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《抽象代数》试题及答案

本科

一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，

并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题

3 分)

1. 设 Q 是有理数集，规定

f(x)=

x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B

）

A. x 2

2 x 1

B. x 2

3 C.

x 2 4x 5

D. x 2 x 3

2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf

是 A 到 C 的

（ A

）

A. 单射

B. 满射

C. 双射

D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素（ 1 32）不能交换的元的个数是

( C )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是

(

)

。

A. 1 个

B. 2 个

C. 4

个

D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。

A. 3 个

B. 4 个

C. 5 个

D. 6

个

6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12,

则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B )

A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意

a,b G ，以下结论正确的是 ( A

)

(ab) 1 b 1a 1

B. b

的阶不一定整除 G 的阶

C. G 的单位元不唯一

D. G

中消去律不成立

8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确的是 ( A )

．．． A. G

C. G

的商群不是循环群

是交换群

D. G

B. G 的任何子群都是正规子群的任何子群都是循环群

9. 设集合

A={a,b,c},

以下 A A 的子集为等价关系的是

( C

)

A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}

C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B

到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的（ B

）

A. 单射

满射

双射

D. 可逆映射

11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是

( D )

。

A. 1 个

B. 2 个

C. 3

个 D. 4

个

13. 设（， +，·）是环，则下面结论不正确的有 ( C

)

。

A. R 的零元惟一

若 x a 0 ，则 x a

对 a

R ， a 的负元不惟一

若 a b a c ，则 b c

14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12,

则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B

)

15．设A． 2 B. 3

G是有限群，对任

意

a,b

C. 6

D.9

G，以下结论正确的是( A )

A.|a | | G |

B. |b| =∞

C. G的单位元不唯一

D.方程ax b 在G中无解

16.设 G是交换群，则以下结论正确的是 ( B )

．．

A. G 的商群不是交换群

B. G的任何子群都是正规子群

C. G是循环群

D. G 的任何子群都是循环群

17.设 A={1， -1,i， -i}， B = {1, -1},: A→ B,

a a 2,a∈ A，则是从 A 到 B 的( A )。

A. 满射而非单射

B. 单射而非满射

C.一一映射

D. 既非单射也非满射

18. 设 A=R（实数域）， B= R（正实数集），:a →10a， a ∈ A，则是从 A 到 B 的 ( C ) 。

A. 满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

19. 设 A={ 所有实数 x} ， A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集的同态满射的是( C )。

→10x→2x

→|x|→ -x

20.数域 P 上的 n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )

A.构成一个交换群

B.构成一个循环群

C.构成一个群

D.构成一个交换环

21.在高斯整数环 Z[i] 中，可逆元的个数为（ D ）

A. 1个

B. 2个

C. 3 个

D. 4个

22 .剩余类加群 Z 的子群有 (B)。

A. 3 个

B. 4 个

C. 5个

D. 6个

23.下列含有零因子的环是（ B）

A. 高斯整数环 Z[i]

B.数域 P 上的 n 阶全矩阵环

C.偶数环 2Z

D.剩余类环 Z5

24．设 (R,+, ·) 是一个环，则下列结论正确的是（D）

A. R中的每个元素都可逆

B. R的子环一定是理想

C. R一定含有单位元

D. R的理想一定是子环

25．设群 G是 6 阶循环群，则群G的子群个数为（ A）

A． 4 个B. 5个 C. 6个 D. 7个

26.设 A = {a, b, c}， B = {1,2,3},则从集合 A 到集合 B 的满射的个数为( D )。

A.1

B.2

C.3

D.6

27.设集合 A = {a, b, c},则以下集合是集合A的分类的是( C )

A.P1= { {a, b},{a, c}}

B.P2= {{a},{b, c},{b,a}}

C.P3= {{a},{b,c}}

D.P4= {{a,b},{b,c},{c}}

28.

