微分方程习题及答案
微分方程习题
§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.
（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22
（2）?'=''=+y
0 222t -)(,1e y y y x dt
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；
（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）
23xy xy dx
dy
=-； （4）0)22()22
(=++-++dy dx y y x x y
x .
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y
e y ；
（2）2
1 ,12=
=+'=x y
y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln
+='x
y
y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）
1 ,0
22=-==x y y
x xy dx dy ；
（2）1 ,02)3(0
22==+-=x y
xydx dy x y .
5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11
+-=
'y
x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y
6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .
7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.
8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2x x
y
y =-
'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ； （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； （4）)
(ln 2x y y
y -=
'；
（5）
1sin 4-=-x e dx
dy
y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0
==-'=x y x x y y ；
(2)1|,sin 0==+
'=x y x
x x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x ?满足方程
?+=+ x
1sin )(2cos )(x tdt t x x ??，求)(x ?.
5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，
合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x x
y
y =+
' （2）x y x y y tan cos 4+=' （3）0ln 2=-+y x x dy
dx
y
（4）212
1
xy x xy y +
-='
§4 可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。 (1)y y x '''=+；（2）1
22+'=''x y x y ；2(3)20yy y '''-=()341y y ''=
()2002.1,0,1
x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解
（2）0 ,0 ,20
2
='
=='+''==-x x x y y
e y x y
3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12
+=
x
y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：
0,0(,)1(2
32=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负
5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
§5 高阶线性微分方程
1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证
)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解
2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.
3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.
§6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解 （1）02=-'+''y y y ； （2）0136=+'+''y y y ； （3）044=+'+''y y y ； （4）02)4(=+''+y y y .
2．求下列微分方程的特解 （1）10y ,6 ,0340x 0
='==+'-''==x y y y y
（2）5y ,2 ,0250x 0
='==+''==x y
y y
（3）3y ,2 ,01340x 0
='==+'-''==x y y y y
3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0θ，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移θ随时间t 变化的规律.
4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s ，求
浮筒质量.。
5.长为
6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m ，问需多少时间链条全部滑过桌面.
§7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解 （1）x xe y y y -=+'+''323； （2）x y y y 2345-=+'+''；
（3）x x y y cos 4='+''；
（4）x y y 2sin =-''；
（5）)4(2+='-''+'''x e x y y y . 2．求下列微分方程的特解
（1）2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ；
（2）1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y
3.设连续函数)(x f 满足 ?-+=x
x dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f .
4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k ），求此物体之运动规律.
5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.
6.大炮以仰角α、初速0v 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.
§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组
1.求下列微分方程的通解
（1）32322x y y x y x y x =-'+''-'''； （2）x
x y x y y 22=+'-
''.
2．求下列微分方程组的通解
（1）?????-+=-++-=+33y x dt
dy dt dx y x dt dy
dt dx
（2）???
????=++=--00432222y x dt y d y x dt x
d
自测题
1.求下列微分方程的解。 （1）x
y x y y tan +=
'； （2）0)2(2=-+dy x y x ydx ；
（3）x
xy y y y -+='22
2；
（4）x x y y 2sin ='-''.
2．求连续函数)(x ?，使得0>x 时有?=1
0 )(2)( x dt xt ??. 3．求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程.
4．某个三阶常系数微分方程 0=+'+''+'''cy y b y a y 有两个解x e 和x ，求c b a , ,.
5．设)()(x f y x p y ='+''有一个解为x
1
，对应齐次方程有一特解2x ，试求： （1）)( ),(x f x p 的表达式； （2）该微分方程的通解.
6．已知可导函数)(x f 满足关系式： 1)(1
)()
(
1 2-=+?x f dt t f t f x
求)(x f .
7．已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ，且)(x y 满足微分方程
x e y y y x 2cos 52=+'-''，求此曲线方程.
微分方程习题答案
§1 基本概念
1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22
y
x y y x y y y x y x -='-='+'--2)2(:0
22::移项求导解
故所给出的隐函数是微分方程的解
（2）?'=''=+y
0 222t -)(,1e y y y x dt
.
