数学北师大版九年级上册配方法解一元二次方程

作业

（1）课本42页习题2.4第1题；

（2）有能力的同学请课余时间用配方法交流探究关于x的方程：ax2+bx+c=0 (a不为0)的解法.

知识提高

1、用配方法将代数式x2-4x+9变形成（x+a）2 + b 的形式

2、用配方法证明

无论x为何数，

代数式2x2-8x+9的值恒大于0

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b

最新北师大版九年级数学上册知识点总结

最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线

2019-2020年九年级数学上册 2.2配方法(第1课时)教案 北师大版

2019-2020年九年级数学上册 2.2配方法(第1课时)教案北师大版 配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程. 本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法． 配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征． 教学方法主要是学生自主探索、发现的方法． 2.2配方法(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． (二)能力训练要求 1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法． 2．体会转化的数学思想方法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． (三)情感与价值观要求 通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力． 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式． 教学方法 讲练结合法 教具准备

投影片六张： 第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A) 第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B) —第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D) 第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E) 第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F) 教学过程 Ⅰ．创设现实情景，引入新课 [师]前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? [生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根． [生乙]平方根有下列性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的． (2)零的平方根是零． (3)负数没有平方根． [师]很好，那你能求出适合等式x2=4的x的值吗? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2． [师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1 A) 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? [师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x2+12x-15＝0．上节课我们已求出了x 的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗?

北师大版数学九年级上册知识点总结

九年级上册数学知识点总结 第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。 三、等边三角形 （1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式： 由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （如图1所示，AO=BO=CO ） 3、角的平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示，OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F

最新人教版初中九年级上册数学《配方法》教案

第2课时配方法 【知识与技能】 掌握用配方法解一元二次方程. 【过程与方法】 理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 【情感态度】 在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 【教学重点】 用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 用配方法解一元二次方程的方法和技巧. 一、情境导入，初步认识 问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？ 思考如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？ 【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 二、思考探究，获取新知 【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”. 想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法. （1）x2+10x+( )=(x+ )2; (2)x2-3x+( )=(x- )2;

(3)x2-2 3 x+( )=(x- )2; (4)x2+1 2 x+( )=(x+ )2. 2.利用上述想法，试试解下列方程：(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0; (3)x2-2 3 x=4; (4)x2+ 1 2 x-7=0. 1.依次填入：（1）25；5；（2）9 4 ， 3 2 ；（3） 1 9 ； 1 3 ；（4） 1 16 ， 1 4 . 2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=±22,即x1=-5+22,x2=-5-22; 试一试1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流. 2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方

北师大版九年级数学上册知识点归纳总结

九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角 菱形 一组邻边相等

(完整)九年级上册数学总复习资料

九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即

正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么 方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公

北师大版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线

最新北师大版九年级数学上册教案

最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程

一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?

2020年北师大版九年级数学上册全册教案

课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二、新课讲解 在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） w 三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=18°，∠D+∠E+∠F=18°（三角形内角和等于18°）∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F（等量代换） BC=EF（已知）△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。 三、议一议 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图，在ABC中，AB＝AC。

人教版九年级数学上册教案《配方法》

《21.2.1配方法》教学设计 第1课时 教材分析: 本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：x2=p和(x+n)2=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据. 教学目标： 【知识与能力目标】 1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方； 3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解； 【过程与方法】 1.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法． 2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一

元二次方程，同时为配方法的学习打好基础． 【情感态度与价值观】 通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．教学重难点： 【教学重点】 使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解. 【教学难点】 探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？（请设未知数列方程解决） 【解】设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144. 根据平方根的意义，得x＝±144＝±12， ∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12. ∵边长不能为负数， ∴x＝12. 即这个正方形舞台的边长是12米． 【设计意图】用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活． 问题2：（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里． A：9( ±3)，5( ± 5 )，49( ±7)； B：8( ±2 2 )，24( ±2 6 )，14( ±14 )； C：3( ± 3 )，1.2( ±30 5 )，2( ± 2 )． (2)．若x2＝4，则x＝__±2__． 【设计意图】通过对平方根的复习为本节课做准备，同时对平方根概念的掌握情况进行教学诊断，起到承上启下的作用．建议：在做第1小题时最好先让学生回顾平方根和算术平方根的概念．对于第2题，根据平方根的概念求解，从而导出新课．

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

九年级上册数学配方法

（1）x 2=4 (2)x 2=16 (3)2x 2=32 (4)2x 2=82. (5)(x +1)2=0 (6)2(x －1)2=0 (7)(2x +1)2=0 (8)(2x －1)2=1 一、1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________. 2.若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________. 3.若x 2－2x =0，则x 1=__________,x 2=__________. 4.若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________. 5.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________. 6.若－2x 2+8=0，则x 1=__________,x 2=__________. 7.若x 2+4=0，则此方程解的情况是____________. 8.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是__________. 9.若5x 2=0，则方程解为____________. 10.由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________. 二、选择题 1.方程5x 2+75=0的根是 A.5 B.－5 C.±5 D.无实根 2.方程3x 2－1=0的解是 A.x =± 3 1 B.x =±3 C.x =± 3 3 D.x =±3 3.方程4x 2－0.3=0的解是 A.075.0=x B.30201 - =x C.27.01=x 27.02-=x D.302011=x 3020 1 2-=x 4.方程2 7 252-x =0的解是 A.x = 57 B.x =± 5 7 C.x =± 5 35 D.x =± 5 7

