浅谈隐函数极值的求法

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浅谈隐函数极值的求法

作者：朱明刚

作者单位：辽宁省医疗器械学校,辽宁,沈阳,110026

刊名：

成都教育学院学报

英文刊名：JOURNAL OF CHENGDU COLLEGE OF EDUCATION

年，卷(期)：2001,15(5)

被引用次数：1次

本文读者也读过(8条)

1.陆健隐函数的极值[期刊论文]-科技信息(学术版)2008(25)

2.单国莉.SHAN Guo-li隐函数极值存在的条件及应用实例[期刊论文]-烟台师范学院学报（自然科学版）2005,21(3)

3.李远华二元函数极值的矩阵求法[期刊论文]-淮南师范学院学报2004,6(3)

4.冯秀红.FENG Xiu-hong隐函数的极值求法[期刊论文]-高师理科学刊2010,30(3)

5.田务国连续函数极值的求法[期刊论文]-科学咨询2008(z2)

6.李万云.Li Wan Yun初等函数极值求法探讨[期刊论文]-保山师专学报2002,21(5)

7.孟赵玲.许燕函数极值的两个简单求法[期刊论文]-北京印刷学院学报2005,13(3)

8.夏滨函数极值的求法探讨[期刊论文]-科园月刊2010(19)

引证文献(1条)

1.冯秀红隐函数的极值求法[期刊论文]-高师理科学刊 2010(3)

本文链接：https://www.wendangku.net/doc/1710361804.html,/Periodical_cdjyxyxb200105043.aspx

函数极值的几种求法

函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：

目标函数的几种极值求解方法

目标函数极值求解的几种方法 题目：()() 2 22 1 122min -+-x x ，取初始点()() T x 3,11 =，分别用最速下降法， 牛顿法，共轭梯度法编程实现。 一维搜索法： 迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。 一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值 ()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令 k=1。 ⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当 ()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值 ()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目

