关于概率统计中的一些反例分析

概率统计中的反例

前言

第一章 随机事件及其概率

1． 同一问题的概型未必唯一 2． 事件间的关系

（1） 由C B A =-推不出 C B A ?= （2） 由C B A ?=推不出C B A =-

（3） C B A C B A -≠-?)()( 3． 概率为零的事件未必是不可能的事件 4． 由概率关系推不出事件间关系 5． 试验次数多概率就一定大吗？ 6． 概率与抽样方式是否有关

7． 事件概率与试验的先后次序是否有关

第二章 随机变量极其分布

1． 离散型分布的最可能值是否唯一

2． 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件 3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在 5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7． 边缘分布不能决定联合分布

8． 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 9． 正态边缘分布可由非正态联合分布导出 10. 均匀分布不具有可加性 11. 分布函数之和不是分布函数

第三章 独立性与相关性相容性

1． 两两独立但不相互独立

2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C 不两两独立 3． 独立关系不具有传递性

4． 随机变量不独立，但其函数可以独立 5． X 与Y 不独立，但2

X 与2

Y 独立 6． X 与Y 不独立，但有相同分布 7． 既不相关也不独立的随机变量

8． 随机变量独立但它们的函数未必独立 9． 独立性与相容性

10. 独立同分布的随机变量是否必相等 11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立 第四章 随机变量的数字特征

1． 随机变量的数学期望未必都存在 2． 随机变量的方差未必都存在 3． 数学期望存在但方差不存在

4． X 的函数的期望是否等于X 的期望的函数 5． X 的各阶矩都存在也不能确定X 的分布函数 6． 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y 未必独立

第五章 参数估计与假设检验

1．矩估计是否有唯一性

2．矩估计不具有“不变性”

3．极大似然估计是否有唯一性

4．似然方程的解未必是极大似然估计

5．参数估计的无偏性与一致性有无关系

6．无偏估计是否唯一

7．零假设与备择假设是否处于对等的地位

前言

数学是由两个大类——证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲

反例就是推翻错误命题的有效手段

从教学上而言

反例能够加深对正确结论的全面理解【美】B.R.盖尔鲍姆曾说

“一个数学问题用一个反例予以解决

给人的刺激犹如一出好的戏剧”

相信读了《概率统计中的反例》后

我们大家都会有这一同感

第一章随机事件及其概率

1．同一问题的概型未必唯一

概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。

由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。

概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内

容是：设有r个球，每个都能以相同概率1/n落到n个盒子（n>=r）的每一个盒子

中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率。

如果我们把r各球视作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几

个人中，没有n个人生日相同的概率。

众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下

几种概型：

（1）马克斯威尔－波尔茨曼认为球彼此之间有区别，且对每盒中可

容纳球数不加限制；

（2）玻色－爱因斯坦认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数

不加限制；

（3）费密－狄雷克认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳

二个球。

后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况

（4）布里龙认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见

杨宗磐《概率论入门》P.13 科学出版社）

以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看

作状态。

再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有r(

概率。（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找

到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验：

（1）n个人的任意一种排列作为一个基本事件；

（2）仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组；

（3） 可由甲与乙之间的间隔数来考虑。 不论取何种概型，本题的求概率均为1/(n-1).

2． 事件间的关系

(1). 由C B A =-推不出 C B A ?=

事实上，令 A={1,2,3,4},B={1,3,5},于是C=A-B={2,4},而A C B ≠=?}5,4,3,2,1{

注：但B A ?时，能由C B A C B A ?=?=- (2). 由C B A ?=推不出C B A =-

令A={1,2,3,5},B={1,2},C={1,3,5},则C B A ?=但C B A ≠=-}5,3{ 注：当A B ?,A C ?,且Φ=BC 时可由C B A C B A =-??= (3). 一般C B A C B A -?≠-?)()(

令A={1,2},B={2,3},C={2},则C B A C B A -?=≠=-?)(}3,1{}3,2,1{)( 注：当φ=AC 时，C B A C B A -?=-?)()( 3． 概率为零的事件未必是不可能事件

不可能事件的概率必为零，反之却未必成立

当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件

当考虑的概型是几何概型时，概型为零的事件未必是一个不可能事件。例如：设试验E 为“随机地向边长为1的正方形内投点”，事件A 为“点投在正方形的一条对角线上”（见图）

此时}1,0|),{(<<=Ωy x y x

}1,0|{<<==y x y x A

尽管

10

)(＝＝正方形的面积的面积线段E OB A P =

但A 却可能发生，

另外，对于连续性随机变量，它在某固定点取值的概率为零，但它不是不可能发生。

发生上述情形的原因，在于概率是一个测度，有测度为0的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零。

由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件。

4． 由概率关系推不出事件间关系

概率中有这样的性质：若事件A,B 有关系B A ?,则其相应的概率关系是

)()(B P A P ≤,反之却不真。例如：

设P(A)=0.1,P(B)=0.2,2.0)(=?B A P ,此时B A ?不成立，事实上，由

)()()()(AB P B P A P B A P -+=?得出P(AB)=0.1.

于是 0)()()(=-=-AB P A P AB A P

由问题3，这意味着可有φ≠-AB A ,从而未必有B A ?。

5． 试验次数多概率就一定大吗

在概率论的萌芽时期，有一个著名的(Chevalier de Were)问题：一颗骰子掷4次至少得一个1点，与两颗骰子掷24次至少得两个1点，这两个事件究竟哪个概率大？曾引起很多人的注意。现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。

n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为n

p )1(1--，其中)(A P p =，

现考虑欲使

21)1(1≥

--n

p ，则)1l g (2lg p n --≥，此式给出了n 的下界，使问题得以解决。

以掷一颗骰子作试验，要连续掷n 次使1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则8.3≥n .以掷两颗骰子作试验，要连续掷n 次使两个1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则6.24≥n .由此得出，一颗骰子掷4次至少有一个1点的概率大于等于1/2,而两颗骰子掷24次至少有一次得两个1点的概率小于1/2. 本例说明试验次数很多，但概率不一定大。

