不等式的性质和基本不等式

不等式的性质和基本不等式

[优质专题]

1．不等式的基本性质

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法⎩⎨⎧

a －

b >0⇔a >b

a －

b ＝0⇔a ＝b

a －

b <0⇔a

(a ，b ∈R )

(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧

a

b >1⇔a >b

a

b ＝1⇔a ＝b

a b <1⇔a

(a ∈R ，b >0)

3．基本(均值)不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4.(简记：和定积最大)

[优质试题]

题型一 不等式的性质应用

例1 (1)给出下列命题：

①若ab >0，a >b ，则1a <1

b ； ②若a >b ，

c >

d ，则a －c >b －d ；

③对于正数a ，b ，m ，若a

b ＋m .其中真命题的序号是________．

（2）已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ≥Q

C ．P

D ．P ≤Q

（3）已知12

b 的取值范围．

【玩转跟踪】

1．下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1

b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a

b >1 C ．若a >b ，且a ＋

c >b ＋

d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d

2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．

3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a

B ．a >c ≥b

C ．c >b >a

D ．a >c >b

题型二 基本不等式求最值

角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值

例2 (1)已知0

1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 (3)①已知x <54，求f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值；

②已知x 为正实数且x 2

＋y 2

2＝1，求x 1＋y 2的最大值；

③求函数y ＝x －1

x ＋3＋x －1的最大值．

角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值

例3 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1

b 的最小值为________． [探究1] 本例的条件不变，则⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1b 的最小值为________．

[探究2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1

b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．

[探究3] 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？

题型三 均值不等式实际应用

例4 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 [玩转跟踪]

1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．

[玩转练习]

1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a

D ．|a |>|b |

2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b

>0 D ．(a －b )c 2≥0

3．给出下列条件：

①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0. 其中可使b a ＋a

b ≥2成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b ≥2

5．设x >0，则3－3x －1

x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－22 C ．－1

D ．3－23

6．已知x 2－x ＋1

x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )

A ．1＋ 2

B ．2

C ．3

D ．4

7．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1

b 的最小值为________．

8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1

6，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

9．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．

10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.

11．若－1

不等式的性质和基本不等式

不等式的性质和基本不等式 [优质专题] 1．不等式的基本性质 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎨⎧ a － b >0⇔a >b a － b ＝0⇔a ＝b a － b <0⇔a

(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a >b a b ＝1⇔a ＝b a b <1⇔a 0) 3．基本(均值)不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4.(简记：和定积最大) [优质试题] 题型一 不等式的性质应用 例1 (1)给出下列命题：

①若ab >0，a >b ，则1a <1 b ； ②若a >b ， c > d ，则a －c >b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a Q B ．P ≥Q C ．P b ，且1a >1 b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a b >1 C ．若a >b ，且a ＋ c >b ＋ d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围． 3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b

不等式性质和基本不等式

第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a-?>b a b a ； 0<-?， a b b a >?< （2）传递性:,a b b c >>?，a c >

（3）可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论：同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >?>>0,，,0a b c >>>>?ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n * ∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 第4讲 基本不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式: ,a b R ∈,则222a b ab +≥; 0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值: 当ab 为定值时,22 ,a b a b ++有最小值; 当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时 ,2 112a b a b +≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足 281x y +=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y +=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+=+++,0,0x y >>,∴280,0y x x y >> 1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y =时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y +=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正

不等式性质

不等式性质 在数学中，不等式是指一类逻辑表达，与等式有所不同，表达的是一种不同的含义，它描述的是两个数的大小关系而不是数值相等。理解不等式的本质，首先要搞清楚它所涉及的基本操作符号、指标符号以及其相关的操作性质，这就是不等式性质。 一般来说，不等式所用的操作符号有：大于号（>）、小于号（、大于等于号（≥）、小于等于号（≤），分别表示两个数之间的关系，即左边数是否大于右边数，或者判断两个数是否相等。而指标符号则用于表示一组未知数，其作用在于不等式中涉及到的未知数可以用指标符号表示出来，从而保证将不等式的特定部分隐藏起来。 不等式的性质主要分为四种，即一元不等式性质、多元不等式性质、乘法不等式性质以及基本不等式性质。 一元不等式的性质指的是一元不等式中涉及到的变量只有一个，其定义是一元不等式右侧各项的系数都为正，右端常数可以为正、负或零，若右端常数为零，则一元不等式转化为一元等式。 多元不等式的性质指的是一个不等式中涉及到的变量不止一个，多元不等式的系数都是正，而常数可以正、负或零，而多元不等式又可以分为无约束多元不等式和有约束多元不等式两种情况，如约束多元不等式可以写成“3x+4y≤6z-7”的形式。 乘法不等式的性质指的是两个不等式连接在一起，以乘法形式表达，即可以以“a>bc”的形式表示。这是由两个不等式连接起来，表示不等式左侧和右侧各项均为正，左侧与右侧各项的系数相乘，因此

