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高考试题汇编文科函数与导数

高考试题汇编文科函数与导数
高考试题汇编文科函数与导数

数 学

B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示

6.B1[2015·湖北卷] 函数f (x )=4-|x |+lg x 2-5x +6

x -3的定义域为

( )

A .(2,3)

B .(2,4]

C .(2,3)∪(3,4]

D .(-1,3)∪(3,6]

6.C [解析] 依题意有4-||x ≥0,解得-4≤x ≤4①;由x 2-5x +6

x -3>0,解得x >2且x ≠3②.由①②求交集得,函数的定义域为

(2,3)∪(3,4].故选C.

7.B1[2015·湖北卷] 设x ∈R ,定义符号函数sgn x =????

?1,x >0,0,x =0,

-1,x <0,则( )

A .|x |=x |sgn x |

B .|x |=x sgn|x |

C .|x |=|x |sgn x

D .|x |=x sgn x

7.D [解析] 当x >0时,x sgn x =x =||x ; 当x =0时,x sgn x =0=||x ; 当x <0时,x sgn x =-x =||x . 综上,||x =x sgn x .故选D.

10.B1[2015·山东卷] 设函数f (x )=?????3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.

若f ? ????f ? ????56=4,

则b =( )

A .1 B.7

8 C.34 D.12

10.D [解析] 由已知得f ? ??

??56=3356-b =52-b ,由f ? ??

??

f ? ????56=4得?????52-b <1,3? ??

??52-b -b =4或?????52-b ≥1,252-b =4,解得b =78(舍去)或b =1

2.

12.B1、B3[2015·浙江卷] 已知函数f (x )=???x 2

,x ≤1,

x +6x -6,x >1,则

f (f (-2))=________,f (x )的最小值是________.

12.-12 2 6-6 [解析] f (-2)=4,f (f (-2))=f (4)=-1

2.当x ≤1时,f (x )≥0;当x >1时,f (x )=x +6

x -6≥2 6-6,当且仅当x =6时等号成立,故f (x )的最小值为2 6-6.

3.B1、B6、B7 [2015·重庆卷] 函数f (x )=log 2(x 2+2x -3)的定义域是( )

A .[-3,1]

B .(-3,1)

C .(-∞,-3]∪[1,+∞)

D .(-∞,-3)∪(1,+∞)

3. D [解析] 由题意,得x 2+2x -3>0,解得x>1或x<-3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).

B2 反函数

B3 函数的单调性与最值

17.B5、B8、B3[2015·湖北卷] a 为实数,函数f (x )=|x 2-ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a ).当a =________时,g (a )的值最小.

17.22-2 [解析] ①当a ≤0时,f (x )=|x 2-ax |在[0,1]上是增函数,所以g (a )=f (1)=1-a ,此时g (a )min =1.

②当0

由图易知,f (x )=|x 2

-ax |在??????0,a 2上是增函数,在????

??

a 2,a 上是减函数,在[a ,1]上是增函数,此时,只需比较f ? ??

??

a 2与f (1)的大小即可.

由f ? ????a 2=f (1),得??????

? ????a 22-a ·a 2=|1-a |,得a 24=|1-a |,解得a =22

-2或a =2(舍去). 且当0

a 2

时,f ? ??

??

a 2>f (1).

(i)当0

??

a 2

-22

(ii)当a =22-2时,f ? ??

??a 2=f (1),所以g (a )=f ? ??

??

a 2=f (1)=3-22;

(iii)当22-2f (1),所以g (a )=f ? ??

??a 2=a

2

4,此时3-22

4.

③当1≤a <2时,f (x )在[0,1]上的最大值为f ? ????a 2,即g (a )=f ? ??

??a 2=a 2

4,所以14≤g (a )<1,此时g (a )min =1

4.

④当a ≥2时,f (x )=|x 2-ax |在[0,1]上是增函数,所以g (a )=f (1)=a -1,此时g (a )min =1.

