观察、实验、归纳、类比、猜想、证明

观察、实验、归纳、类比、猜想、证明

认识来源于实践，观察和实验是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。

归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有完全归纳法和不完全归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。

一、本节重点、难点、关键：

重点：善于观察和认识事物的内在规律。

难点：对事物内在规律的归纳和总结。

关键：对自己归纳和总结的规律要得得到广泛的认可，对实验要具有可重复操作性。

二、知识要点：

例一条直线上有3个点，观察它共有几条线段？一条直线上有n个点呢？

2．实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作

或活动，实验的关键是要具有可重复操作性。

例1．三条线段能组成一个三角形吗？

解：不一定，如果三条线段的长度分别为1cm，2cm，10cm，它们就不能构成一个三角形；如果三条线段的长度分别为2cm，3cm，4cm，它们就能构成一个三角形。

结论：若三角形的最长边为c，

当a+b≤c时，a，b,c三条线段就构不成一个三角形；

当a+b>c时，a，b，c三条线段就能构成一个三角形。

例2．一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？

解：长方形或正方形或直角梯形，直角三角形，五边形。

3．归纳的方法是人们对事物规律的总结一种重要表达方式，它有完全归纳法和不完全归纳法两种，我们现在只研究完全归纳法这一类，所谓完全归纳法就是要将出现的情况完全无遗地一一加以研究，从而得出一般性的结论。

例1．解关于x的方程ax=b

解：当a≠0时，；

当a=0且b≠0时，原方程无解；

当a=0且b=0时，x为任何数（即有无数个解）

例2．三个苹果放入甲、乙两个抽屉中，有多少种不同的放法。

解：有4种放法。

4．类比的方法是通过对两类对象进行比较，从而推出其他属性的方法，我们在学习中如果掌握好类比记忆可以减少我们在头脑中的记忆容量，达到触类旁通的效果。

例1．在下列括号内填上适当的数。

（1）0，3，8，15，（），（）；

（2）2，-3，5，-7，（），（）；

解：（1）各数均为它们序号的平方减1，因此填24，35。

（2）各数的绝对值均为质数由小至大排列，因此填11，-13。

三、练习

1．平面有4个点，过任意两点作直线，一共可作多少条直线？

2．挂历上用一矩形任意框出4个数，如果它们的数字之和是100，求这四天的日期。

3．找规律填数字：

（1）-1，2，-3，5，-8，13，-21，34，（），（）

（2）

4．平面内有三条直线，它们能把平面分成几个部分。

四、参考答案

1．1或4或6条

2．21日、22日、28日、29日3．（1）-55，89；（2）

4．4或6或7

数学中的归纳与类比

数学中的归纳与类比

数学教学中的归纳与类比 摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。 关键词教学归纳类比 学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。”欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。 本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。 1、归纳 所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全) ——猜想——完全归纳(数学归纳法证明) 。数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。 1.1 枚举归纳 枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的

数学中的归纳类比(填空)

数学中的归纳类比 1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点 ()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ???????????--?????=+- ? ??????? ，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2012棵树种植点 的坐标应为______________． 2．根据下面一组等式： 1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111, s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++= ………… 可得13521n s s s s -+++???+=__________． 3．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”： 1 3 7 22 32 42 3 5 9 1 7 25 23 3 33 9 43 27 5 11 29 仿此，若3 m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________． 4．已知实数数列{}n a 中，1a =1，6a =32，2 12 n n n a a a ++=，把数列{}n a 的各项排成如右图的三角形状。记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数，则若()50 (,),2A m n A n m ?=，则m n +=________． 5.观察下列各式：2 2 1,3,a b a b +=+=3 3 4 4 5 5 4,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010 a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a ? ? ?

归纳猜想型测试题及答案

2014年中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1

类比、归纳、猜想

竞赛专题讲座2 －类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法． 所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证． 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下： 可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （1）降维类比 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比． 【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点． 求证：++为定值． 分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB 上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于

A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为 定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1． 证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则 有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得 ++=++。 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得： ++=1。 ∴++=1。 【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S 中没有一对点的距离大于． 【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图， 易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．

2020高中数学第六章 5《归纳与类比》复习学案

2020高中数学 第6章不等式、推理与证明 5《归纳与类比》复习学案【要点梳理·夯实知识基础】 1．合情推理 主要包括归纳推理和类比推理. 合理推理的过程： 从具体问题出发→ 观察、分析、 比较、联想 →归纳、类比→提出猜想 (1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2．演绎推理 从已知事实和正确的原理出发，推出某个新的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到一般的推理． (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)“三段论”可以表示为 ①大前提：M是P； ②小前提：S是M； ③结论：S是P.

