前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看
一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分)
1.计算=--++??y x y
x x y
y x D d d 1)
1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与
两坐标轴所围成三角形区域.
解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =???
?
??-=,
?
-=10
2
d 1u u
u (*) 令u t -=1,则21t u -=
dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,
2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2
022d )(3)(x x f x x f ,则
=)(x f ____________.
解:令?=2
0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得3
4=A 。因此3
10
3)(2-
=x x f 。 3.曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是
__________.
解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面
2
2
22-+=y x z 在
)
,(00y x 处的法向量为
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平
行,因此,由
x
z x =,
y
z y 2=知
0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,
即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在
))
,(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是
0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222
-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,
且1≠'f ,则=22d d x
y
________________.
解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得
因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x
'=''+)(1
,即))
(1(1
y f x y '-=
',因此
二、(5分)求极限x e
nx x x x n
e e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此
三、(15分)设函数)(x f 连续,?=1
0d )()(t xt f x g ,且A x
x f x =→)
(lim
,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解
:由
A x x f x =→)
(lim
和函数
)
(x f 连续知,
0)
(lim
lim )(lim )0(0
===→→→x
x f x x f f x x x 因?=1
0d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(1
0===?f t f g ,
因此,当0≠x 时,?=x
u u f x
x g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,
x
x f u u f x x g x )
(d )(1)(0
2
+
-
='?
, 这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正
向边界,试证:
(1)??-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ;
(2)2sin sin 2
5d d π?≥--L
y y x ye y xe .
证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 (1)y x ye y xe x x ye y xe D
x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ?????
??
??-??
-??=---
而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 (2)因 故 由 知
即2sin sin 2
5
d d π?≥--L
y y x ye y xe
五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而
0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由
)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又
已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ, 得 即 因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
,且n
e
u n =)1(,求函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+=', 即
由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此
由)1()1(n
C e u n e n +==知,0=C , 于是
下面求级数的和:
令 则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞
=1)(n n x u 的和
八、(10分)求-
→1x 时,与∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
解令2
)(t x t f =,则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<, 故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 即 ()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? , 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑ ∑, 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==??? ? ∞+-∞ +-∞+∞+, 所以,当- →1x 时,与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知 识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞ (2)求2 1lim 1x x x e x -→∞ ?? + ?? ? 。 (3)设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==?。 (4)设函数()f t 有二阶连续导数 ,1(,)r g x y f r ?? == ??? ,求2222g g x y ??+??。 (5)求直线10:0x y l z -=??=? 与直线2213:421x y z l ---== --的距离。 解:(1)22(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =2 2 2(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++-= =1 2(1)/(1)n a a +-- (2)2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞ ??+== ??? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== (3)00001120 21 011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞ -∞----+==-=--= -=====???? 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。 证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解:二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开: 因为二阶倒数大于0,所以 lim ()x f x →+∞ =+∞,lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、(15分)设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ?=+>-? =?所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -=+ ?在1t =出相切,求函数()t ψ。 解:(这儿少了一个条件22d y dx = )由()y t ψ=与2 2 13 2t u y e du e -=+ ?在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ,'2(1)e ψ= 22 d y dx ='3 ''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、(15分)设10,,n n n k k a S a =>=∑证明: (1)当1α>时,级数1n n n a S α +∞ =∑ 收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1n n n a S α+∞ =∑发散。 解: (1)n a >0,n s 单调递增 当1n n a ∞ =∑收敛时, 1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以n n a s α 收敛; 当1 n n a ∞ =∑发散时,lim n n s →∞ =∞ 所以,1111 1211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑?? 而1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--?,收敛于k 。 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) (本小题5分) 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 (本小题5分) 求 X 2 2 dx. (1 x ) (本小题5分) (本小题5分) 设函数y y (x )由方程y 5 in y 2 x 6 所确定,求鱼. dx (本小题5分) 求函数y 2e x e x 的极值 (本小题5分) 2 2 2 2 求极限lim & ° (2x ° (3x ° 辿」 x (10x 1)(11x 1) (本小题5分) cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x (本小题5分) 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x (本小题5分) 求—^dx. 1 x (本小题5分) 求—x .1 t 2 dt . dx 0 (本小题5分) 求 cot 6 x esc 4 xdx. (本小题5分) 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分) [曲2确定了函数y es int 5分) (本小题 设 x y (本小 y(x),求乎 dx (本大题6分) 设f (x ) x (x 1)( x 2)( x 3),证明f (x ) 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试(答案) 、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) lim 」^ x 2 12x 18 2、(本小题3分) (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、(本小题3分) 故 limarctan x 4、(本小题3分) dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、(本小题7分) 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿, 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 高等数学下试题及参考 答案 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 华南农业大学期末考试试卷(A 卷 ) 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy = 2 .