隐函数的极值求法

隐函数的极值求法 作者：冯秀红， FENG Xiu-hong 作者单位：南京信息工程大学,数理学院,江苏,南京210044 刊名： 高师理科学刊 英文刊名：JOURNAL OF SCIENCE OF TEACHERS' COLLEGE AND UNIVERSITY 年，卷(期)：2010，30(3) 被引用次数：0次 参考文献(5条) 1.朱明刚浅谈隐函数极值的求法[期刊论文]-成都教育学院学报 2001(5) 2.陆健隐函数的极值 2008(25) 3.王顺凤.夏大峰.朱凤琴高等数学 2009 4.同济大学应用数学系高等数学 2008 5.华东师范大学数学系数学分析 2001 相似文献(10条) 1.期刊论文单国莉矩阵的正定性与隐函数的极值-高等数学研究2006,9(4) 利用隐函数的导数和矩阵正定性在多元显函数极值方面的应用,给出隐函数极值存在的必要条件和充分条件,并实例说明如何根据矩阵的正定性判定隐函数的极值. 2.期刊论文陆健隐函数的极值-科技信息(学术版)2008,""(25) 求函数的极值中,当函数为隐函数的形式时,运用极值存在的充分条件,也可以解决隐函数的极值问题. 3.期刊论文袁秀萍.YUAN Xiu-ping隐函数取极值的充要条件及其应用-商丘师范学院学报2005,21(5) 将显函数取极值的必要条件和充分条件加以推广得到隐函数取极值的必要条件和充分条件,从而使隐函数极值的求解变得更为简捷. 4.期刊论文单国莉.SHAN Guo-li隐函数极值存在的条件及应用实例-烟台师范学院学报（自然科学版） 2005,21(3) 利用隐函数的导数及矩阵的正定性在多元显函数极值方面的应用,讨论了隐函数极值存在的条件,并给出了实例. 5.学位论文孙国勇函数分析器的研究和实现2004 数学的主题就是处理函数问题<'[14]>.大致说来,函数可分为连续型与离散型,这分别是由于自然界的量有连续量与离散量而来的.一般说来,定义在连续集(如区间)上的函数属于前者,而定义在离散点集(如N或Z)上的函数属于后者.数列就是我们所熟悉的离散函数.目前具有函数功能的数学软件主要有Maple、Mathematic、《几何画板》、《Z+Z智能教育平台》、WinPlot和Graphmatica等.但是函数的很多问题它们还没有处理或者还不完善,比如函数微积分、切线、迭代、变换、变点、零点、极值、极限、隐函数、计算曲线弧长和曲率、数列的动态处理等等.该文所做的工作就是设计和开发一款函数类的动态几何软件,以期能以最简单和最形象的方式提供给用户最需要的功能.第一章首先介绍了函数的重要性和动态几何软件的概念,接着分析了国际国内的研究现状,最后介绍了该文所做的工作,第二章简要分析了数学教学对数学软件的需求情况,通过前两章的介绍,以期读者能对该文的研究领域有个大略的了解.接下来的第三章和第四章详细介绍了作者的工作,第三章给出了"函数分析器"系统的总体设计,包括了主要界面、主要功能和主要对象的设计.第四章是最重要的部分,详细介绍了软件具体实现的思想,给出了各种功能的具体数据结构和算法.在文章的末尾,作者对该文工作的意义做了阐述,并且对软件的一些不完善的地方及可能的改进方向做了简要的阐述和展望. 6.期刊论文常健.高丽.CHANG Jian.GAO Li判定隐函数极值的几何方法-江西科学2007,25(2) 在多元显函数极值的方向导数判别法的基础上,给出了隐函数极值的几何判别法,丰富了隐函数极值的判别理论. 7.期刊论文郎开禄.段兴龙.LANG kai-lu.DUAN xing-long判定n元隐函数取极值的充分条件Hesse矩阵-楚雄师范学院学报2006,21(9) 在本文中,我们给出了判定n元隐函数取极值的充分条件的Hesse矩阵,为判定n元隐函数取极值提供了一般的判定方法. 8.学位论文陈阳佳某些带奇性的半线性椭圆方程的多解问题2009 解的存在性问题有很多种研究方法，如不动点方法，拓扑度方法等.我们主要是采用变分方法.变分法问题有着极为丰富的源泉，从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的运动规律都遵从“变分原理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的Euler方程，因此，求这些Euler方程的解就转化为寻求对应泛函的临界点. 古典变分法理论旨在确定泛函的极值和极值点.由此产生了极小化序列方法及泛函的下半连续性方法，延续到今天依然是研究泛函极值问题的基本手段.为了从泛函本身的性态判定出未必是极值点的临界点，极小化序列方法已不再适用，由此产生了大范围变分法.早在上个世纪二，三十年代，就分别提出了两种联系紧流形上函数的临界点的行为与流形自身拓扑性质的理论.通过这些联系，用流形自身的拓扑不变量可以估计出其上的函数临界点的个数.同时出现了Morse理论和畴数理论.而到了五，六十年代，人们对非线性积分方程进行了研究，并把Morse理论和畴数理论推广到无穷维流形上.这些都为临界点理论推广应用到分析问题上作出了必要的准备.到了七，八十年代，变分理论又有了重大的进展，一方面前述理论更深入地应用到更多的微分方程问题上，在方法上有了新的发展；另一方面，由A.Ambrosetti和P.H.Rabinowitz在1973年提出的山路引理(Mountain Passlemma)又引出了一系列新的极大极小值定理，这些定理可以处理既无上界又无下界的泛函的变分问题.山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是-个很有用的定理.除了山路引理外还有环绕定理[7]等都是研究解的存在性的重要定理. 山路引理及各种山路定理的建立，特别是它们在非线性微分方程各种问题的应用中取得了许多很有意义的新结果，吸引了不少的数学家从事临界点理论的研究，从而使临界点理论及其应用的成果在近20多年取得了重大的进展. 本文主要是考虑了半线性椭圆方程： 本文共分四章.

