第九章 立体几何初步(含答案)

第九章 立体几何初步(A)

一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. (2009·上海春季卷改编)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的____条件. 2. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有_______个. 3. 已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ① m ∥n ，m ⊥α?n ⊥α；② α∥β，m ?α，n ?β?m ∥n ； ③ m ∥n ，m ∥α?n ∥α；④

α∥β，m ∥n ，m ⊥α?n ⊥β.

其中正确命题的序号是______.

4. 设直线m 与平面α相交但不垂直，有下列四种说法： ① 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ② 过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直； ③ 与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行； ④ 与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直. 其中正确命题的序号是______.

5. 有下面四个命题：

① 一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行； ② 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行； ③ 平行于同一平面的两条直线平行；

④ 如果直线a ∥平面α，a ?平面β，且α∩β＝b ，则a ∥b . 其中假命题共有_____个.

6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F ，G ，H 分别是AA 1，BB 1，CC 1，DD 1的中点，请写出一个与A 1O 垂直的平面：________.

7. 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若1AB =

，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为_____.

8. 如图，正四棱锥P -ABC D 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上， 点P 在球面

上.如果V P-ABCD ＝

16

3

，则球O 的表面积是______. 9. 已知正方体外接球的体积是323

π

，那么正方体的棱长等于______.

10. 一平面截一球得到一直径是6 cm 的圆面.若球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是_____. 11. 下列四个平面图形都是由六个大小相同的正方形组成.

其中为正方体表面展开图的是______.(请把所有符合题意的图形的序号都填上)

12. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有______条.

13. 如图，点P 是球O 的直径AB 上的动点，P A ＝x ，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y ＝f (x )的大致图象是

______.(填序号)

14. 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面”和“斜面”.过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”. 请仿照下面直角三角形的三条性质：(1)斜边的中线长是斜边边长的一半；(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 类比写出直角三棱锥相应的一条

．．性质：__________________________________________________.

二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分14分)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCＤ中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD，点E 是PD的中点.

(1) 证明：P A⊥平面ABCD；

(2) 证明: PB∥平面EAC.

16. (本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝

(1) 求证：BD⊥平面P AC；

(2) 求异面直线AC与PB所成角的大小.

17. (本小题满分14分)已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少？

18. (本小题满分16分)已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1＝B1C1，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.

(1) 求证：AB1⊥C1D1；

(2) 求证：AB1⊥平面A1CD.

19. (本小题满分16分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.

求证：(1) 直线MF∥平面ABCD；

(2) 平面AFC1⊥平面ACC1A1.

20. (本小题满分16分)已知等腰梯形PDCB(如图1)中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC A为PB边上一点，且P A＝1.将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD(如图2).

图1

图2

(1) 证明：平面P AD⊥平面PCD；

(2) 试在棱PB上确定一点M，使截面AMC将几何体分成的两部分V PDCMA∶V MACB＝2∶1；

(3) 在M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.

第九章立体几何初步(B)

一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)

1. 在空间中：

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中，逆命题为真命题的是_______.(把符合要求的命题序号都填上)

2. (2009·湖南卷理)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数

为______个.

3. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面”的______条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”填空)

4. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题：

①经过直线a有且只有一个平面平行于直线b；

②经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；

③存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面；

④存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面.

其中是假命题的是_______.(把符合要求的命题序号都填上)

5. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______.

6. 若正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积为__________.

7. _______.

8. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点

．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有________个.

9. 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

10. 若正六棱柱的高为5 cm，最长对角线为13 cm，则它的侧面积是________.

11.高为5，底面边长为(下有底)可放置的最大球的半径是

_______.

12. 如图，设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为B，D，若增加一个

条件，就能推出BD⊥EF，现有：

①AC⊥β;

②AC与α、β所成角相等；

③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；

④AC∥EF.

那么上述几个条件中能成为增加条件的是__________.(填上所有正确条件的序号)

13. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，且PO＝P 到这三个平面的距离分别是_________.

14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，

其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P

是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：

①3；②4；③5；④6；⑤7.

