【高考二轮课程】数学文科 全国通用版 第18讲 导数的综合应用 教案
高考二轮复习第18讲导数的综合应用
一、高考回顾
导数是高考的难点，一般在高考中是一大一小，小题多考切线相关问题，或者单调性、极值最值问题；而大题一直是压轴题，考查不等式恒成立、含参问题等。对大多数学生来说，导数部分能熟练掌握简
二、知识清单
1.思维导图
2.知识再现 （一）导数概念
函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)('0x f 或0|'x x y =，即
x y
x
x x f x f x x ??=??-=→?→?000
0lim
)(lim
)(' 说明：
1. 函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在
2. 在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0
3. 导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关
4. 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义
式可写成
0000/)
()(lim )()(lim
)(0x x x f x f x x f x x f x f x x o
x --=?-?+=→→? 5. 若极限x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导
6. 导数反映函数)(x f y =在点))(,(00x f x 处变化的快慢程度.
7. 导数的物理意义:瞬时速度，气球的瞬时膨胀率等.
8. 求函数)(x f y =在0x x =处的导数的一般方法：
思维特征
自变量x
因变量y
函数的切线问题
函数单调性
函数的极最值
核心知识
导数利用代数解析式研究性质 利用几何图形研究性质 利用导函数研究性质
图像语言
符号化语言
描述性语言
思维载体
①求函数的改变量00()()y f x x f x ?=+?-，
②求平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??， ③取极限，得导数0|'x x y =＝0()f x '=x
y
x ??→?0lim .
（二）导数的几何意义
设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地
趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线
函数)(x f y =在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线的斜率. 说明：
1. 设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率αtan ,即
x
x f x x f x y
x f k x x ?-?+=??===→?→?)()(lim
lim
)('tan 00000α 2.当0)('>x f 时，函数图象是上升的，且)('0x f 越大，图象上升越快，越“陡峭”; 当0)(' 如果函数)(x f y =在0x x =处可导，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的方程为 ))(('000x x x f y y -=-. 说明： 求曲线的切线方程时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了 前者. y=f(x) β?x ?y Q M P x O y （三）导数公式及运算法则 1．三角函数的导数 x x cos )'(sin = x x sin 'cos -=）（ 2．幂函数的导数. a x y =(a 为任意实数)，则1'-=a ax y . 特别地211( )x x -''== 3．对数函数的导数 x y a log =(10≠>a a 且)，则/ 1.ln y x a = 特别地1(ln )x x '= 4．指数函数的导数 若x a y =(10≠>a a 且)，则a a y x ln '=. 特别地()x x e e '= 5．和(差)的运算法则： )(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±. 6．积的运算法则： （1）))((')]'([为常数c x cu x cu =. （2） )(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=. 7．商的运算法则： ///2()()()()()[].()() u x u x v x u x v x v x v x -= 8．反函数的导数：1.dy dx dx dy = 9．复合函数的导数：若函数)(u f y =在点u 可导，)(x g u =在点x 可导，则复合函数))((x g f y =在点x 可导，则 .dy dy du dx du dx =? （四）函数的单调性与导数 已知函数()f x 在区间(,)a b 可导： 1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 说明： 1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件 2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>； 3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. （五）函数的极值 1.极大值：设函数()f x 在点0x 及附近有定义，如果对0x 附近的所有点都满足0()()f x f x <，就说 0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0=()y f x 极大值，0x 是极大值点. 2.极小值：设函数()f x 在点0x 及附近有定义，如果对0x 附近的所有点都满足0()()f x f x >，就说 0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0=()y f x 极小值，0x 是极小值点. 3.极值：极大值与极小值统称为极值. 说明： 1.“在点0x 附近”可以理解为一个要多小有多小的开区间(,)a b ，满足0(,)x a b ∈. 2.注意区分极值与极值点的区别：极值是函数值，极值点是函数取得极值时对应的自变量的取值. 3.从定义可以看出极值是函数的局部最值，一个函数在某区间上可以既有极大值也有极小值，也可以有不止一个极大（小）值. 4.极大值和极小值没有确定的大小关系. 一个函数在某区间上的极大值有可能比极小值小. （六）函数的最值 函数()f x 存在最值的一个充分条件： 如果函数()y f x =的图象在闭区间[,]a b 上连续，那么它必有最大值和最小值． 