综上,当a =22-2时,g (a )min =3-2 2.

12.B3、B4[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=ln(1+|x |)-1

1+x 2

,则

使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是( )

A.1

3,1

B .-∞,1

3∪(1,+∞) C .-13,13

D .-∞,-13∪1

3,+∞

12.A [解析] 由已知可知f (x )的定义域为R ,且有f (-x )=f (x ),即函数f (x )为偶函数,所以要使得f (x )>f (2x -1)成立,即使得f (|x |)>f (|2x

-1|)成立.又当x ≥0时,f (x )=ln(1+x )-1

1+x 为增函数,所以得|x |>|2x

-1|,解得1

3

21.B3、B12[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性;

(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围. 21.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a . 若a ≤0,则f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈0,1a 时,f ′(x )>0;当x ∈1

a ,+∞时,f ′(x )<0.所以f (x )在0,1a 上单调递增,在1

a ,+∞上单调递减.

(2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值;当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f 1a =ln 1a +a 1-1

a =-ln a +a -1.

因此f 1

a >2a -2等价于ln a +a -1<0.

令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增,又g (1)=0.

于是,当01时,g (a )>0. 因此,a 的取值范围是(0,1).

15.B3[2015·福建卷] 若函数f (x )=2|x -a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________.

15.1 [解析] 由f (1+x )=f (1-x )知f (x )的图像关于直线x =1对

称,所以a =1,即f (x )=2|x -1|,所以f (x )在(-∞,1] 上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,故m ≥1,即m 的最小值为1.

8.B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )

A .奇函数,且在(0,1)上是增函数

B .奇函数,且在(0,1)上是减函数

C .偶函数,且在(0,1)上是增函数

D .偶函数,且在(0,1)上是减函数

8.A [解析] 由已知可得,f (x )=ln 1+x 1-x =ln 21-x -1,y =2

1-x

1在(0,1)上为增函数,故y =f (x )在(0,1)上为增函数.又f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故y =f (x )为奇函数,选A.

9.B3、B4、B12[2015·陕西卷] 设f (x )=x -sin x ,则f (x )( ) A .既是奇函数又是减函数 B .既是奇函数又是增函数 C .是有零点的减函数 D .是没有零点的奇函数

9.B [解析] 因为f (-x )=-x +sin x =-f (x ),所以函数f (x )是奇函数.又f ′(x )=1-cos x ≥0,故函数f (x )为增函数.

15.B3,B12[2015·四川卷] 已知函数f (x )=2x ,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ),对于不相等的实数x 1,x 2,设m =f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2,n =

g (x 1)-g (x 2)

x 1-x 2

,现有如下命题:

①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m >0;

②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n >0;

③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =n ; ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =-n . 其中的真命题有__________(写出所有真命题的序号). 15.①④ [解析] 对于①,因为f ′(x )=2x ln 2>0恒成立,故①正确.对于②,取a =-8,则g ′(x )=2x -8,当x 1,x 2<4时,n <0,②错误;对于③,令f ′(x )=g ′(x ),即2x ln 2=2x +a ,记h (x )=2x ln 2-2x ,则h ′(x )=2x (ln 2)2-2,

存在x 0∈(2,3),使得h ′(x 0)=0,可知函数h (x )先减后增,有最小值.

因此,对任意的a ,m =n 不成立,③错误. 对于④,由f ′(x )=-g ′(x ),得2x ln 2=-2x -a ,

令h (x )=2x ln 2+2x ,则h ′(x )=2x (ln 2)2+2>0恒成立,即h (x )是单调递增函数,

当x →+∞时,h (x )→+∞, 当x →-∞时,h (x )→-∞,

因此对任意的a ,存在直线y =a 与函数h (x )的图像有交点,④正确.

12.B1、B3[2015·浙江卷] 已知函数f (x )=???x 2,x ≤1,

x +6x -6,x >1,则

f (f (-2))=________,f (x )的最小值是________.

