圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法教学内容

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例1：12,Q Q 为椭圆22 2212x y b b +=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂 线OD ，求D 的轨迹方程. 解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+， 联立22 2212y kx m x y b b =+???+=??化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 22222221212222222 2()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以 222222222222 1212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*L 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200 x k y x y m y ? -=????+=??代入*中，化简可得：22 20023x y b +=.

解法二（齐次式）： 设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立22 22222211 11022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=???? ???+=+-=???? 222 22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b +---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2 2 2 22 2 2 (22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2 x ，则 222 2 2 2 22 1222 12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=?=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-， 22 2212122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*L 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0 2200022 00 x m x y y n x y ?=?+?? ?=?+?代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 例2：已知椭圆2 214 x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法 一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 x 2 y 2 例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b 2 线OD ，求 D 的轨迹方程. = 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂 解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ， ? y = kx + m ? 联立? x 2 ?? 2b 2 y 2 b 2 1 化简可得: (2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以 x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2 , y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2 因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 ) m 2 - 2b 2k 2 x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2 +1 + 2k 2 +1 =0 ∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) * 又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x 0 (x - x x x 2 ) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于 1 2 0 y 0 y 0

求根公式及根的判别式

加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求

a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 例题、（07山东） 已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， （*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**） 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”） 解法二（齐次式法） 由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 公式法解一元二次方程与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论

公式法与根的判别式

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以

公式法与根的判别式

公式法与根的判别式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0） 的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+ 2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式

MATLAB与数值分析课程总结

MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂

（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构

圆锥曲线——点乘双根法

圆锥曲线——点乘双根法 适用类型：类似21x x ，21y y ，))((21t x t x ++，))((21t y t y ++或||||,MB MA MB MA ??（其中2121,,,y y x x 是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，B A ,直线与曲线的两个交点）以及可转化为上述结构的问题 理论基础：二次函数的双根式，若一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则) )((212x x x x a c bx ax --=++具体步骤：化双根式→赋值→变形代入 1．（2013天津）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 334．（1）求椭圆的方程； （2）设B A ,分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点．若8=?+?CB AD DB AC ，求k 的值．

2．（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ?是面积为4的直角三角形． （1）求该椭圆的离心率和标准方程； （2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程． 3．（2014辽宁理）圆22 4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22 122:1x y C a b -=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程； （2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于B A , 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.

公式法与根的判别式

八年级数学学科总计20 课时第5课时 课题________ 教学目标： 1熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1正确理解“当b2 -4ac :: 0时，方程ax2 bx弋=0@厂0）无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程ax ? b = 0 （其中a、b是已知数，且a* 0）的根唯一存 一 b 2 在，它的根可以用已知数a、b表示为x ,那么对于一元二次方程ax bx 0 （其 a 中a、b、c是已知数，且a丰0）,它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程ax2bx ■ c = 0（a严0） 解：ax2? bx - -c 移常数项 x2二-- 方程两边同除以二次项系数（由于a*0,因此不需要分类讨论） a a 2 b b 2 c b 2 x x （）（）两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a 2 （x ?——）2=- 4一转化为（x ? m）2二n的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论

因为a = 0所以4a20 2a

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以

一元二次方程根的判别式及公式法解方程

１ 一元二次方程根的判别式及公式法解方程 姓名： 一、选择题 1. 如果关于x 的一元二次方程2 690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．0k ≠ C ．1k <且0k ≠ D ．1k > 2. 下列关于x 的方程中，没有实数根的方程是（ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --= 3. 若关于x 的一元二次方程22220x ax a a b +++-=有两个相等实根，则a b = （ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．1 2- 4. 方程2320x x m -+-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．14m >- B ．14m ≥ C ．14m -≥ D ．1 4m > 5. 方程2210x ax a ++-=的根的情况是（ ） A ．有两个相等实数根 B.有实数根 C ．有两个不等实数根 D ．有两个实数根 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．2210x x +-= B ．220x ++= C ．210x += D ．220x x -++= 7. 已知关于x 的方程0)3(4122 =+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大的整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、-1 8. 、若方程2x （kx-4）-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、不存在 9. 若c 小于0，则关于x 的一元二次方程2530x x c ++=的根的情况是（ ） A ．两根一正一负，且正根的绝对值大于负根的绝对值 B ．两根一正一负，且负根的绝对值大于正根 C ．无实根 D ．有两个负根 10. 方程242()0x a b x ab ---=的根的判别式为（ ） A ．2()4a b ab -- B ．2()a b + C ．24()a b + D ．24()a b - 11. 如果方程220x x m ++=有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．01m <≤ C ．01m <≤ D ．0m >

左老师讲义(高中数学圆锥曲线)

第一章：规定动作 1.规定动作之联消判韦 （2013天津卷改编）已知,A B 是椭圆 22 132 x y +=的左、右顶点，F 为该椭圆的左焦点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。若8AC DB AD CB ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求k 的值. 2. 联消判韦之速算判别式 （2018全国3卷改编）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 : 143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 中点D 的横坐标为1，求证:1||2 k > .

