双曲线渐近线方程的概述

双曲线的渐近线概述

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握.

一、深刻理解双曲线的渐近线概念

1﹑对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.

2﹑渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.

3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形.

二﹑掌握双曲线的渐近线方程的求法

根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了

此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即两条渐近线方程为x a ±y b ＝0；若双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令y 2a 2－x 2b 2＝0，即两条渐近线方程为y a ±x b

＝0． 三、掌握双曲线渐近线常见结论

1﹑两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数. 2﹑两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x 轴、y 轴对称.

3﹑等轴双曲线的的渐近线方程：y ＝±x.

4﹑共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同.

5﹑渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点.

四、典例分析

1、根据几何性质求双曲线的渐近线

例1已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝30?，则双曲线的渐近线方程为( )

(A)y ＝±

22x (B)y ＝±3x (C)y ＝±33x (D)y ＝±2

x

分析：由条件知△PF 1F 2为一个直角三角形，又|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30?，因此只需再确定由a 、b 、c 表示的另一边，由条件易知，点|PF 2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了.

解：设双曲线的焦点F 1(c ，0)、F 2(－c ，0)，则将x ＝c 代入双曲线方程得点P(c ，b 2

a )，

又∠PF 1F 2＝30?，∴b 2a cot30?＝2c ，∴3b 2＝2ac ，∴c ＝3b 22a

， 代入c 2＝a 2＋b 2，得3b 4－4a 2b 2－4a 4＝0，即(3b 2＋2a 2)(b 2－2a 2)＝0，∴b a

＝2， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.

点评：根据双曲线的几何性质求渐近线：主要是根据条件确定b 、c 或a 、c 的比例关系，再结合a 、b 、c 之间的平方关系a 2＋b 2＝c 2，确定a 、b 之间的比例关系，进而得到双曲线的渐近线方程，但要注意双曲线的焦点位置.

2﹑根据渐近线求双曲线的标准方程

根据双曲线的渐近线方程求它的曲线方程的简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为x a ±y b ＝0，则所求双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝m ，这里m 为不等于0的待定常数，其值可由题目中的已知条件通过建立方程确定.此方法可适当推广：求与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程同样可设为x 2a 2－y 2

b

2＝m(m 为不等于0的待定常数). 例2已知双曲线的渐近线方程是y=±43

x ，焦点在坐标轴上，且经过点A(－3，23)，求双曲线方程.

分析：先将渐近线方程是y=±43x 化为x 3±y 4＝0，则可设所求双曲线方程为x 29－y 216

＝λ(λ≠0)，然后再将点A(－3，23)代入建立方程求得参数，进而求得双曲线方程. 解：双曲线的渐近线方程化为x 3±y 4＝0，因此设所求双曲线方程为x 29－y 216

＝λ(λ≠0)， ∵点A(－3，23)在双曲线上，∴(－3)29－(23)216＝λ，得λ＝14

， 因此，所求双曲线方程为4x 29－y 2

4

＝1. 说明：本例有两种常规解法：一是按焦点在x 轴上，或焦点在y 轴上的两种情况分别求解；二是先判断点A 在渐近线上方还是下方，来确定双曲线类型，然后求解.这两种方法都较繁.上面提供的解法是根据已知双曲线的渐近线方程，巧设双曲线系方程，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程 百科名片 双曲线渐近线方程 双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。 渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。 当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。 根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。 y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程 当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x 双曲线的简单几何性质 1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式. 注重： 1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0 且λ为待定常数) 2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同. 3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a; P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a. 本节学习要求： 学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握. 双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容. 通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育. 双曲线的渐近线教案 教学目的 (1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双 曲线的图形．

双曲线渐近线方程的概述

双曲线的渐近线概述 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握. 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1﹑对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0. 2﹑渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线. 3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形. 二﹑掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了 此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即两条渐近线方程为x a ±y b ＝0；若双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令y 2a 2－x 2b 2＝0，即两条渐近线方程为y a ±x b ＝0． 三、掌握双曲线渐近线常见结论 1﹑两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数. 2﹑两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x 轴、y 轴对称. 3﹑等轴双曲线的的渐近线方程：y ＝±x. 4﹑共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同. 5﹑渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点. 四、典例分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线 例1已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝30?，则双曲线的渐近线方程为( ) (A)y ＝± 22x (B)y ＝±3x (C)y ＝±33x (D)y ＝±2 x 分析：由条件知△PF 1F 2为一个直角三角形，又|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30?，因此只需再确定由a 、b 、c 表示的另一边，由条件易知，点|PF 2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了. 解：设双曲线的焦点F 1(c ，0)、F 2(－c ，0)，则将x ＝c 代入双曲线方程得点P(c ，b 2 a )，

