【概率论习题答案】第3章-随机变量的数字特征

第3章 随机变量的数字特征

1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .

“They found Peking greatly changed ”

解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

X

4 5 6 7 k p 1/5 1/5 1/5 2/5

5/29)77654(5

1

)(=++++=X E .

2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

Y

4 5 6 7 k p 4/29 5/29 6/29 14/29

29/175)147665544(29

1

)(=?+?+?+?=

Y E .

3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221

312

110222==C C C p 。 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

)(2

1

222112290116台=?+?+?=

E 。

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

Y

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

k p

61 61 61 61 61 361 361 361 361 361 36

1

得分的数学期望为

)(12

49)121110987(361)54321(61点=++++++++++=

E 。

5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。 （2）设随机变量X 的分布律为

,4,3,2,1,6

}{2

2--==

=k k

k X P π， 问X 的数学期望是否存在？

解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!

6!

5}5{65===

=

=--X P e e X P λ

λ

λλ，因

此计算得到6=λ，即)6(~X π。所以)(X E =6。 （2）根据题意，按照数学期望的公式可得

21

1

21

221

1

1

2

ln 61)

1(66)

1(}{)

1()(π

π

π=-=-==-=∑∑∑+∞

=-+∞

=-+∞

=-k k k k k k k k k k X kP X E ， 因此期望存在。（利用了11,1)

1()1ln(0

≤<-+-=+∑∞

=x n x x n n

n

）（不符书上答案）

6，（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，

其概率密度为???>=-其他,

00

,9/)(3/x xe x f x ，求一天的平均耗水量。

（2）设某动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为

???

??>-≤=5,25

15,0)(2x x

x x F

求这种动物的平均寿命。 解：（1）一天的平均耗水量为

?????+∞

-+∞

-+∞

-+∞

-+∞

∞--=+

=-===0

3/03

/0

3/2

03/2)(2320)(39)()(x x x x e xd dx xe e d x dx e x dx x xf X E 6200

3/=+=?+∞-dx e x （百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为

1050

)25

1()()(5

25

2==

-==???+∞

+∞

+∞

∞-dx x x xd x xdF X E （年）。

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为

???<<-=其他,

01

0,)1(42)(5x x x x f ，

求X 的数学期望。

解：[]???--=-==+∞∞

-1

6210

5

2

)1(7)1(42)()(x d x dx x x dx x xf X E

[

][][]???-+--=--=-+--=1

710

71

7

10

6

1

62

)1(2)

1(2)1(2)1(14)

1(7dx

x x x x xd dx x x x x =1/4。

8，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

???≤≤-=其他,

021),/11(2)(2x x x f 。

解：2ln 23)ln 2()/11(2)()(2

122

1

2-=-=-==??+∞

∞

-x x dx x x dx x xf X E 。

9，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

??

?

??<<-≤≤-+=其他,010,

2/)1(30

1,2/)1(3)(22x x x x x f 解：???-++==-+∞

∞-1

20

12)1(23)1(23)()(dx x x

dx x x dx x xf X E

0)1(23)1(231

2012=-+-=??dx x x

dx x x 。

（对第一个积分进行变量代换y x -=）

10，设),4(~p B X ，求数学期望)2

(sin X

E π.

解： ∑=-?????

?-???=4

044)1(2sin )2(sin

k k k k

p p C k X

E ππ )221)(1(4)1()1(2133

43114p p p p p p C p p C +--=-??+-??=。（不符书上答案）

11，设球的直径R 服从区间),0(a 上的均匀分布，求球体积6/3R V π=的数学期望。

解：R 的概率密度函数为???≤≤=其他,

00,/1)(a

x a x f ，所以

24

16)(3

3

a dr a r V E a

ππ=

?=?

。

12，设随机变量X 的概率密度为???>=-其他,

00

,3.0)(3.0x e x f x ，另有X 的

函数??

??