12.-12 2 6-6 [解析] f (-2)=4,f (f (-2))=f (4)=-1

2.当

x≤1时,f(x)≥0;当x>1时,f(x)=x+6

x-6≥2 6-6,当且仅当x

=6时等号成立,故f(x)的最小值为2 6-6.

B4 函数的奇偶性与周期性

4.B4、B9[2015·安徽卷] 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()

A.y=ln x B.y=x2+1

C.y=sin x D.y=cos x

4.D[解析] y=ln x是非奇非偶函数,A不正确;y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无实数解,B不正确;y=sin x是奇函数,C不正确;y=cos x是偶函数,且cos x=0有实数解,D正确.

3.B4[2015·广东卷] 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()

A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x

C.y=2x+1

2x D.y=x

2+sin x

3.D[解析] 函数f(x)=x2+sin x的定义域为R,关于原点对称,因为f(1)=1+sin 1,f(-1)=1-sin 1,所以函数f(x)=x2+sin x既不是奇函数,也不是偶函数;函数f(x)=x2-cos x的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),所以函数

f(x)=x2-cos x是偶函数;函数f(x)=2x+1

2x的定义域为R,关于原点

对称,因为f(-x)=2-x+1

2-x =

1

2x+2

x=f(x),所以函数f(x)=2x+

1

2x是

偶函数;函数f(x)=x+sin 2x的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin 2x=-f(x),所以函数f(x)=x+sin 2x是

奇函数.

21.B12、B4、B6[2015·湖北卷] 设函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,f (x )+g (x )=e x ,其中e 为自然对数的底数.

(1)求f (x ),g (x )的解析式,并证明:当x >0时,f (x )>0,g (x )>1; (2)设a ≤0,b ≥1,证明:当x >0时,ag (x )+(1-a )

x

21.解:(1)由f (x ),g (x )的奇偶性及 f (x )+g (x )=e x , ① 得-f (x )+g (x )=e -x . ②

联立①②解得f (x )=12(e x -e -x ),g (x )=1

2(e x +e -x ). 当x >0时,e x >1,00. ③

又由基本不等式,有g (x )=12(e x +e -x

)>e x e -x =1,即g (x )>1. ④ (2)证明:由(1)得f ′(x )=12? ????e x -1e x ′=12? ????e x +e x e 2x =12(e x +e -x

)=g (x ),

g ′(x )=12? ????e x +1e x ′=12? ??

??e x -e x e 2x =12(e x -e -x

)=f (x ). ⑥

当x >0时,f (x )

x >ag (x )+(1-a )等价于f (x )>axg (x )+(1-a )x , ⑦ f (x )

x

由⑤⑥,有h ′(x )=g (x )-cg (x )-cxf (x )-(1-c )=(1-c )[g (x )-1]-cxf (x ).

当x >0时,

(i)若c ≤0,由③④,得h ′(x )>0,故h (x )在[0,+∞)上为增函数,从而h (x )>h (0)=0,

即f (x )>cxg (x )+(1-c )x ,故⑦成立.

(ii)若c ≥1,由③④,得h ′(x )<0,故h (x )在[0,+∞)上为减函数,从而h (x )

即f (x )

综合⑦⑧,得ag (x )+(1-a )

x

12.B3、B4[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=ln(1+|x |)-1

1+x 2

,则

使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是( )

A.1

3,1

B .-∞,1

3∪(1,+∞) C .-13,13

D .-∞,-13∪1

3,+∞

12.A [解析] 由已知可知f (x )的定义域为R ,且有f (-x )=f (x ),即函数f (x )为偶函数,所以要使得f (x )>f (2x -1)成立,即使得f (|x |)>f (|2x -1|)成立.又当x ≥0时,f (x )=ln(1+x )-11+x 2

为增函数,所以得|x |>|2x

-1|,解得1

3

3.B4,C2[2015·北京卷] 下列函数中为偶函数的是( ) A .y =x 2sin x B .y =x 2cos x C .y =|ln x | D .y =2-x

3.B [解析] 选项A 中,f (-x )=(-x )2sin(-x )=-x 2sin x =-f (x ),函数为奇函数;选项B 中,f (-x )=(-x )2cos(-x )=x 2cos x =f (x ),所以函数为偶函数;选项C 中,函数y =|ln x |的定义域不关于原点对称,所以函数不具备奇偶性;选项D 中,函数y =2-x 为非奇非偶函数,故选B.