也被称为乘法不等式。 基本不等式的性质指的是比较简单的几个不等式，如“x+y≥5”的形式，其中用号表示大于等于，此类不等式称为基本不等式。 通过上述介绍，我们可以看出不等式的性质可以分为四种：一元不等式性质、多元不等式性质、乘法不等式性质以及基本不等式性质。这些性质，是基础数学中不可或缺的内容，在中学课程中都有涉及，对数学能力的提升有着十分重要的作用。 此外，在解决实际问题时，也经常会遇到不等式相关的应用，因此，学习不等式也是解决实际问题的必备技能。不等式的性质之所以这么重要，是因为它涉及到诸多具体技巧性的内容，如对未知数取负，将等式转化为不等式，以及不等式的函数表达式等等。 在学习不等式性质时，学生首先要明确基本概念，如操作符号和指标符号，明白不同类型不等式的特点，以及各种不等式的性质，其次要有一定的训练，学会在实际中正确使用不等式，并运用不等式的性质来解决问题。 综上所述，我们可以明白，不等式是学习基础数学和解决实际问题中不可或缺的重要内容，了解不等式的性质，对学生来说有着重要的意义。

不等式及其性质与解法

（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。 （2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集. （3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。 热身练习 1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。 （1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2 ＜b 2 .（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2 ＞bc 2 .（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ） 2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。[来源 A 、a ＞０ B 、ａ＜０ C 、ａ≥0 D 、a ≤0 3、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。 A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数 4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、00,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ). A 、a+t>a B 、a+t

不等式的基本性质

不等式的基本性质1．比较两个实数的大小 （1）a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b. （2）若b＞0，则有a b ＞1?a＞b； a b ＝1?a＝b； a b ＜1?a＜b. 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?a n＞b n(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a＞b＞0?n a＞ n b(n∈N，n≥2)． 3.两条常用性质(1)倒数性质： ①a＞b，ab＞0?1 a ＜ 1 b ；②a＜0＜b? 1 a ＜ 1 b ；③a＞b＞0,0＜c＜d? a c ＞ b d ； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1 b ＜ 1 x ＜ 1 a . (2)若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质：②假分数的性质： b a ＜ b＋m a＋m ； b a ＞ b－m a－m (b－m＞0)； a b ＞ a＋m b＋m ； a b ＜ a－m b－m (b－m＞0)． 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图 象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞ 0)的根有两相异实根 x 1 ，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x 1 ＝x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1} ?? ? ?? ?? ? ?? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a ＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??

第九讲不等关系、不等式的基本性质

第八讲不等关系、不等式的基本性质 一、知识点精讲： （一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。 注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。（二）不等式的基本性质： 1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （三）不等式的解集： 1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解． 2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。因此，解集要达到不多不漏的严格要求。 3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”． 不等式的解集在数轴上的表示如下： ①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1) 图1－1 ②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2) 图1－2 ③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3) 图1－3

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质 重点：不等式的差不多性质 难点：不等式差不多性质的应用 要紧内容： １．不等式的差不多性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+bb a+c>b+c （４）a>b ２．不等式的运算性质 （１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0 （４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0 （５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2) （６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2) ３．差不多不等式 （１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号） （２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号） （３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号） （４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号） （５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号） （６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确明白得和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。差不多不等式能够在解题时直截了当应用。