求极限(,)(0,0)lim x y →= ( ) A .14 B .12- C .14- D .12 3.直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上 C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ,则D σ= ( ) A .33()2 b a π- B .332()3 b a π- C .334()3 b a π - D . 3 33()2 b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1 1 21n n ∞ =-∑ D .n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ; 高等数学竞赛 一、 填空题 ⒈ 若 5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ,则a = ,b = . ⒉ 设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = . ⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 . ⒋ 已知x x xe e f -=')(,且f (1) = 0, 则f (x ) = . ⒌ 设函数 ()y x 由参数方程 33 31 31 x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 . ⒍ 设 1 ln arctan 22+-=x x x e e e y ,则==1 x dx dy . ⒎若 0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则a= . ⒏ 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ,则=-?221)1(dx x f . ⒐ 由定积分的定义知,和式极限=+∑=∞→n k n k n n 12 2 lim . ⒑ 1+∞=? . 二、 单项选择题 11.把+ →0 x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===0 3 2 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【 】 (A) γ βα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 12.设函数f(x)连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 【 】 (A) f(x)在(0,)δ内单调增加. (B )f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C )对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . 13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】 (A )0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B )0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C )0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D )0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 14 . lim (1)n n →∞+等于 【 】 (A ) 2 21 ln xdx ?. (B )21 2ln xdx ?. (C )2 1 2ln(1)x dx +?. (D )2 21 ln (1)x dx +? 15 . 函数 2 )2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】 (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 高等数学B (上)试题1答案 一、判断题(每题2分,共16分)(在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”) ( × )1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. ( × )2. 闭区间上的间断函数必无界. ( √ )3. 若)(x f 在某点处连续,则)(x f 在该点处必有极限. ( × )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( √ )5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( × )6. ()y f x =在点0x 连续,则()y f x =在点0x 必定可导. ( × )7. 若0x 点为()y f x =的极值点,则必有0()0f x '=. ( × )8. 若()()f x g x ''≡,则()()f x g x ≡. 二、填空题(每题3分,共24分) 1. 设2 )1(x x f =-,则(3)f =16. 2.1lim sin x x x →∞ =1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5.设0()f x A '=,则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--= 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠,当(0)f =0时,)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=,2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ,则=')1(F 1 . 三、计算题(每题6分,共42分) 1.求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解: 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?= . 2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=?? . 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? . ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2, z z x x y ?????. 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值. (本题满分10分) 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>. 四、(本题满分10分) 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数. 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 《高等数学A 》(下)期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分) 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 ( c ) (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 (D ) (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛,则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x (B ) (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 ( A ) (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析,则实常数a 的值 为 ( c ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 电气与电子工程学院高等数学试卷 姓名: 班级: 得分: 一.填空题(2′×10) 1 .已知f(x)=()[]?? ? ??=≠+0,0,12sin x a x x x a ,在()+∞∞-,上连续,则a = . 2.X= 是函数f (x )=???≤>0 ,0 ,2x x x mx 的间断点,是第 类间断点. 3.有一数列{}Xn ,且Xn= n n 3 12-则此数列收敛还是发散. 4.求曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为. 5.设函数f(x)=???>+≤1 ,1 ,x 2x b ax x 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,则 a = ,b=. 6.设y=f(x)是由e 02xy =-+x y 所确定的函数,则dy= . 7.设f ′(2)=1,则 ()=--→s s f s f s 2) (2lim 0 . 8.求函数2cos y x x =+在[0, 2 π ]上的大值 . 9.椭圆44x 2 2 =+y 在(0,2)处的曲率半径. 10.设常数k>0,函数f(x)=lnx-k e +x 在其定义域内零点个数为 个. 二.选择题(每题仅有一个正确选项,2′×10). 1.数列{x n}收敛是数列{x n}有界的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分必要条件 2.设f(x)=,0,cos 0 ,? ? ?>≤-x x x e x 则f (-x )=( ) A ???>-≤-0,cos 0,x x x e x B ???>≤0,cos 0,x x x e x C ???<-≥-0,cos 0,x x x e x D. ???<≥0,cos 0,x x x e x 3.设f(x)是可导函数,且 ,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( ). A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f ′(0)=( ). A. 0 B. 99! C. 100! D. (-1)100! 5.若f(-x)=f(x),(-∞ 四川理工学院试卷(2007至2008学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 命题教师: 杨 勇 适用班级: 理工科本科 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项: 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -111 ; (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 高等数学 一、填空 、选择题(每题3分,共30分) 1.曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是( ) (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy + (C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?, 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2) 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 【最新整理,下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1. 若0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续,则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为: 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面, 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数 (,)f x y 具有连续偏导 数,且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题(每小题6分,本题共42分): . ,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是: 高等数学下册试题 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。期末高等数学(上)试题及答案
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