随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。
【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。
【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法
【学时分配】7-9学时
分布函数:)
x
F≤
=——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中
P
X
)
(
(x
分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：
评价粮食产量，只关注平均产量；
研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；
评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；
评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。
描述变量的平均值的量——数学期望，
描述变量的离散程度的量——方差。
§4.1 数学期望
教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；
使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程：
(一) 数学期望的概念
先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入
区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个
e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2
现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为
∑==?+?+?2
210210k k N a
k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值
??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2
k k k p x x 稳定值
。
显然,数值∑=2
k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。
定义:
1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1
k k k x p ∞
=∑绝对收敛，则称级数1
k k k x p ∞
=∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1
k k k x p ∞
=∑。
2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞
-∞
?绝对
收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞
?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞
-∞
?。
数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算
关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若
则()E X ＝1k k k x p ∞
=∑ （绝对收敛）
2、连续型——若X ～ 密度函数
，则()E X ＝()xf x dx ∞
-∞
? （绝对收敛）
例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废品数分别用X 、
Y 表示，它们的概率分布如下：
问这两个工人谁的技术好?
解: ()E X ＝00.710.120.130.10.6?+?+?+?=,()E Y ＝00.510.320.2300.7?+?+?+?=
甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。
例2 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X k (k=1,2，3，4，5)服从同一指数分布，其概
率密度为()?????≤>=-.0,0,
0,1x x e x f x θ
θ，0>θ，(1)若将这5个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命
（以小时记）N 的数学期望。(2)若将这5个电子装置并联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）M 的数学期望。
分析:5个电子装置串联，整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =，并联，整机寿命
{}54321,,,,max X X X X X M =，要求N ，M 的数学期望，关键求N,M 的密度函数).(),(max min x f x f
解: (1)k X ()5,4,3,2,1=k 的分布函数为()?????≤>-=-.
0,0,
0,1x x e x F x θ。
因为5个电子装置串联，所以整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =的分布函数为
()()[]
??
?≤>-=--=-.0,
0,
0,11155
min x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为
()???≤>=-.0,
0,0,55min x x e x f x θθ，于是N 的数学期望为,()5)(055min θθ
θ
===??+∞-+∞∞-dx e x dx x xf N E x 。 (2) 因为5个电子装置并联，所以整机寿命{}54321,,,,max X X X X X M =的分布函数为
()()[]
[]
?????≤>-==-.0,
0,0,15
5
max x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为 ()[]
?????≤>-=--.0,
0,
0,145
m ax x x e e x f x
x θθθ，于是N 的数学期望为
()[]
θθ
θθ60
137
1)(0
4
5
max =
-==??+∞
--+∞∞
-dx e
e x dx x x
f N E x
x 。 我们可以看到
()()
4.11≈N E M E ，即5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作的平均寿命的11.4倍。
例3 按规定，某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为
分析 ：
第一
车8:30到站
10分钟,第一
车8:50到站
30分钟
解 设旅客候车的时间为X(以分记)，则X 的的可取值为10、30、50、70、90. 且 P{X=10}=P “第一班车8：30到站”=
6
3. P{X=30}= P “第一班车8：50到站”=6
2
.
P{X=50}= P “第一班车8：10到站，且第二班车9：10到站”= 36
1
6161=?
P{X=70}= P “第一班车8：10 到站，且第二班车9：30到站” = 363
6361=?
P{X=90}= P “第一班车8：10 到站，且第二班车9：50到站” = 36
2
6261=?