6． 概率与抽样方式是否有关

一般，所求事件的概率与抽样方式有关，常见的有放回抽样与不放回抽样两种。前者指同一个体可被重复抽取，后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样，每一个体至多被抽到一次。

例如有n 件产品，其中有m 件次品，现随机抽取l 件产品。求其中恰有k 件次品的概率。在抽样方式未定的情况下，此概率是不唯一的，事实上：

若取放回抽样，所求概率k

l k k l n m

n m C p --=)1()(1 （1）

若取不放回抽样 所求概率

l

n k l m

n k m C C C p --=2 （2） 显然 21p p ≠ ),min(,,2,1,0l m k =

（1），（2）分别称为二项分布与超几何分布。

当∞→n 时)1()2(→即二项分布是超几何分布的极限分布。

由此得出如下结论：对于样本点个数较小的总体，在放回抽样与不放回抽样的场合，事件的概率会有较大的差别。当总体中样本点个数很大，样本容量不大时，这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。

7． 事件概率与试验的先后次序是否有关

设有一口袋，内有a 只黑球，b 只白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处，现把球一只只地摸出，求第k 次摸出的是黑球的概率 )1(b a k +≤≤.

初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中

先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关。

按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第k 次摸出的球的全部可能的结果，则},,,{21b a +=Ωωωω i ω表示第k 次摸出第I 号球，

b a i +=,,2,1 ，于是要求的是事件 },,,{21a A ωωω =的概率。由古典概率

b a a

A P +=

)(，P(A)显然与k 有关。

本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原

因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述，所以称本解法是最简单的，因为解法中的样本空间是最小的。

第二章 随机变量及其分布

1． 离散型分布的最可能值是否唯一

离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若

任意一个离散型分布???? ?? n

n

p p p

x x x 21

21，若),,,,sup(21 n k p p p p =，

则称k x 为此分布的最可能值。

一般离散型分布的最可能值不唯一，比如：二项分布B （n,p ）中，当p n )1(.

+为

非负整数时，恰有两个最可能值：p n )1(.

+与1)1(-+p n .如二项分布B （8，1/3）,

其最可能值为k=2或3.

可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。证明见王梓坤《概率论基础及其应用》 科学出版社）

2． 单调不降右连续是分布函数的必要条件

分布函数一定是单调不降（右）连续的函数，反之命题不成立。例如，取

?????≥<≤--<-=11

1

12

11)(x x x x x F ，)(x F 显然是调调不降函数，且右连续，可是01)(≠-=-∞F ，所以)(x F 不可能是某个随机变量的分布函数。

因为只有当一个函数满足单调不见，非负有界（1)(,0)(=+∞=-∞F F ，且右

连续（或左连续）时，才能成为某个随机变量的分布函数。

3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在

如果一个分布函数)(x F 是连续的，并且其导函数几乎处处等于零（关于勒贝格

测度而言），则称)(x F 为奇异型分布函数。如果随机变量X 的分布函数是奇异型的，则称X 为奇异型随机变量。

任何一个奇异型的分布函数都是一个既非离散型又非连续型的分布函数。

有没有非奇异型的分布函数属于既非离散型又非连续型的分布函数？

有，请看下例：设

?

????≥<≤+<=111

02100)(x x x

x x F ，由分布函数的定义又知)(x F 是分布函数，又)

1,0(,021

)('∈≠=x x F ，故)(x F 不是奇异型的分布函数，与)(x F 对应

的随机变量不是取有限个或可列多个值，故)(x F 不是离散型的分布函数，又

1

21

21)()(1

0'

≠===???

∞

∞-∞

∞

-dx dx x F dx x f

故)(x F 也不是连续的分布函数。

4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在

设随机变量X 服从某个分布，若它满足

)()|(t X P s X t s X P >=>+>

则称概分布具有无记忆性。

对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的。（证明可见 复旦大学《概率论》 人们教育出版社 P.125-126）在可靠性问题中，把X 理解为某元件的寿命，则无记忆性表示某元件的寿命如果已知大于5年，则其寿命再延长七年的概率与年令无关。

具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布 ,2,1,)1()(1

=-==-k p p k X P k

几何分布是一种等待分布，例如,在事件A 发生的概率为p 的贝努里试验之中，A 首次出现时的等待次数X 的分布为几何分布。

5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布

若两个随机变量X,,Y 满足0)(=≠Y X P ,则称X 与Y 几乎相等。 可以证明：几乎相等的随机变量具有相同的分布，反之都不成立。 例如，设X 与Y 具有相同的分布

?

??? ??-212111

并设X 与Y 相互独立，据此可算得121)(≠=

=Y X P ，从而021)(≠=≠Y X P ，

即X 与Y 不几乎相等。

所以不几乎相等得随机变量可以有相同的分布。

6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布

我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布，多项分布的边缘分布亦为多项分布。那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢？答案是否定的。

例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布，也可以不是均匀分布。

边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布，而圆域上的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布。

7． 边缘分布不能决定联合分布

一般边缘分布由联合分布所决定，反之不真。

例如：);,;,(~),(222211ρσμσμN Y X ,则有),(~211σμN X ,),(~2

22σμN Y 反之，已知),(~2

11σμN X ，),(~2

22σμN Y ，却得不出（X,Y ）一定是二维

正态分布的结论。若添加X 与Y 相互独立的条件，则可得)0;,;,(~),(2

222

11σμσμN Y X

除连续型分布外，还可举出离散型分布的例子。

8． 不同的联合分布可具有相同的边缘分布

它们的边缘分布完全相同 由此可见边缘分布由联合分布唯一决定，反之不成立，除离散型分布外，还可举出连续

型分布的例子。

9． 正态边缘分布可由非正态联合分布导出

正态分布具有许多好的性质，其中之一是：二维正态分布的边缘分布仍是正态分布。反之，两边缘分布都是正态分布，起联合分布未必是正态分布，例如：

设

+∞

<<-∞+=

+-

y x y x e y x f Y X y x ,),sin sin 1(21),(~),(2

2

2π

则

+∞

<<-∞=

=-∞

+∞

-?x e dy y x f x f x X ,21),()(2

2π

+∞

<<-∞=

=-

∞

+∞

-?y e

dx y x f y f y Y ,21

),()(2

2

π

即)1.0(~N X ,)1.0(~N Y ,显然（X,Y ）并不服从联合正态分布。

10. 均匀分布不具有可加性

若独立同分布的两随机变量之和仍服从原分布，则称该分布具有可加性。 可以证明二项分布，泊松（Poisson ）分布，正态分布均具有可加性，而均匀分布不具有这个性质。

设X,Y 相互独立，且都服从（a,b ）上的均匀分布，令Z=X+Y ，则Z 的密度函数为：

???