[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．() (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．() (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．() (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．() (5)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，其大前提错误，其结论也是错误的．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ [小题查验] 1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在() A．大前提B．小前提 C．推理过程D．没有出错 解析：A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的．] 2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 解析：D[由已知得偶函数的导函数为奇函数， 故g(－x)＝－g(x)．] 3．给出下列三个类比结论． ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

哥德巴赫猜想的证明思路

哥德巴赫猜想的证明方法 引言 数论之位数运算，一个新的的概念，一个新的方向，一个新的课题。希望广大数学爱好者能参加到这个课题的研究中，从中发现更多的理论，解决更多的问题。 目录 一、哥德巴赫猜想的证明思路 1、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 2、素数定理代数表达式 3、哥德巴赫猜想的证明 第一章哥德巴赫猜想的证明思路 通过证明一任意大偶数可拆分2素数之和的数量呈增长趋势来证明哥德巴赫猜想成立 一、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 1、n，（n≥1;n∈自然数） 2、Pn≈π（x）任意正整数n包含的素数数量 3、Pn1，（0，m）区间内素数数量 4、Pn2，（m，2m）区间内素数数量 5、Pm，任意正整数n包含的素数类型数量 5、（γ，γ=-0.0674243197727122）素数分布系数 6、（λ，λ=0.615885*********）素数类型中素数与伪素数等差比例

系数。 7、logn，以n为底的对数 8、H，小于等于n的所有素数类型的组合数量 9、H1，小于等于n的素数类型组合数量 10、Hn，取值为n时可拆分素数对数量 11、HAL，偶数类型1 12、HBL，偶数类型2 13、HCL，偶数类型3 14、HDL，偶数类型4 15、（m,2m 2m=n）相对区间 16、Hnx=Pn2*(Pn2*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合下限 17、HALx，偶数类型1组合下限 18、HBLx，偶数类型2组合下限 19、HCLx，偶数类型3组合下限 20、HDLx，偶数类型4组合下限 21、Hns=Pn1*(Pn1*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合上限 22、HALs，偶数类型1组合上限 23、HBLs，偶数类型2组合上限 24、HCLs，偶数类型3组合上限 25、HDLs，偶数类型4组合上限 二、素数定理代数表达式 1、Pn=π（x）≈(0.8n/3)/{γ+λ*（logn-2）+1}

专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析

专题七归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

验证哥德巴赫猜想

例7-3 验证“哥德巴赫猜想” ?“哥德巴赫猜想”是数论中的一个著名难题，200多年来无数数学家为其呕心沥血，却始终无人能够证明或伪证这个猜想。 ? ?“哥德巴赫猜想”表述为：任何一个大于等于4的偶数均可以表示为两个素数之和。 ? ?1742年法国数学爱好者哥德巴赫在给著名数学家欧拉的信中提出“哥德巴赫猜想”问题。 问题的分解 求解第一步提出问题： 验证哥德巴赫猜想 ?第二步设一上限数M，验证从4到M的所有偶数是否能被分解为两个素数之和。 1. 定义一个变量X，初值为4。 2. 每次令其加2，并验证X能否被分解为两个素数之和，直到 X不小于M为止。

验证哥德巴赫猜想（续一） 第三步如何验证X是否能被分解为两个素数之和。 1.从P=2开始； 2.判别X—P是否仍为素数： 3.若是，打印该偶数的分解式。 4.否则，换更大的素数，再继续执行2.。

如此循环，直到用于检测的素数大X/2且X 与其之差仍不是素数，则打印“哥德巴赫猜想”不成立。 验证哥德巴赫猜想（续二） 第四步生成下一个素数。 （1）当前素数P加1 （2）判别P是否是素数； （3）若是素数，返回P；

（4）否则，P加1，继续执行（ 2）。 验证哥德巴赫猜想（续三） ?经过四步分解精化，将“验证哥德巴赫猜想”这个命题已经分解为计算机可以求解的数学模型了。 ? ?剩下的问题就是编程求解了。如何编程是程序设计课程要解决的问题。 哥德巴赫猜想算法分析

