第16课时利用导数研究函数的性质

第16 课时 利用导数研究函数的性质

编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾

1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件．

2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ．

3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ．

4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论．

二、基础训练

1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x

在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．

2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．

3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0

4． 已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3

处取得极值，则a 的值为________．

5． 函数f (x )＝12

x 2－ln x 在[1，e]上的最大值为________．

班级_________

学号_________

姓名_________

第二部分 探究案

探究一 利用导数求函数的单调区间

问题1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′????23.

(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．

探究二 已知单调区间求参数范围

问题2 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．

(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调增区间；

(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．

探究三 函数的极值、最值应用问题

问题3 设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .

(1)当a ＝－103

时，讨论函数f (x )的单调性； (2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；

(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，求b 的取值范围．

探究四导数应用

问题3已知f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最小值和最大值．

第三部分训练案见附页

2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质

3-2 利用导数研究函数的性质 1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( ) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C [解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)． (理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [答案] B [解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则 φ′(x)＝f′(x)－2>0. ∴φ(x)在R上是增函数． 又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， ∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0， ∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B. 2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B．0， 4 27 C．－4 27 ，0 D．0，－ 4 27

利用导数解决函数零点问题

利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f

(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--<

高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)

3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1．函数的单调性（复习） 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识拓展 (1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大．

(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【变式1-1】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( ) A ．无极大值点、有四个极小值点 B ．有三个极大值点、一个极小值点 C ．有两个极大值点、两个极小值点 D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】 C 【解析】 导函数的图象与x 轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 2.求函数的极值和极值点 【例2-1】设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12 为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】 D 【解析】 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x >0)，当02时，f ′(x )>0， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．

利用导数研究方程的根和函数的零点--教案

利用导数研究方程的根和函数的零点--教案

利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：①方程()0=x f的根()的零点 ? y= f 函数x ()轴的交点的恒坐标 ? f y= x 函数x 的图像与 ②方程()()x g f=的根 x ()()的根 f x x h- ? = g = x 方程0 - ?x f()()()的零点 x g ()()。 g y= x ? = 的图象的交点的横坐标 与 函数x f y 1．设a为实数，函数 ()a 3，当a什么范 - f+ - =2 x x x x 围内取值时，曲线()x f y= 与x轴仅有一个交点。 2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6ln x+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 解：（I）22 =-+=--+ ()8(4)16. f x x x x

当14,t +<即3t <时，() f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34, 8,4t t t h t t t t t ?-++? （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln , 62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴ 要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

3.2.1几个常用函数的导数教案

3.2.1几个常用函数的导数教案 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。 教学过程： 一 复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例1．推导下列函数的导数 （1） ()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???， '00()lim lim 00x x y f x x ?→?→?===? 1. 求()f x x =的导数。 解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?。 '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则' 1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。 思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2()y f x x ==的导数。

解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?。 '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。 3. 求函数1()y f x x ==的导数。 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数()y f x = 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线 的切线方程。 解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x ==

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得00. 答案 C 3.已知函数f (x )＝1 2x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f ′(x )＝3 2x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x ) 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )

解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有00且a＋1≤3，解得10得 x>1. 答案(1，＋∞) 7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.

导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

基础巩固强化 一、选择题 1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2 C ．0 D ．以上都不是 [答案] C [解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－cos x C ．y ＝cos x D ．y ＝－sin x [答案] C [解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C. 3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 4．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝( ) A ．－3 2 B ．－12

C ．0 D.12 [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12 [答案] D [解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1 2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B [解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题 7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1 [解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1. 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解 一、选择题 1．(文)函数y ＝ax 3 －x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝1 3 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0 [答案] D [解析] y ′＝3ax 2－1， ∵函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数， ∴3ax 2－1≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. (理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.? ???? 13，＋∞ B.? ???? －∞，13 C.???? ??13，＋∞ D. ? ?? ?? －∞，13 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知，f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥1 3 ，故选C. 2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y ＝kx ＋1及曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. 又(1,3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，∴a ＋b ＝2， ∵y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1，∴b ＝3. (理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点

P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( ) A．(1,1) B．(－1,0) C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1) [答案] C [解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C. 3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3 x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大的年利润的年产量为( ) A．13万件B．11万件 C．9万件D．7万件 [答案] C [解析] 由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C. [点评] 本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点． 4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( ) A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

第16课时利用导数研究函数的性质

第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ． 4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 二、基础训练 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0

3.2.1几个常用函数导数(学、教案)

3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

(整理)利用导数研究函数的性质.