说明： （1）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数 x x f 1 )(= 在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）如果函数()y f x =在开区间),(b a 内有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。 （3）函数的最值是函数在某个范围的整体性质；相对于最值,函数的极值反映了函数的局部性质,重要价值在于它是函数单调区间的临界点. （4）函数是否有极值与函数是否有最值没有必然的关系:有极值的未必有最值，有最值的未必有极值． 三、例题精讲 题型一 含参数的分类讨论 例1（2019全国Ⅲ文20）已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0 【答案】（1）a >0时，()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ?? ? ??单调递减；a =0时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；a <0()f x 在,,(0,)3a ??-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ???单调递减. （2）8[,2) 27 【解析】（1） 2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3 a x = . 若a >0，则当(,0) ,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ??∈ ??? 时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ?? ??? 单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当, (0,)3a x ? ?∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ??∈ ??? 时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ??-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ??? 单调递减. （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0, 3a ? ? ???单调递减，在,13a ?? ??? 单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ?? =-+ ???，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3 227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -< ≤ 所以3 3 2,02,27 ,2 3.27 a a a M m a a ?-+< 当02a <<时，可知3 227 a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227?? ???. 当23a ≤<时，3 27 a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27. 综上，M m -的取值范围是8 [ ,2)27 . 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数3 21()53 f x x x ax =++-， 若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围 【答案】 【解析】2'()2f x x x a =++,依题意在),1[+∞上恒有0y '≥成立， 方法1： 函数2'()2f x x x a =++，对称轴为1x =-，故在),1[+∞上'()f x 单调递增，故只需0)1('≥f 即可，得 3-≥a ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 方法2： 由022≥++='a x x y ，得x x a 2--2≥，只需2 max --2a x x ≥ （），易得2 max --23x x =-（），因此 3-≥a ， ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 【易错点】本题容易忽视0)1('≥f 中的等号 【思维点拨】已知函数()f x 在区间(,)a b 可导： 1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 说明： 1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件 2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则或者()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>； 3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点 1．(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝12ax －a ＋1－ln x x (其中a 为常数，且a ∈R )． (1)若函数f (x )为减函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )有两个不同的零点，求实数a 的取值范围，并说明理由． 【答案】(1) (－∞，－e － 3] (2) (2，＋∞) 【解析】(1)∵f (x )＝12ax －a ＋1－ln x x ，∴f ′(x )＝12a －1－ln x x 2 ， 若函数f (x )为减函数，则f ′(x )≤0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即12a ≤1－ln x x 2 ，对x ∈(0，＋∞)恒成立． 设m (x )＝1－ln x x 2，则m ′(x )＝2ln x －3x 3，令m ′(x )＝0，得x ＝e 32，可得m (x )在区间? ?? ??0，e 3 2上单调递减，在区间? ?? ?? e 32，＋∞上单调递增， ∴m (x )min ＝m ? ?? ??e 3 2＝－12e 3，∴12a ≤－12e 3，即a ≤－e －3，故实数a 的取值范围是(－∞，－e － 3]． (2)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f (x )＝12 ax 2 －（a －1）x －ln x x ， ∴可设h (x )＝1 2ax 2－(a －1)x －ln x ，则函数f (x )有两个不同的零点等价于函数h (x )有两个不同的零点． ∵h ′(x )＝ax －(a －1)－1x ＝ax 2－（a －1）x －1x ＝（ax ＋1）（x －1） x ， ∴当a ≥0时，函数h (x )在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，∴h (x )在(0，＋∞)上有最小值，为h (1)．