Lesson 8 教师版

Lesson8The best and the worst

阅读理解

1.Who has the best garden in town?

Joe Sander has the best garden in town.

2.Is the writer’s garden beautiful,or is it terrible?

It is terrible.

单词详解

https://www.wendangku.net/doc/183831112.html,petition n.竞争

e.g.boxing competition拳击比赛

beauty competition选美比赛

compete v.竞争

Some companies compete with each other for the contract/to gain the contract.相互竞争competitive:adj.有竞争性的

这是一个竞争性的社会，充满竞争。我们不得不与别人竞争。

This is a competitive society and is full of competition.We have to compete with others.

2.neat:adj.整洁的in an orderly way/tidy

e.g.(进入整洁的房间感叹)What a neat room!

反义：What a mess!

她穿戴整洁。She is a neat dresser.

3.path n.小径

e.g.a winding path leads to quiet seclusion（基础口译）曲径通幽

近义：lane

4.wooden:made of wood a.木质的

e.g.木质家具wooden furniture

wooden wedding结婚五年

wood n.木质woods树林

单词加上S变为另一个单词，意思发生变化：

irons：脚镣手铐

greens：绿色蔬菜

waters：水域

the works of Shakespeare莎士比亚作品集

5.pool n.水池

e.g.游泳池a swimming pool

课文解析

The best and the worst

1.Joe Sanders has the most beautiful garden in our town.

the most beautiful为形容词最高级（详见语法重点）

2.Nearly everybody enters for'The Nicest Garden Competition'each year,but Joe wins every time.

●nearly表示几乎，差不多=almost

●enter V.S.enter for

enter v.进入＝go into

enter for报名参加（活动)=take part in

选词填空：

How many people have entered for the match?

Everyone stood up when he entered the room.

●everyone/everything等不定代词作主语，谓语用单数

●win赢，获胜

赢了奖品/比赛win a prize/a match

他在比赛了赢了我。He beat me in the match.

3.Bill Frith’s garden is larger than Joe's.Bill works harder than Joe and grows more flowers and vegetables,but Joe's garden is more interesting.

●larger为形容词比较级（详见语法重点）

●work hard动词短语V.S hard work名词短语

我们老板很努力地工作。Our boss works hard.

我们老板喜欢努力的工作。Our boss likes hard work.

4.He has made neat paths and has built a wooden bridge over a pool.

●a wooden bridge木桥羊毛裤woolen trousers丝袜silk socks

●over表示“在…正上方”fly over the mountain cook over the fire

5.I like gardens too,but I do not like hard work.Every year I enter for the garden competition too,and I always win a little prize for the worst garden in the town!

●win a prize for sth为某事获奖

奖金prize money在比赛中赢得一等奖win the first prize in the competition

●worst是形容词最高级，原级为bad

●too放于肯定句句末，表示“也”；either放于否定句句末，表示“也”

e.g-I like swimming.–I like swimming,too.我也喜欢游泳。

-I don’t like swimming.–I don’t like swimming,either.我也不喜欢游泳。

根据课文内容，完成下表：

Joe’s garden Bill’s garden My garden Description more interesting larger/

worst

works harder/

more flowers and

vegetables

语法重点

形容词和副词的比较级和最高级

●构成方式：

1.单音节词和少数双音节词在词尾加－er，est

hard－harder-harder

2.以e结尾的单音节词直接加r,st

large－larger－largest

3.以辅音字母＋y结尾的双音节词要去y＋ier,iest

busy－busier－busiest

4最后三个字母为：辅＋元＋辅，双写最后的辅音字母，再加－er，est

big－bigger-biggest

5.少数多音节词及多音节词通常在前面加more，most

beautiful-more beautiful-most beautiful

6.不规则形式

good-better-best

bad-worse-worst

far-farther/further-farthest/furthest

little-less-least

many-more-most

much-more-most

(教学说明：可让学生游戏接龙以上比较级最高级内容。)

●用法：

?在比较级中，比较两项内容，后者需要用介词than。

她比他更年轻。She is younger than him.

我比Joy工作更努力。I work harder than Joe.