解：隐函数方程两边对x 求导
012
2=+'-
y e
y
方程两边再对x 求导
()0][2
2=''+''--
y y y y e
y
指数函数非零，即有
2)(y y y '=''
故所给出的隐函数是微分方程的解
2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ；
()1
02)(2:222=+''
-=+='++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得
（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.
4:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+''--=''-+='y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
解：设曲线为 y = y ( x )则曲线上的点()y x ,处的切线斜率为y '，由题意知所求方程为
2x y ='
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 解：曲线上的点()y x ,处法线方程：()1
Y y X x y -=-
-'
。 故法线x 轴的交点为Q 坐标应为(),0yy x '+，又PQ 为y 轴平分，故()102
yy x x '++=????， 便得曲线所满足的微分方程：
02=+'x y y
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 解：点P ()y x ,处切线方程：()Y y y X x '-=- 故Q 坐标为()0,y y x '-，则有
2PQ =
=
则得初值问题为： 222(1)40
x x y y ='?+=??=??
§2可分离变量与齐次方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； 解:分离变量
c
x y x dx y dy x dx y dy +=-=--=
-?
?
arcsin arcsin 11,1122
2
2
得两边积分
（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； 解:分离变量
22sec sec tan tan xdx ydy
x y
=-?(tan )(tan )
tan tan d x d y x y =-?
??1ln tan ln tan x y C =-+?
1ln tan tan x y C =
1ln tan tan x y
C e
e =?
1tan tan C x y e =?1tan tan C x y e =±?
tan tan x y C =其中1
C C e =±
（3）23xy xy dx
dy
=-； 解
:
23dy
xy xy dx
-=?(3)dy
xy y dx
=+分离变量得
(3)dy xdx y y =?+(3)
dy
xdx y y =?
+(3)dy
xdx y y =+?
?
133dy dy xdx y y ??
-=???+?????2111ln ln 332y y x C ?-+?=+??
?213
ln
332
y x C y =+?+ 2
13ln
33
2
y x C y e e
++=?
213323x C y e e y =±?+2323
x y Ce y =+其中1
3C C e =± （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 解
：
分
离
变
量
得
222121y x y
x dy dx =-?-+222121y x
y x dy dx =-?-+??()()212121
21
y x y
x
d d --=-?-+?
?
1ln 21ln 21y
x
C -=-++?(
)(
)1ln 212
1y
x
C -+=?()()
1ln 2121
y x C e
e -+=?
()()1ln 2121C y x e -+=?()()1
2121C y x e -+=±?()()2121y x C
-+=其中1
C C e =±
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y
e y ；
)
1(2
1
21021
20222+==
=+====??x y x x y x y x y e e c y c
e e dx
e dy e dx
e dy e 所以特解为：解得由解：
（2）2
1 ,12=
=+'=x y
y y y x 解：分离变量得
2dy dx y y x =?-?
?11()1dx dy y y x -=?-?? 11
ln ln y x C y
-=+ 1
1
ln
ln y x C y
e
e
-+=?
1
1C y e x y
-=?11C y e x y -=±? 1
y Cx y
-=，其中1C C e =±，
由11
2
x y
==
得1C =-，故特解为1y xy =- 3．求下列微分方程的通解 （1）)1(ln
+='x
y
y y x ； 解：方程变形为齐次方程
(ln 1)dy y y dx x x =+，y u x =令，则dy du
u x dx dx
=+，故原方程变为
(ln 1)dy u x u u dx +=+，分离变量得ln du dx u u x =，两边积分ln du dx u u x
=??，即
ln ln d u u ?dx
x
=?，故1ln ln ln u x C =+，得1
ln ln ln u x C e e
+=?
1
ln C u e
x =?1
ln C u e x =±?ln y
Cx x
=，其中1
C C e
=±
（2）03)(233=-+dy xy dx y x .
解：方程变形为齐次方程3
2
13y dy x
dx y x ??+ ?
??=??
???
，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为3
2
13du u u x dx u
++=，分离变量得 2
3312u du dx u x =-，两边积分2
3312u du dx u x =-??，即()3
3
112212d u dx u x
--=-??，即()33
12212d u dx
u x
-=--?
?
， 得
31ln 122ln u x C -=-+?31ln 122ln u x C -+=?
()321ln 12u x C -=?
()
32
1ln 12u x C e
e -=?