多元函数的极值及其-求法

第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相 类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的 偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点) ,,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z

求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =

如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p

【最新精选】条件极值与隐函数习题课

【最新精选】条件极值与隐函数习题课第十四、十五章条件极值与隐函数习题课 一、重要内容 1、极值 1)、无条件极值的计算和判断 主要步骤: i)、计算可疑点:驻点，偏导数不存在的点。 Ii)、判断 A)、判断可疑点为极值点，常用方法: p0 a)、定义法:计算，若存在某个，使 ,,,ffpfp()()Up()00得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000 ，使得在上恒成立，则为极大值点。 Up()Up()p,,f0000 b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。 c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性pp00质。 B)、判断可疑点p不是极值点，常用方法有: 0 Up()ppUp,(),a)、定义法:对任意的，确定一对点，0120使得 ,,,,fpfp()()0 12 p则，不是极值点。 0 p b)、二阶导数法:H为不定矩阵时，不是极值点。 0

2)、条件极值的计算与判断 主要步骤: 139 i)、构造L-函数; ii)、计算L-函数的驻点; iii)、判断，常用方法为二阶微分法。 3)、隐函数极值的计算 4)、极值的应用 主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。 2、隐函数存在定理 要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数 存在定理。 二、典型例题 22例1、讨论的极值。进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()(2)沿任意直线在的极值性质。 p(0,0)0 解、先计算驻点。求解 2,fxyx,,，68,x ,2fyx,,23,y, 得唯一驻点。 p(0,0)0 fpfpfp()0, ()0, ()2,,,判断。计算得，H=0，故xxxyyy000 22dzdy|2,二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的p0 22dzdy|2,(dx，dy)，都成立>0,二阶微分法同样失效。),(0,0)p0 用定义判断。注意到 22 ,,,,,,zfpfpyxyx()()()(2)0 92,，,,01rr因而，对任意,,0,取r充分小满足，则 4

函数的极值及其求法1

三、导数的应用 函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义设函数在区间(a,b)内有定义，x 0是(a,b)内一点. 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＜均成立，则说是函数的一个极大值； 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＞均成立，则说是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点凡是使的x 点，称为函数的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：设函数在x 0点的邻域可导，且. 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＞0，当x 取x 0右侧邻近值时，＜0，则函数在x 0点取极大值。 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＜0，当x 取x 0右侧邻近值时，＞0，则函数在x 0点取极小值。 注：此判定方法也适用于导数在x 0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是：

a)：求； b)：求的全部的解——驻点； c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。例题：求极值点 解答：先求导数 再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示

第14-15章极值和条件极值隐函数

500 第十四章 极值和条件极值 在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。 §1 无条件极值 一、基本概念： 设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。 定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点 ),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。 注：类似可定义极小值（点）。 注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。 类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设 ),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存 在。考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而： 00(,) |x df x y dx =0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,) |0M f x y x ?=?。 类似： 0(,) |0M f x y y ?=?。 故，若0M 是极值点，则必有 0(,) |M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?。

501 定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足 0(,) |M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?，称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。 上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。 也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如： x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上，∈?),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=，但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上 ?? ?<->=-=-→→0,10,10lim ) ,0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。 综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法： 设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?，则0≥?u 时， 0M 应为极小值点；0≤?u 时，0M 应为极大值点。

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：

函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值

续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式

1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是

函数极值的求法及其应用

目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25)