a,b Z，那么 R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)。设 R =

A.有单位元的交换环

B.无单位元的交换环

C.无单位元的非交换环

D.有单位元的非交换环

29.设 S3={ （ 1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3 ），（ 1 2 3 ），（ 1 3 2 ） } ，则 S3的子群的个数是 (D)。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

30.在高斯整数环Z[i]中，单位元是 (B)。

A. 0

B.1

C.i

D.i

31..设 G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群

B.任意两个子群的交还是子群

C.任意两个子群的并还

是子群 D.任意子群一定是正规子群

32.7 阶循环群的生成元个数是(C)。

A. 1

B. 2

C. 6

D. 7

33.设 A={a,b,c}， B={1,2,3},则从集合 A 到集合 B 的映射有 (D)。

A.1

B. 6

C.18

D. 27

34.设G,为群，其中G 是实数集，而乘法: a b a b k ，这里k 为 G 中固定的常数。那么群G ,中的单位

元 e 和元

和x

的逆元分别是（

；和 0；

）

k 和x2k ； D.k 和(x2k)}

35.设a, b, c和x 都是群G中的元素，且x2 a bxc 1 , acx xac，那么x（A）

A. bc1a 1 ；

B. c 1 a 1 ；

C. a 1bc 1 ；

D. b 1ca 。

36.下列正确的命题是（ A ）

A. 欧氏环一定是唯一分解环；

C. 唯一分解环必是主理想环；B.主理想环必是欧氏环；

D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H是群G 的子群，且G 有左陪集分类H , aH , bH , cH。如果| H |6，那么G 的阶G（B）；；；。

38.设 G是有限群，则以下结论正确的是（ A ）

．．

A. G C. G 的子群的阶整除

是交换群

G的

阶 D.

B. G的任何子群都是正规子群

的任何子群都是循环群

39．设 f : G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（D）

A. f的同态核是G1的正规子群；

B. G2的正规子群的原象是G1的正规子群；

C. G1的子群的象是G 2的子群；

D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。

40.关于半群，下列说法正确的是：（ A ）

A.半群可以有无穷多个右单位元

C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元B.半群一定有一个右单位元

D.半群一定至少有一个左单位元

二、填空题 ( 每空 3 分)

1.设 A 是 m元集， B 是 n 元集，那么 A 到 B 的映射共有（n m）个 .

2. n 次对称群S n的阶是（n ！）.

3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素 .

4.设 G是 p 阶群，（ p 是素数），则 G的生成元有（p1) 个.

5.除环的理想共有（2）个 .

6.剩余类环 Z6的子环 S={ ［0］ , ［ 2］ , ［ 4］} ，则 S 的单位元是（［ 4］） .

7.在 i+3,2 , e-3 中，（i 3 ）是有理数域Q上的代数元 .

8. 2 在有理数域Q上的极小多项式是（x 22） .

9.设集合 A ={a,b} ， B={1,2,3} ，则A B=（{( a,1）（, b,1), (a,2), ( b,2), (a,3), (b,3)}.）

10.设 R 是交换环，则主理想(a) =（Ra{ra ma |r R, m Z}. ）

11．设( 5431), 则1(1345).

12 .设 F 是 9 阶有限域，则 F 的特征是（3） .

13．设1 (351), 2(2154)是两个循环置换，则21（（ 1342））

14 .设 F 是125阶有限整环，则 F 的特征是（ 5） .

15.设集合 A含有3个元素，则A A 的元素共有（9）个 .

16.设群 G的阶是 2n,子群 H是 G的正规子群，其阶是n,则 G关于 H 的商群所含元素的个数是（ 2 ） .

17. 设 a 、 b 是群 G 的两个元，则

(ab) 1 =（ b 1a 1 ） .

18. 环 Z 10 的可逆元是（ [1], [ 3], [7], [9] ）.

19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环） .

20．如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f 1 f a

(a) 。

21.