以上结论正确的为________. (写出所有正确结论的序号)

二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分14分)(2009·泰州六校联考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.

求证：(1) EF∥平面ABC1D1；

(2) EF⊥B1C.

16. (本小题满分14分)要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池.在四壁与底面面积之和一定的前提下，为使水池容积最大，求水池底面边长与高的比值.

17. (本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝2，∠PDA＝45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点.

(1) 求证：AF∥平面PCE；

(2) 求证：平面PCE⊥平面PCD；

(3) 求三棱锥C-BEP的体积.

18. (本小题满分1６分)(2009·江苏模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点.

(1) 若P A＝PD.求证：平面PQB⊥平面P AD；

(2) 点M在线段PC上，令PM＝tPC，试确定实数t的值，使得P A∥平面MQB.

19. (本小题满分1６分)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥a，PD⊥β，C，D是垂足.

(1) 求证：AB⊥平面PCD；

(2) 若PC ＝PD ＝1，CD

α与平面β的位置关系，并证明你的结论.

20. (本小题满分16分)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D . (1) 求证：AD ⊥平面BCC 1B 1； (2) 设E 是B 1C 1上的一点，当11

B E

EC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？并给出证明.

第九章立体几何初步（A ）

1. 必要不充分【解析】两直线没有公共点，则两直线平行或异面；而两直线平行，则两直线一定没有公共点.

2. 4【解析】若ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，则P -ABCD 的四个侧面均为直角三角形.

3. ①④【解析】按照相关定义和定理直接判断即可.

4. ②【解析】借助正方体的线面关系，容易得到：平面α内有无数条直线与直线m 垂直，①错；在平面α外且与平面α平行和与直线m 垂直的直线是存在的，③错；与直线m 平行且与平面又垂直这样的平面也有无数个，④错.故只有②正确.

5. 3个【解析】此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故①是假命题； 一条直线和一个平面平行，它与这个平面内的直线可能平行，也可能异面，故②也是假命题；又平行于同一平面的两条直线，可能平行，也可能异面或相交，故③也是假命题；由线面平行的性质定理，知命题④是真命题.

6. 平面BDG （或平面AFH ） 【解析】易证：BD ⊥平面A 1AD BD ⊥A 1O ，易证A 1O ⊥BG ，则A 1O ⊥平面BDG .

7. 90°【解析】延长CB 到点D 使得BD ＝BC ，连接B 1D ，则四边形BC 1B 1D 为平行四边形，所以B 1D ∥BC 1，故∠AB 1D 即为所求的角或其补角.在△AB 1D 中易得∠AB 1D ＝90°.

8. 16π【解析】正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD .因为PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P-ABCD ＝

163，所以13×2R 2·R ＝163

，R ＝2，所以球O 的表面积是16π

.

因为正方体外接球的体积是

323π，所以外接球的半径R ＝2，即正方体的对角线的长为4. 10.

500

3

π cm 3【解析】球截面圆半径r 、球心到这个平面的距离d 和球半径R 构成直角三角形.于是由R 2＝r 2＋d 2，得R ＝5，再由球体积公式V ＝43πR 3，解得V ＝500

3

π cm 3.

11. ①③【解析】逆向思考，①②③④中只有①③可以折成正方体.

12. 无数【解析】分别在异面直线A 1D 1，CD 上各取一点M ，N ，则线段MN 的中点的轨迹构成一个平面α，显然直线EF 在平面α内，在EF 上任取一点P ，过点P 的直线和直线A 1D 1必有交点R ，即这样的直线有无数条.

13. ① 【解析】设球的半径为R ，根据球的截面性质，故截面圆的面积为y ＝π（2R x －x 2）.

