矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根

定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式

nn

n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ

212222111211

)(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．

设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ

0的特征向量．

例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵

????? ??-----310425

2373 的特征根和相应的特征向量．

解)1)(1(3104252

373)(2+-=????

? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0．

② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0

A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0

注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．

第九章矩阵特征值问题的数值方法

第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法

9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.

如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)

显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=

矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .

9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.

矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．

矩阵特征根的有关问题

矩阵特征根的有关问题 吴晗 数学系 数学与应用数学 06180226 [摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩 阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。 [关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用 矩阵，线性代数研究的基本对象。按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。 所以二者有相辅相成之意。涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举： 1 矩阵的特征根的定义 设() ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()11 12121 22212.......... ............n n A n n nn x a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。就像前面所说特征值与特征向量的引入是为

43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 《 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) ? 例1 求矩阵 ??????????=324202423A

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

矩阵特征值求解

矩阵特征值求解的分值算法 12组 1．1 矩阵计算的基本问题 (1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得 b Ax = （1.1.1） (2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ?阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量 x ,使得 },min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （1.1.2） (3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程 x Ax λ= （1.1.3） 一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵 A 的属于特征值λ的特征向量。 在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。 在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。 1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述 对一个n n ?阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(I.1.3)式的非平凡解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(l.1.3)式中的λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程 0)det(=-I A λ （1.2.1） 除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领

特征多项式

特征多项式 特征多项式是多项式的左手边特征方程 (1) 在哪里是一个方阵和是单位矩阵相同的维度。萨缪尔森的公式允许特征多项式计算递归没有分歧。一个矩阵的特征多项式可以计算的吗Wolfram语言作为CharacteristicPolynomial[m x]。 a的特征多项式矩阵 (2)在特别好的形式可以改写 (3)在哪里是矩阵的迹的和是它的行列式. 同样,a的特征多项式矩阵是 (4)在哪里爱因斯坦总结已经使用,也可以书面明确的痕迹 (5)一般来说,特征多项式的形式 (6)在哪里是矩阵的迹矩阵的和和的总和吗划船对角矩阵的未成年人雅各布森(1974,p . 109)。 勒威耶计算图的特征多项式的算法(Balasubramanian Trinajsti?1984;1988;Ivanciuc Balaban 2000,p . 89)可以作为线性系统的解决方案制定 (7)在哪里 (8) , . 由于Balasubramanian计算算法使用方程 (9)在哪里 (10) Balasubramanian(1985、1985、1991;Ivanciuc Balaban 2000 p。90;错误纠正)和 . a的特征多项式图的特征多项式的定义是邻接矩阵并且可以计算的Wolfram语言使用CharacteristicPolynomial[AdjacencyMatrix[g],x]。一个命名图的预先计算的特征多项式的一个变量还可以获得使用吗GraphData[图,“CharacteristicPolynomial”][x]。

特征多项式不诊断图的同构,即,两个nonisomorphic图表可能共享相同的特征多项式。这样的例子发生上述两图5节点上,这两个特征多项式。不同的简单无向图的特征多项式的数量,2,…节点1、2、4,11日,33岁,151年,988年,11453年……(OEIS A082104),给复制的数量特征多项式为0,0,0,0,1,5,56岁,893年,27311年,.... 下表总结了特征多项式的一些简单的图形。 完全图 完全图 完全图 循环图 循环图 循环图 轮图 轮图 参见:

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵的特征根的求法及应用

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矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21Λ的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21Λ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21Λ，则 nn n a a a +++=+++ΛΛ221121λλλ，A n =λλλΛ21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