设群 G 中元素 a 的阶为 m ，如果 a n

e ，那么 m 与 n 存在整除关系为（ m 整除 n ）。

22．设

(31425) 是一个 5- 循环置换，那么 1

((52413)). 。

23．有限群 G 的阶是素数 p ，则 G 是（循环

）群。

24．若 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想，那么

I 中的元素可以表达为

（ { 有限和

x i ay i | x i , y i R } ）。

25．群 (Z 12 , ) 的子群有（

）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群

G 都同一个（

群 G 的变换群

）同构。

27．设 A 、B 分别是 m 、n 个元组成的集合，则 | A B | =（ mn

）。

28．设 A ={ a,b,c } ，则可定义 A 的（

）个不同的等价关系。 A 的分类

M ={{ a,c },{ b }} 确定的等价关系是

R ({( a, a), (b, b), (c,c), (a,c), (c,a)} ）。

29. 设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有（

）个。

30. 非零复数乘群 C* 中由 -i

生成的子群是（

{ i , i,1,

）。

31. 剩余类环 Z 的零因子个数等于（

）。

32. 素数阶有限群 G 的子群个数等于（

）。

33. 剩余类环 Z 的子环 S={［ 0］ , ［ 3］ }, 则 S 的单位元是（

[ 3]

）。

34．群 : G ~~ G ， e 是 G 的单位元，则

(e) 是（ G 的单位元）。

35. 复数域的特征是（

） .

36. 在剩余类环 (Z 12 , ,?) 中， [6] ?[ 7] =（ [ 6]

） .

37. 在 3- 次对称群 S 3 中，元素 (123) 的阶为：（ 3

） .

38. 设 Z 和 Z m 分别表示整数环和模 m 剩余类环，

则环同态 f : ZZ m , n

[n] 的同态核为

（

{ mr | r Z}

）

39.

2 在有理数域上的极小多项式为（

x 3

）

40. 无限循环群一定和（

整数加群 (Z,

)

）同构 .

三、判断题

( 判断下列说法是否正确，正确的请打“√” ，错误的请打“

”，每小题

3 分 )

1. 设 G 是群，则群 G 的任意两个子群的并仍是群

G 的子群。（

）

2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在

G 的运算之下，仍在该非空子集之中。

（

√

）

3. 设

G 是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。

f: G

→G 是一个映射，且

f(x) =7

, x G. 则 f 是 G 到 G

的同态映射。（

）

4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。

（

）

5. 设

G 是群，则

群

G 的任意两个正规子群的交仍是群

G 的正规子群。（

√

）

6. 设 G 是 n 阶有限循环群，则 G 同构于模 n 剩余类加群

Z n 。（ √ ）

7. 设 : G

将 G 的单位元不一定映射为 °

）

G 是群同态，则

G 的单位元。（

8.设 R是环， A，B 是 R的任意两个理想，则 A B 也是环R的理想。（√）

9.域的特征可以为任何自然数 .（）

10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.（√）

11. 4次交错群 A 4在4次对称群 S4中的指数为 4.（）

12.复数域是实数域的单代数扩张。（√）

13.除环一定是域 .（）

次对称群 S3的中心是 (1) .（√）

15.整数环的商域是有理数域 .（√）

16.无限循环群和整数加群同构 .（√）

17.多项式 x 2 3 在有理数域上可约。（）

18.在特征为 p 的域 F 中始终有(a b)p a p b p , a, b F.（√）

19.高斯整数环 Z[i ] 是唯一分解环.（√）

20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。（）

21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。（√）

22.设 : G 1G 2是群 G 1到群 G 2的同

态，则同态核 Ker () 是 G 1的正规子群.（√ ）

23. 素数阶群不一定是循环群。（）

24. 设(Z, ,?)为整数环，p 为素数，则(pZ,,?) 是 (Z, ,?) 的极大理想。（√）

四、证明题

1.设 Q 为有理数域，设T { a b 2 | a, b Q} ，则T按数的乘法和加法构成一个域. （ 6 分）

证明：T 非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且

0 a b 2 T ,( a b 2) 1T , 这样我们就得T 关于加法、乘法构成实数域的一个子域. ，因此T按数的乘法

和加法构成一个域. 。

2.设 E 是F的扩域，且（ E：F）=1，则 E=F. （6 分）

证明：用反证法：若 E F ，则存在x E, x F ，这样 ( E : F ) 2 ，矛盾！

3.证明：交换群的商群是交换群 . （ 8 分）

证明：设 G为交换群，且H G ，则G

H G关于正规子群H的商群，且对

任意 aH , bH G

H,有,

(aH )(bH ) ( ab) H (ba)H(bH )( aH )

故 G H 是交换群.