（2015江苏卷改编）已知椭圆2 212 x y +=的右焦点为F ，直线l 的方程为2x =-，过点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ,若 2PC AB =,求直线AB 的方程。 4.联消判韦之直线的设法: x 型还是y 型 （2012北京文改编）已知椭圆 22 142 x y +=的右顶点为A ，直线()1y k x =-与椭圆交于不 同的两点,M N .当三角形AMN 的面积为3 时，求k 的值.

（2013陕西文改编）已知椭圆22 : 143 x y C +=，过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线l 的斜率. 6.传说中的点乘双根式 （2012重庆理改编）已知椭圆 22 1204 x y +=，12(2,0),(2,0)B B -，过1B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且22PB QB ⊥，求直线l 的方程.

7.不对称处理第0招:假的不对称，整体就对称 已知椭圆2 2 :33C x y +=.过点()1,0D 且不过()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直 线AE 与直线3.x M =交于点试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 8.不对称处理第1招:硬凑韦达 （2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于 ,C D 两点，并与x 轴交于点P 。直线AC 与直线,BD Q P A B 交于点，当点异于两点时，求证:OP OQ ?u u u r u u u r 为定值.

第十讲 圆锥曲线齐次式与点乘双根法

第十讲 圆锥曲线齐次式与点乘双根法 一、 圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例1：12,Q Q 为椭圆22 2212x y b b +=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线1 2Q Q 的垂 线OD ，求D 的轨迹方程. 解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+， 联立22 2212y kx m x y b b =+???+=??化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 22222221212222222 2()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以 222222222222 1212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1) m b k ∴=+* 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200 x k y x y m y ? -=????+=??代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 解法二（齐次式）：

设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立22 2222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=???? ???+=+-=???? 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:222222 22202x y m x n y mnxy b b +---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2 2 2 22 2 2 (22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2 x ，则 222 2 2 2 22 1222 12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=?=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-， 22 2212122m b b n -=-- 22232() b m n ∴=+* 又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2 00000 x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0 2200022 00 x m x y y n x y ?=?+?? ?=?+?代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 例2：已知椭圆2 214 x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线, PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点. 解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 _______ 教学目标： 1、 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、 通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、 通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、 能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、 培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1、 求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、 会用判别式判定一元二次方程根的情况 教学难点： 1、正确理解“当b 2 4ac 0时，方程ax 2 bx c 0(a 0)无实数根 2、运用判别式求岀符合题意的字母的取值范围 、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程 ax b 0 (其中a 、b 是已知数，且a 工0)的根唯一存在， . b 2 它的根可以用已知数 a 、b 表示为x ，那么对于一元二次方程 ax bx c 0 (其中a 、 a b 、 c 是已知数，且 a ^ 0)，它的根情况怎样？能不能用已知数 a 、b 、c 来表示呢？我们用配方 法推导一元二次方程的求根公式 解： ax 2 bx c 移常数项 x 2 b x - 方程两边同除以二次项系数(由于 a ^ 0，因此不需要分类讨论) a a 2 b b 2 c b 2 x -x () -() 两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 2 (x )2 2 转化为(x m)2 n 的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为a 0所以 4a 2 0 用配方法解一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0)

考研数学一复习要点细

数学概率论学习有感 第一章 主要介绍概率和事件、区分事件和观察值、找准总体事件、了解总体下的各种事件层次关系、事件运算对应的概率问题、典型的分布、条件概率分布的求和形式和定义、相互独立的定义和计算 第二章 主要内容是两种分布律介绍，关键是找完整分布、泊松分布、正态分布、π分布、均匀分布、伯努利分布、指数分布，满足两个条件、概率和为1、注意泊松分布和伯努利分布的关系（lamba=np）、分布F后面会为1、函数关系的分布密度 第三章 主要是相互独立、联合分布律、边缘函数、条件分布律、已知分布的加法和乘法、利用微分思维进行理解、其中最重要是考察定义域问题，通过交集区间分析出对应的区域，注意分类讨论和最好使用一维区间图得到分类函数，注意定义域区间之间和第三变量之间的关系得到所有情况所有类型的上下限、对存在离散分布可以利用前面的条件分布来求解第三变量分布 第四章 主要内容期望、方差、协方差、n阶矩、中心矩、切比雪夫不等式 两种分布的期望要绝对收敛，特殊分布的典型期望和方差值，通过定义和运算法则对方差和期望进行计算，对于函数形式的第三变量联系第三章的内容进行定义求解，合理应用典型分布函数的方差和期望运算进行运算，对于求和形式的方差和期望多留意，不等式联合第五章进行使用 第五章 就是频率对概率的收敛、样本均值对期望收敛、多重模式分布对标准正态分布收敛、主要内容是大数定理和中心极限定律，样本的均值和方差的无偏估计，对于大数定律会使用期望和方差得到求和的样本方差和期望，中心极限定律则是应用估概率问题，样本的总分布会满足正态分布，清楚定义域和利用标准正态分布进行合理的添加项，并可以得到结果，同时注意反方向求解问题，有时候有差别，样本均值和方差能够与期望和方差进行联系起来，两者同时表示，也要清楚样本方差和均值的定义 第六章和第七章 主要内容几个特殊分布函数的形式、期望、方差，尤其是第一个分布，参数的估值的两种方法、矩估计法、最大拟然估计法、无偏估计、有效性、最大拟然估计法立足于样本，样本可以知道参数，适当结合特殊函数进行化简计算 高等数学上册 第一章：函数、数列、极限、无穷小与无穷大、函数间断点、函数连续性 注意定义证明绝对值符号去掉的时候使用哪一种不等式，尽量不要放缩、放缩注意x取值的正负性、确定的取值性，可以简单猜一个区间进行放缩、趋于某个值的方向清楚、再利用运算法则时明确符合条件、注意定义域问题还是首要问题、间断点、两个重要极限存在的法则、两种可去间断点、无穷小和无穷大定义、等价无穷小求解极限问题、极限求解的几种特别类型、保号性问题、证明问题、连续性中的N、X联合讨论问题、尤其注意正负号问题、三角函数的极限问题、序列的项之间关系、初等函数求极限、复合函数求极限、在求解抽象函数的正确说法还是错误说法的时候注意使用符号函数和正项级数等其他特殊形式进行求解、特别是平方、复合函数之间的关系、连续函数的零点问题、介值定理、最大小值问题、连续性问题、构造函数的证明问题、一致连续问题、渐近线问题、对于复杂的求极限问题不要拆开、注意各种方法的联合使用