3.B4[2015·福建卷] 下列函数为奇函数的是( ) A .y =x B .y =e x C .y =cos x D .y =e x -e -x

3.D [解析] 对于A ,函数y =x 的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故既不是奇函数也不是偶函数; 对于B ,y =e x 为非奇非偶函数;对于C ,y =cos x 为偶函数;对于D ,设f (x )=e x -e -x ,则其定义域为R ,且f (-x )=e -x -e -(-x )=e -x -e x =-f (x ),所以f (x )=e x -e -x 为奇函数.故选D.

8.B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )

A .奇函数,且在(0,1)上是增函数

B .奇函数,且在(0,1)上是减函数

C .偶函数,且在(0,1)上是增函数

D .偶函数,且在(0,1)上是减函数

8.A [解析] 由已知可得,f (x )=ln 1+x 1-x =ln 21-x -1,y =2

1-x

1在(0,1)上为增函数,故y =f (x )在(0,1)上为增函数.又f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故y =f (x )为奇函数,选A.

8.B4[2015·山东卷] 若函数f (x )=2x +1

2x -a 是奇函数,则使f (x )>3

成立的x 的取值范围为( )

A .(-∞,-1)

B .(-1,0)

C .(0,1)

D .(1,+∞)

8.C [解析] 由函数f (x )是奇函数知2x +12x -a =-2-x +1

2-x -a ,即(2x +

1)(a -1)=0,∴a =1.

∵2x +12x -1>3,∴2x -2

2x -1

<0,∴1<2x <2,即0

9.B [解析] 因为f (-x )=-x +sin x =-f (x ),所以函数f (x )是奇函数.又f ′(x )=1-cos x ≥0,故函数f (x )为增函数.

7.B4、B6、B7[2015·天津卷] 已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -

m |

-1(m 为实数)为偶函数,记a =f (log 0.53),b =f (log 25),c =f (2m ),则

a ,

b ,

c 的大小关系为( )

A .a

B .c

C .a

D .c

7.B [解析] 因为函数f (x )=2|x -m |-1是偶函数,所以m =0,所以a =f (log 0.53)=2|log 0.53|-1=2log 23-1=3-1=2.b =f (log 25)=2log 25-1=5-1=4,c =20-1=0,所以c

B5 二次函数

17.B5、B8、B3[2015·湖北卷] a 为实数,函数f (x )=|x 2-ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a ).当a =________时,g (a )的值最小.

17.22-2 [解析] ①当a ≤0时,f (x )=|x 2-ax |在[0,1]上是增函数,所以g (a )=f (1)=1-a ,此时g (a )min =1.

②当0

由图易知,f (x )=|x 2

-ax |在??????0,a 2上是增函数,在????

??

a 2,a 上是减函

数,在[a ,1]上是增函数,此时,只需比较f ? ??

??

a 2与f (1)的大小即可.

由f ? ????a 2=f (1),得??????

? ????a 22-a ·a 2=|1-a |,得a 24=|1-a |,解得a =22

-2或a =2(舍去). 且当0

a 2

时,f ? ??

??

a 2>f (1).

(i)当0

??

a 2

-22

(ii)当a =22-2时,f ? ????a 2=f (1),所以g (a )=f ? ????a 2=f (1)=3-22; (iii)当22-2f (1),所以g (a )=f ? ??

??a 2=a

2

4,此时3-

22

4.

③当1≤a <2时,f (x )在[0,1]上的最大值为f ? ????a 2,即g (a )=f ? ??

