平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数

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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：

12

12

2,112m ln ax q q s t q p p y

q q q α..+=+

构造拉格朗日函数：

()121122ln L q q q y p p q αλ--=++

L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：

111

0L p q q α

λ?=-=? ① 22

10L

p q λ?=-=? ② 11220q L

y p p q λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

2

11

p q p α*=

④

再把④式代入③式中得：

2

2

2y p p q α*-=

⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：

2

11

p q p α*=

2

2

2

y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2

0q *

>，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()21

12122

,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**

=+-=

②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为：

1

1q y p *=

20q *

= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()12121

,,,ln

v p p y u q p y q α**

== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：

()()2

1

12122

,,,ln

p v p p y p q q y

u p ααα**

=+

-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α?=-? 2222v y p p p α?=-? 2

1v y p ?=? 由罗尔恒等式，得到：

11121

2

1v p p p v y p q p α

α*??=-==?? 22

222221y p v p p y p y q v p p α

α*-??-=-==??

②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121

,,,ln

v p p y u q p y

q α**

==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α?=-? 20v p ?=? v y y

α?=? 由罗尔恒等式，得到：

1111v p p y v y p y q α

α*??=-

==?? 22

00v p v y y

q α*

??=-==?? （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

12

212max x x x x ，

1221..s x m p p x t +=

构造该问题的拉格朗日函数：

()2121122x m p p L x x x λ+-=-

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

1211

20L

x x p x λ?=-=? ① 2122

0L

x p x λ?=-=? ②

11220L

m p x p x λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

11

22

2p x x p =

④ 把④式代入③式中得：

()1121

2,,3m

x p p m p *=

⑤ 把⑤式代入④式中得：

()2122

,,3m

x p p m p *=

⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

()23

222112

44,,3927x y m m m V p p m p p p p =?=

由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

()123

2

1

231212273,,242p p u e p p u p p u ??==

???

3．试根据间接效用函数()1212

,,m

v p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。

解：由间接效用函数可得：

()2112v m p p p ?=-?+，()2

2

12v m

p p p ?=-?+，121v m p p ?=?+。 根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：

()

2

121

112

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+??=-=-

=

??++ ()

122

212

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+??=-=-

=

??++

4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()2

12,x x R +∈。已知北京的物价为

()1

2

,a

a p p ，上海的物价为()1

2

,b b p p ，并且1212a a b b p

p p p =，但11a b p p ≠，22a b p p ≠。又知广州的物

价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ??=++ ???

，。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生

活？

解：老人的效用最大化问题为：

12

12

1122max ..x x x x s t p x p x m

+=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

211

0L

x p x λ?=-=? ① 122

0L

x p x λ?=-=? ② 11220L

m p x p x λ

?=--=? ③ 由①②③三式求解，可得：()1121,,2m x p p m p =

，()2122

,,2m x p p m p =。 将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：

()2

1212

,,4m v p p m p p =

于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：

2114a a a m v p p = 2114b b b m v p p = 2

11

4c c c m v p p =

因为1212a a b b

p p p p =，所以a b v v =。

又因为11221

21122121222

a b a b c

c

a b a b a a b b p p p p p p p p p p p p p p ++=?≥==，由于已知

1122a b a b

p p p p ≠≠，，所以该不等式的等号并不成立，则有c a b v v v <=。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5．（1）设12u x x =，这里()2

12,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()

12,,e p p u 。

（2）又设12ln ln u x x '=+，这里，()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数

()12,,e p p u ''。

（3）证明：()()1212,,,,e p p u e p p u ''=，其中ln u u '=。 答：（1）消费者的支出最小化问题为：

12

1122

12max x x p x p x s t x x u

+..=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()

12112212L x x p x p x u x x λλ=++-，，

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

121

0L

p x x λ?=-=? ① 212

0L

p x x λ?=-=? ② 120L

u x x λ

?=-=? ③ 由上述三式解得：12

211up x p ??= ? ???，12

122up x p ??

= ? ?

??