即X 的分布列为
X 的数学期望为
所以若旅客8:20到站，则他候车时间的数学期望为27.22(分)。
例4 一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行。（1）将每个人的血分别去验，这就需验N 次。（2）按k 个人一组进行分组.把k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液显阴性反应，就说明k 个人的血都显阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次。若显阳性，则再将对这k 个人的血液分别进行化验，这样，这k 个人的血总共要化验k+1次,假设每个人化验显阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k 取什么值时最适宜。
解 若按第二种方法，以k 个人为一组进行化验，记1-p=q ，设组内每个人化验的次数为X ，则
X 的可取值为k
k k 1
,1+.由于各人是否显阴性是相互独立的，所以：
P{k
x 1
=
}= P “k 个人的混合血显阴性”= P “k 个人的血都显阴性”=
P{k
k x 1
+=
}=P （k 个人的混合血显阳性）= P （k 个人的混合血不阴性）=k q -1 故每个人化验次数X 的期望值为：
当时，在普查中平均每人的化验次数就小于1，从而第二种方法可以减少化验的次数。显然，p 愈小这种方法愈有利。当p 已知时，可选定使k
q k 1
-达最大即达最小，以个人为一组进
行化验，将能最大限度地减少化验次数。
例如p=0.1即q=0.9时可用赋值法求函数k
q k 1
-
的最大值：
可见，当k=4时，函数k
q k -
有最大值0.4，说明以4个人为一组进行化验能减少40%的工作量。 （三）随机变量函数的数学期望
1、已知X 的分布，求Y=g(X) 的数学期望E(Y)
我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力W=kV 2
（V 是风速，k>0 是
常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数。这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望。
定理 设Y 是随机变量X 的函数，()Y g X =（g 是连续函数）
（1） X 是离散型随机变量，它的分布律为{}k k P X x p ==，k ＝1，2，3，…，若1
()k k k g X p ∞
=∑绝
对收敛，则有()[()]E Y E g x ==1
()k k k g x p ∞
=∑
（2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x ，若
()()g x f x dx +∞
-∞
?
绝对收敛，则有()[()]E Y E g x ==()()g x f x dx +∞
-∞
?
证明： 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件。 由第二章§5中的（5.2）式知道随机变量Y=g(X)的概率密度为
??
?<<= . ,0),('|)]([)(其它β
αy y h y h f y f x Y 于是，E （Y ）= ??=∞
∞
-β
α
dy
y h y h yf dy y yf x Y |)('|)]([)(
当)(y h '恒>0时，E （Y ）= ??∞
∞-=.
)()(|)('|)]([dx x f x g dy y h y h yf x β
α
当)(y h '恒<0时，E （Y ）=
?
??-∞
∞
∞
∞
-=-=-.
)()()()()(')]([dx x f x g dx x f x g dy y h y h yf x β
α
综合上两式，（1.4）得证。
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。给出如下结论： 设Z 是二维随机变量(,)X Y 的函数(,)Z g X Y =,其中g 是二元连续函数， （1）设(,)X Y 是离散型，其分布律为,{}i i ij P X x Y y p ===，,i j ＝1，2，3，…，
则当级数11(,)i i ij i j g x y p ∞
∞
==∑∑绝对收敛时，有()[(,)]E Z E g x y ==
11
(,)i
i
ij
i j g x y p
∞∞
==∑∑
（3） 设(,)X Y 是连续型，密度函数为(,)f x y ，则当积分(,)(,)g x y f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
??
绝对收敛时，有()[(,)]E Z E g x y == (,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
?
?
例5 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度?????<<=.
,0,a v 01
)(其它，
a v f
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =（V 是风速，k>0 是常数），求W 的数学期望。
解：由（1.4）式有E （W ）=
22
2
31
1)(ka dv a kv dv v f kv ??∞
∞
-∞
∞
-==
例6 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为
()??
?≤≤≤≤+=其它,0,
1,100,,y x y x y x f ，试求XY 的数学期望。 解：()()()?
?
?
?
+∞∞-+∞
∞
-=
+==101
3
1,XY E dxdy y x xy dxdy y x xyf 例7按季节出售的某种应时商品，每售出一公斤获利润b 元。如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损l 元.设某商店在季度内这种商品的销售量 X(以公斤计)是一随机变量， 在区间(s 1，s 2)上服从均匀分布。为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店应进多少货?