?最高级限定范围内容一般用of，among，in等介词短语，最高级前要加the。他是三个男生中最高的。He is the tallest among the three boys.

他有着城镇里最美丽的花园。He has the most beautiful garden in our town.

a小学数学奥赛6-1-21 鸡兔同笼问题(一).教师版

1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象． 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是351223-=（只）了． 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法 模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题 【例 1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设46只都是兔，一共应有446184?=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856-=只脚，这 是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422-=（只）脚，那么56只 脚是我们把56228÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818-=（只）．当 然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法． 【答案】鸡28只，兔18只 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-9.鸡兔同笼问题（一）

第五讲：数的整除(教师)

人教版小学奥数 数的整除 我们在已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 常见整除数的特点： （1）能被2整除的数的特点： 个位数字是0，2，4，6，8中的一个。 （2）能被5整除的数的特点： 个位数字如果是0或5。 （3）能被3整除的数的特点： 各个数位上的数字之和能被3整除。

（4）能被4或25整除的数的特点： 一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）、（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

三角函数题型总结-教师版

三角函数题型总结-教师版

111111 cos sin sin 2224 S x y = =?=ααα， …… …………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343 S x y πππ = =-+?+=-+ααα． … …………9分 依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整 理得 cos20 =α． ………………11分 因为 62 ππ<<α， 所以 23π <<πα， 所 以 22 π= α， 即 4 π = α． …… …………13分 2、三角形中求值 〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b 6,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值. 【答案】 解:(I)因为a =3,b =2 ,∠B =2∠A . 所以在△ABC

中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3 A =. (II)由(I)知 cos A = ,所以 sin A == .又因为 ∠B=2∠A,所以2 1cos 2cos 13 B A =-= .所以2sin 1cos B B = -= . 在△ABC 中,53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a C c A ==. 【举一反三】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 设ABC ?的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C = ,求C . 【答案】 ③三角不等式

鸡兔同笼教师版

鸡兔同笼 第一部分：知识介绍 鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。 书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤 1.砍足法（金鸡独立）： 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 35 12（只）．显然，鸡的只数就是35 12 23 （只）了。 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。 2.假设法： 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。 解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）十（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔 数=鸡兔总数 -鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数 =鸡兔总数 -兔数 3.鸡兔关系： 当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的 2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的 2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工 程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。 第二部分：例题精讲 【例 1 】鸡兔同笼，头共46，足共128 ，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼 【解析】假设46只都是兔，一共应有 4 46 184 （只）脚，这和已知的128只脚相比多了 184 128 56（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实 际多4 2 2（只）脚，那么56只脚是我们把56 2 28（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数 就是28，兔的只数是46 28 18（只）答案】鸡 28 只，兔 18 只

比和比例专项训练新课标人教版六年级下

一、填空题 1、在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，一个内项是，另一个内项是（ ）。 2、甲数× 43＝乙数×60%，甲：乙＝（ ： ）。 3、：3 2化成最简整数比是（ ）。 4、一幅地图的线段比例尺是 它表示实际距离是图上距离 的（ ）倍。 5、在 1000 1的图纸上，一个正方形的面积为16平方厘米，它的实际面积是（ ）平方米。 6、甲数的 5 3是甲乙两数和的41，甲乙两数的比是（ ）。 7、一个比例式，两个外项的和是37，差是13，比值是65，这个比例式可以是（ ）。 8、一车水果重吨，按2：3：5的比例分配给甲、乙、丙三个水果店，乙水果店分得这批水果的（　 ）。 9、星期天，小丽看一本书用了2小时15分，小红同样一本书用了小时，小丽和小红看书用的时间比是（ ）。 10、在一个比例式中。两个外项都质数，它们的积是22，一个内项是这个积的101，这个比例式可以是（ ）。 11、两地相距80千米，画在比例尺是1：400000的地图上，应画（ ）厘米。 12、一杯糖水，糖与水的比是1：4，喝去 21杯糖水后，又用水加满，这时杯中糖与水的比是（ ）。 13、已知一个比例的两个外项分别是3和 41，组成比例的两个比的比值是21，这个比例是（ ）。 14、甲数比乙数多3 2，甲数与乙数的比是（ ）。 0 80 40120 160千