。 把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()

()

()

12

12

121212,,2e p p u p p u

p p u ==（2）消费者的支出最小化问题为：

12

1122

12min ..ln ln x x p x p x s t x x u ++='

，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()12112212,,ln ln L x x p x p x u x x λλ=++'--

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

1110L p x x λ

?=-=? ① 222

0L p x x λ

?=-=? ② 12ln ln 0L

u x x λ

?='--=? ③ 由①②③三式可解得：12

2211u p x e p '??= ???，12

2122u p x e p '??

= ???

。

把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()(

)12

21212,,2u e p p u p p e '''==（3）证明：

12

12ln ln ln u x x u u u x x =??'=??'=+?

根据（1）与（2）的结果，可得()()1212,,,,e p p u e p p u ''=。

6．设某消费者的间接效用函数为()12112

,,m

v p p m p p αα

-=

，这里1α0<<。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？

答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为

()12112

,,m

v p p m p p α

α

-=

，从中反解出m 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：

()112,e p u up p αα

-=

根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：

()()()

1112211

1

1,,up p e p u p h p u u p p p α

αα

α--????

=

=

= ?

????

7．考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数()1i

n i i u x A x α==∏，这里0A >，1

1n

i i α==∑。

（1）求每种商品的马歇尔需求函数。 （2）求消费者的间接效用函数。 （3）计算消费者的支出函数。

（4）计算每种商品的希克斯需求函数。 解：（1）消费者的效用最大化问题为：

()121

1

max i

n

n

i x x x i n

i i i u x A x s t p x y

α===∏..=∑ ，

构造该问题的拉格朗日函数：

11i n

n

i i i i i L A x y p x αλ==??=+-∑∏????

拉格朗日函数对i x ()1,2,i n = 和λ分别求偏导数得：

10

1,2,j i i i j i j i i

L A x x p i n x α

ααλ-≠?=-==∏?

10n i i i L

y p x λ

=?=-=∑? ①

从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立：

i j i

j i j

x p i j x p αα=≠

从而得到，对任意的j i ≠都有：

j i i

j i j

p x x p αα=

把这1n -个等式代入①式中，就有：

0j i i

i i j i i

p x y p x αα≠--=∑

即：

()1i i

i j i i i i j i i i p p p x p x y αααα≠????+=+-=∑ ???????

从而解得商品的马歇尔需求函数为：

1,2,i i i

y

x i n p α=

=

（2）把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，就得到了消费者的间接效用函数：

()()()11,,i i

n

n i i i i i i y v p y u x p y A Ay p p αααα==??

??===∏∏ ? ?????

（3）从间接效用函数中反解出y 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：

()1,i n i i i p u e p u A αα=???? ??∏ ? ?

??= ? ?

???

（4）把支出函数两边取对数，得：

[]{

}

1

ln ln ln ln ln n

i i i i e u A p a α==-+-∑

上式关于i p 求导得：

1i i i

e e p p α??=? 再根据谢泼特引理()()(),,i i

e p u x h p u p ?=

?得到消费者对物品的希克斯需求函数为：

()1

1,,1,2,3,,j i

j j h i j i j j j j i p p e

x e p u uA j n p p ααααα--≠????

?==== ? ? ????

??

∏

8．以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

答：（1）如果消费者的效用函数为柯布—道格拉斯效用函数，那么他的效用最大化问题可以描述为：

12

112

1122max .x x Ax x s t p x p x m

αα

-.+=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()112121122,,x x Ax x m p x p x ααψλλ-=+--

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

111211

0Ax x p x αα

ψαλ--?=-=? ① ()1222

10Ax x p x αα

ψαλ-?=--=? ② 11220m p x p x ψ

λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

()11

221p x x p αα-= ④

把④式代入③式中解得：

11

m

x p α=

⑤

把⑤式代入④式中解得：

()22

1m

x p α-=

⑥

⑤、⑥两式就是与柯布—道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数，把它们代入目标函数式中，就得到了间接效用函数：

()1121,v p m Am p p α

α

αα-????

-= ? ?

????