??????<≤+--+<≤--≥<=b

Z b a a b Z b b a Z a a b a Z b Z a Z Z f 2)(22)(22,20)(22

可见Z 服从辛卜生（Simpson ）分布，不再是均匀分布。

11. 分布函数之和不是分布函数

设F(x),G(x)均为分布函数，其和)()()(x G x F x H +=，显然不是分布函数，

因为此时12)()()(≠=+∞++∞=+∞G F H

若令)()()(x G x F x J βα+=，当非负实数满足1=+βα时，J(x)可作为某

随机变量的分布函数。（证明见王梓坤《概率论基础及其应用》 P46） 顺便指出：分布函数之积必是分布函数.

第三章 独立性与相关性相容性

1． 两两独立但不相互独立

【例1】 设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一

种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C 分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，则

41

)()()(,21)()()(====

==BC P AC P AB P C P B P A P

所以A,B,C 两两独立，但

)()()(81

41)(C P B P A P ABC P =≠=

因而A,B,C 不相互独立。

【例2】

设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y ,Z 分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，则

41)1,1()1,1()1,1(2

1

)1()1()1(=

=========

=====Z Y P Z X P Y X P Z P Y P X P

所以X,Y ,Z 两两独立，但

)1()1()1(81

0)1,1,1(====≠

====Z P Y P X P Z Y X P

因而X,Y ,Z 不相互独立。

2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C 不两两独立.

设有一均匀正八面体，其第1，2，3，4面涂有红色，第1，2，3，5面图黄色，

第1，6，7，8面涂兰色。现以A,B,C 分别表示投一次正八面体，底面出现红，黄，兰颜色的事件，则

)()()(81

)(2

1)()()(C P B P A P ABC P C P B P A P ==

=== 但是 )

()(41

83)(B P A P AB P =≠=

)

()(41

81)(C P A P AC P =≠=

)

()(41

81)(C P B P BC P =≠=

所以A,B,C 不两两独立。

3． 独立关系不具有传递性

设三事件A,B,C ，若由A 与B 独立，且B 与C 独立，得到A 与C 独立，我们就称A,B,C 的独立关系具有传递性

考虑有两个孩子和家庭全体，假定生男生女是等可能的，因而样本空间

)},(),,(),,(),,{(g g b g g b b b =Ω，其中b 为男孩，g 为女孩，每一对里的次序是指出

生的次序.

现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭，并考虑下面三个事件： A 为“第一个孩子是男孩”，B 为“两个孩子不同性别”，C 为“第一个孩子是女孩”，则有

Φ===AC b g BC g b AB )},,{()},,{(

)

()(41

)(),()(41)(C P B P BC P B P A P AB P ====

即A 与B 独立，B 与C 独立，但是

)()(41

0)(C P A P AC P =≠

=

因此A 与C 不独立.

顺便指出不独立关系也不具有传递性，即若A,B 不独立，B,C 不独立，则A,C 可以独立

考察掷三枚均匀硬币的试验 A 为“全正面或全反面”，B 为“至多两个正面”，C 为“至多一个正面”，试验的样本空间为

},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω 其中H 表示正面，T 表示反正，容易算出： 81)(,21)(,81)(,21)(,87)(,41)(======

AC P BC P AB P C P B P A P

于是有

)()(32781)(B P A P AB P =≠=

)

()(167

21)(C P B P BC P =≠= )

()(81

)(C P A P AC P ==

可见A,B 不独立，B,C 不独立，A,C 却独立.

4． 随机变量不独立，但其函数可以独立

正态分布有个特性：任何n(>1)维正态随机变量，可由坐标轴的旋转转变为一组几个独立的正态随机变量.（参见丁寿田译的前苏联《概率论教程》 P157）

例如n=2，即使X,Y 不独立，当（X,Y ）服从二维正态分布，令

θθsin cos Y X Z +=，θθcos sin Y X W +-=，则（Z,W ）仍服从二维正态分

布，其联合密度函数为：

)

2()

1(212

21222

121),(CW BZW AZ e

W Z f +---

-=

ρρσπσ

只要适当地选择θ：

2

2

212

122σσσρσθ-=

tg

则B=0,此时Z 与W 独立

5． X 与Y 不独立，但2

X 与2

Y 独立

若随机变量X 与Y 独立，则2

X 与2

Y 必相互独立，其逆不真 例如：设（X,Y ）的联合密度函数为

?????<<+=其他01

||,1||)1(4

1

),(y x xy y x f

?

????≥<≤=+<=≤=??--1110)41(00)()(1122x x x

du dy uy

x x X P x F x x X

???

??≥<≤<=111

000

)(2y y y y y F Y ?????

????≥≥<≤<≤<≤≥≥<≤<<=1,1110,101

0,11,10000

),(22y x y x xy y x y y x x y x y x F Y X 或

对于一切x,y 恒有)()(),(2222y F x F y x F Y X Y X =

所以2

X 与2

Y 相互独立。

?????<=其他01||21)(x x f X ?????<=其他01

||2

1)(y y f Y 显然)()(),(y f x f y x f Y x ≠，所以X 与Y 不独立.

