傅里叶变换关系

傅里叶变换关系

傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、声学、光学等领域。它可以将一个连续或离散的信号分解为一系列不同频率的正弦波，并得到每个正弦波的振幅和相位信息。

傅里叶变换关系指的是连续时间信号和离散时间信号之间的傅

里叶变换公式。对于连续时间信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：

X(ω) = ∫[0,∞) x(t) e^(-jωt) dt

其中，ω是频率，j是虚数单位。这个公式表示，将连续时间信号x(t)分解为无穷多个频率为ω的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(ω)，相位为-e^(-jωt)。

对于离散时间信号x(n)，它的傅里叶变换X(k)定义为：

X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) e^(-j2πnk/N)

其中，N是信号的采样点数，k是频率。这个公式表示，将离散时间信号x(n)分解为N个频率为k的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(k)，相位为-e^(-j2πnk/N)。

傅里叶变换关系的重要性在于，它使我们能够将信号从时域转换到频域，并对信号进行频域分析。通过分析信号在不同频率上的响应，我们可以了解信号的特性和结构，从而更好地理解和处理信号。

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常见傅里叶变换对照表

常见傅里叶变换对照表 一、傅里叶变换简介 1.1 什么是傅里叶变换 傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。 1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别 傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。 1.3 傅里叶变换的基本公式 傅里叶变换的基本公式如下： ∞ (t)⋅e−jωt dt F(ω)=∫f −∞ 其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。 二、时域与频域的对应关系 2.1 时域和频域的意义 时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。 2.2 原始信号与频域成分的对应关系 原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。

2.3 时域与频域之间的转换 时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。 三、常见傅里叶变换对照表 3.1 常见信号及其频域表示 下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。 信号名称时域表示频域表示 单频正弦信 号 Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0) 周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω) +B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0) 高斯脉冲信号f(t)= 1 √2πσ − t2 2σ2F(w)=e− σ2w2 2 矩形脉冲信号f(t) ={1,当− T 2

傅里叶变换详细讲述

第三章傅里叶变换 3-1 概述 对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。 线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。 用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。 现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性 组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。 1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以 用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。而以J.L.拉格朗日 (https://www.wendangku.net/doc/1919293446.html,grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运 动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级 数来表示一个具有间断点的函数。 图3-1Jean Baptiste Joseph Fourier 傅里叶（1768~1830）

傅里叶变换和傅里叶级数的关系

傅里叶变换和傅里叶级数的关系傅里叶变换和傅里叶级数是数学中两个重要的工具，它们广泛应 用于信号分析、图像处理、量子力学、电路分析等领域。傅里叶级数 是对周期性信号的分析，而傅里叶变换则能够对非周期性信号进行分析。这两个方法虽然处理不同类型的信号，但由于它们的数学结构相似，因此它们之间存在密切的联系和关系。 傅里叶级数是把任意一个周期为T的函数分解成正弦和余弦函数 的和的形式，即将函数表示为 f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx)) 其中ω=2π/T，an和bn是系数，n是正整数，a0/2也是系数， 表示直流分量的大小，即函数的平均值。这种分析是建立在函数具有 周期性的前提下的。不难看出，傅里叶级数所表示的是函数在正交的 正弦和余弦函数的基上的投影。这也是傅里叶级数的应用的核心思想。 傅里叶变换的思想是，将一个非周期函数表示为一个无穷多个周 期函数的和的形式，即把函数拆分成各种频率的正弦和余弦函数的和 的形式。傅里叶变换的表达式为