43多项式方法求特征值问题.doc

4．3 多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求 n 阶方阵 A 的特征值就是求代数方程 ( ) | A I | 0 （ 4.3.1） 的根。 ( ) 称为 A 的特征多项式。上式展开为 ( ) n p 1 n 1 p 2 n 2 ..... p n （ 4.3.2） 其中 p 1, p 2 ,...p n 为多项式 ( ) 的系数。 从理论上讲，求 A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式 | A I |求出多项式 ( ) ； 第二步 求代数方程 (x) 0 的根，即特征值。 对于低阶矩阵， 这种方法是可行的。 但对于高阶矩阵，计算量则很大， 这种方法是不适 用的。这里我们介绍用 F-L （ Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（ 4.3.2）中多项式 ( ) 的 系数。由于代数方程求根问题在第 2 章中已经介绍， 所以本节中解决特征值问题的关键是确 定矩阵 A 的特征多项式 ( ) ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵 A= (a ij )n n 的对角线元素之和为 trA a 11 a 22 ... a nn （4.3.3 ） 利用递归的概念定义以下 n 个矩阵 B k ( k 1,2,...., n) : p 1 trB 1 B 1 A, p 2 1 B 2 A(B 1 p 1I ), trB 2 2 p 3 1 trB 3 B 3 A(B 2 p 2 I ), 3 ............... p k 1 trB k B k A(B k p k 1 I ), k 1 ................ p n 1 B n A(B n 1 p n 1 I ), trB n n （ 4.3.4） 可以证明 ,(4.3.4)式中 p k , k 1,2,..., n, 即是所求 A 的特征多项式 ( ) 的各系数。用（ 4.3.4） 式求矩阵的特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。相应特征方程为： ( 1)n ( n p 1 n 1 p 2 n 2 ..... p n ) 0 （ 4.3.5） A 的逆矩阵可表示为 而且可证矩阵 A 1 1 ( B n 1 p n 1I ) p n (4.3.6) 例1 求矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3

43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) 例1 求矩阵 ??????????=324202423A

矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日

学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日

目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18)

判断矩阵的最大特征值

项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵??? ? ? ??=654543432A 的特征值与特征向量.

输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包<

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值， 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2．特征值与特征向量的常规求法； 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法；解 ()()()21 221422 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ?+-0E A λ-=,得121λλ==（二重），35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程； 12312312322202220 2220x x x x x x x x x --=??-++=??-++=?

第五章 求矩阵特征值和特征向量

第五章 求矩阵特征值与特征向量 n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程 det()0λ-=A I 的n 个根，方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组 λ=Ax x 的非零解。本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零 初始向量0x ，然后作迭代序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? （5。1） 再根据k 增大时，k x 各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 122 1??= ??? A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为 11-=λ，32=λ 下面用幂法来计算，取初始向量()01,0T =x ，计算向量序列 1k k +=x Ax ，0,1,k =??? 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 k ()1k x () 2 k x 0 1

1 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 7 41 121 365 1093 40 122 364 1094 考察两个相邻向量对应分量之比： 5) 1(1)2(1=x x ,6.2)2(1 )3(1=x x ,(4)1(3)1 3.154x x =,(5)1(4)1 2.951x x =,(6)1(5)1 3.016x x =，(7) 1(6)1 2.994x x = 2) 1(2)2(2=x x ,5.3)2(2 )3(2=x x ,(4)2(3)2 2.857x x =,(5)2(4)2 3.05x x =,(6)2(5)2 2.983x x =, (7) 2 (6)2 3.005x x = 由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k 的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰 好就是矩阵A 的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见，设矩阵A 的几个特征值按模的大小排列如下： n λλλ≥≥≥ 21 其相应特征向量为12 ,,n u u u ，并且是线性无关的，因此可作为n 维向量空间的一组基。 任取初始向量( )(0)(0) (0)012,, 0T n x x x =≠x ，首先将0x 表示为 01122n n a a a =++ +x u u u 作迭代序列 1k k +=x Ax , 0,1,k =??? 则 10111222n n n a a a λλλ==++???+x Ax u u u …… …… 1111222k k k k k n n n a a a λλλ-==++???+x Ax u u u 于是 21112211k k k n k n n a a a λλλλλ?????? ?=++???+ ? ? ??????? x u u u 为了得出计算1λ和1u 的公式，下面分三种情况讨论。 1.1λ为实根，且 12λλ>

矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=

矩阵的特征根的求法及应用

矩阵 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质； 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值， 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.

（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2．特征值与特征向量的常规求法； 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 列1：求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法；解 ()()() 2 1 22142 2 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ? +-0E A λ-=,得121λλ==（二重） ，35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时，对应的特征方程； 123123123222022202220 x x x x x x x x x --=?? -++=??-++=?

数学论文 多项式的矩阵表示

XX大学 毕业论文 多项式的矩阵表示 院系名称： 专业： 学生姓名： 学号： 指导老师： XX大学制 二〇一年月日

前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。

预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m + ∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈ 若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >> 例如当（5）成立时，可设),0(),,0(C B A B ==，从而),0(A C =即C A ≈其