6． X 与Y 不独立，但有相同分布

观察如下的（X,Y ）的联合分布及其边缘分布

由于3,2,1,=≠j i P P P

j i ij 、 故X 与Y 不独立，但X 与Y 的分布显然相同.

7． 既不相关也不独立的随机变量

若随机变量X,Y 相互独立，则X ，Y 不相关，反之不真，这方面的反例很多，

离散型与连续型各举一例.

例1． 设（X ，Y ）的分布为： 容易验证 不相关Y X Y E X E XY E Y X ,0)()()(),cov(?=-=

不独立Y X j i P P P j i ij ,3,2,1,,?=≠.

例2． 设（X,Y 服从单位圆域上的均匀分布，但其密度函数

???

??>+≤+=10

11),(2222y x y x y x f π

容易验证

不相关Y X Y E X E XY E Y X ,0)()()(),cov(?=-=

不独立Y X y f x f y x f Y X ,)()(),(?≠.

8． 随机变量独立但它们的函数未必独立

设).,(),,(Y X g W Y X f Z ==X,Y 为相互独立的随机变量

（1） Z,W 独立的例子

设X,Y 独立且有相同分布),0(2

σN ，取22Y X Z +=,

Y X W =

,

则（Z,W ）的联合密度为

??

???<≥=+-000),()1(1222

22

z z e z w z f z ωπσσ 边缘密度为

?????<≥=-000)(2

2

22z z e z z f z Z σσ ∞<<-∞+=w w w f W ,)1(1

)(2

π

则 )()(),(w f z f w z f W Z =

故Z 与W 独立

（2） Z,W 不独立的例子

设X,Y 不独立，且都服从如下分布

???? ??6/16/16/16/16/16/1654321

取Y X W Y X Z -=+=,,此时Z 与W 或者同为奇数或者同为

偶数，所以Z 与W 不独立.

9． 独立性与相容性

独立性是问题间的概率属性，相容性是事件间本身的关系。由第一章4可知，

由概率关系推不出事件间关系，所以由独立性推不出不相容性。

看如下一个命题： 若A,B 为两个独立事件，且0)(,0)(>>B P A P ,且A,B 不能不相容，用反证

法证明此命题。

若Φ=AB ,则0)(=AB P ,由A,B 独立，且0)(,0)(>>B P A P 得

0)()()(>=B P A P AB P ,矛盾，因而Φ≠AB

可见在题设条件下，A 与B 独立同A 与B 互不相容不能同时成立。但若A,B

中有一个概率为0，则A 与B 独立同A 与B 互不相容可同时成立。

10． 独立同分布的随机变量是否必相等

设X,Y 互相独立，且都服从两点分布

?

??? ?

?-2/12/111 则未必有X=Y

事实上，由X,Y 的独立性有

214141)1()1()1()1()

1,1()1,1()(=+=

==+-=-====+-=-===Y P X P Y P X P Y X P Y X P Y X P

显然X=Y 不是必然事件.

11． 有函数关系的随机变量是否一定不独立

考验如下三个随机变量X,Y 和Z ：假定X 与Y 独立且都服从参数为p 的（0－

1）分布，令Z 为X 与Y 的函数

??

?++=为奇数为偶数Y X Y X Z 10

由于X,Y 独立，可得（X,Y ）的联合分布律

???? ?

?-+22

2)1(10p p p

（X,Z ）的联合分布率为 可见，尽管Z 与X 之间存在函数关系，但它们可以相互独立.

第四章 随机变量的数字特征

1． 随机变量的数学期望未必都存在

在数学期望的定义中，要求级数绝对收敛或积分绝对可积，我们知道，绝对收敛的级数一定收敛，绝对可积的函数一定可积。反之都不真，故有数学期望不存在的随机变量存在。

（1） 离散的例子

设随机变量X 取值

,2,1,2)

1(1

=-=-k k x k

k k ，相应的概率为

,2,1,21

==

k p k k

由于∞==∑

∑∞

=∞

=11

1

||k k k k

k p x ，所以X 的数学期望不存在

然而2ln 41

312111)1(11

1

=+-+-=-=∑∑∞

=-∞

= k p x k k k k k

若把上式左边级数中的各项进行重排，会收敛到不同的数

例如：

2ln 23

41715121311=+-++-+

2ln 21

81613141211=+--+--

一个随机变量的数学期望只能是一个数，因此数学期望定义中

要求的绝对收敛是必要的，它们可以保证k x 顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性

（2） 连续的例子，见教材P.141 例5 柯西（Cauchy ）分布

2． 随机变量的方差未必都存在

按定义 2

))(()(X E X E X D -=,由于方差被定义为一种特殊形式（即随机变量X

的函数）的数学期望，而随机变量及随机变量函数的数学期望都未必存在，所以随

机变量的方差也未必存在。

本章1中所举两例中的随机变量的方差都不存在.

3． 数学期望存在但方差不存在

参数为n 的t 分布的密度函数是

+∞

<<-∞+Γ+Γ=+-x n x n n n x f n n ,)1()

2()21

(

)(212

π

设随机变量)2(~t X ，则其密度函数

23

22)21(42)(-+=x x f ?+∞

∞-==0

)()(2dx x xf X E 2

X 的数学期望不存在，所以X 的方差不存在

关于t 分布，其矩有一个特点，当r

X E 不存在，

而且当n>2时，0)(=X E ，2)()(2-=

=n n

X E X D ，故在n=2时，∞=)(X D .

4． X 的函数的期望是否等于X 的期望的函数

一般 )]([)]([X E f X f E ≠ 例如：设X 服从如下分布：

???? ??-4/14/14/14/1210

1 再设}2,1,0,1{,)(3

-∈-=x x x x f 于是随机变量函数

?