F(ω) = ∫f(x)exp(-iωx)dx 其中F(ω)是傅里叶变换，f(x)是原函数。傅里叶变换后得到的是复数，表示了原函数在不同频率下的分量大小和相位。不同于傅里叶级数，傅里叶变换能够分析任意周期的函数，而不需要满足特定的周期性质。同时，傅里叶变换是傅里叶级数的扩展形式，在消除函数间隔离的数据时，起着至关重要的作用。 傅里叶变换和傅里叶级数有着密切的联系和相似的结构。对于一个周期为T的函数，如果它的周期趋向于无穷大，即趋近于非周期性函数，那么它的傅里叶级数会趋近于傅里叶变换。因此，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一个特例。具体地说，在傅里叶级数中，正弦和余弦函数对于周期性函数来说是完备的基函数。而在傅里叶变换中，复指数函数是完备的基函数。这里之所以选用复指数函数是因为它更直观且具有更好的连续性。 在实际应用中，傅里叶变换和傅里叶级数是紧密结合的，它们相互补充，为我们提供了分析、处理复杂信号的有力工具。在信号处理领域，可以通过采用不同的信号分析方法，选择合适的傅里叶变换和傅里叶级数的方法，从而达到更好的分析处理效果。例如，通过对音

傅里叶变化时域和频域对应关系

傅里叶变化时域和频域对应关系 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域表示的数学工具。它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，他的工作为这一领域的发展奠定了基础。在信号处理和图像处理领域，傅里叶变换被广泛应用于分析和处理各种类型的信号。 时域是指信号随着时间变化的表现形式，频域则是指信号在频率上的分布情况。时域和频域是相互对应的，通过傅里叶变换可以在这两个域之间进行转换。具体来说，傅里叶变换可以将一个时域信号分解为一组频域成分，也可以将一个频域信号合成为一个时域信号。 在时域中，信号的波形可以用时间函数表示。例如，一个周期信号可以用正弦或余弦函数来描述。而在频域中，信号的成分可以用频率函数来表示。傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦成分，这些成分的振幅和相位决定了信号在频域中的表现。 傅里叶变换的数学表达式较为复杂，但可以简单地理解为将时域信号乘以不同频率的正弦和余弦函数，然后将乘积积分得到频域表达式。频域表示的信号可以通过傅里叶逆变换重新转换回时域表示。 傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换为频域，以便进行音频编码和音频特征提取。在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从时域转换为频域，以便进行图像压缩、图像增强和图像滤波等操作。

傅里叶变换还有许多重要的性质和应用。其中，频谱的对称性是傅里叶变换中一个重要的性质。对于实数信号，它的频谱是对称的，正频率和负频率包含了相同的信息。此外，傅里叶变换还可以用于信号的卷积和相关运算，以及信号的频域滤波和时域滤波等操作。 傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域表示。通过傅里叶变换，可以分析和处理各种类型的信号，从而在信号处理和图像处理领域中发挥重要作用。了解傅里叶变换的原理和应用，对于深入理解信号处理和图像处理的原理和方法具有重要意义。

连续傅里叶变换和离散傅里叶变换

连续傅里叶变换和离散傅里叶变换 网上关于从连续傅里叶变换推导出离散傅里叶变换公式的资料好像比较少，博主查阅了不少资料，总结出了一个推导的思路，现在分享给大家。 先给出连续傅里叶变换的公式： 正变换: image 傅里叶逆变换： image 下面，再给出离散傅里叶变换的公式： 正变换: image 逆变换 image 表面上看，两道公式比较难联系起来，因为连续变换公式的积分限和离散公式的求和范围就有着较大的差异，再者，连续逆变换公式和离散逆变换公式前面的系数也有较大的差别。下面将通过公式推导将这两种变换联系起来。 如果某函数f(t)在无穷区间上连续的，又满足f(t+2Pi)=f(t)，那么f(t)的傅里叶变换可以写成 image 那么上式也可以推出下面这个式子： image

这两个式子其实是等价的。下面简单正面一下这两道公式为什么等价。 证明，假设有 image 那么就有 image 令 image 就有 image 上面公式当且仅当ω大于等于0，且ω为整数时成立。 联想一下，离散傅里叶公式的ω就是离散的，它的取值就是整数，这种关系是不是很微妙？ 现在开始推导公式 我们考虑积分 image 以步长h=2Pi/N近似积分它，我们利用梯形积分法来近似代替，即有 image 其中， image

image 所以有 image 还记得傅里叶级数公式吗？傅里叶级数公式就是 image 其中， image 对于上面讨论的f(x)来说，假设其定义在 (0,2Pi) 因此， image 利用上面讨论出的近似代替的原理，就有 image 式中j虚数单位，因为频率ω也是离散的，所以这里用k代替了频率ω. 上式还可以简化一点，写成如下的形式 image 其中