?>≤≤<=4,164

0,0,

0)(2X X X X X g ，求数学期望)]([X g E 。 解：???+∞

--+∞

∞

-?+?==4

3.04

3.02

3.0163.0)()()]([dx e dx e

x dx x f x g X g E x x

)584200(9

1

2.1--=e （不符书上答案）

13，设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且都服从区间)1,0(上的均匀分布，记),,,m in(211n X X X Y =，),,,m ax (21n n X X X Y =，求

)(),(1n Y E Y E 。

解：因为),2,1(n i X i =的分布函数为??

?

??≥<≤<=1,110,0,

0)(x x x x x F ，所以可以求

出n Y Y ,1的分布函数为

?????≥<≤--<=1,110,)1(10,0)(min y y y y y F n ， ??

?

??≥<≤<=1,110,0,

0)(max y y y y y F n 。

Y

Y

n Y Y ,1的密度函数为

???<<-=-其他,010,)1()(1min y y n y f n ，?

??<<=-其他,01

0,)(1max y ny y f n 。

所以n Y Y ,1的数学期望为

1

1

)1()

1()

1()()(1

1

1

1

01

min 1+=

---=-==

????--+∞

∞

-n dy y n dy y n dy y ny dy y yf Y E n n n ， 1

)()(1

max +=

==

??+∞

∞

-n n

dy ny dy y yf Y E n

n 。

14，设随机变量(X,Y)具有分布律

X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28

求)(),(),(XY E Y E X E ，)23(),(Y X E Y X E +-。 解：求出边缘分布律如下

X 0

1 2 }{k X P =

0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28

0 0 1/28 }{k Y P = 10/28

15/28

3/28

1

2/1}{)(20

===∑=k k X kP X E ， 4/3}{)(20

===∑=k k Y kP Y E ，

14/314/311}{}{)(202

=??====∑∑==j i j Y P i X ijP XY E ，

4/128/7}{}{)()(2

02

-=-===-=-∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E ，

328/84}{}{)23()23(2

02

====+=+∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E 。

15，在上题中，求)]1/([)],,[min(+X Y E Y X E 。

解：14/314/31}{}{),min()],[min(2

02

0=?====∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E ，

14/928/18}{}{1

)]1/([2

020

====+=+∑∑

==j i j Y P i X P i j

X Y E 。

16，设随机变量具有概率密度

其他

1

,10,10,

0,

24),(≤+≤≤≤≤??

?=y x y x xy y x f

求)(),(),(XY E Y E X E 。

解：5/224),()(10

2

1

===

????-?y

R

R ydx x

dy dxdy y x xf X E ，

5/224),()(10

2

1

===

????-?y

R

R xdx y dy dxdy y x yf Y E ，

15/224),()(10

22

10

===

????-?y

R

R dx y x

dy dxdy y x xyf XY E 。

17，某工程队完成某种工程的天数X 是随机变量，具有分布律

X

10 11 12 13 14 k p 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=，求)(),(Y D Y E 。 解：根据题意，可得利润的分布律为

Y 2000 1000 0 -1000 -2000 k p 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

因此，

4001.020001.010003.010002.02000)(=?-?-?+?=Y E （元）

16000001.0)2000(1.0)1000(3.010002.02000)(22222=?-+?-+?+?=Y E []1440000)()()(2

2=-=Y E Y E Y D 。

18，设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为

?????>=-其他,

00,)()2/(2

22x e x x f x σσ

其中0>σ为常数，求)(),(),(X D X D X E 。 解

：

2

)()(0

)

2/(0

)

2/(0

)

2/(2

2

22

2222π

σ

σ

σσσ=+-==

=

???+∞

-∞+-+∞

-+∞

∞

-dx e xe

dx e

x dx x xf X E x

x x ，

???+∞

-∞+-+∞

-+∞

∞

-+-==

=

)

2/(0

)

2/(20

)

2/(2

3

2

2

222

2

2

22)()(dx

xe

e

x dx e

x dx x f x

X E x x x σσσσ

20

)

2/(22222σσσ=-=+∞-x e

，

[]22

2)2/2()()()(σπ-=-=X E X E X D ，σπ)2/2()(-=X D 。

（本题积分利用了2

2

/2π

=

?+∞

-dx e

x ，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得

到）

19，设随机变量X 服从几何分布，其分布律为

,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k ，

其中10<

1)1(}{)(1

2

11

=?

