开，取6=n ，得

23456611111()1.2624120720

P x x x x x x x =++

++++ 作为x

的近似，其误差为

461

1103934.5!

7)(max -≤≤-?<≤

-e

x P e x x ，由于

,32116923)(3212466+-+=x x x T x ,16

545)(161355x x x T x -+= 则

),(32

7201)(1611201)()(654,66x T x T x M x P ?+?+= 其中

24,64996094.09973958.00000434.1)(x x x M ++=

.043750.01770833.04

x x ++ 用)(4,6x M 做x

的逼近多项式，其误差为

23040

192010005393.0)(max 4,61

1++

≤-≤≤-x M e

若再用8

)(81244-

x x T x 代入)(4,6x M 可求出 ,177083.0542969.0997396.0994575.0)(323,6x x x x M +++=

00651.0)(max 3,61

1≤-≤≤-x M e x x

16.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）

略。

17．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。

1）21012()()(0)();h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?

2）

121

(1)2()3()

();3

f f x f x f x dx --++≈

解：（1）三个参数，代入

11012

11022

311123333224544

452228344()1,,,03168()33848()0()03336484816()0()53333

84()()3h h h h

h h A h

A A A h f x x x hA hA A h

h A h A h A h h h

x dx h h h h h x dx h h h h h h h f x dx f h -------?=???++=??-?=?-+=?=??????-+==???=--?+==≠--?+=∴≈-+???Q 8(0)().33h h f f h +具有三次代数精度

1212121122

12221

(2)()1,()[(1)2()3()].

,(),2310.689900.289902310.126600.52660

f x f x dx f f x f x f x x x x x x x x x x x -==-++=+===-????????+==-=????当时有两个参数令精确成立或

1333

1211

1[123]

()[(1)2(0.68990)3(0.12660)]/3 ()[(1)2(0.28990)3(0.52660)]/3

x dx x x f x dx f f f f x dx f f f ---≠-++≈-++-≈-+-+???而故与均具有次代数精度

18、已知013113,,424

x x x =

==，（1）推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。

（2）求上述求积公式的代数精确度。（3）用上述公式计算1

x dx ?

。

解：（1）过013113

,,424x x x =

==三点的二次插值为 2131311()()()()()()

113244442()()()()111311133131

424()()()()()()424424244442

x x x x x x L x f f f ------=

++------ 故有

()()()k k k f x dx L x dx A f x =≈=∑?

其中 1101001313()()()()212444,,1113111333()()()()42442424x x x x A dx A dx ----====-----?? 12011()()24231313()()4442

x x A dx --==--? 故求积公式为 101113

()[2()()2()][]3424

f x dx f f f Q f ≈-+=?

（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将3

(),f x x x =代入有

440

1137

[][]4

5192

x dx Q x x dx Q x ===

≠=

故该求积公式的代数精度为3次。（3）1

2220

11131[2()()2()]34243

x dx ≈?-+?=?

19、如果要用复化梯形公式计算积分[]()b

I f f x dx =

，试问应将积分区间［a,b ］分成多

少份，才能保证误差不超过ε。

解：已知将［a,b ］分成n 份的复化梯形公式的余项为

32''''

()[]()(),(,)1212b a b a R f h f f a b n ξξξ--=-=-∈

记''

max ()a x b

M f x ≤≤=，则按要求应满足

()[]12b a R f M n n

ε-≤≤?

≤ 故

n =，为上取整。

20、已知勒让德（Legendre ）正交多项式()n p x 有三项递推关系式：

0111()1,

()21()()()(1,2,)11n n n p x p x x n n p x xp x p x n n n +-==??

=-=?++?

L 试确定三点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 1

0011221

()()()()f x dx f x f x f x ωωω-≈++?

的求积系数和节点，并利用此公式写出1

I e dx =

的计算式（无需计算结果）

。

解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式331

()(53).2

p x x x =-令3()0p x =，其三个零点为

0100.7745967,0,0.7745967.55

x x x =-

≈-==≈ 则所求的高斯求积公式为

0121

()()(0)().55

f x dx f f f ωωω-≈-

++?

因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对2

()1,,f x x x =均精确成立，

00121

1021112022152

980

9332

5553

9dx xdx x dx ωωωωωωωω---?