欧拉公式傅里叶变换

欧拉公式傅里叶变换 摘要： 1.欧拉公式 2.傅里叶变换 3.欧拉公式与傅里叶变换的关系 正文： 1.欧拉公式 欧拉公式，又称欧拉恒等式，是数学领域中一个非常著名的公式。该公式由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18 世纪提出，它揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。欧拉公式可以表示为： e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) 其中，e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，x 是实数，cos(x) 和sin(x) 分别是角度为x 的复数单位向量在x 轴和y 轴上的分量。 2.傅里叶变换 傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的数学方法。傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分。傅里叶变换的基本思想是将一个复杂的信号分解成无数个简单的正弦波和余弦波的叠加。傅里叶变换的数学表达式为： F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中F(ω) 是频域信号，f(t) 是时域信号，ω是角频率，t 是时间。 3.欧拉公式与傅里叶变换的关系

欧拉公式与傅里叶变换之间有着密切的联系。在傅里叶变换中，当ω= 0 时，信号的频谱呈现为一个直流分量，对应于欧拉公式中的cos(0) = 1。当ω ≠ 0 时，信号的频谱呈现为一个复杂的正弦波和余弦波的叠加，对应于欧拉公式中的sin(x) 和cos(x)。 通过欧拉公式，我们可以将傅里叶变换中的三角函数表示为指数函数，从而更直观地理解傅里叶变换的物理意义。同时，欧拉公式也为傅里叶变换在实际应用中提供了一种简便的计算方法。 综上所述，欧拉公式与傅里叶变换在数学上具有深刻的联系，它们在信号处理、图像处理等领域发挥着重要作用。

傅里叶变换4种形式

4种傅里叶变换形式 离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j Ʊ).x(t)与X(j Ʊ)之间变换关系为傅里叶变换对： ⎰∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ⎰ ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20 =Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对： dt e t x T jk X T T t jk ⎰-Ω-=Ω22 ~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π 时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT 当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()(

信号处理中傅里叶变换简介

实用标准文案 傅里叶变换 一、傅里叶变换的表述 在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。 信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。 1、CFS（连续时间傅里叶级数） 在数学中，周期函数f(x)可展开为 由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为

其中， 为了简写，有 其中， 为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得 故有

令 则 对于D n，有 n≤0时同理。故

CFS图示如下： Figure 1 理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。2、CFT（连续时间傅里叶变换） 连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T 0→∞。当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。将x(t)进行CFS展开，有 若令 则

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅

氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设

傅里叶变换

傅里叶变换的变换对 对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。 从连续到离散 连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号? x ( ω) 应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为1/T –––––1/L = N 即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为{ ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样：? x [k ] = ? x discrete ( ω k ) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 f[n ]e - i 2 π –––––N n k 令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。 DFT与CT 下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。Fx ( ω) = ? x ( ω) = 1 ––L ∫ L 0 x (t)e - i ω t dt 其采样为? x ( ω k ) = 1 ––L ∫ L 0 x (t)e - i ω k t dt 将这个积分以黎曼和的形式近似，有? x ( ω k ) ≈ 1 ––L N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1 ––N ? x [k ] DFT与DTFT 参见离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT 为：? x (e i ω ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i n ω 对? x (e i ω ) 在离散的频点{ ω k = k 2 π –––––N } 0 ≤ k < N 上采样? x [k ] = ? x (e i ω k ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ]e - i 2 π –––––N k n k = 0, …,N-1 即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。? x [k ] 实际上是这个周期序列的主值序列。

傅里叶变换基本性质

傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x，积分结果不变，即

再将t用代之，上述关系依然成立，即 最后再将x用t代替，则得 所以 证毕 若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如： 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t，并考虑为的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

根据对称性 故 再将中的换成t，则得 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a＞0，由

令，则，代入前式，可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。