九年级上册数学：配方法(一)

课题：配方法（一） 教学目标：1、知道直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程，它的依据是数的开方； 2、会用直接开平方法解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程； 3、在把(x－a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。 教学重点:用开平方法解一元二次方程 教学难点:怎样的一元二次方程适用于开平方法。 教学过程： 一、新课引入：1、平方根的意义。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 求适合等于x 2=4的x 的值。 (x=2或x=－2)， 二、新课讲解： 问题1 如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？ (1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0 问题2 怎样解方程ax2 = 0？(如：3x2 = 0，有两个相等的实数根x=x=0) 问题3 怎样解方程ax2 + c = 0 (a≠0)？ 可以(1) x2－4 = 0，(2) 2x2－50 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程为例， 进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况：当a、c异号时，方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c = 0没有实数根。 例题解析：例1 课本例2 在讲解例1时注意： 1、对于形如“(x－a) 2=b (b≥0)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。 2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法例2 不解方程，说出下列方程根的情况： (1) 1－3x2 = 2x2；（2）－4x2+1 = 0；（3）－0. 5x2－2 = 0. (通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况) 例2 解下列方程：

北师大版数学九年级上

一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x （厘米），应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的21，而桌面四边露出部分宽度相同，如果设四周宽度为x 厘米，则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ，宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2，则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数，十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数，设其中一个数为n ，则另一个数为__________. 6.两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x ，则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式： 增长量=原量×__________ 新量=原量×（1+__________） 8.产量由a 千克增长20%，就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.（5+3）米和（5－3）米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等，则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程

C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x ，则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x －4)+x －4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x －4 D.x 2+(x －4)2=10x +(x －4)－4 4.三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是 A.－2，0，2或6，8，10 B.－2，0，2或－8，－8，－6 C.6，8，10或－8，－8，－6 D.－2，0，2或－8，－8，－6或6，8，10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x ，则 A.50（1+x ）2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程，甲队做完需要m 天，乙队做完需要n 天，若甲乙两队合做，完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图，某小区规划 在长32米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分 种草，若使草坪的面积为566米2，问小 路应为多宽？

北师大数学九年级上册知识点总结

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b

性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ 其它性质： 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式：由三角形面积公式可得： 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 （二）、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 （三）直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜

北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总

最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. ．． ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称

图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程．．．．．． 2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．． 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． . ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.

北师大版数学九年级上册课本答案.doc

北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】 卷满分120 分考试时间120 分钟） 一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计30 分） 1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（） a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形 b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形 d.边长为12cm 的两个等边三角形 2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的 底边长为（） a.7 b.3 c.7 或3 d.5 3、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这 个三角形是（） a.等腰三角形 b.等边三角形 c. 直角三角形 d.等腰直角三角形 4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（） a.有两个角是直角 b.有两个角是钝角 c. 有两个角是锐角 d.一个角是钝角，一个角是直角 6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下， 倒 a.10m b.15m c.25m d.30m c b a d 图1-1 图1-2 7、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另 外 两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角 形 是等边三角形。其中逆命题正确的有（） a.①③ b. ②④ c.①② d.③④ 8、如图1-3（1）在△abc 中，d、e 分别是ab,ac 的中点，将△ ade 沿线段de 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的 四个结论中，一定不成立的是（） c. △dba 是等腰三角形 d.de ∥bc

e c 图1-3 b c （2）（1）a a.1 b.2 c.3 d.4 b e aa c 图1-4 图1-5 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计18 分） 11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内，下列四个命题：①如果 ③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于 真命题的是（填写所有真命题的序号） 12、一个三角形三边之比为2:5:3 ，这个三角形的形状是 13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ，那么??”的形式为 cd=3 ，则ab 的长度为 15、如图1-7，p 是正方形abcd 内一点，将△abp 绕点b 顺时针方 向旋转能与△cbp? 重合，若pb=3 ，则pp? 的长度为 a p d b d b c c n c a b ? 图1-6 图1-7 图1-8 三、解答题（共 6 小题，计72 分，解答应写过程） a d 图1-9 18、（10 分）已知：如图1-10 ，de 为△abc 的边ab 的垂直平分 线， m d cd 为△abc 的外角平分线，与de 交于点d，dm ⊥bc 的延长 线于 点m，dn ⊥ac 于点n，求证：an=bm 。c b 图1-10 d a b 图1-11 20、（12 分）如图1-12 ，在矩形abcd 中，ab=6 ，bc=8 ，将矩形 abcd 沿ce 折叠后，使点 d 恰好落在对角线ac 上的点f 处。 【篇二：北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt> 第一章勾股定理课后练习题答案