=-===∑∑+∞

=-+∞

=， ?

?

? ??---+=-===∑∑∑∑+∞

=-+∞=-+∞

=-+∞=1111

1

1

2

1

2

2

)1()1)(1()

1(}{)(k k k k k k k p k p k k p p k p k X P k X E

p p

p p p 12)12(

2

23-=-=， 所以，[]2222111)()()(p

p

p p X E X E X D -=-=

-=。 本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设

∑+∞

=--=11

)

1()(k k p k p s ，则

p

p dp p s k k p

1

1)1()(1

1

-=--=∑?+∞

=，所以

2'

11

)()(p dp p s p s p =???

? ??=?。类似的，设∑+∞=--+=11)1)(1()(k k p k k p S ，则经过两次积分以后可得到p p 2)1(-，在经过两次求导得到32)(p

p S =。

20，设随机变量X 具有概率密度为

???

??<≥=+θθθθx x x k k x f k k

,

0,),;(1

其中0,0>>θk 为常数。 （1） 若1>k ，求)(X E 。

（2） 问当1=k 时，)(X E 是否存在？ （3） 若2>k ，求)(X D 。

（4） 问当2=k 时，)(X D 是否存在？

解：（1）当1>k 时，11)()(-====???+∞

+∞

+∞

∞-k k dx x

k dx x

k dx x xf X E k k

k k

θ

θθθθ。 （2）当1=k 时，+∞==?+∞

θ

θdx x

X E 1

)(，即)(X E 不存在。

（3），当2>k 时，2)()(2

12

2

-===??+∞

-+∞∞-k k dx x

k dx x f x X E k k θθθ，

所以，[])

2()1()1(21)()()(2

2

22

2

2

--=??????---=-=k k k k k k k X E X E X D θθ。 （4）当2=k 时，+∞===??+∞

+∞∞-θθdx x

dx x f x X E 2

2

2

2)()(，所以)(X D 不存

在。

21，（1）在14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。 （2）在16题中，求XY Y X Cov ρ),,(，)(Y X D +。 （3）在第二章习题第14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。 解：（1）根据14题中结果，得到

56/94/32/114/3)()()(),(-=?-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；

因为7/4}{)(20

2

2

===∑=k k X P k X E ， 28/27}{)(2

22

===∑=k k Y P k Y E ，

所以

[]28

/9)()()(2

2=-=X E X E X D ，

[]112/45)()()(2

2=-=Y E Y E Y D ，

5

5

)

()(),(-

==

Y D X D Y X Cov XY ρ。 （2）根据16题结果可得：

()75/25/215/2)()()(),(2

-=-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；

因为 5/124),()(10

3

10

2

2

===

????-?y

R

R ydx x dy dxdy y x f x X E ， 5/124),()(10

310

2

2===

????-?y

R

R xdx y dy dxdy y x f y

Y E ，

所以，[]25/1)()()(22=-=X E X E X D ，[]25/1)()()(22=-=Y E Y E Y D

75/2),(2)()()(=++=+Y X Cov Y D X D Y X D ，

Y

32)

()()

,(-==

Y D X D Y X Cov XY ρ。 （3）在第2章14题中，由以下结果

X 0 1 2 }{k X P =

0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 }{k Y P =

0.16

0.34

0.50

1

得到，14.1)(=X E ，34.1)(=Y E ，8.1)(=XY E ，9.1)(2=X E ，

34.2)(2=Y E ，

所以，2724.0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ；

[]6004.0)()()(2

2=-=X E X E X D ，[]5444.0)()()(2

2=-=Y E Y E Y D ,

4765.05717

.02724

.0)

()(),(==

=

Y D X D Y X Cov XY ρ.