若函数h (x )有两个不同的零点，则必有h (1)＝－1 2a ＋1<0，即a >2，此时， 在x ∈(1，＋∞)上 有h (2)＝2a －2(a －1)－ln 2＝2－ln 2>0， 在x ∈(0，1)上，h (x )＝1 2a (x 2－2x )＋x －ln x ， ∵－1 2a ＋x －ln x ， ∴h ( )e - 12 a >－12a ＋e －12a －ln () e -12a ＝e -1 2a >0， ∴h (x )在区间(0，1)，(1，＋∞)上各有一个零点，故a >2符合题意． 当a ＝－1时，h ′(x )≤0，∴函数h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意． 当－1 ?－1 a ，＋∞上单调 递减， ∴函数h (x )的极小值为h (1)＝－1 2a ＋1>0， ∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意； 当a <－1时，函数h (x )在区间????0，－1a 上单调递减，在区间????－1 a ，1上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴函数h (x )的极小值为h ????－1a ＝12a ＋1a (a －1)－ln ????－1a ＝1－1 2a ＋ln (－a )>0， ∴函数h (x )至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(2，＋∞). 【易错点】对参数a 讨论时，分段不明确. 【思维点拨】函数零点的求解与判断 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ＝b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＝0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型四、导数证明不等式 例1 （2018全国卷Ⅲ）已知函数21 ()e x ax x f x +-=． (1)求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； (2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【答案】(1) 210x y --=，（2）见解析 【解析】(1)2(21)2()e x ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=． 因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=． (2)当1a ≥时， 21()e (1e )e x x f x x x +-++-+≥．令21()1e x g x x x ++-+≥，则1()21e x g x x +'++≥． 当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()(1)=0g x g -≥．因此()e 0f x +≥． 【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题 【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值 问题。 四、成果巩固 题型一 含参的分类讨论 1. 已知函数3211 ()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a = +-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。 【答案】略 【解析】（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++- 20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立 当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。 12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且 当变化时，'、的变化如下表： （II ）当0,()[0,1],()(0)1a f x f x f =≥=时在上单调递增恒成立。 0,a >当时由（I ）可知 01,()[0,1],a f x <≤若时则在上单调递增 若1,()[0,1]a f x a >-则在上单调递减， ()[0,1]f x 在上不单增，不符合题意； 综上，a 的取值范围是[0，1] 2. (2019·江西省五校协作体试题)已知函数f (x )＝ln x －1 2a (x －1)(a ∈R )． (1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若不等式f (x )<0对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) y ＝2x －2，(2) [2，＋∞) 【解析】(1)若a ＝－2，则f (x )＝ln x ＋x －1，f ′(x )＝1 x ＋1， ∴切点为(1，0)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2. ∴若a ＝－2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x －2. (2)∵f (x )＝ln x －12a (x －1)，∴f ′(x )＝1x －a 2＝2－ax 2x ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x >1时， f (x )>f (1)＝0， ∴a ≤0不合题意． ②当a ≥2，即0<2 a ≤1时，f ′(x )＝2－ax 2x ＝－a ????x －2a 2x <0在(1，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，f (x ) a ， ∴f (x )在????1，2a 上单调递增，在????2a ，＋∞上单调递减，∴f ????2 a >f (1)＝0，∴0 (2)当a <0时，求函数f (x )的零点个数． 【答案】（1），当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在????0，－1a 上单调递增，在????