4. 设

A {1, 1,i, i },

B {1,1}，“·”是数的乘法，证明：（，·）～（，·）。（这里“～”表示（，·）与（，·）是

A B A B

满同态）（ 8 分）

证明：构造映射： f : A B,1 1, 1 1, i1, i1，则容易验证 f 是( A, )到（B, )的同态映射.

5.证明：设 G=a 0

| a R，则 G 关于矩阵乘法构成（R 2 2 , ）的子半群.（6分）

0 0

a0b0a0b0ab0

G 关于矩阵乘法构

证明：对任意的,

0G,

00000

G ，故由子半群的判定知，

0000

成（ R2 2 , ）的子半群，得证.

6.设 a 是群 G的任一元素，若 a 的阶|a|=2，求证：a a 1. （ 6 分）

证明：由题设我们知道： a 2e, 对这个式子的两边同时乘以 a 1得

a 1a 2 a 1 e,(a 1 a)a a 1

利用群 G中逆元和单位元的性质，即

得，a a 1.

7.设ε =13i ，即3 1 =1，G= 1,,2，证明：有如下的群同构：（ Z3，）≌（ G，·），这里σ（ [0] ） =1，

σ（ [1] ） =ε，σ（ [2] ） =2。（ 8 分）

证明：容易验证下述映射

： Z3G,[0]1, [1], [2]2

是双射，且保持运算，即：

([ i][ j])([i ]) ([ j]), [ i], [ j]Z 3.

由同构映射的定义，即得（Z3，）≌（G，·）.

8.设 G是 R2×2中所有可逆矩阵组成的集合，

（i ） . 证明 G关于矩阵的乘法成群。（ 6 分）

(ii). (iii).0 1

- 1 0

1 1

0 1

的阶是多少？（ 4 分）

(iv).证明G不是交换群.（6分）

解：（ i ）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，由此 A ,B G , A 1G, AB G ,故G关于矩阵的乘法成群.

(ii).

注意到此时群 G 的单位元是：

1 0 0 1 0 1，经过简单计算，我们可知

的阶是 3.

-1

(iii).

1 1

0 的阶是 .

(iv).

0 1 1 1 1 1 0 1

通过简单计算，得

0 0 1 0 1

1 ，故 G 是非交换群。

1 0

解答题：

1. 设 Q 是有理数集， “ +”是数的加法，找（ Q ，+）的所有不同的自同构映射。（ 8 分）

解：对任意 x

Q ，定义 f x : Q

Q, a

ax, 对

a Q, 则集合 { f x | x Q, 但 x 0} 为 (Q, ) 的所有自同构

映射 .