??? ??4/14/360

~)(x f 故得

23)]([=X f E ,由于2/1)(=X E ，可得83

21)21()]([3-

=-=X E f ,所以)]([)]([X E f X f E ≠

5． X 的各阶矩都存在也不能确定X 的分布函数

若已经X 属于某个分布，且又知道其某些矩，便可确定X 的分布函数，比如知道一阶原点矩（即数学期望）就能确定（0－1）分布的泊松分布，指数分布的分布函数，若进一步还知道二阶中心矩，便能确定二项分布，均匀分布，正态分布的分布函数。由

此是否能推断：知道X 的各阶矩，就一定能确定X 的分布函数呢？回答是否定的，事实上，存在着不同的分布函数，其各阶矩都一样。

例如 设随机变量X 与Y 的密度函数分别是

????

?≤>=-000

)(c o s x x ce x f a x X a

π

??

?≤>+=000

)]cos sin(1[)(x x a x c x f a Y π 其中0

Γ=

π

显然)()(x f x f Y X ≠，从而X 与Y 各自的分布函数)()(x F x F Y X ≠，但它们却

有相同的各阶矩：

,2,1)()(c o s )1()1

(

)(00==Γ+Γ=??∞

-∞n dx x f x a a a n dx x f x Y n a

n

X n π

结论：由随机变量的分布函数可以确定随机变量的数字特征，反之不然.

6． 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y 未必独立

若随机变量X,Y 独立，且各自数学期望存在，则)()()(Y E X E XY E =,反之不真。 例如：设随机变量Z 服从]2,0[π上的均匀分布 )

2cos(cos π

+

==Z Y Z

X

0)2cos(21)(,0cos 21

)(2020

=+===

??dz z Y E zdz X E ππ

π

ππ

02cos 21)2cos(cos 21)(20==+=?π

πππdz z z XY E

于是)()()(Y E X E XY E = ，即X,Y 不相关，而X,Y 满足12

2=+Y X ,所以

X,Y 不独立.

第五章 参数估计与假设检验

1． 矩估计是否有唯一性

以样本矩阵作为相应的总体矩的估计量，以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。这种估计的方法被称为矩估计法

我们知道矩有原点矩与中心矩之分，如果样本原点矩与样本中心矩都可作为相应总体矩的估计，则显然矩估计不具有唯一性

即使规定只用样本的k 阶原点矩作为相应总体k 阶矩的估计，那么参数的矩估计也不是唯一的社，例如

设总体X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布,由于)()(X D X E ==λ,故由矩估计法知：

2

121

)(1?,

?X X n X n

i i -==∑=λλ

都为参数λ的矩估计量.

2． 矩估计不具有“不变性”

所谓极大似然估计具有“不变性”，是指：若θ?为θ的一个极大似然估计，则当函数)(θg 具有单值反函数时，)?

(θg 为)(θg 的一个极大的似然估计，对矩估计而言，“不

变性”不成立，例如：

对反射正态分布

)0(00012)(2

2

2>?????≤>=-σσπσx x e

x f x

用矩估计法分别对σ和2

σ作估计

?∞

=

=02

)()(σ

π

dx x xf X E

2

2

220

2222

)()(σσπ

==

=-

∞∞??dt e

t dx x f x X E t

设),,,(21n X X X 为取自反射正态总体的样本，由矩阵令

2212

)(1,

2

)(σσ

π

===

=∑=X E X n X E X n i i

得：

∑=∧==n i i

X n X

12

2

1,

2

?σπ

σ

由此可见

=≠=∑=n i i X n X 12

2

12

)?(πσ

∧2σ 所以矩估计不满足不变性.

3． 极大的似然估计是否有唯一性

极大似然估计不具有唯一性，例如 设均匀分布的密度函数

为待估参数

其他θθθθ?????

+

≤≤≤-=02

1211);()()1(n x x x f

似然函数：

?????

+≤≤-=?????

+≤≤≤?????

≤≤+≤≤-==∏=其他其他－＝其他0212110

212110

)1(21211)

;();,,()1()()()1(1

x x x x n i x x f x x L n n i n

i i n x θθθθθθθ

显然区间

]

21,21[)1()(+-x x n 中的每一点均为)(θL 的最大值点 于是1

0]1[21

?)()1()(≤≤+-+-=t X X t X n n θ， 均为θ的极大似然估

计量

注： 当

2121)1()(+=-

X X n 时，θ的极大似然估计唯一 当

2121)1()

(+>-X X n 时，θ的极大似然估计不存在.

4． 似然方程的解未必是极大似然估计

设),,,(21n X X X 是取自柯西（Cauchy ）分布

∞

<<-∞-+=

x x x f ])(1[1

);(2θπθ

的样本

当1=n 时，似然函数为

])(1[1

)(21θπθ-+=

x L

])(1ln[

ln )(ln 2

1θπθ-+--=x L 似然方程为 0)(1)(2ln 211=-+-=??θθθx x L

故

1?X =θ

是

θ的极大似然估计量

当2=n 时，似然函数为

()

1]

)(1][)(1[1

)(2221θθπθ-+-+=

x x L 要使)(θL 达到最大，只要（1）的分母最小，令其分母的变量部分为

])(1][)(1[)(2

22θθθ-+-+=x x f x 由

)2(0]1)()[2(2)(21212

21=+++--+-='x x x x x x f θθθθ

得三个解：

2/]4)()[(,2221213,22

11--±+=+=

X X X X X X θθ

通过)(θf ''的正负可判得：当1θ为θ的极大似然估计时，3,2θ不是θ的极大似

然估计；反之，当3,2θ为θ的极大似然估计时，1θ不是θ的极大似然估计。而无论发生什么情况，似然方程（2）的三个解不全是θ的极大似然估计

极大似然估计就是求似然函数的极大值点，似然函数是样本的联合分布密

度，似然方程是似然函数的导函数为零的函数。我们知道，导函数为零的点是函数的驻点，而驻点未必是函数的极大值点，所以似然方程的解未必是极大似然估计.

5． 参数估计的无偏性与一致性有无关系

两者间没有一定的关系，下表中所列的四种情况均可以发生

以均匀分布为例 ),,,(21n X X X 为如下均为总体的一个样本

?????≤<=其他001

);(~θ

θ

θx x f X 由极大似然估计法可得)?

n X

（＝θ的总体参数θ的一个极大似然估计，且唯一 )(n X 的概率密度为

???

