圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22
22b x a y +＝1（0a b >>）。
方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22
22b
x a y -＝1（0,0a b >>）。方程
22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时
22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x 2
,y
2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由x 2,y 2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，c 最大，2
2
2
c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两
个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a
=，椭圆?01e <<，
e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以22
2
21x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
22
,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a
=，双曲线?1e >，等轴双曲线
?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b
y x a
=±。
（3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2
p ，其中p
的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
④准线：一条准线2
p
x =-
； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200
221x y a b +<
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；
（3）相离：0?
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线
与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个
公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 2
0tan ||2
S b c y θ
==，
当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线2
tan
2θ
b S =
。 如 （1）短轴长为5，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。
9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线
22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p
y 。
提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！
11．了解下列结论
（1）双曲线1222
2=-b y a x 的渐近线方程为02222
=-b
y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参数，λ≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2
2
1mx ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a
，焦准距（焦点到相应准线的距
离）为2
b c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点
(2,0)p
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
；
（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;
（3）给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）
给出MP =?
? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形; （11）在ABC ?中，给出2
2
2
==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ?中，给出+=(
)||||
AB AC
AB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心；
（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC ?中，给出()
1
2
AD AB AC =
+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （3）已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ?=，点C 坐标为（0，2p ）
（1）求证：A,B,C 三点共线；
（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ?=试求点M 的轨迹方程。
（1）证明：设22
1212(,),(,)22x x A x B x p p
，由0OA OB ?=得
222
1212120,422x x x x x x p p p
+=∴=-，又222121121(,2),(,
)22x x x AC x p AB x x p p -=--=- 222
211121(2)()022x x x x p x x p p
-∴-?--?-=，//AC AB ∴，即A,B,C 三点共线。
（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由0OM AB ?=及AM ＝BM λ（R ∈λ）知OM ⊥AB ，垂
足为M ，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为x 2+(y-p )2=p 2(x ≠0，y ≠0)。
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（
1,4
1
） 1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1顶点分别是C 1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C 2的方程； (2) 若直线l ：2+
=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A
和B 满足6
解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12
2
22=-b
y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由
故C 2的方程为22
1.3x y -=（II ）将.0428)41(14
22222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=?k k k 即 21
.4
k > ①
0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y
得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不
同的交点A ，B 得2
22
222
2130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ?-≠?≠<
??=-+-=
->??
即且 22
9
(,),(,),,131366,(A A B B A B A B
A B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=?=--?<+
<+=++
设则由
得而 22
22
22(1)()2
9(1)2131337
.31
A B A B k x x x x k k k k k =++++-=+?
+?+--+=-
2222
3715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22
131.153
k k ><或 ③
由①、②、③得
.115
13
314122<<< 的取值范围为311313 (1,(,)(,)(,1)322315 --- 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB ）? AB =0,即（-x,-4-2y ）? (x,-2)=0. 所以曲线C 的方程式为y= 14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12 x,所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2 y y x x x -=- ，即2 00220x x y y x -+-=。 则O 点到l 的距离2 d =.又 200124y x =-，所以2 01412,2x d +==≥ 当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) 设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ). 过椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 已知双曲线 )0(1222 2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )0 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若 ||2||FA FB =，则k =( ) 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2 4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） 设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________. 椭圆22 192 x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 . 过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________【解析】设切点 00(,)P x y ，则切线的斜率为0 ' |2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =又2001y x =+解得 : 201,2,b x e a =∴ === 双曲线122 22 =-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21 b y x a y x ? =? ??=+?,消去 y,得2 10b x x a - +=有唯一解,所以△=2()40b a -=,所以2b a = ,2c e a a ==== 由渐近线方程为 x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和 （2，0），且 ) 1,3(P 或 ) 1,3(-P .不妨去 ) 1,3(P ，则 )1,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF . ∴ 1 PF · 2 PF ＝ 01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=----- 【解析】设抛物线2: 8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点 P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥ 于M ,BN l ⊥于 N , 由 ||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1 ||||2 OB AF = , ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为 01(2)3 k ∴= = --, 故选D ()()()2 11 1122122 22 22 1212121212 4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ?=?≠?=??--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直 线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则 椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点 12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 椭 圆 1. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于 P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 2. 过椭圆22 221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线BC 有定向且20 20BC b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则 tan t 22 a c co a c αβ -=+. 4. 设椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点， 在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有 sin sin sin c e a αβγ==+. 5. 若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1 时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆22 0022 ()()1x x y y a b --+=与直线0A x B y C ++=有公共点的充要条件是 2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1） 22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是 22 22 a b a b +. 9. 过椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平 分线交x 轴于P ，则 ||||2PF e MN =. 10. 已知椭圆22 221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴 相交于点0(,0)P x , 则2222 0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22 221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记 12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122 tan 2 PF F S b γ?=. 12. 设A 、B 是椭圆22 221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2222 2|cos | ||s ab PA a c co αγ =-.(2) 2 tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ?=-. 13. 已知椭圆22 221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与 椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 2. 过双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交 双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20 20BC b x k a y =-（常数）. 3. 若P 为双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦 点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则 tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22 c a co c a βα -=+）. 4. 设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上 任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有 sin (sin sin )c e a αγβ==±-. 5. 若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是 22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小 值是22 22 a b b a -. 9. 过双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点， 弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则 ||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线 与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或22 0a b x a +≤-. 11. 设P 点是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记 12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122 cot 2 PF F S b γ?=. 12. 设A 、B 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)22222|cos | |||s | ab PA a c co αγ=-. (2) 2 tan tan 1e αβ=-.(3) 2222 2cot PAB a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心 率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式： 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用 的弦长公式：1212AB x y =-=- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。 3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线) 与直线 垂直的直线可表示为 。 4、两平行线间的距离为 。 5、若直线与直线 平行 则 （斜率）且 （在 轴上截距） （充要条件） 6、圆的一般方程： ，特别提醒：只有当 时，方程才表示圆心为，半径为 的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是 且 且 。 7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方 程的主要应用是三角换元：； 8、为直径端点的圆方程 切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（） 9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角 形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为 ，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。 攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan,[0,) =∈ kααπ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- =或12AB y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程：|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记 为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 () 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如 果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用 判别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元··， 若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用 联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03 4 21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 = k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 - =b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算 能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ，如图，若设C ?? ? ??h c , 2 ， 代入122 22=-b y a x ，求得h = ，进而求得,,E E x y == 再代入122 22=-b y a x ，建立目标函 数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=，此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=,化繁为简. 解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称 依题意，记A ()0 ,c -，C ??? ??h c , 2 ，E ()00 ,y x ，其中||2 1 AB c = 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ()()122120+-=++-=λλλλ c c c x ， λλ+=10 h y 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率a c e = 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a c e = 代入双曲线方程得 142 2 2=-b h e ， ① 111242 2 2=? ?? ??+-??? ??+-b h e λλλλ ② 由①式得 142 22-=e b h ， ③ 将③式代入②式，整理得 ()λλ21444 2 +=-e ， 故 13 12+-=e λ 由题设43 32≤≤λ得，4 3231322≤+-≤e 解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为[] 10 , 7 分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示，回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：建系同解法一，(),E C AE a ex AC a ex =-+=+， ()()22121E c c c x λλλλ-+-==++，又1AE AC λλ = +，代入整理1312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得，4 3 231322≤+-≤e 解得 107≤≤e 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， -- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由. 一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D) 圆锥曲线题型总结 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2 6 ＝1. 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2， 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2 ，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2 ＋y 2 ＝1 4 和圆 (x －4)2＋y 2＝1 4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率； 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 ）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线 的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而 集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标． 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 高考数学 圆锥曲线常见习题及解析 （经典版） 椭圆 一、选择题： 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第 一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a = ，2:b l y x a =-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即121 2 OP F F c ==， 即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得222 00()b x x c a +=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ?-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线 的离心率2e =，所以选B. 3．已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342 =的焦 点重合，则该双曲线的离心率等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．2 3 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言: (1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
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