专题三 利用导数研究函数的性质 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决 实际问题中经常用到这一结论． 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [e ，＋∞) 解析 f ′(x )＝1x ·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x ) ＝ 3(1－2x ) x 4 ， 所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ????1 2＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1 x 3.

用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．

5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．

高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质

专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示 1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ . ３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５° 4．设曲线2 ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 1 5.设R a ∈，若函数ax e y x +=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则 (1) (0) f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿ _ 8．过点P （２,８）作曲线3 x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０ 样题剖析 例1、设函数32 3()(1)1,32 a f x x x a x a = -+++其中为实数。 (Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)已知不等式'2 ()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。 解: (1) ' 2 ()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 ' (1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ （2) 方法一:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 设 2 2 ()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2 20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{ |20x x -≤≤ 方法二:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22 202 x x x +≤+ 20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。 变式1.若f(ｘ)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知' ()02 b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-, 变式２．已知函数1 1()3 x p f x -=,2 2()23 x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实 数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为 （1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1 2 3 23 x p x p --≤,即 12 3log 23 32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. (＊） 由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4

利用导数研究函数的图像及零点问题(提高)

利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 双基自测 1．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝ln x 及函数y ＝e x 的图像分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2212x x +的值为 ．9 2．[10浙江]已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则1()f x ，2()f x 的符号分别______________．解：负；正； 3．已知函数()ln x f x e x -=+(e 是自然对数的底数)，若实数0x 是方程()0f x =的解，且1020x x x <<<，则1()f x 2()f x (填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”)． 4．已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+???+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-???-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则1x ，2x 所在的区间 为 ．1(1,0)x ∈-，2(1,2)x ∈ 考点一 函数的图像问题 【例1】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠．定义：设''()f x 是函数 ()y f x =的导数'()y f x =的导数， 若方程''()0f x =有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数()y f x =的“拐点”；已知函数32()654f x x x x =-++，请回答下列问题； ⑴．求函数()y f x =的“拐点”A 的坐标； ⑵．检验函数()y f x =的图像是否关于“拐点”A 对称，对于任意的三

利用导数研究函数的零点

利用导数研究函数的零点 （求导求出极值，画出函数的草图分析） 1.已知曲线C ：32 112132 y x x x = --+，直线:l y a = （1）若直线l 与曲线C 有唯一一个交点，求a 的取值范围；（73a <-或13 6a >） （2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求a 的取值范围；（73a =-或13 6a =） （3）若直线l 与曲线C 有三个不同的交点，求a 的取值范围.（76a -<13 6 <） 解：令2 '2(1)(2)y x x x x =--=+-0=得11,x =-或22x = 当12x -<<时，'0y <；当1x <-或2x >时，'0y >. 所以()g x 在(1,2)-为减函数，在(,1)-∞-，(2,)+∞为增函数. 当1x =-时，取得极大值max 13 6 y =；当2x =时， 取得极大值min 73y =- ； （1）当73a <-或13 6a >时，直线l 与曲线C 有唯一一个交点； （2）当73a =-或13 6a =时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点； （3）当713 36 a -<<时，直线l 与曲线C 有三个不同的交点. 2.已知函数3 ()31,1f x x ax a =--≠ （1）函数()y f x =的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.（-3,1） 解: (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0， ∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a 0时，f (x )的单调增区间为 (－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值 f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)． x y (2,-7 6 )(-1,7 3 )f x () = 13?x 3 1 2 ?x 2 2?x + 1 2-1