【教案】 公式法—— 一元二次方程根的判别式

公式法——一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下： 序号教师学生

2021年新高考题型分布、难易度、考察点分析

2021年新高考题型分布、难易度、考察点分析数学 山东卷最显著的变化是增加了多项选择题，加大了试题的难度，增强了试卷的区分度，以往考生经常使用的排除法、特殊值法对多选题不再奏效，要求考生必须深度掌握知识，进行整体全面深入的分析运算，才能得出正确答案。 一单项选择题 单项选择题较为常规，试题低起点，入口宽，指向明确，方法灵活，能够综合考查考生的基础知识、基本方法与数学思维。 第4题以日晷为背景，结合地球的纬度知识，考查了直观想象这一核心素养，要求考生从相对复杂的问题情境中抽象出几何直观，简化问题后进行求解，这对考生阅读筛选信息提出了较高的要求，这也是近几年全国卷的命题特点之一。 第8题是函数性质综合题，找出函数性质后，用数形结合求解。函数问题是体现数学抽象核心素养的典范，单一性质考查不多见，要关注性质综合问题，用好数形结合这一有效工具，要掌握如函数奇偶性、周期性等常见的形式变换。 二多项选择题 多项选择题试题新颖，多采用小综合的形式命制，更考验考生知识方法的整合与应变能力，同时打破单选题的得分模式，让考生在选择题上有更多的得分机会。

第11、12题是试卷中区分度较高的题。第11题是均值不等式的变式应用，穿插了函数单调性，增加了思维含量，要求考生非常熟练地掌握均值不等式相关知识与方法，才能快速准确作答。第12题是分布列与函数单调性的结合，要求活学活用，化繁为简，思维含量高，能力要求高。 三填空题 填空题较为常规，由易到难递变，会做的同时，要求表述规范，具有良好的区分度。 第15题求解平面图形面积，引入已知条件是解决如何分割图形的关键，对综合应用能力提出很高的要求，可看成填空题中的“压轴题”。 第16题是球与平面相交的问题，指向“直观想象”这一核心素养，对几何体性质理解提出较高的要求。立体几何命题更加注重回归基础，加强了几何体与球组合问题的考查力度，真正考思维、考素养、考能力。 四解答题 解答题考查了三角函数、数列、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数传统的六大模块，减少了对复杂计算的考量，增加了试题的思维含量，突出问题的转化与变式，新增了开放性问题设计的命题形式。 第17题为解三角形问题，设计了开放性问题，综合应用正弦定理、余弦定理求解，属常规问题。命题形式新颖，选择入口

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

+ = ? 2 0 0 0 y ? 圆锥曲线齐次式与点乘双根法 一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 x 2 y 2 例 1： Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b 2 线OD ，求 D 的轨迹方程. = 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂 解 法 一 （ 常 规 方 法 ） ： 设 Q 1 (x 1 , y 1 ), Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设 直 线 Q 1Q 2 方 程 为 ? y = kx + m ? y = kx + m ，联立? x 2 ?? 2b 2 y 2 b 2 1 化简可得: (2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以 x 1 x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2 , y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2 因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 ) m 2 - 2b 2k 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2 +1 + 2k 2 +1 =0 ∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) * x x x 2 又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - 0 (x - x ) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于 1 2 0 ? - x 0 = k y 0 y 0 y = kx + m ，则? y 0 x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2 = 2 b 2 . 3 ? 0 + y = m ? y 0 ?