例１．关于实数a,b,c判定以下命题的真假 （１）若a>b, 则acbc2, 则a>b; （３）若aab>b2; （４）若a|b|; （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 解：（１）因为c的符号不定，因此无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac2>bc2, 因此c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 （３）因为因此a2>ab① 又因此ab>b2② 综合①②得a2>ab>b2 故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题． （５）因为因此 因此从而ab<0 又因a>b因此a>0, b<0． 故原命题为真命题． 例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范畴． 解：由题意可知：∴ ∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1)∴运算可知-1≤f(3)≤20 错解：依题设有①消元，得② ∵f(3)=9a-c∴-7≤f(3)≤26 错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范畴，同向不等式在多次相加时要慎重，一定要检查其同解性．

不等式的基本性质与基本不等式

不等式的基本性质与基本不等式 郭浴琼 目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、 可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一 些简单问题． 重难点： 不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点 1、 比较两数大小的基本方法 （1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔= （2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b =⇔= 2、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔<（对称性） 性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性） 性质3：若a b >，则a c b c +>+ 性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc < 结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+ 结论2：若0a b >>，则n n a b >() *n N ∈ 结论3：若0a b >>，则() *,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式） 对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 22 ()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲 例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞c b ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？ 例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >b d ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．

不等式的基本性质、解不等式

不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R.

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳 基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。在 数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。 本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。 一、基本不等式的定义 基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。 二、基本不等式的性质 1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。 2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。 3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。 4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。 5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。若c ≤ 0，则ac ≥ bc。 6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。若 c < 0，则a/c ≥ b/c。 三、常用的基本不等式 1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。

该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几 何平均值，那么这些数之间存在不等关系。 2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、 b₂、...、bₙ，有 (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)。 柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘 积的平方之间的关系。该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛 应用。 3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。 三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝 对值之和。 4. 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区 间 (a, b) 内可导，则存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。 拉格朗日中值定理是微分学中的重要结果，可以推导出某些函数 的不等式关系。 四、应用举例 1. 判断多项式的根的范围：利用基本不等式，我们可以判断多项式 的根所在的范围。例如，对于二次多项式 ax² + bx + c（其中 a > 0），

不等式的性质与证明方法总结

不等式的性质与证明方法总结 在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、基本不等式性质 1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可 以用于简化证明过程。 2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上 一个相同的数，不等式的大小关系不变。 3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个 性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。 4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。 二、常见不等式 1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n) 平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。 2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) 其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。 4. 夹逼定理：如果对于任意n，有a_n <= b_n <= c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。夹逼定理可以用于证明数列极限的存在与计算。 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法：对于一些特定的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。数学 归纳法的基本思想是：先证明当n = 1时不等式成立，然后假设当n = k时不等式 成立，再证明当n = k + 1时不等式也成立。 2. 反证法：对于一些不等式，可以使用反证法进行证明。反证法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 3. 矛盾法：对于一些不等式，可以使用矛盾法进行证明。矛盾法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 4. 应用其他不等式：有时候，可以通过应用其他已知的不等式来证明目标不等式。例如，可以使用平均不等式、均值不等式、柯西不等式等来推导出目标不等式。 综上所述，不等式是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。了解不等式的 性质和证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式，解决实际问题。通过不断学习和练习，我们可以提高不等式的运用能力，为数学和其他学科的研究和应用做出更多贡献。

不等式的性质与基本不等式

第四讲不等式的性质/基本不等式 课前练习： 已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式 2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 解： 一、知识要点 （一）不等式的性质 1、实数比较大小的方法（作差比较法）： 原理：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔，b c >，那么a c >（传递性）。 （2）如果a b >，那么a c b c +>+（加法单调性）。 （3）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <（乘法单调性）。 ( 4) 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+（同向相加性）。 ( 5) 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >（同向相乘性）。 (6)如果0,>>ab b a ，那么 a b 1 1>（倒数改向性） (7) 如果0a b >>，那么()n n a b n N * >∈（乘方性质）。 (8) 如果0a b >>,n N *> ∈1)n >（开方性质）。 例1、已知0>>b a ，0< -。 证： 例2、比较a 4 －b 4 与4a 3 (a －b)的大小． 解：