解：以s （公斤）表示进货数，易知应取21s s s ≤≤，进货s 所得的利润记为()X a x ，则()X a x 是
随机变量，且有()()???<<≤<--=.,,
,21s X s sb s X s l X s bX X a x
X 的概率密度为()??
?
??<<-=.,0,,1
2112其它s s s s s x f ，
()[]()[]
??-+---=s
s s s s dx s s sb dx s s l x s bx X a E 121
21211
()()1221212
22s s s l b s bs ls s l b -?????
?+-+++-=
由于
()[]X a E ds d s =()[]()1221s s bs ls s l b -+++-=，令()[]X a E ds
d s =0，得 ()
()
l b bs ls s ++=
21，即当()
()l b bs ls s ++=21（公斤）时获得利润的数学期望最大。
（四） 数学期望的性质
现在来证明数学期望的几个重要性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）
1 设C 是常数，则有()E C C =。
2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =
3 设X 、Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+
这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4 设X 、Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。 证：证3和4，
设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f(x,y)，其边缘概率密度为f X (x),f Y (y)， E(X+Y)= ?
?
?
?
??∞
∞-∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-+=+dxdy
y x yf dxdy y x xf dxdy y x f y x ),(),(),()(
=E （X ）+E （Y ），3得证。 又若X,Y 相互独立， E （XY ）=??∞
∞-∞
∞
-dxdy
y x xyf ),(=??∞∞-∞
∞
-dxdy
y f x xyf Y X )()(
=)
()()()(Y E X E dy y yf dx x xf Y X =??????????????∞∞-∞∞-，4得证
例11 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求E （X ）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设各旅客是否下车相互独立）。
解： 引入随机变量???=站有人下车，在第站无人下车
在第i 1i ,0x i=1,2,…，10
易知 X=X 1+X 2+……+X 10，现在来求E （X ）
按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为20
109??
?
??，
在第i 站有人下车的概率为1—20
109??
?
??，也就是
P{X=0}=20109??? ??，P{X i =1}=1—20
109???
??,i=1,2,…，10
由此，E （X i ）=1—20
109??
?
??,i=1,2,…，10
进而E （X ）= E （X 1+X 2+……+X 10）=E （X 1）+E （X 2）+……+E （X 10）=10 [1—20
109???
??]=8.784（次）
本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义。
例12 设一电路中电流I （A ）与电阻R （Ω）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
()()??
???≤≤=??
?≤≤=,,0,
3r 0,9
r r h ,0,1i 0,2i i g 2
其它其它，
试求电压V=IR 的均值。 解 E （V ）=E （IR ）=E （I ）E （R ）
=??????????
????∞
∞-∞
∞-dr r rh di i ig )()(=2332303102=
??????????????dr r di i 。 （五）一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1．0—1分布
()0(1)1E X p p p =?-+?=
2．二项分布
(,)()X b n p E X np =则
3．泊松分布
~()X πλ，则 ()E X λ=
计算：1
1
1()!
(1)!(1)!
K
K
K K K K E X K
e e e e e K K K λ
λ
λλλλλλλλλ-+∞
+∞
+∞
----=======--∑∑
∑
＝
4．均匀分布 X ～U[,a b ]，则()2
a b
E X += 5．指数分布
X 服从参数为θ的指数分布，则 ()E X θ=。计算如下：
00
1
()()()|
()|x
x
x
x
x
x
E X xf x dx x e dx
x
xe d xde
xe e dx e θθθθθθθ
θ
θθ
-
+∞
+∞
-∞
--
+∞
+∞
-
-
-
+∞+∞
+∞
===--=-=-+=-=?
?
??
?