??≤<=-其他00)(1

)(θ

θx nx x f n

n X n

θ

θ=++==?∞∞-)1

(1)())())(n X n X n n E n n dx x xf X E n （（

可见)(n X 不是θ的无偏估计，)

(1

n X n n +是θ的无偏估计

22

222

)(2)

()()1)(2()1(2))(()()(++=

+-+=-=n n n n n n n X E X

E X D n n n θθθ

由切贝雪夫不等式的推广（Bienayme 不等式的特例）

)

(0)

1((/)]1

()1[()()|(|2

2

)(2

2)(2

2

)()(∞→→+-

+=

+--+-

=-≤

≥-n n n X D n n n n X E X E X P n n n n εθθεθθθεθεθ

由切贝雪夫不等式

)

(0)()1(

)|1

(|

2

)(2

)(∞→→+≤≥-+n X D n n X n

n P n n ε

εθ

由此知有偏估计)(n X 和无偏估计)

(1n X n n +都是θ的一致估计

再引进θ的两个估计112X X 与

θ

θ

θ

θ

==

=?

)2(2

)(10

1X E dx x

X E

可见1X 是θ的有偏估计，12X 是θ的无偏估计 对任意0>ε，有

()

∞→→/-=

=

=≥-?

?

-≥-n dx dx x f X P x 01

);()|(|0

||1θ

ε

θθθεθε

θε

θ

)

(0][1

);()|2(|2

2

|2|1∞→→/-=

+=

=≥-?

?

?

+-≥-n dx dx dx x f X P x θ

ε

θθ

θεθθε

θε

θε

θ由此得有偏估计1X 和无偏估计12X 都不是θ的一致估计.

6． 无偏估计是否唯一的

仅由估计量的数学期望等于被估计的参数这一要求并不能保证估计量的唯一性 例如： 设),,,(21n X X X 是来自参数为λ的泊松分布的总体的一个简单随即样本，则

212211)(11?1?X X n S X n X n i i n i i --====∑∑==λλ

都是λ的无偏估计，事实上，由基本统计量的性质知

λλ

λλ======)()()?()()()?(22

1

X D S E E X E X E E

又如，设总体],0(~θU X 的一个简单随机样本为),,,(21n X X X ，则θ的估计

量},,,max{1

?2?2121n X X X n n X +=

=θθ与均为θ的无偏估计，事实上，

θθθθθθθ=+==?===?-ydy y n n n E X E X E E n n 012

11)?(22)(2)2()?(

其中},,,max{

21n X X X Y =，其密度函数为

?????≤<=-其他

00)(1θθy y

n y f n n

Y

7． 零假设与备择假设是否处于对等的地位

在假设检验中，首先要针对具体问题提出零假设0H 和备择假设1H ，由于零假

设是作为检验的前提而提出来的，因此，零假设通常应受到保护，没有充足的证据是不能备拒绝的，而备择假设只有当零假设备被拒绝后，才能被接受，这就决定了零假设与备择假设不是处于对等的地位

下面举例说明交换零假设与备择假设可能会得出截然相反的检验结论

问题 某厂方断言，本产生产的小型电动机在正常负载条件下平均电流不会超过

0.8A,随机抽取该型号电动机16台，发现其平均电流为0.92A ，而由该样本求出的标准差是0.32A ，假定这种电动机的工作电流X 服从正态分布，问根据这一抽样结果，能否

否定厂方断言？（取显著性水平05.0=α）

解：本题假定

),(~2

σμN X ,2σ未知，以厂方断言作为零假设，则得假设检验问题： 8.0:

;

8.0:

10>≤μμH H

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨 作者：张彩霞 来源：《科技创新导报》2011年第12期 摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。 关键词:数学分析极限概念教学 中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。 在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念 数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。 首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于 此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。

概率论在日常生活中的应用

概率论在日常生活中的应用 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人多以为这门课较为理论化，特别是像大数定律，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。例如，同性电荷相互排斥，异性电和相互吸引；在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，即人们在未作观察或试验之前，不能预知其结果。例如，向桌上抛一枚硬币，我们不能预知向上的是正面还是反面；随机地找一户家庭调查其收入情况，我们亦不能预知其收入是多少。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。但另一方面，对这些不确定性现象进行大量、重复的实验时，人们会发现，其结果会出现某种“统计规律性”：重复抛一枚硬币多次，出现正、反两面的次数大致会各占一半；调查多户家庭，其收入会呈现“两头小，中间大”的状况，即处于中间状态的是大多数。这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性的现象较随机现象。概率统计就是研究随机现象并揭示其统计规律性的一个数学分支，它在自然科学及社会科学的诸多领域都有着广泛的应用。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件，这是不对的。比如甲乙玩一个游戏，甲随机写出一个大于0小于1的数，乙来猜。1.乙一次猜中这个数2.乙每秒才一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率的概率都是0，但显然他们都有可能发生，甚至可以“直观”地讲2发生的可能性更大些。这说明概率为0的事件也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在太小了，在实际操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，他们确实是可能事件。 在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率极其小。由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 在我国南方流行一种成为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：有庄家摸出一只棋子，放在密闭盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客们把钱压在一

【免费下载】概率论与数理统计案例

实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3　商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并

反例在高等数学教学中的功能

反例在高等数学教学中的功能 发表时间：2014-08-22T11:01:32.153Z 来源：《素质教育》2014年6月总第154期供稿作者：韩召伟 [导读] 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。 韩召伟陕西师范大学数学与信息科学学院710062 摘要：高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。在高等数学教学中, 恰当地开发和有效地利用反例,能起到事半功倍的效果。本文具体以多元微分学中极限、可偏导和可微之间的关系为例,剖析了高等数学教学中反例的功能。 关键词：高等数学多元函数反例 一、引言 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。因为缺乏反例的衬托,在学习过程中学生对数学概念内涵和外延理解上的偏差或对于命题的条件和结论认知的不充分,都将成为学生高等数学学习的屏障。构造适当的反例，一方面能帮助学生全面理解和正确掌握高等数学中的基本知识,激发学生的求知欲；另一方面对于提高学生的数学学习能力和数学思维能力将会起到十分重要的作用。因此,在高等数学教学中,充分发掘反例的教学功能,有效地构造和利用反例,教师应予以足够重视。 二、高等数学教学中反例的功能 1.反例是全面理解概念的基础。数学知识理论体系向来以思维严密和逻辑严谨而著称,教材主要由定义和定理等内容构成,比较注重学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题方面能力的培养,而这些能力的取得都以深刻理解概念和准确掌握概念为基础，因此,在教学中只要求学生死背概念是不行的,必须注重理解其实质。高等数学中具有若干新概念,而要很好地理解这些新概念,正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用,而反例则可加深对新概念的理解。在高等数学教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。

高等代数习题

高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)

(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , (

4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; .