1) 用“筛选”法生成素数表PrimeList[M]。先在素数表中产生０到Ｍ-1的所有自然数，然后将已确定的所有素数的倍数置０(求模取余为０）。 2,3,5,7,11,13,17,19,21,23,29,31... 2) 这样一来，素数表中有许多0，为找下一个素数，要跳过这些0。 3) 分解0到M-1之间的所有偶数； ①循环(x

中考数学二轮复习精品资料(归纳猜想型问题)附解析

中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1

7.6 归纳-猜想-论证(含答案)

【课堂例题】 例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明. 114 =? 111447 +=?? 1111447710 ++=??? 111114477101013+++=???? 11111447710(32)(31) n n ++++=???-+ 例2.尝试推导正整数立方和公式 3333123?n ++++= 例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？

【基础训练】 1.观察下列数字： 1 234 34567 45678910 …… 猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2 = . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算： (1)若是奇数，就将该数乘3再加上1； (2)若是偶数，就将该数除以2. 你能据此作出什么猜想？ . 4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后， 可以猜想通项公式n a = . 5.已知数列 1111,,,,,,122334(1) n n ???+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明. 6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1) n n n a a a n n N n n -+==+ ≥∈+. (1)求234,,a a a ； (2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.

7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈） (1)求1234,,,a a a a . (2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明. 【巩固提高】 8.是否存在常数,,a b c 使等式: 222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-++?-=++ 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论. 提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再……. 9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+?+ 对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论； 若不存在，请说明理由.

北师大版初三数学下册归纳与猜想

《中考专题复习--- 归纳与猜想》教学设计望都县第三中学陈云平规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，反映了由特殊到一般的数学解题方法，在近几年的河北省中考试卷中规律探究型问题通常与图形的变换以及数形结合的思想结合起来考查，主要考查学生的分析、猜想、抽象、归纳能力。规律探究型问题分数字、字母规律探索问题和几何图形规律探索问题等。 教学目标：知识与能力目标：能够根据给出的一组具有特定关系的数、式、图形探索 出蕴含的规律，归纳出一般性的结论。 过程与方法目标: 通过观察、分析、类比、推理，经历规律探索型问题的解答，培养学生的抽象、归纳能力。 情感态度与价值观目标：通过对规律探索型问题的解答，学会从数学的角度，综合运用所学的知识解决问题，发展学生解决问题的应用意识。教学重点：通过观察、分析、类比，探索出蕴含在图形与数字中的规律，能归纳出一般性的结论。 教学难点：规律探索与数形结合思想的综合应用。 教学用具：多媒体课件 教学过程： 师：规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，从近几年的中考试题看，第18 题总是规律探究与图形结合的题目，为了能在中考中轻松的拿到这3 分，我们要掌握这种题型的解答思路、方法，为此我们进行本节课的专题复习。多媒体课件出示：中考专题复习——归纳与猜想

、经历感知----积累经验 1、请你按照如下的数字规律，分别写出第n个数：(n为正整数) (1) 3,6,9,12,15, (2) 2,5,8,11,14, ⑶ 3,9,27,81, ⑷ 1,-1,1,-1,1, 2、给定一组数列：2, -3, 2 , -3, 2 , -3，…根据这个规律，第2012个 数是 _____ 。 3、观察下列各式 设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律为：+ = _____ 4、下面是用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1) ____________________________ 第四、第五个“上”字分别需用_______________________________________________ 和__________ 枚棋子; (2) _____________________ 第n个“上”字需用枚棋子. 5、请先观察下列算式，再填空： (1) 32一12=8 1 , (2) 52 -32=8 2 . (3) _____________ 72 -52 =8X ; (4) 92—( ) 2= 8X 4； (5) (—) 2—92= 8X 5;…… 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论: 22 T， 42 1， 2 / 1 25 5 4 ■ 6 6 6 第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字

归纳与类比导学案

归纳与类比（1）导学案 § 1.2类比推理 学习目标 了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理了解合情推理的含义。 培养学生“发现一猜想一证明”的合情推理能力学习过程 一、自主学习： 什么叫类比推理？类比推理有什么特点？什么是合情 推理？ 由于两类不同的对象具有某些类似的_______________ ，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具 有类似的 __________ 我们把这种推理过程称为____________ 类比推理是两类事物特征之间的____________ ，由特殊到 ________ 的推理。 利用类比推理得出的结论________________ 。 合情推理 合情推理是根据________________ 、个人的经验和直觉、 _______________________ 推测出某些 _________ 的推理方式。 _____________ 和 ____________ 是最常见的合情推理。