A 1 , A 2 , , A 8

中 A 1

1 0

1 0 1 0 ２．

设G

，

其

, A 2

, A 3 0

0 1

-1

A 4 1 0

i 0 i 0

, A 8

, A 5

, A 6

A 7 =

0 i

0 -1

0 i

0 - i

列出 G 的乘法（矩阵乘法）运算表。

解：运算表如下：

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 1 A 1 A 2 A 3

A 4

A 5 A 6 A 7 A 8 A 2 A 2

A 1 A 4 A 3 A 6 A 5 A 8 A 7 A 3 A 3

A 4

A 2 A 8

A 7

A 6 A 6 A 5 A 4 A 4

A 3 A 2

A 1 A 7

A 8

A 5 A 6

A 5 A 5 A 6 A 8 A 7 A 2 A 1 A 3

A 4

A 6 A 6 A 5 A 7 A 8 A 1

A 2 A 4 A 3

A 7 A 7 A 8 A 6 A 5 A 3

A 4

A 2

A 1

A 8

A 7

A 5

A 6

A 4 A 3

A 1 A 2

３．（１）写出３－次对称群 S 3 的所有元素；（４分）

（２）

求出 S 3 中所有元素的阶；（６分）

（３）求出 S 3 中所有元素的逆元 . （６分）

解：

( １) S3的全部元素为：0123，123，2123，123，1

1231132213323143

，123

．

215312

（２）各元素的阶为： |1 | | 2 |

| 4

2,| 3

| |

5|3, |0

（３）0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的逆元分别为：0 ， 1 ， 2 ， 5 ， 4 ， 3 ．

４．找出 Z12中的所有零因子．（６分）

解： [2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．

５．在有理数域的扩域Q（32 ）中，求1+ 32的逆。（１０分）

解：由于3 2 在Q上的最小多项式是p(x)= x3-2 ，因此由定理 4.3.3 ，得到

Q(3 2) { a0 a13 2 a22 4 a0 , a1 , a2 Q}

由于 1+ 32在 Q(3 2 ) 的逆元仍然是Q(32 )中的元素，故可设1+ 32 在Q(32 ) 的逆元为 a0 a1 3 2a23 4 ,则

（ 1+ 32）（a0a13 2a23 4 ）=1

将 p( 32 )=( 3 2) 3-2=0 代于上式，并经过简单计算，得到

(1 3 2)1=1 3 4 1 321

333

６．设 H{[ 0], [ 3], [ 6], [9]} ≤ Z12，写出 Z12关于H陪集分解式。（８分）

解： Z12关于H的陪集分解式为

Z12=0 3 6 91 4 7 10 2 5 8 11

７．列出整数模 6 剩余类环Z6中元素的加法和乘法运算表. （１２分）

解： Z 6= {[0] [1] [2] [3] [4] [5]}

Z 6中元素的加法和乘法运算表如下:

+[0][1][2][3][4][5]

[0][0][1][2][3][4][5]

[1][1][2][3][4][5][0]

[2][2][3][4][5][0][1]

[3][3][4][5][0][1][2]

[4][4][5][0][1][2][3]

[5][5][0][1][2][3][4]

[0][1][2][3][4][5]

[0][0][0][0][0][0][0]

[1][0][1][2][3][4][5]

[2][0][2][4][0][2][4]

[3][0][3][0][3][0][3]

[4][0][4][2][0][4][2]

[5][0][5][4][3][2][1]

８．写出 Z4中每个元所含整数。（８分）

解 [0] {4 q | q Z },[1]{4 q 1| q Z},[2]{4 q 2 |q Z}, [3] {4 q 3| q Z}

９．在 S3中，计算(1 2)(23)与 (2 3)(1 2)。（６分）

解： (1 2)(2 3) = (1 23)， (23)(12) = (1 3 2)。

１０．求出 S3的所有正规子群。（１０分）

解： S3的所有正规子群为：H 1{( 1)}, H 2A3{( 1), (123), (132)}, H 3S3．

１１．设 A=1,2，写出 A 的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。（１２分）解：所有双变换为： f :1 1,22, g : 12,2 1 ，则 G { f , g} ，其运算表如下：

·f g

f f g

g g f

１２．求模8 的剩余类环Z 8的所有子环。（８分）

解：

Z 8的所有子环为：

；

{[0]}

；

{[0], [4]}

；，，，．

{[0] [2] [4] [6]}

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续

抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案本科一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的（ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素（ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的（ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（， +，·）是环，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》习题答案与解答

引论章一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。（） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。（） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。（）三．证明题 1．设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的（ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的（ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-

《近世代数》模拟试题及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213, ,0101c d cd ?? ??== ? ?-????，的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）

近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使得 010=+++n n a a a αα 。

近世代数模拟试题1及答案

近世代数模拟试题单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程