例3、如果2 2 π π αβ-<<< ，求2αβ-的取值范围。 解： 巩固与提高1 1、有三个不等式（1）0>ab ，（2） b d a c >， （3）ad bc >。以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几个？ 2、若的大小试比较1,1,1--=-+=>c c b c c a c 。 解： 3、 设b a ,是两个实数，给出下列条件：○11>+b a ；○22=+b a ；○32>+b a ；○4222>+b a ；○ 51>ab 。其中能推出“b a ,中至少有一个数大于1”的条件是. 4、“2 2 1x y +<”是“1xy x y +>+”成立的条件。 5、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( ) A 、22a b < B 、22a b ab < C 、 2211ab a b < D 、b a a b < 6、若a和| |1||1b a >均不能成立 B 、b b a 1 1>-和||1||1b a >均不能成立 C 、不等式 a b a 11>-和（a+b 1 ）2>（b+a 1）2均不能成立 D 、不等式||1||1b a >和（a+a 1）2>（b+b 1）2 均不能成立 （二）基本不等式 1、基本不等式一： 如果a b R ∈、，那么22 2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。 变形1：如果a b R ∈、，那么2 2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ，当且仅当a b =时等号成立。

不等式及不等式的基本性质

不等式及不等式的基本性质 知识要点： 1、 不等式：表示不相等关系的式子。 2、 不等式的分类：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式。 3、 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 4、 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 5、 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 6、 不等的互逆性和传递性：若a>b,则bb,b>c,则a>c 。 示例: 1、 判断下列各式哪些是等式，哪些不是等式，哪些即不是等式也不是不等式。 ①x+y; ②3x>7 ③5=2x+3; ④02≥x ； ⑤2x －3y=1; ⑥52. 2、 根据下面的数量关系，列不等式： （1） x 的3 1与x 的2倍的和是非负数学； （2） 一个数除以2的商加上2，和最多为5； （3） a 与b 两数和的平方不可能大于3. 3、 若a0,b>0.求证： b a b a a b +≥+。

6、某市化工厂现有A 种原料290千克、B 种原料212千克，计划利用这两种原料生产C,D 两种产品共80件，生产一件C 产品需要A 种原料5千克、B 种原料1.5千克，生产一件D 种产品需要A 种原料2.5千克、B 种原料3.5千克，若该市化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产C 产品x 件的关系式。 7、解不等式： 13 3222<--+x x 8、如果x －y0 B,x －y>0 C,xy<0 D,0>y x 练习： 1、小华没有小明高，假设小华的身高是xcm,小明的身高为ycm ，写出x,y 的不等式。 比较下列各数的大小： 122,1 233,2 344,3 455,4 566,5；… 2、（1）从上面的结果观察归纳，可以猜想n n n n )1(,1++的大小关系是： ； （2）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：19981997 19971998。 3、如果a>b ，那么下列各式中错误的是（ ） A 、a －2>b －2 B 、2 2b a > C 、b a 22-<- D 、b a ->-

不等式的基本概念与性质

不等式的基本概念与性质 不等式是数学中一种重要的关系表达式，描述了两个或多个数之间 的大小关系。不等式与等式不同，它表示两个数之间的大小关系，可 以是大于、小于、大于等于、小于等于等。 一、不等式的基本概念 1. 不等式符号 不等式符号是表示数之间大小关系的符号，常见的不等式符号有以 下几种： - 小于号：<，表示小于的关系，如a < b表示a小于b。 - 大于号：>，表示大于的关系，如a > b表示a大于b。 - 小于等于号：≤，表示小于等于的关系，如a ≤ b表示a小于等于b。 - 大于等于号：≥，表示大于等于的关系，如a ≥ b表示a大于等于b。 - 不等号：≠，表示不等的关系，如a ≠ b表示a不等于b。 2. 不等式的解集 不等式的解集是满足不等式条件的数值范围。解集可以表示为一个 区间或多个不等式的交集或并集。例如，不等式x > 3的解集可以表示 为(3, +∞)，表示 x 的取值范围大于3，不包括3本身。 3. 不等式的性质