??a 2=a

2

4,

所以14≤g (a )<1,此时g (a )min =1

4.

④当a ≥2时,f (x )=|x 2-ax |在[0,1]上是增函数,所以g (a )=f (1)=a -1,此时g (a )min =1.

综上,当a =22-2时,g (a )min =3-2 2.

8.B5、B9[2015·天津卷] 已知函数f (x )=?????2-|x |,x ≤2,

(x -2)2

,x >2,

函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( )

A .2

B .3

C .4

D .5

8.A [解析] 由题知y =f (x )+f (2-x )-3.

因为f (2-x )=?????2-|2-x |,x ≥0,

x 2,x <0 =?????x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,

f (x )=

????

?2+x ,x <0,

2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,

所以

f (x )+f (2-x )=????

?x 2+x +2,x <0,

2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2.

在同一坐标系中分别画出

函数y =f (x )+f (2-x ),y =3的图像,观察图像可知,函数y =f (x )-

g (x )只有两个零点.

12.B5、B7[2015·ab =8,则当a 的值为________时,log 2a 2log 2(2b )取得最大值.

12.4 [解析] log 2a 2log 2228

a =log 2a 2(log 216-log 2a )=4log 2a -(log 2a )2,当log 2a =2,即a =4时取得最大值.

20.B5,B14[2015·浙江卷] 设函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R ). (1)当b =a 2

4+1时,求函数f (x )在[-1,1]上的最小值g (a )的表达式;

(2)已知函数f (x )在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a ≤1,求b 的取值范围.

20.解:(1)当b =a 2

4+1时,f (x )=? ????x +a 22+1,故其图像的对称

轴为直线x =-a

2.

当a ≤-2时,g (a )=f (1)=a 2

4+a +2.

当-2

??

-a 2=1.

当a >2时,g (a )=f (-1)=a 2

4-a +2.

综上,

g (a )=????

?a 2

4+a +2,a ≤-2,

1,-2

a 2

4-a +2,a >2.

(2)设s ,t 为方程f (x )=0的解,且-1≤t ≤1,则

?

????s +t =-a ,st =b , 由于0≤b -2a ≤1,因此-2t t +2≤s ≤1-2t t +2(-1≤t ≤1).

当0≤t ≤1时,-2t 2t +2≤st ≤t -2t 2

t +2

由于-23≤-2t 2t +2≤0和-13≤t -2t 2

t +2

≤9-4 5,

所以-2

3≤b ≤9-4 5.

当-1≤t <0时,t -2t 2t +2≤st ≤-2t 2

t +2.

由于-2≤-2t 2t +2<0和-3≤t -2t 2

t +2<0,所以

-3≤b <0.

故b 的取值范围是[-3,9-4 5].

B6 指数与指数函数

21.B12、B4、B6[2015·湖北卷] 设函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,f (x )+g (x )=e x ,其中e 为自然对

数的底数.

(1)求f (x ),g (x )的解析式,并证明:当x >0时,f (x )>0,g (x )>1; (2)设a ≤0,b ≥1,证明:当x >0时,ag (x )+(1-a )

x

21.解:(1)由f (x ),g (x )的奇偶性及 f (x )+g (x )=e x , ① 得-f (x )+g (x )=e -x . ②

联立①②解得f (x )=12(e x -e -x ),g (x )=1

2(e x +e -x ). 当x >0时,e x >1,00. ③

又由基本不等式,有g (x )=1

2(e x +e -x )>e x e -x =1,即g (x )>1. ④ (2)证明:由(1)得f ′(x )=12? ????e x -1e x ′=12? ????e x +e x e 2x =12(e x +e -x

)=g (x ),

g ′(x )=12? ????e x +1e x ′=12? ??

??e x -e x e 2x =12(e x -e -x

)=f (x ). ⑥

当x >0时,f (x )

x >ag (x )+(1-a )等价于f (x )>axg (x )+(1-a )x , ⑦ f (x )

x

由⑤⑥,有h ′(x )=g (x )-cg (x )-cxf (x )-(1-c )=(1-c )[g (x )-1]-cxf (x ).