（2）消费者的支出最小化问题为：

()12

1122

112

min x x p x p x s t u x Ax x

α

α-+..=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()112112212,,x x p x p x u Ax x αα

ψλλ-=++-

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

111121

0p A x x x ααψλα--?=-=? ① ()2122

10p A x x x αα

ψλα-?=--=? ② 1120u Ax x αα

ψλ

-?=-=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

()11

22

1p x x p αα-=

④

把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为：

()()1211,1p u h p u A p α

αα-??

=??

-??

?? ⑤

把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函数为：

()()1221,p u h p u A p α

αα-??

=????

⑥

把⑤，⑥两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()11211,1u e p u p p A α

αα

ααα

--??= ?

-?? （3）下面来验证问题的结论：对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中，就得到了它们的马歇尔需求函数：

()111211211

1,1p A am

x p m m A p p p p αα

α

α

αααα---????

??-??==

? ?

? ?-??

??????

()()1121222111,m p A x p m m A p p p p α

α

α

α

ααααα--????

??--??== ? ?

?

???????

??

把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中，就得到了它们的希克斯需求

函数：

()()1121121111,=11p u u h p u p p p A A p α

α

αααααααα--??

-??=?? ?

--????

??

()()11212221111,=1p u u h p u p p p A A p α

α

αααααααα--??

--??=?? ?

-????

由此可知，对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问

题可以得到同一需求函数。

9．下列说法对吗？为什么？

函数()()12

,h x x x p u p u =+可以作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。 答：函数()()1,h x x x p u p u =+不能作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。理由如下：

希克斯需求函数（用(),i h p u 表示，其中下标表示第i 种商品）是指在消费者的效用保持不变的情况下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。特别地，希克斯需求

函数具有以下性质：

（1）(),i h p u 关于价格p 是零次齐次的，即：对任意的0t >，()(),,i i h p u h tp tu =； （2）(),i h p u 关于第i 种商品的价格i p 单调递减，即：(),0i i

h p u p ?

（3）对任意的i 和j 两种商品，

()(),,j i j

i

h p u h p u p p ??=

??总是成立。

对任意的0t >，()()

()()12

1,,h

h

x x x x x

p u p u tp tu x tp tu =+≠+=，

(),02h x x

x x p u p p u

?=

>?+。

故对于函数()()12

,h x x x p u p u =+而言，由于不满足上述三条性质中的前两条，所以它不是希克斯需求函数。

10．下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？

()()

222,,x x y x

y

p I

x p p I p

p

?=

+

这里，x 与y 为两种商品，I 为收入。

答：马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。马歇尔需求函数具有以下性质：

（1）马歇尔需求函数关于价格p 和收入m 是零次齐次的，即：对任意的0t >，都有()(),,i i x p m x tp tm =。

（2）如果一种商品是正常品，即(),0i x p m m

?>?，那么该商品的马歇尔需求函数关于商

品的价格单调递减，即

(),0i i

x p m p ?

下面对函数()()

222,,x x y x

y

p I

x p p I p

p

?=

+分别验证上述两条性质：

（1）()()

()

()2222

2222,,,,x x x y x y x y x y t p I

p I

x tp tp tI x p p I t p p p p ??=

=

=++；

（2）由于

()()

22

,,20x y x x

y

x p p I p I

p

p

?=

>?+，所以该商品是正常品。

()()

22

2,,40x y x y

y

x

y x p p I Ip p p p

p

?=-

()

22

22

22,,0y x x y x

x

y I p p x p p I p p

p

-?=

下才能成立，否则商品的需求随着价格的上升而增加，这就和第二条性质相矛盾。

综合上述分析可知该函数不是马歇尔需求函数。

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平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数 1 ?设一个消费者的直接效用函数为 u =? Inq 。求该消费者的间接效用函数。并且 运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为： 构造拉格朗日函数: L = : Inq 72 川'；? j y -pq -P 2C 2 L 对q 、C 2和，分别求偏导得: 从而解得马歇尔需求函数为: y P 2 q 2 二 P 2 由⑤式可知：当y_「p 2?0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -： P i P 2 ②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： P i 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工 P i (2)①当y_「p 2?0时，此时的间接效用函数为： v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 - P i P 2 将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得: P t = 0 -:C i C i p 2 = 0 池 y ~ p i q i _ p 2q ^ = 0 OK 从①式和②式中消去后得: :、沱 P 2 q p 再把④式代入③式中得： C 2 y P 2 P 2 ① ② ③ ④ ⑤