共渐近线的两个双曲线系的解题功能

共渐近线的两个双曲线系的解题功能 甘肃 彭长军 本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。 命题1：与双曲线22 22b y a x -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲 线系方程为22 22b y a x -=λ(λ≠0) (*) 证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ22 22b y a x -=1, 22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线 方程为y=λ λ a b ±x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 （2）当λ<0 时，方程(*)可变形为λ λ22 2 2a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0.。表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐 近线方程为y=λ λ --±a b x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 由（1）（2）可知，原命题成立。 同理，与双曲线22 22b x a y -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线 系方程为22 22b x a y -=λ(λ≠0)。 命题2:以直线Ax ±By=0为渐近线的双曲线系方程为 (Ax+By)(Ax-By)=λ(λ≠0)，即A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0)。 证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。

推论:以两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=λ(λ≠0)。 运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y=± b a x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（） A.当a>b 时在x 轴上 B.当a0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选C. 例2.求与双曲线16 92 2y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程。 解：设所求双曲线方程为1692 2y x -=λ(λ≠0)。将A 点坐标代入，得λ=4 1 ，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44 922y x -=1 例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。

双曲线的渐近线和离心率问题

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·)如图，已知双曲线C ：x 2 a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C 的方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相 交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x 2a 2－y 2 b 2＝0， 所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.

双曲线方程知识点总结_公式总结

双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

双曲线的渐近线教案(精)

双曲线的渐近线教案 教学目的 (1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形． (2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力． 教学过程 一、揭示课题 师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？ 生(众)：能画出来． 师：能画得比较精确点吗？ (学生默然．) 其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线 我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越

的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题． (板书课题：双曲线的渐近线．) 二、讲述定义 师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？ 直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况． 设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则 考察一下y变化的范围： 因为x2－a2＜x2，所以 这个不等式意味着什么？ (稍停，学生思考．)

平面区域． 之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围． 为此，我们考虑下列问题： 经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b， 以看出，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

问题已知双曲线的渐近线方程,其对应的双曲线方程是唯一的吗若

双曲线的渐近线 问题1：双曲线渐近线的理解 在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。在学习这部分内容时，应注意： （1）明确双曲线的渐近线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。画双曲线时，应先画出它的渐近线。 （2）理解“渐进”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。 问题2：双曲线渐近线的斜率a b ±，与离心率e 存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e 的双曲线张口大小有何影响？ 答：1|tan |2-== e a b α，e 越大，a b 也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。 问题3：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程 答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种： （1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。 （2）如果给出的双曲线方程为――将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx 的形式。如： 12 222=-b y a x （a>0,b>0），其渐近线方程为x a b y ±=， 12 222=-b x a y （a>0,b>0），其渐近线方程则为x b a y ±=。 从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。 问题3：已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。 答：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=，但是以x a b y ±=为渐近线的双曲线方程不一定 是12222=-b y a x ，而可以是)0(2222≠=-λλb y a x 。所以x a b y ±=为渐近线的双曲线，焦点可以在x 轴上 )0(>λ，也可以在y 轴上)0(<λ，而且有无数多个。类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线 系。 根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的方法具体的例子。 例1：求与双曲线 11692 2=-y x 有共同的渐近线，并且过点A （28,6）的双曲线的方程。 解法1：由于双曲线的方程是116922=-y x ，所以其渐近线的方程是x y 3 4±=，容易判断点A （28,6）

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

双曲线渐近线方程 百科名片 双曲线渐近线方程 双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建 筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。 分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出 的一种算法。 渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线 和斜渐近线。 当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称 为这条曲线的渐近线。 需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线 在无线延伸时的变化情况。 根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、 斜渐近线。 y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近 线方程 当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x 双曲线的简单几何性质 1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中 心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为 2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同. (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表 示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式. 注重：

高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导

高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导 庞敬涛 渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。 2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。 二、掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了 此双曲线的渐近线方程。比如，双曲线方程为),0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-则渐近线方程的求法是令0b y a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =± 三、掌握双曲线的渐近线常见结论 1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。 2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。 3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。 4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。 四、例题分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线。 例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且?=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。 A. x 2 2y ± = B. x 3y ±= C. x 3 3y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ?为直角三角形，又?=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。 解：设双曲线的焦点)0,c (F )0,c (F 12-、，则将c x =代入双曲线方程得点??? ? ??a b ,c P 2，又 ?=∠30F PF 21，所以.a 2b 3c ,c 230cot a b 2 2==? 代入222b a c +=得，0a 4b a 4b 34224=--，解得2a b ±=。故选D 。

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程 百科名片 双曲线渐近线方程 双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。 渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。 当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。 根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。 y=k/x(k工0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近 线方程 当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x 双曲线的简单几何性质 1.双曲线x A2/a A2-y A2/b A2 = 1的简单几何性质 (1)范围：丨x | > a,y € R. ⑵对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点 中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0) ，两顶点间的线段为实轴，长为 2a，虚轴长为2b，且c2 = a2+b2.与椭圆不同.