14. （1） “直角三棱锥”中面的面积是斜面面积的四分之一；（2）“直角三棱锥”三个直角面的面积的平方和等于斜面的面积的平方；（3） “直角三棱锥”斜面与三个直角面所成角的余弦的平方和等于1（三条只要写出一条即可） 【解析】 将直角三角形的中线类比为直角三棱锥的中面，将直角三角形的直角边类比为直角三棱锥的直角面，将直角三角形的两个锐角类比为直角三棱锥的斜面与三个直角面所成的锐二面角，将线段长类比为面积.一般地，某些平面图形的几何性质可以通过“升维”的办法类比到立体几何.

15. （1） 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，所以AB ＝AD ＝AC ＝a . 在△P AB 中，由P A 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2，得P A ⊥AB .同理，P A ⊥AD .所以P A ⊥平面ABCD .

（2） 连接BD ，令BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点.连接OE .因为E 是PD 的中点，所以PB ∥OE .又因为PB 平面EAC ，OE ?平面EAC ，所以PB ∥平面EAC .

16. （1） 在R t △BAD 中，∵ AD ＝2，BD ＝ AB ＝2，∴ ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵ P A ⊥平面

ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴ BD ⊥P A . ∴ BD ⊥平面P AC .

（2） 设AC 交BD 于点O ，取PD 中点E ，连接OE ，AE ，则OE ∥PB ， 故∠A O E 即为异面直线AC 与PB 所成的角或其补角.

在△AOE 中，AO ＝AE ＝OE ∠AOE ＝

3

π

， 即异面直线AC 与PB 所成的角为3

π.

17. 下图为轴截面.令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，则2

22

2h r R ??+= ???

,即h =

∵ S ＝2πrh ＝4πr

＝4π

4π

2πR 2，

当且仅当内接圆柱底面半径为22R ，高为2R 时，取等号.此时侧面积的最大值是2πR2.

18. （1） ∵ A 1C 1＝B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴ C 1D 1⊥A 1B 1于D 1.又∵ 平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，且平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1=A 1B 1，∴ C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，∵ AB 1?平面A 1ABB 1， ∴ AB 1⊥C 1D 1.

（2） 连接D 1D .∵ D 是AB 的中点，∴ DD 1CC 1，∴ C 1D 1∥CD .由（1）得CD ⊥AB 1.

∵ C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴ C 1D 1⊥AB 1.又C 1B ⊥AB 1，∴ AB 1⊥平面C 1D 1B .∴ BD 1⊥AB 1.又∵ A 1D ∥D 1B ，∴ AB 1⊥A 1D .又CD ⊥AB 1，∴ AB 1⊥平面A 1CD .

19. （1） 延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .

因为F 是BB 1的中点，所以FB =

1

2

CC 1.所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点.又M 是线段AC 1的中点，故MF ∥AN .又∵ MF ?平面ABCD ，

AN ?平面ABCD .∴ MF ∥平面ABCD .

（2） 连接BD ，由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，知A 1A ⊥平面ABCD . 又∵ BD ?平面ABCD ，∴ A 1A ⊥BD .∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD .又∵ AC 、A 1A ?平面ACC 1A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A .∵ 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA ＝BN ，∴ 四边形DANB 为平行四边形.∴ NA ∥BD .∴ NA ⊥平面ACC 1A 1.又∵ NA ?平面AFC 1,∴ 平面A F C 1⊥平面ACC 1A 1.

20. （1） 依题意知CD ⊥AD .又∵ 平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴ DC ⊥平面P AD .又DC ?平面PCD ，∴ 平面P AD ⊥平面PCD .

（2） 由（1）知P A ⊥平面ABCD ，∴ 平面P AB ⊥平面ABCD .在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD .设MN ＝h ，则V M -ABC ＝

1

3

S △ABC

·h ＝

13×12

×2×1×h ＝

3

h ，V P -ABCD ＝

13

（S △ABC

+S △ADC ）·P A ＝

13×(12)2+×1×1＝1

2

. 要使V PDCMA :V MACB ＝2∶1，即

123h ??- ???

∶3h

＝2∶1，解得h ＝

12

. 即M 为PB 的中点.

（3） 连接BD 交AC 于O ，因为AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1. 由相似三角形易得BO ＝2OD ， ∴ O 不是BD 的中心.