二、典型例题 例3:已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定 值”，将空间与平面进行类比，空间中什么图形对应正三角形？对应图形有与上述定理相应的结论吗？ 例4:根据平面几何的勾股定理，时类比地猜测出空间中相应的结论。三、变式训练 变式1、在等差数列｛an｝中，若an>0,公差d z0,则 有a4a6>a3a7,类比上述性质，在等比数列 ｛bn｝中，若bn>0,公比q z 1,试写出b4, b5, b6, b7的一个不等关系 变式2:在Rt△ ABc中，若/ c=90。,贝U cos2A+cos2B=1 , 在立体几何中给出四面体性质的猜想。 ※当堂检测计分： 下列说法中正确的是 A:合情推理就是正确的推理B:合情推理就是归纳推理 c:归纳推理是从一般到特殊的的推理过程D:类比推理 是从特殊到特殊的推理过程 平面内平行于同一条直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到 A:空间中平行于同一直线的两直线平行B:空间中平行 于同一平面的两直线平行 c:空间中平行于同一直线的两平面平行D:空间中平行

专题 类比 归纳 猜想

竞赛专题讲座18 －类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法． 所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证． 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下： 可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （1）降维类比 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比． 【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点． 求证：++为定值． 分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB 上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于

A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为 定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1． 证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得 ++=++。 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得： ++=1。 ∴++=1。 【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S 中没有一对点的距离大于． 【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图， 易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．

哥德巴赫猜想分析教案

哥德巴赫猜想分析教案 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现， 每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3，12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出 了以下的想法: (a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是 正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力 想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例 如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人对 33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没 有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世 纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明， 得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用， 科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个 数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理 (Chen‘sTheorem)“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两 个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6+6”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“4+4”。

(完整版)归纳与类比

1.1归纳与类比（高二理） 使用说明：1.独立认真限时完成导学案，规范书写。 2.认真反思，总结方法规律。 重点、难点： 用归纳与类比进行推理与猜想 一． 学习目标：1. 了解归纳与类比的定义。 2. 会用归纳与类比进行简单的推理与猜想， 3. 掌握用归纳与类比推理事物规律的方法及过程。 4．体验数学推理过程，激发学生学习兴趣，培养创新能力。 二：问题导学： 1.推理一般包括 推理和 推理。 2.根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中 都有这种属性，我们将这种推理方式称为 推理。 3. 由于两类不同的对象具有某些 特征，在此基础上，根据一类对象的 特征，推断另一类对象也具有 特征，我们将这种推理过程称为 推理。 4、 推理和 推理是常见的合情推理。 合情推理是 。 演绎推理是 。 三．合作 探究： 例1已知数列{}n a 满足),(2 2,111*+∈+= =N n a a a a n n n （1） 求.,,432a a a （2） 猜测 5a 及数列{}n a 的通项公式； 例2如图（1）有面积关系： PB PA B P A P S S PAB B A P ?' ?'=?''? 则图（2）有体积关系：=-'''-ABC P C B A P V V 四．巩固 拓展： 1. 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点 2.图（1）为相互成 ο 120角的三条线段，长度均为1，图（2）在图（1）的每条线段的前端各作两条与该线段成ο120角的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每条线段的前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的方法至第 n 张图，设第 n 张图所有线段长度之和为 n a ，则n a = 3.经计算发现下列不等式： ,......10221723,1025.155.4,102182<-++<+<+ 根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a,b 都成立的条件不等式 4.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,2 1 ++= 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ） A . abc V 31= B. sh V 31 = C . (),31 4321r s s s s V +++=（432,1,,s s s s 为四个面的面积，r 为内切球的半径 ） D. (),3 1 h ac bc ab V ++= (h 为四面体的高 ) 5.有“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是

7.6《归纳-猜想-论证》教案(沪教版高二上)

7．6 归纳—猜想—论证 一、教学内容分析 归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识． 二、教学目标设计 1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤． 2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力． 3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点 重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习． 难点：对数学归纳法的进一步理解和应用． 四、教学流程设计 1．引入