- 不等式的传递性：如果 a < b 且 b < c，那么有 a < c，这是不等式的传递性质。例如，如果 x < y 且 y < z，则可以推断出 x < z。 - 不等式的加法性：如果 a < b，那么有 a + c < b + c，其中 c 是任意实数。例如，如果 x < y，则可以推断出 x + 1 < y + 1。 - 不等式的乘法性：如果 a < b 且 c > 0，那么有 ac < bc，其中 c 是正实数；如果 a < b 且 c < 0，那么有 ac > bc，其中 c 是负实数。例如，如果 x < y 且 z > 0，则可以推断出 xz < yz。 - 不等式的取反性：如果 a < b，则有 -a > -b。例如，如果 x < y，则可以推断出 -x > -y。 二、一元一次不等式 一元一次不等式是以一个变量为未知数的一次不等式。一元一次不等式的基本形式为ax + b < c 或 ax + b > c，其中 a、b、c 是已知实数，且a ≠ 0。 1. 一元一次不等式的解法 为了求解一元一次不等式，可以使用以下步骤： - 将不等式转化为等式：将不等式中的不等号改为等号，得到一个等式。 - 求解等式：求解所得到的等式，得到变量的值。 - 确定解的范围：根据不等式的符号关系，确定变量的取值范围，得到不等式的解集。

不等式的基本概念与性质

不等式的基本概念与性质 在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。 一、不等式的基本概念 1. 不等式的定义 不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。 2. 不等式的符号及其含义 （1）≠：不相等。表示两个数或两个代数式不相等。 （2）<：小于。表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。 （3）≤：小于等于。表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。 （4）>：大于。表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。 （5）≥：大于等于。表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。

3. 不等式的解集 不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。 二、不等式的性质 1. 不等式的传递性 如果a＜b，b＜c，那么a＜c。即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之 间的大小关系也成立。 2. 不等式的加减性 如果a＜b，那么a±c＜b±c。即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。 3. 不等式的乘除性 （1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。 即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。 （2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。 即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。 4. 不等式的倒置性 如果a＜b，那么-b＜-a。

不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>> 0,. （7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><<⇒ >（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒ <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,

不等式性质与基本不等式

不等式的性质与基本不等式1 教学目标 (a)知识与技能：掌握实数的运算性质与大小顺序间关系，进一步了解数形结合思想；掌握 求差法比较两实数或代数式大小.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的 证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 (b)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生 数形结合的想象力 教学重点、难点 教学重点：基本不等式的应用 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： （一）复习：两实数的大小关系。 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的 实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6一1中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b , 点A 在点B 右边，那么a b >． 我们再看图6一1，a b >表示a 减去b 所得的差是一个大于0的数即正数. 一般地： 若a b >，则a b -是正数；逆命题也正确． 类似地，若a b <，则a b -是负数；若a b =，则0a b -=；它们的逆命题都正确. 这就是说： 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<． 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. （二）新课讲解： 1.比较两实数大小的方法——求差比较法： 比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大 小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号. 例题分析： 例1．比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22 (215)(28)70a a a a =-----=-< ∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-． 2.不等式的性质 ⑴(对称性或反身性)a b b a >⇔<; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，; ⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（ ） ⑹(开方法则 )0,20a b n N n >>∈⇔>>（≥） A B b a ∙ ∙ 图6—1

高三一轮复习《不等式的性质与基本不等式》

第六章 不等式 §6.1不等式的性质与基本不等式 知识梳理 1、比较原理 两实数b a ,之间有且只有以下三个大小关系之一： 、 、 。 其中0>-⇔>b a b a ；⇔b a 。 （2）传递性：⇒>>c b b a , 。 （3）不等式加等量：c a b a +⇔> c b +。 （4）不等式乘正量：⇒>>0,c b a 。 不等式乘负量：⇒<>0,c b a 。 （5）同向不等式相加：⇒>>d c b a , 。 （6）异向不等式相减：⇒<>d c b a , 。 （7）同向不等式相乘：⇒>>>>0,0d c b a 。 （8）异向不等式相除：⇒<<>>d c b a 0,0 。 （9）不等式取倒数：a ab b a 10,⇒>> b 1 （10）不等式的乘方：⇒>>0b a 。 （11）不等式的开方：⇒>>0b a 。 （12）真分数性质：0,0___b b m a b m a a m +>>>⇒ + 3、重要不等式和基本不等式 （1）如果0,0>>b a ，那么 叫做这两个正数的算术平均数。 （2）如果0,0>>b a ，那么 叫做这两个正数的几何平均数。 （3）基本不等式：0,0>>b a ，则 ，当且仅当b a =时取等号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 注：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“ ” ②基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的 不小于 ,如图所示. （4）常见变形：① （,a R b R ∈∈取等条件： ） ② （,a R b R ∈∈取等条件： ） ③ （,a R b R ∈∈取等条件： ）