－1 a ，＋∞上单调递减．(2) 当a <－1e 时，函数f (x )没有零点；当a ＝－1e 时，函数f (x )有一个零点；当－1 e f (x )有两个零点. 【解析】(1)由题意知， f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x ＋a ＝ax ＋1x . ①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1 a ， 故在????0，－1a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在??? ?－1 a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在????0，－1a 上单调递增，在????－1 a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)可知，当a <0时，f (x )在????0，－1a 上单调递增，在????－1 a ，＋∞上单调递减． 故f (x )max ＝f ????－1a ＝ln ??? ?－1 a －1. ①当ln ????－1a <1，即a <－1 e 时， f ????－1a <0，函数f (x )没有零点． ②当ln ????－1a ＝1，即a ＝－1 e 时，f ????－1a ＝0，函数f (x )有一个零点． ③当ln ????－1a >1，即－1e 0，令0 a ，则ln b <0，f (b )＝ln b ＋ab ???b ，－1 a 上有一个零点． F ????1a 2＝ln 1a 2＋1a ＝2ln ????－1a ＋1a ，令t ＝－1a ，则t ∈(e ，＋∞)．令g (t )＝2ln t －t ，t >0， 则在(e ，＋∞)上，g ′(t )＝2 t －1<0，故g (t )在(e ，＋∞)上单调递减， 故在(e ，＋∞)上，g (t ) 综上，当a <－1e 时，函数f (x )没有零点；当a ＝－1e 时，函数f (x )有一个零点；当－1 e f (x )有两个 零点. 题型二 已知单调性求参数范围 1. 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】略 【解析】 （Ⅰ） （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， ()(0)kx f x xe k =≠()y f x =(0,(0))f ()f x ()f x (1,1)-k y x =()()' 10kx f x kx e =+=()1 0x k k =-≠0k >1,x k ??∈-∞- ?? ? ()' 0f x <()f x 1,,x k ?? ∈- +∞ ??? ()'0f x >()f x 0k <1,x k ? ?∈-∞- ?? ? ()' 0f x >()f x 1,,x k ?? ∈- +∞ ??? ()'0f x <()f x 0k >1 1k -≤-1k ≤()f x ()1,1- 若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是 2. 已知3 2 ()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围。 【答案】略 【解析】：对()f x 求导得2 '()361f x ax x =+-，由题意可知对任意实数恒有'()0f x ≤, 讨论： （1） 当0a >，显然不符合题意； （2） 当0a =时也不符合题意； （3） 当0a <时，依题意必有36120a ?=+≤，即3a ≤-， 综上可知a 的取值范围是(,3]-∞- 题型三 方程与零点 1.已知函数3 2 ()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞- 【答案】C 【解析】当0a =时，2 ()31f x x =-+，函数有两个零点，不符合；当0a >时，2 '()36f x ax x =-，令 '()0f x =，得2 0,x a =，可知在(,0)-∞必有一个零点，也不符合；当0a <时，2()0f a >，得 2a <-，故选C 2. (2019·福建省质量检查)已知函数f (x )＝?????ln x x ，x ≥1，ax 2－a ，x <1，若函数g (x )＝f (x )－1 3 恰有2个零点，则a 的取值范 围为________． 【答案】??? ?－1 3，0 【解析】当x ≥1时，g (x )＝f (x )－13＝ln x x －1 3，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0，得1≤x 所以函数g (x )在[1，e )上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )在[1，＋∞)上有最大值，且g (x )max ＝g (e )＝1e －13>0，又g (1)＝－13<0，g (e 3)＝3e 3－13<0，所以在[1，＋∞)上g (x )＝f (x )－1 3 有2个不同的零点，则由 0k <1 1k - ≥1k ≥-()f x ()1,1-()f x ()1,1-k [)(]1,00,1- 题意知当x <1时，函数g (x )＝f (x )－13＝ax 2－a －1 3无零点．当a >0时，g (x )在(－∞，1)上有最小值，且g (x )min ＝g (0)＝－a －13<0，此时函数g (x )有零点，不满足题意；当a ＝0时，g (x )＝－1 3<0，此时函数g (x )无零点， 满足题意；当a <0时，g (x )在(－∞，1)上有最大值，且g (x )max ＝g (0)＝－a －13，由g (x )max <0，得－1 3 可知，实数a 的取值范围是????－1 3，0. 3. (2019·江西八所重点中学联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x >0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π 2，则函数g (x ) ＝f (x )－sin x 的零点个数是( ) A ．1 B .2 C ．3 D .5 【答案】C 【解析】函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数即函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数．当x >0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则f ′(x )＝2π－1x ＝2x －ππx ，令f ′(x )＝0，则x ＝π2.当0 2 时，f ′(x )>0.则f (x )在????0，π2上单调递减，在????