6．正态分布
X ～2(,),()N E X μσμ=则
这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 （六）小结
描述变量的平均值的量—数学期望
1、离散型——若X ～{}k k P X x p == 则 ()E X ＝1k k k x p ∞
=∑ （绝对收敛）
2、连续型——若X ～密度函数()f x ，则()E X ＝()xf x dx ∞
-∞
? （绝对收敛）数学期望()
E X 描述随机变量X 取值的平均大小，要掌握数学期望的性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布的数学期望。
(七) 课堂练习P 139 4、8、14、15。
布置作业 P 138 1、2、3，9、10
§4、2 方差
教学目的：使学生理解掌握随机变量的方差概念及性质，会计算具体分布的方差，熟记常见分布
的方差; 使学生理解掌握方差的性质，能熟练计算具体分布的方差，进一步熟记常见分布的方差。
教学重点、难点：方差的性质、具体分布的方差的计算;随机变量的方差概念及性质、具体分布
的方差的计算。
教学过程：
上节课，我们研究了随即变量的重要数字特征——数学期望。它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。但在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类手表，甲类手表日走时误差均匀分布在-10~10秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在-20~20秒之间，易知其数学期望均为0，即两类手表的日走时误差平均来说都是0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见，我们有必要研究随机变量取值与其数学期望值的偏离程度——即方差。 （一） 方差的概念 1、 定义
设X 是一个随机变量，若{}2[()]E X E X -存在，则称{}2[()]E X E X -为X 的方差，记为()D X
或()Var X 。即()D X =()Var X ={}2[()]E X E X -X 的标准差或均方差。随机变量X 的方差表达了X 的取值与其均值的偏离程度。 按此定义，若X 是离散型随机变量，分布律为
{},1,2,k k P X x p k ===…,则 21
()[()]k k K D X x E X p ∞
==-∑
若X 是连续型随机变量，密度函数为()f x ，则2()[()]()D X x E X f x dx +∞
-∞
=-?
方差常用下面公式计算：22()()[()]D X E X E X =-
事实上 ()D X ={}2[()]E X E X -{}222()()E X XE X E X =-+
2222()2()()()()()E X E X E X E X E X E X =-+=-
例1 设随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=0≠， 记x X μ
σ
*-=
，则()0,()1E X D X **==
解 1
1
()()[()]0E X E X E X μμσ
σ
*=
-=
-=;
22222
22()()[()][(
]
1
[()]1X D X E X E X E E X μ
σ
σμσσ
***-=-==-==）
称X *为X 的标准化变量。
注意：这里X 不一定是正态随机变量。对正态随机变量，结论也成立。
例2 设随机变量X 具有（0-1）分布，其分布律为：P{X=0}=1-p,P{X=1}=p ，求D （X ）。 解 :E （X ）=0·(1-P ）+1·p=p ，E （X 2
）=02
·(1-p)+12
·p=p D （X ）=E （X 2）-[E （X ）]2=p-p 2=p(1-p) 例3 设X~π(λ)，求D （X ）。
解: X 的分布律为：， k=1,2,…，λ>0.
上节例6已算得E （X ）=λ，而E(X 2
)=E[X(X-1)+X]=E[X(x-1)]+E(X)=
=
所以方差：D （X ）=E （X ）-[E （X ）]2=λ
由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数λ，因为泊松分布只含一个参数λ，只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。 例4 设X~U （a,b ），求D （X ）。
解:X 的概率密度为：()f x 1
,0,a x b b a ?<≤?
=-???
其它 而2)(b a X E +=，方差为
例5 设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为()?????≤>=-.0,0,
0,1x x e x f x θ
θ
其中θ>0，求E （X ），D （X ）
解 :
于是
即有
，
（二） 方差的几个重要性质： 10 设C 是常数，则D （C ）=0。
20 设X 是随机变量，C 是常数，则有：D （CX ）=C 2D （X ）
30 设X ，Y 是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y)). 特别，若X ，Y 相互独立，则有：D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ）
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
40 设D （X ）=0的充要条件是X 以概率1取常数C ，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X). 证明 10 D(C)=E{[C-E(C)]2}=0
20 D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C 2E{[X-E(X)]2}=C 2D(X).
30 D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}
= E{ (X-E(X))2}+E{(Y-E(Y))2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
上式右端第三项:
2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
= 2E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) }
=2{ E (XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) }
=2{ E (XY)-E(X)E(Y) }
若X,Y相互独立,由数学期望的性质40知道上式右端为0,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y). 例6 设X~b(n,p)，求E(X),D(X).