15、甲、乙、丙三个数的平均数是15，甲、乙、丙三个数的比是2：3：4，甲数是（ ）。 16、一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是8 1，另一个外项是（ ）。 17、圆柱的高一定，圆柱的底面积与体积（ ）比例。 18、东风小学六年级人数是五年级人数的9 8，五年级与六年级人数的比是（ ）。 19、学校购到一批书，按2：3：5借给四、五、六三个年级。四年级借到这批书的（ ）%。 20、一个机器零件长2米，在设计图上这个零件长4厘米，这幅设计图的比例尺是（ ）。 21、把3克盐放入12克水中，盐与盐水重量的最简整数比是（ ）。 22、把（5平方米）：（50平方分米）化成最简整数比是（ ），它们的比值是（ ）。 23、甲数除以乙数的商是，甲数与乙数的最简整数比是（ ）。 24、昆明到西双版纳的实际距离是1200千米，在一幅地图上量得两地之间的距离是6厘米。在这幅地图上量得泸西到丽江的图上距离是4厘米。泸西到丽江的实际距离是（ ）千米。 25、若图上距离的2厘米表示实际距离的80千米，则这幅图的比例尺是（ ）。 26、六年级同学共同订阅《蜜蜂报》。报纸的总价和所订份数成（ ）比例。 27、写同样多的作业，李莉用12分钟，王祥用15分钟，李莉与王祥的最简单的速度比是（ ）。 28、甲、乙两地之间的距离是120千米，在比例尺是 30000001的地图上，这段距离应该画（ ）厘米。 29、在比例尺是 200 1的平面图上，量得本班教室的长是厘米，本班教室的实际长是（ ）米。 30、在六年级达标课上，六（2）班的达标人数与未达标人数的比是24：1，这个班学生的达标率是（ ）。 31、请你写出一个比例，使它的两个外项互为倒数：（ ）。 32、把一个比化成最简整数比是3：2，这个比有可能是（ ）。

小学数学 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版

5-2-2.数的整除之四大判断法 综合运用（二） 教学目标 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11 或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12． 性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-

（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞

鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲） 我国古代数学名著《子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何?意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有35只，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只? 这就是著名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢?我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”，这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 解法1：鸡的只数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数 解法2：兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数 例1 、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 分析：假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚。那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46－28=18。 例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。答：有6只兔，10只鸡。 我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16—10＝6（只）。 ※、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？ ※、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只？兔有多少只？ ※、鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼子中鸡、兔各有多少只？ ※、鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有90只。问鸡、兔各多少只？

人教版数学六年级下册比和比例的整理与复习教学设计

比和比例的整理与复习教学设计第一课时 六年级谭德优 教学内容：小学数学十二册p84“比和比例” 一、教材分析《比和比例》这部分内容主要是复习比和比例的意义与性质，比和分数、除法的关系，正反比例的应用及判断，以及比和比例的一些应用。比例尺及其应用，但本班学生的基础不是很好，正反比例的应用及判断，以及比和比例的一些应用”这部分知识放在第二课时进行。毕业班的复习课注重帮助学生把分散在各年级、各章节中有关的数学知识上下串联，左右沟通起来。理清知识体系要充分调动学生的主动性和积极性，要让学生自己动手动脑，教师的作用主要是引导、帮助、点拨和补充 二、学情分析：数学的复习过程，其实就是学生的知识不断重组，并形成良好的认知结构的过程。在此过程中，学生的自主整理和构建知识网络的能力就显得特别重要。因为是整理复习课，所以课堂教学中就应尽量让学生自己动手、动脑对学习的知识内容进行搜集、整理、归纳，通过开展讨论交流、分析比较等学习形式，感受到不同知识之间的内在联系以及异同，体会数学知识在不同实际问题中的应用，使学生在实践、思考教学目标等自主学习的过程中巩固知识、培养能力、形成技能。本节课学生对比和比例、比的基本性质和比例的基本性质、化简比和求比值等知识点容易混淆，灵活运用知识能力欠缺。 三、教学目标、教学重难点。 【教学目标】：1、加强对比和比例这节知识间的联系，整理形成知识框架，使之系统化。 2、在具体的实际问题情境中，复习比和比例的含义及性质，会正确的化简比和求比值，解比例。 、培养复习总结的好习惯，渗透事物间相互联系的辩证唯物主义观点。3．【教学重点】：理解比和比例的意义、性质，掌握关于比和比例的一些实际运用和计算。 【教学难点】：能理清知识间的联系，建构起知识网络。 教学过程： 一、谈话导入新课 1.关于比和比例的知识、你知道什么？它们有什么区别和联系？ 二、新授 请同学们打开课本p84，讨论交流，填写课本表格 1、合作交流，整理知识： 师：比和除法、分数有哪些联系？a:b=a÷b= a/b (b不等于0) 联系区别 比值比的基本性质后项前项比号6 : 3=2 比 除法6 ÷3=2 6=2 分数32、回忆知识，小组活动，梳理知识。 要求：a、4人小组合作，共同回忆比和比例的知识；b、尽可能地有条理地分