22，设随机变量(X,Y)具有4)(,9)(==Y D X D ，6/1-=XY ρ，求

)(Y X D +，)43(+-Y X D 。

解：根据题意有 ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+

)()(2)()(Y D X D Y D X D XY ρ++=116)6/1(249=?-?++=。

)3,4(2)3()4()43(Y X Cov Y D X D Y X D +-++=+-

),(6)(9)(Y X Cov Y D X D -+=516)6/1(6369=?-?-+=。

23，（1）设随机变量321,,X X X 相互独立，且有1)(,0)(2==i i X E X E ，

3,2,1=i ，求[

]

2322

1)4(X X X E -。

（2）设321,,X X X 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，

求[]2321)2(X X X E +-。

解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以

[

]

]168[])4[()()4(2

33222232212322

1X X X X E X X E X E X X X E +-=-=-

][16][][8][]168[2

3322

22

3322

2X E X E X E X E X X X X E +-=+-=

171601=+-=。

（2）根据题意，可得[]3/1)()()(,2/1)(22=+==i i i i X E X D X E X E ，

3,2,1=i 。

[]

]4244[)2(2331212

322212321X X X X X X X X X E X X X E -+-++=+-

]

[][4][][2][][4][][4][2331212

32

22

1X E X E X E X E X E X E X E X E X E -+-++= 2

11211313431=-+-++=

。

24，设随机变量(X,Y)具有概率密度

其他

1

0,,

0,

1),(<<

?=x x y y x f

验证X,Y 不相关，但X,Y 不是相互独立的。

解：因为 3/2),()(1

===

????-?x

x

R

R xdy dx dxdy y x xf X E ，

0),()(1

===

????-?x

x R

R ydy dx dxdy y x yf Y E ，

0),()(1

===

????-?x

x

R

R xydy dx dxdy y x xyf XY E ，

所以，0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ， 即，验证了X,Y 不相关。

又因为，??

???<<===??-

∞

+∞-他其，,01021),()(x x dy dy y x f x f x

x X ； ???

??<<-<<+=?????

??????<≤<<-==???-∞+∞-他其，，，他

其，，，015.015.0010101011),()(1

1

y y y y y dx y dx dx y x f y f y y

Y ，

显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以验证了X,Y 不是相互独立的。

25，将n 只球号）n ~1(放入n 只盒子号）n ~1(中去，一只盒子装一之球。若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。记X 为总的配对数，求)(X E 。 解：引入随机变量定义如下

?

??=个盒子个球未落入第第个盒子个球落入第第i i i i X i 01

则总的配对数∑==n

i i X X 1

，而且因为n X P i 1

}1{==，所以，)1,(~n

n N X 。

故所以，11)(=?=n

n X E 。

（第3章习题解答完毕）

随机变量的数字特征试题答案

随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10

2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

第三章 随机变量的数字特征答案

第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

《概率统计》期末考试题(有答案)

《概率论》期末 A 卷考试题（免费） 一 填空题(每小题 2分，共20 分) 1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）. 2．设()0.3,()0.6P A P A B == ，则()P A B =( ). 3．设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （ ）， ()6 P X π > =（ ）. 4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2 X E ( ). 5．若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ，则(2)D X -=（ ） 6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （ ）. 7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ，则 =a （ ） 9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数X Y ρ=（ ）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （ ）. 二．选择题（每小题 2分，共10 分) 1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（ ）.

) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（ ）. (a ) B 是必然事件 （b ）0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=（ ）. 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分） 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。 2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X 的概率分布 ；（2）求X 的分布函数()F x . 3．设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<. 4．设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? <

第四章 随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

概率论基础(第三版)-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）

A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 9．设事件A 与B 独立，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则 （ ） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立

随机变量的数字特征试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D

概率论第三章题库

第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?， （,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???， （,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0

概率论第三章练习题

习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度.

7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度．

概率论与数理统计期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).

(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩

四随机变量的数字特征答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 就是 [ B ] (A)X 的函数 (B)确定常数 (C)随机变量 (D)x 的函数 2.设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x