解：由二项分布的定义知，随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p
，引入随机变量：
易知 X=X
1+X
2
+… +X
n
(2.7)
由于X
k 只依赖于第k次试验，而各次试验相互独立，于是X
1
，X
2
，…，X
n
相互独立，又知X
k
，
k=1,2,……，n服从同一（0-1）分布：
(2.7)表明以n , p 为参数的二项分布布变量，可分解成为n个相互独立且都服从以p 为参数的（0-1）分布的随机变量之和。
由例2 知E(X
k )=p , D(X
k
)=p(1-p),k=1,2, …，n，故知
又由于X
1，X
2
，…，X
n
相互独立，得
X
k
0 1
p
k
1-p p
例7 ：设X~N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。
解：先求标准正态变量：σ
μ
-=
X Z 的数学期望和方差。Z 的概率密度为
因X=μ+σZ ，即得E （X ）=E （μ+σZ ）=μ；
D （X ）=D （μ+σZ ）=E{[μ+σZ-
E （μ+σZ ）]2}=E （σ2Z 2）=σ2E （Z 2）
=σ2D （Z ）=σ2
这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。
再者，由上一章§5中例1知道，若X I ~N （μ,σi 2），i=1,2,…，n,且它们它们独立，则它们的母性组合：C 1X 1+C 2X 2+… +C n X n （C 1，C 2，…，C n 是不全为0的常 差的性质知道：数）仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：
1122c X c X ++…n n c X ～221
1
(,)n
n
i i i i i i N c c μσ==∑∑
这是一个重要的结果。
例8：设活塞的直径（以cm 计）2(22.40,0.03)X N ～，气缸的直径2(22.50,0.04)N Y ～，
X 、Y 相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。
解 按题意需求{}{}0P X Y P X Y <=-< 由于 (0.10,0.0025)X Y
N --
故有 {}{}0P X Y P X Y <=-<
P <＝
0.10
(
)(2)0.97720.05
=Φ=Φ=
（三）切比雪夫（Chebyshev ）不等式 下面介绍一个重要的不等式.
定理 设随机变量X 具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=2σ，则对于任意正数ε，不等式
{}2
2P X σμεε-≥≤ 成立。这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev ）不等式。
证 ： 就连续型随机变量的情况来证明。设X 的概率密度为f(x)，则有（如下图）
切比雪夫（Chebyshev ）不等式也可以
写成如下的形式： （2.10）
这个不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下事件{|X-μ|<ε}概率的下限的估计。例如，在（2.10）式中分别取ε=3σ，4σ得到：
P{| X-μ|<3σ}≥0.8889，P{| X-μ|<4σ}≥0.9375
在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差，供读者查用。 (四)小结：
方差()D X ={}2[()]E X E X -描述随机变量X 与它自己的数学期望()E X 的偏离程度；我们常用公式22()()[()]D X E X E X =-计算方差,注意2()E X 和2[()]E X 的区别。 记住几种重要分布的方差 （1）0——1分布 ()D X pq = （2）二项分布 ()D X npq = （3）泊松分布 ()D X λ=
（4）均匀分布
2
(
()
12
b a D X
-
=
）
（5）指数分布2
()
D Xθ
=（6）正态分布2
()
D Xσ
= (五)
课堂练习：P
140 16、17、19，P
141
21、23
课后作业：P
141
18、20， 22
§4、3 协方差及相关系数
教学目的：使学生理解掌握协方差及相关系数的定义及性质，熟记相关系数的含义。
教学重点、难点：协方差及相关系数的定义及性质。
教学过程：
对于二维随机变量)
,
(η
ξ，我们除了讨论ξ与η的数学期望与方差外，还需要讨论描述ξ与η之间相互关系的数字特征——协方差与相关系数。
1定义称{[()][()]}
E X E X Y E Y
--为随机变量X与Y的协方差。记为(,)
Cov X Y,即(,)
Cov X Y＝{[()][()]}
E X E X Y E Y
--
而
XY
ρ=称为随机变量X与Y的相关系数。
2协方差的性质
（1）(,)
Cov X Y＝(,)
Cov Y X,(,)()
Cov X X D X
=
（2）(,)()()()
Cov X Y E XY E X E Y
=-
我们常用这一式子计算协方差。
（3）(,)(,)
Cov aX bY abCov X Y
=
（4）(,)(,)(,)
Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z
+=+
3相关系数的性质
（1）1XY ρ≤
（2）1XY ρ=的充要条件是，存在常数,a b ，使{}1P Y a bX =+=
XY ρ的大小表征着X 与Y 的线性相关程度。当XY ρ较大时，则X 与Y 的线性相关程度较好；
当XY ρ较小时，则X 与Y 的线性相关程度较差。
当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关。
当X 与Y 相互独立时，X 与Y 不相关。反之，若X 与Y 不相关，X 与Y 却不一定相互独立,该性质说明，独立性是比不相关更为严格的条件。独立性反映ξ与η之间不存在任何关系，而不相关只是就线性关系而言的，即使X 与Y 不相关，它们之间也还是可能存在函数关系的。相关系数只是X 与Y 间线性相关程度的一种量度。 关于不相关有如下定理：对于X,Y ，下列等价：