数的整除教师版

数的整除 、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除; 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除? 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 【备注】(以上规律仅在十进制数中成立?) 二、整除性质 性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除?即如果c| a, c I b，那么c | (a±b). 性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a, c I b,那么c I a. 用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那

性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除.即如果 b I a, c I a,且（b, c）=1，那么be I a. 例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4）=1，那么（3 冶）I 12. 性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a，那么bm | am （m 为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除.如果b | a，且d | c，那么bd | ac; 当两个整数a和b（b 0）, a被b除的余数为0时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0 ,则称a不能被b整除，或b 不整除a . 【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于____________ 【分析】9 13 8 125 【例2】173口是一个四位数。数学老师说：我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个 四位数，依次能被9、11、8整除。”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【分析】因为9|173口，所以9|1 7 3 □口11 , 9口 2 , □ 7 ； 因为11|173^，所以11| □ 7 3 1 □ 3 , □ 8 ; 因为8|173口，所以8|73口，因为739 8 92L L 3，所以73^ 739 3 736 , □ 6 ;

三角函数概念x教师版

角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.

小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨

小升初六年级数学比和比例专题讲解.教师版1

第二讲比和比例 教学目标： 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨： 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 ①x a y b =? y b x a =； x y a b =； a b x y =； ②x a y b =? mx a my b =； x ma y mb =(其中0 m≠)； ③x a y b =? x a x y a b = ++ ； x y a b x a -- =； x y a b x y a b ++ = -- ； ④x a y b =， y c z d =? x ac z bd =；:::: x y z ac bc bd =； ⑤x的c a 等于y的 d b ，则x是y的 ad bc ，y是x的 bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为() :a a b +和() :b a b +，所以甲分配到 ax a b + 个，乙分配到 bx a b + 个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b >)，数量差为x，那么A的元素数量为 ax a b - ，B的 元素数量为 bx a b - ，所以解题的关键是求出() a b -与a或b的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成 反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。 4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5.赋值解比例问题

五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版

九 进 制 乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。 他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希 特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届 总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参 与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是， 杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔 又是100年。 兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。 他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。 兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。 他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。 课前预习 数论之整除性

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

人教版六年级数学上册比和比例练习题

比和比例 1、两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。 2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 3、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。 4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。 5、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 6、公因数只有1的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数。 7、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。 8、比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。 比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。 9、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 10、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。 一．填空

1、0.6=3：（）=（）÷15=（）成=（）％ 2、11 2 ： 0.75的比值是（），把它化为最简的整数比是（） 3、比例4：9=20：45写成分数形式是（），根据比例的基本性质写成乘法形式是（） 4、18的约数有（），选出其中四个数组成一个比例是（） 5、在比例尺1：2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离（）千米。 6、在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是2 5 ，另一个外项是（） 7.甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是（） 8、我国<<国旗法>>规定，国旗的长和宽的比是3：2，学校的国旗宽是128厘米，长应该是( )厘米。 9、三角形底一定，它的高和面积成（）比例。 10、用0.2 、 6、 30、 1这四个数组成两个比例式是（）和（） 11、某厂男职工人数是女职工的2 3 ，女职工与男职工的人数比是（） 12、两个正方体的棱长比是3：4，它们的体积比是（） 13、如果3a=2b，那么a：b=（）：（） 14、从A地到B地，甲用12分钟，乙用8分钟，甲乙的速度比是( ) 15、小圆的半径是2厘米，大圆的半径是3厘米，小圆和大圆的周长比是（），面积比是（）