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即

毕业论文.概率统计在生活中的应用Word版

毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月

目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)

概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用

Abstract

第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。

概率论在现实生活中的意义

概率论在现实生活中的意义 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述： 日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、 C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

无穷极数中的几个典型反例

无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1(1)3 n n ∞=+- 级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n n u u +→∞并不存在 因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑ 收敛。所以级数1 (1)3n n ∞=+-发散。 而11n n n u u ++= 是摆动数列，故11lim n n n n n u u ++→∞=并不存在。 当然，p-级数∑∞ =11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1(1)3n n n ∞ =?-???∑ 级数1(1)3n n n ∞=?-???∑ 收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。 2(1)210 33n n n ????-≤≤ ??? ???? ? 而1 13n n ∞=?? ? ???∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1(1)3n n n ∞=?-??? ∑ (1)3n -=是摆动数列。 故(1)lim 3 n n n →∞-=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例

在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： n n ∞= n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?--??===----- 由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑ 发散知，级数n n ∞=发散。 例4： n n n n )1(1)1(2-+-∑∞ = n n n n )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞ =--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞→=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞→不存在。 例5： 求幂级数∑∞=-+1 2)1(2n n n n x 的收敛半径

高等数学中极限问题的解法详析

数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

概率统计补充案例

补充案例：概率部分： 案例1、“三人行必有我师焉” 案例2、抓阄问题 案例3、贝叶斯方法运用案例介绍 案例4、化验呈阳性者是否患病 案例5、敏感性问题的调查 案例6、泊松分布在企业评先进中的应用 案例7、碰运气能否通过英语四级考试 案例8、检验方案的确定问题 案例9、风险型决策模型 案例10、一种很迷惑游客的赌博游戏 案例11、标准分及其应用 案例12、正态分布在人才招聘中的应用 案例13、预测录取分数线和考生考试名 统计部分： 案例14、随机变量函数的均值和标准差的近似计算方法案例15、如何表示考试成绩比较合理 案例16、如何估计湖中黑、白鱼的比例 案例17、预测水稻总产量 案例18、工程师的建议是否应采纳 案例19、母亲嗜酒是否影响下—代的健康 案例20、银行经理的方案是否有效 案例21、一元线性回归分析的Excel实现 案例22、方差分析的Excel实现 案例23、预测高考分数 案例24、两次地震间的间隔时间服从指数分布

案例1、“三人行必有我师焉” 我们可以运用概率知识解释孔子的名言“三人行必有我师焉”. 首先我们要明确一个问题，即只要在某一方面领先就可以为师(韩愈说“术业有专攻”). 俗语说“三百六十行，行行出状元”，我们不妨把一个人的才能分成360个方面。孔子是个大圣人，我们假设他在一个方面超过某个人的概率为99％，那么孔子在这方面超过与他“同行”的两个人的概率为99％ ×99％ =98.0l ％，在360个方面孔子总比这两人强的概率为 (98.01％)360=0.07％ ，即这两个人在某一方面可以做孔子老师的概率为99.93％.从数学角度分析，孔子的话是很有道理的. 案例2、抓阄问题 一项耐力比赛胜出的10人中有1 人可以获得一次旅游的机会，组织者决定以抓阄的方式分配这一名额. 采取一组10人抓阄，10张阄中只有一张写“有”. 每个人都想争取到这次机会，你希望自己是第几个抓阄者呢? 有人说要先抓，否则写有“有”的阄被别人抓到，自己就没有机会了；有人说不急于先抓，如果前面的人没有抓到写有“有”的阄，这时再抓抓到“有”的机会会大一些. 为了统一认识，用概率的方法构造一个摸球模型来说明问题. 摸球模型：袋中装有1 个红球和9 个黄球除颜色不同外球的大小、形状、质量都相同. 现在10 人依次摸球(不放回)，求红球被第 k 个人摸到的概率( k = 1, 2, ?, 10). 解决问题 ：设 k A = “ { 第 k 个人摸到红球 }， k = 1, 2, ? , 10. 显然，红球被 第一个人摸到的概率为 101 )(1= A P . 因为 12A A ?，于是红球被第二个人摸到的概率为 101 91109)()()()(121212= ?===A A P A P A A P A P . 同样，由 213A A A ?知红球被第三个人摸到的概率为 1018198109)()()()()(2131213213= ??= ==A A A P A A P A P A A A P A P . 如此继续，类似可得 )(4A P = ==ΛΛ)(5A P 101 )(10=A P . 由此可见，其结果与 k 无关，表明10 个人无论摸球顺序如何，每个人摸到红球的机 会相等. 这也说明10 个人抓阄，只要每个人在抓之前不知道他前边那些已经抓完的结果，无论先后, 抓到的机会是均等的. 在现实生活中单位分房、学生分班、短缺物品的分配等，人们常常乐于用抓阄的办法来解决，其合理性保证当然得归功于“概率”. 通过上面的摸球模型，我们总结出分配中的“抓阄”问题，无论先抓后抓， 结果是一样的.学完概率之后再遇到抓阄问题时不必争先恐后，我们要发扬风格让他人先抓. 案例3、贝叶斯方法运用案例介绍 什么是贝叶斯过滤器？ 垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。 正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法，主要有"关键词法"和"校验码法"等。前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。

