人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程

1．一元二次方程

预习归纳

1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程．

2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ．

例题讲解

【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．

基础训练

1．下列方程是一元二次方程的是( )

A ．21

10x x =＋＋ B ．2110x x

=＋＋ C ．210xy －＝ D ．22

0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( )

A ．2450x x =－＋

B ．2450x x =＋＋

C ．2450x x =－－

D ．2

450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )

A ．3、7、4

B ．3、7、﹣4

C ．3、﹣7、4

D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2

＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．－2

5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ．

6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．

7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值．

9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

中档题训练：

10．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( ) A ．5、－4 B ．5、4 C ．5x 2、4x D ．5x 2、－4x 11．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不是 12．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 13．若()1

160m m x

mx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．

14．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值．

15． 在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了

这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空．

解：设参加聚会的同学有x 人，每人共握手 次，

握手的总次数用含x 的式子表示为 ． 根据题意，可列出方程 ． 整理，得 ． 化为一般式，得 ．

二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ．

综合训练题

16．已知关于x 的方程(t 2—9)x 2＋(t 十3)x －5＝0．

(1)当t 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

(2)当t 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系

数及常数项．

2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方

预习归纳

1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝ ，x 2＝ ．

例题讲解

【例】用直接开方法解方程．

⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0

基础题训练

1．16的平方根是( )

A ．4

B ．－4

C ．±4

D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )

A ．x 1＝x 2＝3

B ．x 1＝x 2＝－3

C ．x 1＝3，x 2＝－3

D ．x ＝3

3．方程x 2＝3的解是( )

A ．12x x =＝

B ．12x x =＝

C ．1x 2x =

D ．x ＝3 4．方程()2

10x -=的解是( )

A ．x 1＝1，x 2＝－1

B ．x 1＝x 2＝1

C ．x 1＝x 2＝－1

D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()2

19x -=的解是( )

A ．x 1＝1，x 2＝－3

B ．x 1＝4，x 2＝－4

C ．x 1＝4，x 2＝－2

D ．x ＝3 6．(2014济宁)若一元二次方程ax 2

＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则

b a

＝ ． 7．用直接开方法解方程．

⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝27

8．如果12

x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程2

3y a -=的解．

中档题训练：

9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根

10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．

A ．x ＋6＝－4

B ．x －6＝4

C ．x ＋6＝4

D ．x ＋6＝－4 11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )

A ．()2

+1100x = B ．()2

1100x =﹣ C ．()2

+2100x = D ．()2

2100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________． 13．解下列方程：

⑴()2

2510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝

⑶()2

531250x --= ⑷24415x x -＋＝

综合题训练：

14．已知x 、y 、z 满足

2246130

x x y y -=＋＋，求关于ｍ的方程

2

104

m x y z -+-=的根．

3．配方法——解一元二次方程(二)

预习归纳

1．通过配成 解一元二次方程的方法，叫配方法．

例题讲解

【例】用配方法解方程：

⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0

基础题训练

1．填空： (1) x 2－20x ＋ ＝ (x － )

2 (2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2 (3) x 2＋5x ＋ ＝ (x ＋ ) 2

2．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )

A ．(x －2)2＝1

B ．(x －2)2＝4

C ．(x －2)2＝5

D ．(x －2)2＝3 3．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝2 4．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )

A ．x

1＝x 2＝1 B ．x 1＝1+，x 2＝1-C ．x

1＝1+x 2＝1D ．x 1＝1-x 2＝1--5．用配方法解方程2

4

2203

x x -

-＝变形正确的是( ) A ．2

1839x ??- ???＝ B ．2

203x ??- ???＝ C ．211039x ?? ???＋＝ D ．2

11039x ??- ??

?＝ 6．填空：

(1) x 2－4x ＋ ＝ (x － )

2 (2) x 2＋6x ＋ ＝ (x ＋ )

2 (3) x 2－

43

x ＋ ＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋ ＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：

⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0

中档题训练：

8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()2

7x p -＝的形式，那么2

62x x q -=＋可以配方

成下列的( ) A ．

()

2

5

x p -= B ．

()

2

9

x p -＝ C ．

()

2

29

x p -＋＝

D ．

()2

25

x p -＋＝

9．关于x 的一元二次方程

()21

1420m m x

x =＋＋＋＋的解为( )

A ．x 1＝1，x 2＝－1

B ．x 1＝x 2＝1

C ． x 1＝x 2＝－1

D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：

⑴22x x ＋＋_____ ＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －

11．如果(x －y )2

－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是 ． 12．用配方法解下列方程：

⑴x 2－2x ＝5； ⑵2

244y y -=

13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．

综合题训练：

14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．

专题 配方法的应用

一、配方法解方程

⑴x 2－3x －2＝0 ⑵3x 2－6x －1＝0

二、已知a 2、b 2配方求2ab ．

2．若代数式9x 2＋kx y ＋y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．6 B ．±6 C ．±12 D ．12

三、已知a 2、2ab 配方求b 2

3．若代数式x 2－5x ＋k 是完全平方式，则k ＝ ．

四、配方法求最值

4．求多项式x 2＋3x －1的最小值．

5．求多项式－2x 2＋5x ＋3的最大值．

五、配方法比较大小

6．求证：不论x 为何值，多项式2x 2－4x －1的值总比x 2－6x －6的值大．

六、配方法与非负数

7．m 2＋n 2＋4m －2n ＋5＝0，求3m 2＋5n 2－4的值．

8244410y x x -+++=．求x －ｙ＋ｚ的值．

4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式

预习归纳

1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．

2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根．

例题讲解

【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．

(1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0．

基础题训练

1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )．

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )．

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根．

C．有一个实数根D．没有实数根．

3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )．A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤1

4．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )．

A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝0

5．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝．6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )．

A．m＞9

4

B．m＜

9

4

C．m＝

9

4

D．m＜－

9

4

7．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．

(1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x2

8．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0

⑴有两个不相等的实数根？

⑵有两个相等的实数根？

⑶没有实数根？

中档题训练：

9．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是．10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－2 11．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0中a、c异号，则方程根的情况是( )

A．有两个不相等实数根B．两个相等实数根

C．没有实数根D．无法确定

12．(2013潍坊)已知关于x的方程k x2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )．A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

13．若关于x的一元二次方程mx2－(2m－2) x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．

15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．

综合题训练：

16．已知关于x的一元二次方程(a＋c) x2－2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．

专题 一元二次方程根的判别式

一、已知常数系数直接判断方程根的情况

1．不解方程直接判别下列方程根的情况．

(1

)21

04

x -

= (2)3x 2－6x ＋3＝0 (3) x (2x －4)＝－5－8x 二、含字母系数时将△配方成a 2，－a 2，a 2＋正数，－a 2－正数，来判断方程根

的情况

2．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况．

(1)

2

2125104x mx m -++= (2) x 2－4mx ＋4m 2＝ 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21

402x mx m -+-=

三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围

3．关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足( ． A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5

4．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程(ｍ2－1)x 2＋2(ｍ－1)x ＋1＝0，有两个不相等的实数根．

四、判别式与隐含条件相结合

5．已知关于x 的一元二次方程(1－k )x 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( )．

A ．2

B ．1

C ．0

D ．－1

6．已知关于x 的一元二次方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值．

7．(2013西宁)函数y=kx+b 的图象如图所示，试判断关于x 的方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况．