又∵ M 为PB 的中点，∴ 在△PBD 中，OM 与PD 不平行. ∴ OM 所在直线与PD 所在直线相交. 又OM ?平面AMC ， ∴ 直线PD 与平面AMC 不平行.

第九章立体几何初步（B ）

1. ②【解析】①的逆命题为：空间四点中，若任何三点都不共线，则这四点不共面. 此命题是假命题.反例，平行四边形的四个顶点.②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，此命题为真命题.

2. 4 【解析】如图所示，则BC 中点，B 1点，D 点，A 1D 1中点分别到两异面直线的距离相等，即满足条件的点有四个.

3. 充分不必要 【解析】充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： （1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； （2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”； 必要性不成立： “四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”.

4. ② 【解析】①③④均为真命题；②为假命题.∵ 若过a 的平面α⊥b ，则b 垂直α内的任意直线，从而a ⊥b .那么限制a ，b 必须垂直，而条件中没有指明a ，b 是否垂直.

5. 36【解析】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 含有4个顶点，与由两个顶点A 、A 1确定的直线AA 1构成一个“正交线面对”.同理，BB 1，CC 1，DD 1也与平面AC 构成“正交线面对”，共6个表面，构成6×4=24个“正交线面对”.

与对角面AC 1垂直的直线有BD ，B 1D 1，构成2个“正交线面对”，共6个对角面，构成6×2=12个“正交线面对”.综上，共构成24+12=36个“正交线面对”.

6.

【解析】设正四棱柱底面边长为a ，高为h ，则ah ＝S

.

7. 6 【解析】设长、宽、高分别为a 、b 、c

，则2222,

1,3ab a bc b c ac ?=?=???

=?=?????==???

对角线长l

.

8. 无数 【解析】解法一：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心为正四棱锥底面正方形ABCD 的中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半.影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种.

解法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为

12

.问题转化为考查放入正方体后，底面ABCD 所在的截面面积，显然其面积是不固定的，

且取值范围是

1,12??????，所以该几何体的体积取值范围是11,63??

????

. 9. 27π【解析】因为正方体的体对角线就是球的直径，则球的直径d ＝

?R

?S ＝4πR 2＝27π. 10. 180cm 2 【解析】设正六棱柱底面边长为a ，高为h ，则h 2＋（2a ）2＝132，∵ h ＝5，∴ a ＝6，∴ 侧面积＝6ah ＝180. 11. 2 【解析】如图过球心作平行于底的截面，R ＝

a n30°＝2.且球的直径为4没有超过柱高5.

12. ①③【解析】对于①，由AC ⊥β，知AC ⊥E F ，∴ E F ⊥平面ABCD ，∴ E F ⊥BD ；对于②，不能得到E F ⊥AC ；对于④，不能得到BD ⊥E F ；对于③，知平面ABCD ⊥平面β，又平面ABCD ⊥α，∴ E F ⊥平面ABCD ，∴ E F ⊥BD .

13. 2，4，6【解析】由题意可知，ＰＯ可以看作为长方体的体对角线.而长方体的三边长的比为1∶ 2∶3，设最短边长为x

，则有

＝

x ＝2，所以三边为2，４，６.

14. ①③④⑤ 【解析】B 、D 、A 1到平面α的距离分别为 1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52

，所以B 1到平面α的距离为5；D 、B 的中点到平面α的距离为

32

，所以C 到平面α的距离为3；C 、

A 1的中点到平面α的距离为

72

，所以C 1到平面α的距离为7.而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以填①③④⑤.

15.（1） 连接BD 1.在△BDD 1中，∵ E 、F 分别为DD 1，BD 的中点，∴ E F ∥BD 1.又∵ BD 1?平面ABC 1D 1，且EF ?平面ABC 1D 1，∴ EF ∥平面ABC 1D 1

.