人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα

鸡兔同笼(三年级培优)教师版

鸡兔同笼问题的本质： （1） 两种不同的事物如鸡和兔 （2） 它们有相同点如鸡兔都有一个头，那么在做鸡兔同笼变形题时把数量相同的特征看做头 （3） 它们有不同点如鸡兔腿的数量不同，把数量不同的特征看做腿 基本型鸡兔同笼的解决方法： （1） 假设 ；（2） 找总差 ；（3） 找单位差 ；（4） 求出另一种事物的数量。 鸡兔同笼问题的基本公式： （1） 假设全兔： 鸡数=（每只兔脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数 注意假设全兔时先求出的是鸡的数量。 （2） 假设全鸡： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数 注意假设全鸡时先求出的是兔子的数量。 不建议孩子们死记硬背公式，希望透彻理解，才能灵活应用。 有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数共有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡与兔各多少只？ 【知识点】：鸡兔同笼；【难度】：★★；【出处】：数学奥林匹克 【分析】： 方法一：共有35个头表示鸡与兔共有35只，如果35只都是兔，一共应有140354=?只脚，这比已知的94只脚多了4694140=-只脚.由于我们把鸡看作兔，每只鸡多算了2只脚，才有了这多出来的46只脚，因此这46里面有多少个2，笼子里面就有几只鸡，求出鸡的只数后再拿总只数减去鸡的只数即可. 解答：假设全部都是兔，则鸡有：()()232462494354=÷=-÷-?（只） 兔有：122335=-（只） 答：鸡有23只，兔有12只. 方法二：砍足法（金鸡独立法） （本方法了解一下即可，不通用，重点还是假设法）

假设所有的动物用一半的腿站立，即鸡用1腿，兔用2腿。这时只剩下100÷2=50条腿 这样的好处是：鸡的头腿数量相同，而兔腿数比头数多一。所以腿比头多的数量就是兔子的数量，兔数：50-35=15（只） 鸡数：35-15=20（只） 注：(1)建议孩子们在熟悉之后可以列综合算式解鸡兔同笼问题。 (2)假设法可以假设全鸡或全兔，本讲之后的例题只给一种，但希望孩子们把两种方法都练习一下。 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 分析：如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2只脚。那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18. 解答：①鸡有多少只？（4×46-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=28只。 ②兔有多少只？46-28=18只. 刘老师带41名同学去划船，大船和小船他们一共租了10条，如果每条大船坐6人，每条小船坐4人，你有办法求出大船和小船各几条吗？ 【知识点】：鸡兔同笼；【难度】：★★；【出处】：数学奥林匹克 【分析】：假设租的都是大船，则船上应该坐60106=?（人）， 假设的人数比实际人数多了()1814160=+-（人），由于我们把小船坐的4人假设成6人，每条小船多算了2人，所以这多出的18里面有几个2就有几条小船. 【解答】：假设10条都是大船， 小船有：()()921846141106=÷=-÷--?（条）， 大船有：1910=-（条） 答：租了9条小船，1条大船. 上衣和裤子共21件，用了439元，其中上衣每件24元，裤子每件19元。问上衣裤子各几件？ 分析：两种事物：上衣和裤子； 数量相同的特征：都是1件，看作头； 数量不同的特征：上衣24元，裤子19元，看做腿 解答：假设全是上衣，共21×24=504（元） 总差（多花的钱）：504-439=65（元） 单位差（每条裤子当做上衣多算的钱）：24-19=5（元） 裤子的件数： （21×24-439）÷（24-19）=13（件） 上衣：21-13=8（件） 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个倒赔100