当x >0时,

(i)若c ≤0,由③④,得h ′(x )>0,故h (x )在[0,+∞)上为增函数,从而h (x )>h (0)=0,

即f (x )>cxg (x )+(1-c )x ,故⑦成立.

(ii)若c ≥1,由③④,得h ′(x )<0,故h (x )在[0,+∞)上为减函数,从而h (x )

即f (x )

综合⑦⑧,得ag (x )+(1-a )

x

f (x )=

?

????2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74 B .-5

4 C .-34 D .-14

10.A [解析] 因为2x -1-2>-2恒成立,所以可知a >1,于是由f (a )=-log 2(a +1)=-3得a =7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.

12.B6、B7[2015·全国卷Ⅰ] 设函数y =f (x )的图像与y =2x +a 的图像关于直线y =-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a =( )

A .-1

B .1

C .2

D .4

12.C [解析] 在函数y =f (x )的图像上任设一点P (x ,y ),其关

于直线y =-x 的对称点为P ′(x ′,y ′),则有???

y ′-y

x ′-x

=1,x +x ′2+y +y ′

2=0,

解得

?????x ′=-y ,y ′=-x .

由于点P ′(x ′,y ′)在函数y =2x +a 的图像上,于是有-x =2-y +a

,得-y +a =log 2(-x ),即y =f (x )=a -log 2(-x ),所以f (-2)+f (-

4)=a -log 22+a -log 24=2a -3=1,所以a =2.

10.B6,B7,B8[2015·北京卷] 2-3

,312,log 25三个数中最大的

数是________.

10.log 25 [解析] 2-3

=18,30<312<41

2=2,log 25>log 24=2,所以

log 25最大.

3.B6[2015·山东卷] 设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( )

A .a

B .a

C .b

D .b

3.C [解析] 由指数函数性质知0<0.61.5<0.60.6<1,1.50.6>1.故选C.

4.B6[2015·陕西卷] 设f (x )=?

????1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))=( )

A .-1 B.1

4 C.12 D.32

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )

函数与导数历年高考真题

函数与导数高考真题 1.2log 510+log 50.25= A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2.2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3.设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=2x +2x+b(b 为常数),则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( ) (A)13 (B)2 (C) 132 (D)213 75.已知函数3()2x f x +=,1()f x -是()f x 的反函数,若16mn =(m n ∈+R ,),则11()()f m f n --+的值为( ) A .2- B .1 C .4 D .10 6.设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim ( ) A .0 B . 41 C .21 D .1 7.已知函数y =13x x -++的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8.已知函数y =x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点,则c = (A )-2或2 (B )-9或3 (C )-1或1 (D )-3或1 9.已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??,其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为( ) A .158(,)33 B .15(,7)3 C .48(,)33 D .4(,7)3 10.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+,()g x mx =,若对于任一实数x ,()f x 与 ()g x 至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A . (0,2) B .(0,8) C .(2,8) D . (,0)-∞

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析: ()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为 21=k ,所以()211'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()251= f , 所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析: 443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-, 带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C : x x x y 232 3+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点,则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02 0300 23x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x , 整理得:03200=-x x ,解得: 2 30= x 或00=x (舍),此时, 830-=y ,41-=k 。所以,直线l 的方程为x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 考点四:函数的单调性。 例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时,函数()x f 在R 上存在增区间。所以,当3->a 时,函数()x f 在R 上不是单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。 答案:3-≤a 考点五:函数的极值。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值;(2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 解析:(1) 2 ()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=?? ++=?, .,解得3a =-,4b =。 (2)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++, 2 ()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.