高等代数在数学分析解题中的某些应用分析

高等代数在数学分析解题中的某些应用分析 摘要：作为高等教育的基础性课程，高等代数的内容会伴随整个大学时代的数学学习，但是由于它的内容比较抽象，因此它也是比较难的一门学科。通过对高等代数在数学分析题中的某些应用分析，进一步探讨高等代数不同的解题方法和思维方式，以期能够为提高学生解题能力提供建设性的意见与建议。 关键词：高等代数；数学分析；多项式 高等代数涉及多项式代数、矩阵代数、线性空间等方面，采用的是逻辑严谨的数学公理化方法，结构严密的程序化方法，很好地与古希腊教学思想结合在一起。但是，它也是学生的学习难点，也是教师较难教授的一门学科。虽然大学生较高中生而言活跃了许多，但是由于高等教育的自由度较大，老师学生几乎没有什么约束力，所以学生的听讲课率并不高，那么教学模式也仅仅局限于“教师提问，学生回答”这种言语交流活动中。当然很难锻炼学生的解题能力，也不利于学生今后的发展。 一、加强高等代数在数学分析题中应用的必要性 不同的数学解题方法会启发学生不同的思维能力会产 生不一样的教学效果。对于各种各样复杂的数学题，提倡不

同的解题方法是很有必要的。如果能够加强高等数学在数学解题分析中的应用，至少会产生以下两大好的效果。 1.有利于增强学生的主体地位 从小学以来，学生一直都是为了考试、升学而学习，变成了应试教育的工具。但是高等教育会给学生更多的自由空间，让学生有更多的权利来支配自己的时间与精力。在高等代数教学中培养学生的解题能力，在学生自主地学习、探讨过程中就能够充分展现他们的主体地位，而不再是被动地接受知识了。 2.有利于激发学生的创新思维 探索是创新的基础，只有带着问题去思考、去探索，才会有新的发现，否则便是无谓的思索。对于高等代数那种集数理性与逻辑性于一体的学科而言，教师简单地把概念性的东西传授给学生是不可以的，那样会使学生显得很被动，难以构建新的认知结构。长期以来，在应试教育的大背景下，数学教学中一直过分强调数学知识的系统性、严谨性和对学生的解题训练，却忽视了引导学生去学习了解数学思想和方法发生、发展的过程，数学课堂上缺少在现实情境中发现问题和解决问题的能力培养。这样的教学方式虽然培养了大批解题速度快、擅于解高难度题的学生，但是他们的实践能力和创新意识却不够。接受高等教育的学生即将面向社会，教学应该更加注重学生的主体意识以及所教知识的实践性。高

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，

概率论在现实生活中的意义

概率论在现实生活中的意义 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下： 由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

无穷极数中的几个典型反例

无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散，但极限1lim n n n u u +→∞ 并不存在 因为级数1 3 n ∞ =∑ 发散而级数1 (1)3 n n ∞ =-∑ 收敛。所以级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散。 而 11(1) n n n u u +++-= 11(1) lim lim n n n n n u u ++→∞ →∞ +-=并不存在。 当然，p-级数 ∑ ∞ =1 1n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞ =1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1 (1)3n n n ∞ =? -??? ∑ 级数1 3n n ∞ =?? ∑ 收敛，但lim lim 3 n n →∞→∞ =并不存在。 (1)21 033n n n ? ???+-≤≤ ?? ? ???? ? 而113n n ∞ =?? ? ?? ? ∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1 (1)3n n n ∞ =?+-??? ∑ (1)3 n -= 是摆动数列。 故(1)lim lim 3 n n n →∞ →∞ -=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例

在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： 2 (1) n n ∞ =-∑ 1n u = 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?---??= ==----- 由级数2 1 n n ∞ =-∑ 收敛，而级数2 11 n n ∞ =-∑ 发散知，级数2 n n ∞ =∑ 发散。 例4： n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ = n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ == 1 11 )1(1 ) )1(()1(2 2 2 -- --= ----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑ ∞ =--2 2 1 )1(n n n n 收敛，而∑ ∞ =-2 2 1 1n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑ ∞ =是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞ →=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞ →不存在。 例5： 求幂级数∑ ∞ =-+1 2 ) 1(2n n n n x 的收敛半径

数学分析3.4两个重要的极限

第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限 一、证明：=1. 证：∵sinx

∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e.

习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限：

生活中的概率论

生活中的概率论 【摘要】本文论述了概率统计的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕公平性、朋友、巧合、决策等方面，从独特的视角对现实生活中的一些问题进行深入解读，并提供了解决问题的良好思路，揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题、数学模型的建立、学科知识的迁移奠定一定的理论基础。 【Abstract】In this article, the writer has made a discussion on some knowledge about the application of the probability Statistic in the factual problem, main rounding equitable quality, friend, coincidence and decision-making to have unscrambled some problem in factual life from the special angle. In addition, the excellent way for solving that has also been offered, which has laid a certain theoretic foundation for applying the probability knowledge to solve factual problems, build mathematics model and transfer subject knowledge and opening out the close relation between probability Statistic and factual problems. 【Keywords】Theory of probability Equitable quality Coincidence Decision-making 引言：概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（Jevons，1835－1882）所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，运用概率论可解读生活现象，透视社会规则，掌握制胜的生存哲学。本文将从公平性、朋友、巧合、决策等方面谈谈概率在生活中的应用。 1．概率与公平性。中奖的公平性是指中奖结果与排队的先后顺序无关。请看下面的问题：有奖券n张，其中有m张有奖。现有n个人排队依次抽取一张且不放回，问每个人中奖的机会是否相同？ 分析：记（）表示第个人中奖，利用全概率公式 利用全概率公式计算时，由于完备事件组中事件的个数为，随着k的增大，计算难度越来越大，当时可用下面的方法分析： 首先考虑m=1的情形，即有n张奖券只有一张有奖。 记，则，显然。 利用全概率公式