()132
12C u x e -=?13212C y x e x ????-=±??? ???????13
212C y x e x ????-=±??? ?
??????
332x y Cx -=其中1C C e =±
4． 求下列微分方程的特解 （1）
1 ,0
22=-==x y y
x xy
dx dy ；
解：原方程化为2
1y
dy x dx y x =??
- ???，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为21du u u x dx u +=-，分离变量得231u dx du u x
-=
两
边
积
分
231u d x
du u x -=??，即
311dx du u u x ??
-= ?????，得
2
11l n l n 2
u u
x C --
?-=+?2
11l n l n 2
u u
x C --
?=++
?
211ln 2
u ux C --?=+?211ln 2u y C e e --?+=?2
11
2
u C e e y --?=?
2
112x y C e
e y ??-? ???
=±?2
12x y e
Cy ??-? ???
=其中1
C C e =±1
C
C e =±，由0
1x y
==得1C =，故
特解为2
12x y e y ??-? ???
=
（2）1 ,02)3(0
22==+-=x y
xydx dy x y .
解：原方程可化为,322
-??
? ?????
??-=
x y x y dx dy 令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为,
322--=+u u
dx du x
u 分离变量得233,u dx du u u x
-=-两边积分
233u d x
du u u x -=-??，即
11311dx du u u u x ??+-= ?-+??
??得23
31ln ln 1ln 1ln ln ln u u u u x C u --++-=+即231ln ln u Cx
u -=得231u Cx u -=，即2
31y x Cx y x ??
- ???=??
???
，又01x y ==得特解为
.2
23x y y -=
5． 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2
)(y x y +='； 解：令u x y
=+则
1dy du dx dx =+，原方程变为21du u dx -=，分离变量并积分21du dx u =+??
得arctan u x C =+
故方程通解为arctan()x y x c +=+ （2）)ln (ln y x y y y x +=+' 解：,
x y u ?=令则dy du x
y dx dx +=，原方程变为ln du u
u dx x
=，分离变量并积分ln du dx u u x =??，即ln ln d u dx
u x =??
得1ln ln ln u x C =+，得ln u Cx =，即ln xy Cx =，其中1C C e =±故方程通解为c x
xy e =
（1
1ln ln ln ln ln u
x C C e
e
u e x u Cx +=?=?=，其中1
C C e =±）
（3）11
+-=
'y
x y
解：x y u -=令，则1d y d u d x d x -
=，原方程变为111du dx u
-=+，分离变量并积分udu dx -=??得
22u x C -=+故方程通解为2
()2
x y x C --=+ （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y
解：,
x y u ?=令则dy du x y dx dx +=，原方程变为2
2
1du u u x u dx u u +=-++，分离变量并积分231u u dx
du u x ++=??，
得2111ln ln 2
u u u x C ---
-+=+，即()23212x y C xy =+其中1C
C e =± （分析原方程可变形为()()
2
21xy xy dy x x y xy dx xy xy +??
+=- ???++，故令,x y u ?=令）
（
32111dx du u u u x ??
++= ???
??，
2111ln ln 2u u u x C ----+=+?2111ln 2
u C u u x --=++?，2111ln 2u
C u u x
e e --++=? ()1
2112C y e xy xy ??=±+? ? ?
??
()23
212x y C xy =+其中1C C e =±） 2
22223222222212ln 2:ln 21
1ln :11)1
1()1(1
1,1,)1()1(:
y cx xy y y x c x u
u u x dx du u u u u u x u x u u u x u x u x y u x y u xy xy dx
dy y x xy y x =--+=--=++--='+-++'+-='==+-=++??得通解解得代入上式
令解 6． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等
于常数2a .
解：曲线点P （x , y ）的切线方程为： )(x X y y Y -'=-
该曲线与x 轴交点记为B ，则B 坐标为,0y x y ??-
?'??
， 过点P （x , y ）平行于y 轴的直线和x 轴交点记为A ，则A 坐标为(),0x 故三角形面积为
212y AB AP x x y a y ??
=--= ?'?
? 即有微分方程2
2
2dy
y a dx
=± 当2
2
2dy y a
dx
=时用分离变量法解得2
()2y C x a -= 当222dy y a dx
=-时用分离变量法解得2()2y C x a +=
7． 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度
为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.