点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案) (2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题) 一、函数奇偶性与周期性 1.(2015年1卷13)若函数f (x ) =ln(x x +为偶函数,则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数,所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性 2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足 .若 , 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解:因为是定义域为 的奇函数,且 , 所以, 因此, 因为 ,所以, ,从而 ,选C. 3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1 m i i i x y =+=∑( ) (A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01, 对称,而11 1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑,故选B . 二、函数、方程与不等式 4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-

高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾和基础知识 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?,称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =,即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数) )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数: I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析 考点一:求导公式

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 3、(2015课标全国Ⅰ,文21).(本小题满分12分) 设函数2()ln x f x e a x =-. (Ⅰ)讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数; (Ⅱ)证明:当0a >时,2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x )( (I)讨论)(x f 的单调性; (II)若)(x f 有两个零点,求的取值范围. 5、((2016全国新课标二,20)(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程;

(II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间; (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.(12分) 已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 2018全国卷)(12分) 已知函数()1 ln f x x a x x = -+. ⑴讨论()f x 的单调性; ⑵若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明: ()()1212 2f x f x a x x -<--. 导数高考题专练(答案) 1 2解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4. 故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ,

高考数学函数与导数复习指导

2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中,函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题,而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练

工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰:“师教人以道者之称也”。“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。 8.求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合。

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b ,

高考数学函数与导数

回扣2 函数与导数 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; ②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域; ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域 ①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ; ②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):当a >0时,值域为????4ac -b 2 4a ,+∞,当a <0时,值域为? ???-∞,4ac -b 2 4a ; ③反比例函数y =k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值:若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ), 即f (x )=f (2a -x ), 则f (x )的图象关于直线x =a 对称.

(完整版)函数与导数专题(含高考试题)

函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论(需要熟记):

考点一:导数几何意义: 角度一 求切线方程 1.(2014·洛阳统考)已知函数f (x )=3x +cos 2x +sin 2x ,a =f ′? ?? ?? π4,f ′(x )是f (x ) 的导函数,则过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线方程为( ) A .3x -y -2=0 B .4x -3y +1=0 C .3x -y -2=0或3x -4y +1=0 D .3x -y -2=0或4x -3y +1=0 解析:选A 由f (x )=3x +cos 2x +sin 2x 得f ′(x )=3-2sin 2x +2cos 2x ,则a = f ′? ?? ??π4=3-2sin π2+2cos π2=1.由y =x 3得y ′=3x 2,过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线的斜率k =3a 2=3×12=3.又b =a 3,则b =1,所以切点P 的坐标为(1,1),故过曲线y =x 3上的点P 的切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0. 角度二 求切点坐标 2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y =3ln x +x +2在点P 0处的切线方程为4x -y -1=0,则点P 0的坐标是( ) A .(0,1) B .(1,-1) C .(1,3) D .(1,0) 解析:选C 由题意知y ′=3 x +1=4,解得x =1,此时4×1-y -1=0,解得y =3,∴点P 0的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 3.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +7 2(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图像都相切,且与f (x )图像的切点为(1,f (1)),则m 等于( )

2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[] 0,2 C .[]0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >.

当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=, 综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2(1)y x a x =+-', 当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意; 当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:

高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,,,据此可得:.本题选择D选项.

点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. ,

【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是()

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . (Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ)设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: (1)直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点; (2)对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明:直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< (1)求函数)(x f 的极大值; (2)若[]1,1x a a ∈-+时,恒有()a f x a '-≤≤成立(其中()f x '是函数()f x 的导函数),试确定实数a 的取值范围. 3.如图所示,A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点,且AB//x 轴,点M (1,m )(m>3)是△ABC 边AC 的中点. (1)设点B 的横坐标为t ,△ABC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式)(t f S =; (2)求函数)(t f S =的最大值,并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. (I )求)(x f 、)(x g 的表达式; (II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值,曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--,试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0((a 为实数). (1)当1-=a 时,求函数)(x f y =的值域; (2)若函数)(x f y =在定义域上是减函数,求a 的取值范围; (3)求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -,且()2p f e qe e =--,其中e 是自然对数的底数. (1)求p 与q 的关系;

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