①E(XY)=E(X)E(Y) ②D(X+Y)=D(X)+D(Y) ③cov(X,Y)=0 ④X,Y 不相关，即ρ=0 例1
设（X ，Y ）的分布律为
易知，E xy 关系。但，P{X=-2，Y=1}=0≠P {X=-2}P{ Y=1}，知X ，Y 不是相互独立的。事实上，X 和Y 具有关系：Y=X 2，Y 的值完全可由X 的值所确定。
例2 设连续型随机变量,X Y （）
的概率密度为 21201()0
y y x f x y ?≤≤≤=?
?，其它
，求XY ρ。
解 23012401()(,)0
x
x y dy x
x f x f x y dy +∞
-∞
?=≤≤?==?????其它
1304
()45
E x x x dx =?=?
1221212(1)01()(,)0y y y dx y y y f y f x y dx +∞
-∞
?=-≤≤?
==???
??
其它
1
203
()12(1)5
E y y y ydy =-=
? 1
1
250001()1232
x
E xy dx xy y dy x dx =?==
???
431
()()()(5550
Cov XY E XY E X E Y =--?=1）=2
又 122302
()43
E x x x dx =?=?
所以 222242
()()()()3575
D x
E x E x =-=-=
11222
45002()12(1)12()5
E y y y y dy y y dy =-=-=??
222231
()()()()5525D y E y E y =-=-=
1
XY ρ=
=
= 课堂练习P 141 24、26 课后作业P 141 28、29
§4、4 矩、协方差矩阵
教学目的：使学生理解矩、协方差矩阵的定义及n 维正态变量的性质。 教学重点、难点：矩、协方差矩阵的定义及n 维正态变量的性质。 教学过程： （一） 矩
随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征练习题
1.设随机变量X的概率分布为 X 1234 p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知 E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8; E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42× 1/8=61/8; E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8. 2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 ; ; ; . 因此E(X)=0×7/24+1× 21/40+2×7/40+3×1/120=9/10; E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10; ∴
D (X )= E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100. 3.一批零件中有9个合格品与3个废品 , 在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差. 解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数. 所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 P (X =0)=9/12=3/4 ; ; ; . 所以由数学期望公式得到 E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ; E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ; ∴ D (X )= E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319. 4.射击比赛,每人射 四次(每次一发),约定全部不中得0分, 只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中 解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）
A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX
随机变量的数字特征教案
§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）
随机变量数字特征习题课
第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数
常微分 练习题
习题四 随机变量的数字特征 一、填空题 1.若随机变量X 服从区间[a,b]的均匀分布，则E X =______, D X =_____ 2.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)( X-2)]=1,则λ=___ 3.设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，k,b 为常数，则有E(k X+b )=_______ D(k X+b )=__________ 4.若随机变量X 服从二项分布B(n,p )，且EX=6，DX=3.6，则n =______, p =____ 5.设随机变量X 1,X 2,X 3互相独立,且X 1～U(0,6),X 2～N(0,),X 2 23～P(3),记Y= X 1-2X 2+3X 3，则E(Y)=__,D （Y ）=___. 6*.设X 与的联合分布律为： 则Y X 与Y 的联合相关系数 XY ρ=____________ 7. 设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，则随机变量 1,0,,Y ?? =??? 