).
1()
ln(0)ln(0
.).(,||00
|t m k t t e k m g
v m g k
m
c v c kv m g k m
t kv
m g m dv dt v dt
dv m kv m g v k kv m g F dt
dv
m m a F -==-===+--
=-=
==--===所以得：解得由积分得：求解方程：及初始条件：满足微分方程：便得为比例常数而解：根据
8． 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉
%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 解: t 以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得
p dt dp
4.0-=
通解为: c
t p +-=ln 25
加以初始 p(0)=0.3, 便可求出 p(t)=0.3e
t
4.0-及p(30)=0.3e
12
-
然后与实测比较知,此人胰脏不正常.
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
解：设t 时刻容器内含盐)(t P ，10)0(=P ，由于t 时刻容器内液体为：100+t ，因此t 时刻容器内浓度为：t
t P t Q +=100)
()(.于是在t 时刻盐的流失速度为：)(2t Q ，从而有)(t P 满足的方
程为：
t t
t P t dP 2100)
()(+-
=
初始化条件为:
)
(9.325600
100000
60.
)100(100000
100000,10)100()100(ln ln )100ln(2ln 100210602
02
2
0kg p ，t t P c P t c P t c c t P dt t
p dp P t t t ≈=
=+===+=
+==+-=+-=====分钟时当于是求得由
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2x x
y
y =-
'； 解：法一：常系数变易法：解齐次方程0y y x '-
=，分离变量得dy dx y x
=， 积分得1ln ln y x C =+，即y Cx =，其中1C C e =±（注：在常系数变易法时求解齐次方
程通解时写成显式解；
1ln ln y x C =+?1
ln ln y
x C e
e
+=?1C y e x =?y Cx =其中1C C e =±。
设非齐次方程有解()y u x x =，代入非齐次方程有()()()2
u x x u x u x x '+-=，即
()u x x '=，
故()2
12u x x C =+，非齐次微分方程的通解22x y x C ??=+ ???
法二（公式法）
11
2dx dx x x y e x e dx C -????=+ ???
?()
ln 2ln x
x
e
x e
dx C -=+?
()x
xdx C =+?
22x x C ??
=+ ???
（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；
222cos 11
x x
y y x x '+
=--解： 故
22221
12cos []1
x
x
dx
dx
x x x y e
e dx C x -
--??=+-? 21[cos ]1xdx C x =
+-?2sin 1
x C x +=- （()22212)11
d x x
dx x x -=--??
（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； 解：方程变形为
11
ln dx x dy y y y
+=
故1
ln ln 11dy dy y y y y x e e dy C y -????=?+??????
?lnln lnln 11y y y e e dy C -??=+??
? 1
11ln ln y ydy C y
??=
+??? ()2111ln ln 2y C y ??
=
+????
即22ln ln x y y C =+，其中12C C = （4）)
(ln 2x y y
y -=
'；
解：方程变形为
22
ln dx x y dy y y
+=， 故22
2ln dy dy y y x e y e dy C y -
????=?+??????
?2ln 2ln 2ln y y
e y e dy C y -??=?+?????
2
212ln y y dy C y y ??=
?+?????()212ln y ydy C y
=+?22
11ln 2y y C y ???
?=-+ ???????
即2
2
1ln 2xy y y C ?
?=-+ ???
（
分
部
积
分
法：
2
2ln ln y ydy ydy =??2
2
ln ln y y y d y =-?2
ln y y yd y =-?2
2
ln 2y y y C =-+）
（5）
1sin 4-=-x e dx
dy
y 解：两边同乘y
e 得4sin y
y
dy e x e dx =-，即4sin y y de x e dx
=-， 故令y
u e =，则原方程变为
4sin du
u x dx
+= 故(4sin )dx dx u e x e dx C -??=?+?，即(4sin )x x
u e x e dx C -=?+?
得[2(sin cos )]x x x
u e x e x e C -=?-?+ 即原方程通解为2(sin cos )y x
e x x Ce -=-+
（sin x
x e dx ??
用分部积分法积分）
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0
==-'=x y x x y y ；
解：tan tan [sec ]xdx
xdx
y e x e dx C -?