⑷ 渐近线：双曲线特有的性质，方程y =± b/ax，或令双曲线标准方 程x A2/a A2-y A2/b A2 = 1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e> 1,随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. ⑹ 等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2 = a2(a工0),它的渐近线方程为y =± b/ax,离心率e= c/a= V2 (7)共轭双曲线：方程-=1与-=-1表 示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式?注重： 1.与双曲线-=1共渐近线的双曲线系方程可表示为-二入(入工0 且入为待定常数) 2.与椭圆 =1(a > b> 0)共焦点的曲线系方程可表示为-=1(入v a2, 其中b2-入〉0时为椭圆，b2 v入v a2时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,O)的距离和到定直线l:x = +(-)a2/c 的距离之比等 于常数e = c/a (c > a> 0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p二，与椭圆相同? 3.焦半径(- =1,F1(-c,0) 、F2(c,0))，点p(xO,yO)在双曲线- =1 的右支上时，| pF1 |= ex0 a, | pF2 |= exO-a; P 在左支上时，则| PF1 | =ex1+a | PF2|= ex1-a. 本节学习要求： 学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握 双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式?三角函数中的相关知识，是 高考的主要内容? 通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育 双曲线的渐近线教案 教学目的 (1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双 曲线的图形.

渐近线和双曲线爱情1

渐近线和双曲线，不知道从哪一时刻开始了各自的轨迹。从哪一刻开始，他们的轨迹越来越近……可上天给他们开了个玩笑，定下一条规则，就是：双曲线无限接近渐近线，但永远不得有交点，永远不可以见面，否则，当他们第二次见面以后，会相距越来越远……但他们彼此是唯一的！双曲线拥有唯一的渐近线！ 亲人之间是同心圆，面积有大小，可圆心是一样的。陌生人之间是平行线，永不相交。朋友之间是相交直线，不远千里有缘来相会，但交点之后，是天各一方。爱人之间是三角函数图像，一个是正弦，一个是余弦：有无数交点，虽有时近有时远，但永远彼此相随——可同一坐标上，可以有多个三角函数图像，都可以彼此相随又有很多交点。 相对于他们，双曲线和渐近线是幸福的。他们一个是曲线，一个是直线：既不是同心圆有相同的单调，也不会平行线一样永远都是那个距离。不会如相交直线一样有过交点以后就越来越远，更不会三角函数一样的混乱。他们彼此具有唯一性，即便在同一坐标系上有无数直线和双曲线，他们也可以马上找到属于自己的双曲线和渐近线。 这是爱情吗？至少不是这个世界的爱情，他们不该属于这个世界。但这样挺好的，至少在远方有一个属于自己的唯一，这就够了！别无他求。 问题: ① 0个交点和两个交点的情况都很正常，那么依然可以用判别式判断位置 关系。 ② 一个交点却包含了两种不同的位置关系： 相切和相交（特殊的相交），那么是否意味着判别式等于零，即可能相切也可能相交？ 请判断下列直线与双曲线之间的位置关系: ① 3:=x l ，116 9:2 2=-y x c ②134:+=x y l ，116 9:2 2=-y x c 一般情况的研究：显然，这条直线与双曲线的渐近线是平行的，也就是相交，把直线方程代入双曲线方程，看看判别式如何？