问题1．用数学归纳法证明： 2222121(1)1234(1)(1).2 n n n n n --+-+-++-=-L 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫． 2．归纳猜想 我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢？ [说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想． 问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你 可以得到什么结论？ 问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献． 费马认为，当n ∈N 时，221n +一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的． 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5 221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测． 问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ (0)41f =，(1)43f =， (2)47f =，(3)53f =， (4)61f =，(5)71f =，(6)83f =， (7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，L ，(39)1601f =． 但是(40)16814141f ==?是合数． 找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！ 3．归纳猜想论证 在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．

归纳推理类比推理复习

〖学习目的和要求〗 学习这一章，应当掌握归纳推理的特点，了解归纳推理与演绎推理的联系和区别；掌握完全归纳推理、简单枚举法的内容、公式和特点；掌握穆勒五法的内容和公式；识别用自然语言表述的推理是否为归纳推理；识别具体的归纳推理是完全归纳推理还是枚举法或科学归纳法。 要求： 1.需要记忆的内容 ①归纳推理的定义和归纳推理的特点。 ②完全归纳推理的定义和完全归纳推理的特点。 ③不完全归纳推理的定义、简单枚举法的特点及应用该方法容易犯的逻辑错误、科学归纳法的定义和特点。 2.需要理解的问题 ①演绎和归纳的区别与联系。 ②应用枚举法容易犯的错误－－以偏盖全、轻率概括。 3.需要掌握的应用分析能力 能够分析应用枚举法所犯的逻辑错误。 〖试题例析〗 1.考核本章涉及的主要基本概念 ⑴ 填空题 ① 简单枚举法是以考察一类事物中的部分情况作为主要依据，且又未发现反例而作出一般性结论的。 ② 科学归纳法是根据某类部分对象与某属性之间具有因果联系从而推出一般性结论。 ③ 穆勒五法是求同法、求异法、求同求异并用法、共变法和剩余法。 ④ 归纳推理和演绎推理的关系是 a. 演绎推理的大前提要靠归纳推理来获取； b.归纳推理的结论是否正确有待演绎推理的论证和补充；它们是相互联系相互补充的。 【分析】 以上题目属于考察考生对本章应当记忆的基本内容的掌握情况。这些内容，只要认真学习教材，就能够填写。 ⑵选择题 ① 完全归纳推理是Ｂ。 Ａ.或然性推理Ｂ.必然性推理 Ｃ.既非或然性推理而又非必然性推理；Ｄ.既是或然性推理又是必然推理 ② 运用简单枚举法容易犯的逻辑错误是Ｂ。 Ａ.机械类比Ｂ.以偏概全Ｃ.以相对为绝对Ｄ.预期理由 【分析】 以上考核的仍然是基本概念，需要认真看教材。 2.应用分析能力的考核 ⑴ 选择题 ① 下面这些结论中，不能用完全归纳法得到的是ＡＣ。

关于哥德巴赫猜想问题的讨论及证明

关于哥德巴赫猜想问题的讨论及证明 mscdy2007@https://www.wendangku.net/doc/1c6357006.html, 一、余的分布 对任一自然数列1,2,3,4,……n即为以自然数n为模的余的全集。其中1,2,3,4,……n-1为模n的真余，当数列项为n时，余为0，当余为0时，为n的整余。 其中模n的真余分布值为(n-1)/n，而模n的整余分布值为1/n。 二、自然数a,b对模n的关系 设a>=b；r(a, n)为a模n的余值，r(b, n)为r(b, n)的余值，有下述关系： A 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为整余，称a,b为同整余（r(a,n) = 0，r(b,n) = 0）； B1 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为真余，称a,b为异余（r(a,n) = 0，r(b,n) != 0）； B2 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为整余，称a,b为异余（r(a,n) != 0，r(b,n) = 0）； C 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为真余，存在下述关系： C1 如r(a,n) = r(b,n)，称a,b为同余； C2 如r(a,n) = n - r(b,n)，称a,b为补余； C3 如r(a,n) != r(b,n)并r(a,n) + r(b,n) != n，称互为质余。 D 当n为双数时，并r(a,n) = n/2时，r(b,n)为同余时亦为补余。 三、两数和差的关系 当a,b关系为同整余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。 当a,b关系为异余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。 当a,b关系为同余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) != 0；即其和不能被n整除、差能被n整除。当a,b关系为补余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) = 0；即其和能被n整除、差能不被n整除。当a,b关系为质余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。 当a,b关系为D时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。 四、质数余的讨论及两数互为异余或互为质余时分布值的讨论 关于质数，令i为自然数列1,2,3,4,……n中之一，当0