?
=?+?sin sin cos cos [sec ]x
x
dx dx
x x e x e dx C -??=?+?
cos cos cos cos [sec ]d x
d x
x x e x e dx C -??=?+?ln cos ln cos [sec ]x x e x e dx C -=?+?()1cos dx C x
=+?
(0)00y c =?=代:cos x y x
=
特解 (2)1|,sin 0==+
'=x y x
x x y y 解：11
sin []dx dx x x x y e e dx C x
-
??=?+?ln ln sin []x x x e e dx C x -=?+?
()11y c ππ=?=-代1
[sin ]xdx C x
=+?1(cos )x C x =-+
1
:(cos 1)y x x
π=--特解
3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.
解：由题意可得：0
2,
0x y x y
y ='=+???=??
于是：??
?????+?-?=C dx dx xe dx e y 22x x e xe dx C -??=+?????
[2()]x x e xd e C -=-+?{}
2x x x e xe e dx C --??=--+??
?(22)x x x e xe e C --=--+
由00x y ==得2C =，故曲线方程为2(1)x y e x =-- 4．设可导函数)(x ?满足方程
?+=+ x
1sin )(2cos )(x tdt t x x ??，求)(x ?.
解：问题为初值问题()()()()cos sin 2sin 1
01
x x x x x x ????'-+=???=??
该微分方程为线性微分方程故()tan tan sec xdx
xdx x e xe dx C ?-???
?=+????
?
2
cos sec x xdx C ??=+???()cos tan x x C =+
又()01?=得1C =，故()sin cos x x x ?=+
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
微分方程习题及答案
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
3.1 常微分方程 课后答案
习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程第三版答案2.1
常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
常微分习题解答
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社
习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解： 变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ， 积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=， 积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2
微分方程练习题基础篇答案
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=
9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+
《常微分方程》第三版答案
《常微分方程》第三版答案 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-
令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
微分方程练习题基础篇答案.docx
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 dy dy x 2 Ce 2 ， C 为任意常 数 1.xy 分离变量 xdx ， y dx y dy x dx ， y Ce 1 x 2 2.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量 1 ， C 任意常数 y x 2 dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量 dx ， y Ce x y ln y x 4.( xy 2 2 y y)dy 0 分离变量 ydy xdx 2 )(1 2 ) C x)dx ( x y 2 1 x 2，(1 y x 1 5. dy (2 x y 5) 2 令 u 2x y 5 则 du 2 dy ， du 2 dx ， 1 arctan u x C 1 dx dx dx u 2 2 2 dy x y dy 1 y y ， dy u x du ，代入得 2 x ，令 u 1 u du 1 dx 6. x ，原方程变为 dx dx y 1 y x dx dx 1 u 2 x x 2arctan u u ln x C ， u y x 回代得通解 2arctan y x ln x y x C dy y y 2 y du dx 7.xy y x 2 y 2 0 方程变形为 dx x x x 1 u 2 x 1 ，令 u ，代入得 arctanu ln x C ， u y 回代得通解 arctan y ln x y C x x x 8.x dy y ln y ，方程变形为 dy y ln y ，令 u y du dx e Cx 1 ， yxe Cx 1 ， ， u dx x dx x x x u(ln u 1) x
微分方程习题及解答
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)
习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y
常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
常微分方程王高雄第三版答案
习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 １、 验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解. (1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 (２)?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2、.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、) (1)1)(22=++y C x ; (2)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3、写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 (1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 (２)曲线在点P ()y x ,处的法线ｘ轴的交点为Ｑ,,PQ 为y 轴平分。 (3)曲线上的点Ｐ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,０)。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 (１)2211y y x -='-; (２)0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ; (３)23xy xy dx dy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x 、 ２.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ; (２)2 1 ,12==+'=x y y y y x
3、 求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x 、 4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 、 ５、 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程 (1)2)(y x y +='; (2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11+-='y x y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线与x 轴所围城三角形面积等于常数2a 、 7、 设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为０,求物体速度v 与时间t 的函数关系. ８、 有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了０、３g 染色,30分钟后剩下0、1g,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏就是否正常? 9、有一容器内有１00Ｌ的盐水,其中含盐1０kg,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？