双曲线的渐近线

双曲线的渐近线 环节一：探索发现特殊双曲线221x y -=的渐近线，给出渐近线的概念 师：同学们好！上节课我们研究了双曲线简单的一些几何性质：范围、对称性、顶点等。请大家思考：方程221x y -=是什么？ 生：双曲线的方程。 师：请大家在练习本上画出相应的双曲线的草图。 (学生根据自己对双曲线的理解，在练习本上画图。教师巡视，发现问题。找几名学生板书。) (学生可能出现的情况：开口过大或过小，形状类抛物线或圆弧) 师：画完之后看看和黑板上的图一样不一样，再和周围同学的对比一下，有没有区别。（用展示吗？） (学生发现差异) 师：虽然是草图，也应该尽量画的准确，抓住双曲线的特点。板书的几名同学谈谈画图的依据。 生：找到顶点(1,0)±，再找到（2，1）点，根据范围和对称性，以及对双曲线的形状的印象画出来。 师：这么画合理不合理呢？请大家用手中的图形计算器画出双曲线，观察形状，和我们自己画的有什么差异。 (学生用图形计算器画出图形，对比，分析产生差异的原因) 师：可以我们画出的图形和标准图形差距比较大，差异在哪里？ 生：随着x 的变化，图形的变化趋势不同。 师：产生差异的原因是什么？我们忽略了什么？ 生：没有充分利用方程去画。 师：利用方程我们应该可以找到更合理的画图依据。请同学们观察、研究方程，看看它还能体现出曲线的什么几何性质。 (学生经过独立思考、讨论，可能有如下发现：由221x y -=，得到 22()()0x y x y x y ≥?-+≥， 分析出点(,)x y 所在的区域；将方程改写为y =发现双曲线与直线y x =±无限贴近) 师：什么是双曲线与直线“无限贴近”？ 生：随着x 的增大，双曲线无限接近于直线，但是不相交。 师：真的是这样吗？你能否运用图形计算器，或者运用所学过的知识，从“数”的角度进行说明？ (给大家几分钟时间进行思考、讨论，教师巡视、指导) （学生板书、用图形计算器或者实物投影展示，可能的情况有：由y =极限的思想说明随着x 增大，y 和x 越来越接近；图形计算器将双曲线上点到直线的距离变化列表展示；将点到直线的距离用函数表示，利用单调性来说明；个人认为在此可以把以上每种想法都展示出来，因为属于不同学生的不同研究思

双曲线的渐近线和离心率

第34练 双曲线的渐近线和离心率 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2，则C 的渐近线 方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 破题切入点 根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线． 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2，知b ＝k .所以b a ＝1 2. 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与 双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF → ＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3 破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系．

答案 C 解析 如图，设OF 的中点为T ， 由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ????c 2，c 2， 又A 在直线y ＝b a x 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP → .若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与 动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 破题切入点 先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解． 答案 (1,2) 解析 设P (x ，y )，由题设条件， 得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆． 又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0， 由题意，可得2a a 2＋b 2 >1，即2a c >1， 所以e ＝c a <2， 又e >1，故1

巧用渐进线求双曲线系方程

巧用渐近线求双曲线系方程 圆锥曲线与方程是高中数学人教A 版选修2-1第二章内容，是高考的一个热门考点，双曲线是三类曲线中知识点涉及比较多一类曲线，渐近线是双曲线独有的性质，但是我们的同学对渐近线的理解与应用比较肤浅，加之解答过程不规范，缺乏条理性，在这个知识点我们做题耗时太多，得分率较低。下面就通过一道例题向大家阐述：怎样巧用渐近线求双曲线系方程，怎样规范解答双曲线的问题，提升向同学们的得分率，同时欣赏规范书写带给我们数学美（语言美，布局美）。 问题1求与双曲线19 162 2=-y x 有共同渐近线，并经过点)3,32(-的双曲线的方程。法1解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 4 3±=， 而点)3,32(-在渐进线方程x y 4 3-=的左下方， 则所求双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的方程为：122 22=-b x a y 即?????=-=11294322b a b a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：14 942 2=-x y 法2解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 4 3±=， （1）若焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为：122 22=-b y a x 则?????=-=19124322b a a b 解得42-=a ，故此时无解。 （2）若焦点在轴y 上，可设双曲线的方程为：122 22=-b x a y

则?????=-=11294322b a b a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：14 942 2=-x y 法3 解：由所求双曲线与双曲线19 162 2=-y x 有共同渐近线， 可设（得）双曲线的方程为：)0(9 162 2≠=-λλy x 而点)3,32(-在所求双曲线上， 则λ=-991612， 即4 1-=λ 故所求双曲线方程为：14 942 2=-x y 分析：三种方法都是待定系数法求双曲线的方程，法1，法2涉及两个参量（a,b ）,法3涉及一个参量，显然法3用时少，计算简单，效果好。 反思结论：双曲线122 22=-b y a x 与)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线相同； 双曲线122 22=-b y a x 与)0(2222>=-λλb y a x 具有相同的渐近线方程且焦点都在x 轴上；双曲线122 22=-b y a x 与)0(2222<=-λλb y a x 具有相同的渐近线方程且焦点的位置不同。