《应用泛函分析》前四章重点复习大纲

1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）

2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间

泛函分析答案

泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定

泛函分析答案

泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。

(完整word版)泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则

泛函分析习题解答

第一章 练习题 1． 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下: (,)|()()|,,([,])b a f g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?， （1）([,])C a b 按ρ是否完备? （2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么? 答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2, n =,定义 ,01, ():1,1 2. n n x x f x x ?≤<=? ≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为 1 11 (,)|()()|110,(,).11 n m n m n m f f f x f x dx x dx x dx m n n m ρ=-≤+= +→→∞++??? 另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有 0,[0,1) ()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=? ∈? 因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到 1 1 1 00(,)|()()|1 |0|0.1 n n n n f g f x g x dx x dx x dx n ρ=-=-==→+??? 但()([0,2])g x C ?. (2) ([,])C a b 的完备化空间是1 ([,])L a b . 因为 (i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1 ([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个 1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得 [,] (,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有

泛函分析习题解答

第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此

应用泛函分析相关习题.doc

泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)

' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数 1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为： 12 12 2,112m ln ax q q s t q p p y q q q α..+=+ 构造拉格朗日函数： ()121122ln L q q q y p p q αλ--=++ L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得： 111 0L p q q α λ?=-=? ① 22 10L p q λ?=-=? ② 11220q L y p p q λ ?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得： 2 11 p q p α*= ④ 再把④式代入③式中得： 2 2 2y p p q α*-= ⑤ 从而解得马歇尔需求函数为： 2 11 p q p α*= 2 2 2 y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2 0q * >，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()21 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+-= ②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： 1 1q y p *= 2 0q * = 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()12121 ,,,ln v p p y u q p y q α** == （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为： ()()2 1 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+ -= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

习题 第九章 领导

一、填空题 1.通过精神或物质上的威胁来强迫服从的一种权力是。 2.领导行为二元四分图的纵轴与横轴分别代表与。 3.领导集体的结构包括年龄结构、、与性格结构。 4.领导者的权力来源有法定权力、、、专家权力与五种。 5.管理方格图的纵坐标和横坐标分别是和。 6.通过描述最难与之共事的人来测定领导风格的方法是。 7.双因素理论把影响人的行为与动机的因素分为两类与。 8. 理论认为通过奖励等手段对员工的某一行为进行鼓励和肯定，可使该行为重复出现和加强。 9.、增加报酬以增强所希望的行为的强化方式为，按周给付薪金的强化方式属于，对销售员每做成一笔交易就给予一定奖励属于。 10.路径——目标理论区分了四种基本的领导风格类型，分别、参与型 和。 11.麦克利兰把人的需要分为、友谊需要和三种。 12.菲德勒区分的三种领导情景因素分别是、和。 二、单项选择题 1.通过组织中等级制度所赋予的权力是（） A．专家权力B．感召权力C．表率权力D．法定权力 2.领导者和非领导者的差异在于领导者具有一些可以被确认的基本特质，持有这种观点的理论被称为（） A．领导特质理论B．管理方格理论C．领导权变理论D．领导行为理论 3.以信息或知识为基础的权力是（） A．法定权力B．奖励权力C．专家权力D．强制权力 4.假设领导者不能改变领导风格来适应情景的理论是（） A．路径——目标理论B．期望理论 C．领导生命周期理论D．双因素理论 5.根据领导生命周期理论，领导风格随着下属成熟程度不同而不同，对于高度成熟的下属，领导者应当采取以下哪种领导同风格（） A．高工作，高关系B．低工作，低关系 C．高工作，低关系D．低工作，低关系 6.强调下属的领导理论是（） A．路径——目标理论B．菲德勒权变理论 C．领导生命周期理论D．领导特质理论 7.任务导向型的领导行为在下述因素中最关心的是（） A．下属的意见、感情B．下属的满意程度