π2，＋∞上单调递增，所以当x ＝π2 时，f (x )取得最小值，且最小值为f ????π2＝1.函数y ＝sin x 在x ＝π 2处取得最大值1，所以当x >0时，f (x )的图象与y ＝sin x 的图象的交点有且只有一个，即????π2，1.又f (x )和y ＝sin x 均为奇函数，所以根据对称性知当x <0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数为3，即函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是3.故选C . 题型四、导数证明不等式 1、当0>x 时，证明不等式2 2 11x x e x ++>成立。 【答案】略 【解析】设(),2 112 x x e x f x - --=则().1'x e x f x --= 令,1)(x e x g x --=则.1)('-=x e x g 当0>x 时，().01'>-=x e x g )(x g ∴在()+∞,0上单调递增，而 .0)0(=g (),0)0(=>∴g x g 0)(>∴x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立。)(x f ∴在 ()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ,02 112>---∴x x e x 即0>x 时，2 2 11x x e x + +>成立。 2、已知函数1()ln(1),(1) n f x a x x = +--其中* ∈N n ,a 为常数.当1=a 时，证明：对任意的正整数n ,当2≥x 时，有1)(-≤x x f 。 【答案】略 【解析】证法一：1=a ，).1ln() 1(1 )(-+-= ∴x x x f n 当n 为偶数时，令1 ()1ln(1),(1)n g x x x x =-- --- 则+ =1)(' x g 11 12(1)11(1) n n n x n x x x x ++--=+----)2(0≥>x . ∴当[)+∞∈,2x 时，)(x g 单调递增，又 0)2(=g ， ∴1 ()1ln(1)(1) n g x x x x =-- ---0)2(=≥g 恒成立，1)(-≤∴x x f 成立。 当n 为奇数时， 要证1)(-≤x x f ,由于 1 (1) n x -0<，∴只需证1)1ln(-≤-x x , 令 )1ln(1)(---=x x x h , 则 - =1)(' x h 1211 x x x -=--),2(0≥≥x ∴ 当[)+∞∈,2x 时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又01)2(>=h ， ∴当2≥x 时，恒有0)(>x h , 即1)1ln(-<-x x ，命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当1=a 时，1 ()ln(1).(1) n f x x x = +-- 当2≥x 时，对任意的正整数n ，恒有 1 (1)n x -1≤，故只需证明.1)1ln(1-≤-+x x 令[)()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞,则12()1,11 x h x x x -'=-=-- 当2≥x 时，0)(' ≥x h ，故)(x h 在[)2,+∞上单调递增， 因此，当2≥x 时，0)2()(=≥h x h ，即1)1ln(1-≤-+x x 成立. 故当2≥x 时，有 1 ln(1)(1)n x x +--1-≤x .即1)(-≤x x f . 3、(2019·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1 x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)若a >0，b >0，证明：ab a . 【答案】(1) f (x )在(0，＋∞)上单调递减，(2)见解析 【解析】(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1－1x 2＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2 x 2≤0. 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)证明：由题意得a ≠b ，不妨设a >b >0，则 ab ?ln a b < a b －1 a b ?2ln a b －a b ＋1a b <0. 由(1)知f (x )是(0，＋∞)上的减函数，又a b >1，所以f ? ?? ? a b ? ? ? a b ＝2ln a b －a b ＋1 a b <0，所以ab 2（a －b ）a ＋b ?ln a b >2??? ?a b －1a b ＋1. 令g (x )＝ln x －2（x －1）x ＋1，则g ′(x )＝（x －1）2 x （x ＋1）2 ，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )≥0，即g (x )是(0，＋∞)上的增函数． 因为a b >1，所以g ????a b >g (1)＝0，所以ln a b >2??? ?a b －1a b ＋1，从而a －b ln a －ln b . 综上所述，当a >0，b >0时，ab 2 . 4、(2019·湖北部分重点中学高三测试)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －1 e x －1，其中a ∈R ，e ＝2.718…为 自然对数的底数． (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0； (3)如果f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1 x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝1 2a ， 所以当x ∈? ?? ? 0， 12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈?? ? ?1 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：g (x )＝e x － 1－x x e x －1，令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x － 1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )单调递增，又s (1)＝0，所以s (x )>0，从而当x >1时，g (x )＝1x －1 e x －1>0.
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