（2） ∵ AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ?平面BCC 1B 1，∴ AB ⊥B 1C .又∵ B 1C ⊥BC 1，且AB ∩BC 1=B ，∴ B 1C ⊥平面ABC 1D 1. ∵ BD 1?平面ABC 1D 1，∴ B 1C ⊥BD 1.由（1）知，BD 1∥EF ，∴ B 1C ⊥EF

.

16.设水池底面边长为a ，水池的高为h ，水池容积为V ，依题意，有a 2＋4ah ＝k （k 为定值）.∴ V ＝a 2h ＝a

2

22()

44

k a a k a a --=（V ＞0），∴ V 2＝116a 2（k －a 2）2＝132·2a 2（k －a 2）（k －a 2

）≤3

2223312183233227108

a k a k a k k ??+-+-== ???

（当且仅当2a 2＝k －a 2时，即k ＝3a 2时等号成立），此时a 2＋4ah ＝3a 2，即a ∶h ＝2∶1

.

17. （1） 取PC 的中点G ，连接FG 、EG ，∴ FG 为△CDP 的中位线.∴ FG 12

CD .∵ 四边形ABCD 为矩形，E

为AB 的中点， ∴ AE

12

CD .∴ FG

AE .∴ 四边形AEGF 是平行四边形，∴ AF ∥EG .又EG ?平面PCE ，AF ?平面PCE ，∴

A F ∥平面PCE .

（2） ∵ P A ⊥底面ABCD ，∴ P A ⊥AD ，P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴ CD ⊥平面ADP .又A F ?平面ADP ，∴ CD ⊥A F.∵ 直角三角形P AD 中，∠PDA ＝45°，∴ △P AD 为等腰直角三角形，∴ P A ＝AD ＝2.∵ F 是PD 的中点，∴ A F ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴ A F ⊥平面PCD .又∵ A F ∥EG ，∴ EG ⊥平面PCD .又EG ?平面PCE ，平面PCE ⊥平面PCD .

（3） 求三棱锥C -BEP 的体积即为求三棱锥P -BCE 的体积，∴ P A 是三棱锥P -BCE 的高.Rt △BCE 中，BE ＝1，BC ＝2，∴ 三棱锥C -BEP 的体积V C -BEP ＝V P -BCE ＝

13

S △BCE

·P A ＝

13·12

·BE ·BC ·P A ＝

13·12

·1·2·2＝

23

.

18. （1） 连接BD ，∵ 四边形ABCD 为菱形，

∴ AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴ △ABD 为正三角形.∵ Q 为AD 中点，∴ AD ⊥BQ .又∵ P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ AD ⊥PQ .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PQB ，AD ?平面P AD ，∴ 平面PQB ⊥平面P AD .

（2） 连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点.又∵ BQ 为△ABD 边AD 上的中线，∴ N 为正三角形ABD 的中心，令菱形

ABCD 的边长为a ，∴ AN

，AC

.∵ P A ∥平面MQB ，且P A ?平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴ P A ∥MN . ∴

13

PM AN PC AC ===，即：PM ＝13PC ，t ＝13.∴ 当t ＝13时，P A ∥平面MQB . 19. （1） 因为PC ⊥α，AB ?α，

所以PC ⊥AB .同理PD ⊥AB .又PC ∩PD ＝P ，故AB ⊥平面PCD .

（2） 设AB 与平面PCD 的交点为H ，连接CH 、DH .因为AB ⊥平面PCD ，所以AB ⊥CH ，AB ⊥DH .所以∠CHD 是二面角α-AB -β的平面角.又PC ＝PD ＝1，CD

所以CD 2＝PC 2＋PD 2＝2，即∠CPD ＝90°.在平面四边形PCHD 中，因为∠PCH ＝∠PDH ＝∠CPD ＝90°，

所以∠CHD ＝90°.故α⊥β

.

20. （1） 在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，∴ AD ⊥CC 1.又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.

（2） 由（1）得，AD ⊥BC .∴ 在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点.故当

11

B E

EC =1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1.

事实上，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，且B 1B ＝DE .又∵ B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴ DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.所以四边形ADEA 1为平行四边形，所以EA 1∥AD .而EA 1?平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.