函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application

隐函数求导的简单方法

·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得

[应用]条件极值与隐函数习题课

[应用]条件极值与隐函数习题课 第十四、十五章条件极值与隐函数习题课 一、重要内容 1、极值 1)、无条件极值的计算和判断 主要步骤: i)、计算可疑点:驻点，偏导数不存在的点。 Ii)、判断 A)、判断可疑点为极值点，常用方法: p0 a)、定义法:计算，若存在某个，使,,,ffpfp()()Up()00 得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000 ，使得在上恒成立，则为极大值点。Up()Up()p,,f0000 b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。 c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。 pp 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性00质。 pB)、判断可疑点不是极值点，常用方法有:0 Up()ppUp,(),a)、定义法:对任意的，确定一对点，0120使得 ,,,,fpfp()()0 12 则，不是极值点。 p0 b)、二阶导数法:H为不定矩阵时，不是极值点。p0

2)、条件极值的计算与判断 主要步骤: i)、构造L-函数; ii)、计算L-函数的驻点; iii)、判断，常用方法为二阶微分法。 3)、隐函数极值的计算 4)、极值的应用 主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。 2、隐函数存在定理 要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数 存在定理。 二、典型例题 22例1、讨论的极值。进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()(2) 沿任意直线在p(0,0)的极值性质。 0 解、先计算驻点。求解 2,fxyx,,，68,x ,2fyx,,23,y, p(0,0)得唯一驻点。 0 fpfpfp()0, ()0, ()2,,,判断。计算得，H=0，故xxxyyy000 22dzdy|2,二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的p0 22dzdy|2,(dx，dy),(0,0)，都成立>0,二阶微分法同样失效。)p0 用定义判断。注意到 22 ,,,,,,zfpfpyxyx()()()(2)0 92因而，对任意,取r充分小满足，则 ,，,,01rr,,04 ,32且，故不是,pprrUp(0,),(,)(,),,,zpzp()()0p(0,0),12012022

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020

第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要 解方程组???==0 ),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ??，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点． 注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题．

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极 值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数z f（x, y）在点（X。, y。）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异 于（X。，yo）的点，如果都适合不等式 f （X, y） f（X o,y。） 则称函数f（X，y）在点（X0，y。）有极大值f（X0，y。）。如果都适合不等式 f （X, y） f（X。,y。）， 则称函数f（X，y）在点（X0,y。）有极小值f（X0,y。）.极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。 22 例1 函数z 3X 4y在点（。，。）处有极小值。因为对于点（。，。）的任一邻域内异于（。，。）的点，函数值都为正，而在点（。，。）处的函数值为零。从22 几何上看这是显然的，因为点（。，。，。）是开口朝上的椭圆抛物面z 3X2 4y2 的顶点。

例2函数z x y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负， 点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z: x2 y2的顶点。 例3 函数z xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在 点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1 （必要条件）设函数z f（x，y）在点（X0，y。）具有偏导数，且在点（X o, y o）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x（X o,y°）0, f y（x o,y°）0 证不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点 （X。，y。）的某邻域内异于（X。，y。）的点都适合不等式 f （x, y） f（x°,y o） 特殊地，在该邻域内取y y0，而x X0的点，也应适合不等式 f（x, y°） f（X o,y°） 这表明一元函数f（x，y o）在X X o处取得极大值，因此必有 f x（X o,y o）0 类似地可证 f y(X o,y o) 0

目标函数的几种极值求解方法

目标函数极值求解的几种方法 题目：()()2221122min -+-x x ，取初始点()()T x 3,11=，分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法编程实现。 一维搜索法： 迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。 一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ， ()1111618.0a b a -+=μ。令k=1。

⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。 最速下降法的迭代公式是()()()k k k k d x x λ+=+1，其中()k d 是从()k x 出发的搜索方向，这里取在点()k x 处最速下降方向，即()()k k x f d -?=。 k λ是从()k x 出发沿方向 ()k d 进行的一维搜索步长，满足 ()()()()() ()k k k k k d x f d x f λλλ+=+≥0 min 。 实现步骤如下： ⑴ 给定初点()n R x ∈1 ，允许误差0>ε，置k=1。 ⑵ 计算搜索方向()()k k x f d -?=。