若X>0若X=0-1若X<0，则方差D(Y)= . 8*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为 。 9*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX 2=EY 2=2,则E(X+Y)2= . 10.随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X > = 。 二、选择题 1.设随机变量X 的概率密度函数为f （x ）=0.10.100 0x e x x ??>??≤?? ，则E （2X+1）=【 】 A 1.2 B 41 C 21 D 20 2. 设X 是随机变量，EX=1，DX=3，则E[3(X ?2+2)]= 【 】 A 18 B 9 C 30 D 36 3.设X 是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C ，必有 【 】 A E(X-C)2=EX 2-C 2 B E(X-C)2=E(X-μ)2 C E(X-C)2≤E(X-μ)2 D E(X-C)2≥E(X-μ)2
随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
随机变量分布及数字特征
第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会
变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天
第三章 随机变量的数字特征习题
第三章 随机变量的数字特征习题 一、 填空题 1. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，则10颗骰子的点数和的 数学期望为 ， 方差为 。 2. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，ξ表示取到的白球个数，ξ表示取到的黑球个数，则=)(ξE ，=)(ξD ，=)(ηE ，=)(ηD 3. 设随机变量ξ的期望为μ，均方差为0>σ，则当___________, ==b a 时， 0)(=+ξb a E ，1)(=+ξb a D 4 .已知随机变量ξ的概率密度为1 22 1 )(-+-= x x e x π ?（+∞<<∞-x ），则 =)(ξE ，=)(ξD 。 5 .设随机变量ζ与η的概率密度均为????? < <=其它, 010,2)(2θθx x x f 若θ ηζ1 )2(= +c E ，则 c= 。 6.设连续型随机变量ζ的概率密度为 ? ? ?≤≤+=其他 01 0)(x b ax x f 且18 1 )(= ξD ，则___________, ==b a ，=)(ξE 7. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ， 1)(=+b a D ζ 则 =a , =b , 或=a ，=b 。 8. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ， 相关系数8.0=ζηρ， 则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。 9. 设两随机变量ζ与η的方差分别为25与16，相关系数为0.4，则 =+)2(ηζD ，=-)2(ηζD
10 . 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为2 σ， 令 i n i n ζζ∑==1 1 ，则 =ζE ，=ζD 二、 选择题 1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必 有（ ）。 A. ζηaE E = B. ζηaD D = C. b aE E +=ζη D. b aD D +=ζη 2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ ）（a , b 为常数）。 A. b aD +ζ B. ζD a 2 C. b D a +ζ2 D. ζD a 3. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12 ( 2 =-ζE ，2 1 )12 ( = -ζ D ，则=ζ E （ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 8 4. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（ ）。 A. ζ与η独立 B. ζ与η不相关 C. 0=ηD D. 0=?ηζD D 5. 如果随机变量ζ与η不相关，则下列等式中（）不成立 A 0),cov(=ηξ B ηξηξD D D +=+)( C ))(()(ηξξη D D D = D ))(()(ηξξη E E E = 三、计算题 1. 设随机变量ζ的分布律为 求 )(ζE ， )(2ζE ，)53(2 +ζE ， )12(-ζD 2. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该 乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，已知ζ的概率密度为
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- 第四章随机变量的数字特征试题答案
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- 第三章 随机变量的数字特征答案
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- 第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
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