=++==???

???

+==?

=????

??+==

=???

???

所以三点的高斯－勒让德求积公式为

585()((0)999f x dx f f f -≈++? 对12

I e dx =

，作变换1

(3)2

x t =+，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］

，即 12

131

1.2x

t I e dx e dt +

-==?

?用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有

222

0.7745967330.7745967

54518918

I e e e -++≈++

21、

建立高斯型求积公式

00110

()()()x dx A f x A f x ≈+?

。（参考讲稿与参考书）解：

0 010

1 0011

00110

332

00110

637

735

A A

x x A x A

x x

x A x A A

x A x A dx A

?+==

??= +==

???

?-+=?

??+===+??

??+===

???

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

清华大学数值分析A第一次作业

7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613

12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ；解设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析作业答案

数值分析作业答案插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为: ，所以：所以f(x)的二次插值多项式为：（2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有式中令得插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件知有二重零点xk和k+1。设确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可；当时，，构造关于变量t的函数显然有在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将代入，得到推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有：确定误差限：记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有而最值进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

数值分析典型例题

第一章典型例题例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少解精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

数值分析第一次作业

数值分析第一次作业班级学号姓名习题2 4、用Newton法求方程f(x)=x^3-2*x^2-4*x-7=0在[3，4]中的根。代码： function[x_star,k]=Newton1[fname,dfname,x0,ep,Nmax] if nargin<5 Nmax=500; end if nargin<4 ep=1e-5;end x=x0;x0=x+2*ep;k=0; while abs(x0-x)>ep&kep&k

x0=x1; x1=x2; end x_star=x1; if k==Nmax warning('已迭代上限次数');end fun=inline('x^3-2*x^2-4*x-7'); [x_star,k]=Gline(fun,3,4) x2 = 3.5263 x2 = 3.6168 x2 = 3.6327 x2 = 3.6320 x2 = 3.6320 x_star = 3.6320 k = 5 习题3

数值分析试题答案

数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求（1）取节点011,1x x =-=作线性插值（2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L

数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表：（3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++-

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析作业答案part

6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 ||

数值分析经典例题

数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。 1求解析解。 2 Eular法 3 R-K法 ○1解析法在MATLAB命令窗口执行 clear >> x=0:0.1:1; >> y=exp(x); >> c=[y]' c = 1.000000000000000 1.105170918075648 1.221402758160170 1.349858807576003 1.491824697641270 1.648721270700128 1.822118800390509 2.013752707470477 2.225540928492468 2.459603111156950 2.718281828459046 ○2Euler法在Matlab中建立M文件如下： function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y' 在MATLAB命令窗口执行

clear >> dyfun=inline('y+0*x'); >> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1); >> [x,y] 得到 ans = 0 1.000000000000000 0.100000000000000 1.100000000000000 0.200000000000000 1.210000000000000 0.300000000000000 1.331000000000000 0.400000000000000 1.464100000000000 0.500000000000000 1.610510000000000 0.600000000000000 1.771561000000000 0.700000000000000 1.948717100000000 0.800000000000000 2.143588810000000 0.900000000000000 2.357947691000000 1.000000000000000 2.593742460100000 ○3R-K法（龙格-库塔法）在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程： function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n)); k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1); k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2); k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3); y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y','x','y'); >> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10); >> c=[x;y]' 得到

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分）解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值分析第一次作业

问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868；（2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。 ????????????????=???????? ?? ??? ???????????????????4321043210343 22 110d M M M M M 2000200 00 02 002 2d d d d λμμλμλμλ 其中μj = j 1-j 1-j h h h +，λi= j 1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1 对于第一种边界条件d 0= 0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1 -n h 6 （f`n-f `[x n-1,x n ]）解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为： ? ?????????????=???????????????????????? ?????? 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.0000 120 4286.0000 04000.02 6000.0006429.023571.00 012 432 10 解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546 S(x)= ??? ????∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384 -x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779 -]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-333 33 33 3），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（ Matlab 程序代码如下：

数值分析试题及答案.

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案

二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案

数值分析典型例题

第一章典型例题例3…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2? 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3

X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

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