数学专业参考材料书汇总整编推荐

学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的：

1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。

最新泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

泛函分析第4章 内积空间

第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 2 2 1 ()k k x t ==∑，13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈

中级微观经济学45道题(含解答)

中级微观经济学期末考试复习题 （版权归13企业管理班所有，翻版必究，哈哈！） 1.实现委托代理最优合约设计的两个约束条件是什么？ 答：一种是代理人的个人理性约束，即委托人得保证让代理人不跳槽，安于经理岗位。 另一种是对代理人的激励相容约束，即让代理人自己去选择行动值a，使其期望的边际效用值达到最大。 2、为何需求的价格弹性大于1时，降价能增加收益，而需求的价格弹性小于1时，涨价能增加收益，请给出数学证明。 答：需求的价格弹性公式为： 由公式可知， 当|e|>1，即富于弹性时，MR<0，边际收益为负，即提高价格，收益降低，相反，降低价格则收益升高。 当|e|<1，即缺乏弹性时，MR>0，边际收益为正，即提高价格，收益升高，相反，降低价格，收益变少。 3.简述公共产品与私人产品的差异。（微观经济学十八讲P352） 答：公共品是指由公共部门提供用来满足社会公共需要的商品和服务。公共品具有不可分割性、非竞争性和非排他性。但是必须明确并不是全部的公共品都应由公共部门提供。私人品是指那些具有效用上的可分割性，消费上的竞争性和受益上的排他性的产品。公共品和私人品的区别在于，公共品是可以让一群人同时消费的物品，而私人品在任何时候只能为一个使用者提供效用。 4、毕加索油画的供给价格弹性是多少，为什么？ 答：弹性0，因为供给的价格弹性反映价格变动对供给数量变动的影响。毕加索的油画是唯一的，因此，不管价格如何变动，供给为1，即供给不随价格变动而变动，弹性为0。 5、完全竞争市场条件下，为什么行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零？这是否意味着厂商的生产变得没有意义？

西方经济学中所谓长期均衡时利润为零，是指经济利润为零，并不是会计利润为零。所 谓经济利润，通常也叫超额利润，就是一个厂商赚取了较之一般利润水平更高的利润。之所 以如此，这是因为，在西方经济学理论上，会计利润被计入厂商投入自有要素所应获得的报 酬，是产品的隐含成本。 之所以在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零，首 先要先明确两个关键的前提：一是长期内，厂商能够调整全部生产要素。二，在完全竞争市 场条件下，厂商具有完全信息，且资源可以自由流动。在这两大前提下，如果某个行业存在 经济利润，也就是该行业较之其它行业能够赚取更多的利润，则该行业马上就会有新的厂商 加入，从而使市场上该产品的供给量增加，供给曲线向右移动，导致产品价格下降，经济利 润随之消失，也就是会计利润下降到和其它行业一样的水平。反过来，如果某个行业存在亏 损，也就是会计利润水平低于其它行业，则这个行业中就会有个别厂商退出，转而生产其它 更加有利可图的产品，结果这个行业产品供给量减少，价格上升，亏损消失，达到了与其它 行业一样的会计利润水平。故在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均 衡时都会为零。 这并不意味着厂商的生产没有意义，因为在行业达到长期均衡的时候，行业中的每一个 企业都具有最高的经济效率，平均每一个企业都能够获得同一水平的正常利润，企业的经济 利润虽为零却依旧是能够盈利的。 6、比较马歇尔需求函数（又称为瓦尔拉需求函数）和希克斯需求函 数的异同。 对应于每一个价格-财富组合（p,w ），消费者选择的消费组合成为消费需求映射。原则 上，消费需求映射可以是多值的，即对应于每一个价格-财富组（p,w ），消费者可以选择多 种消费组合。特殊情况下，消费需求映射x(p,w)是单值的，称为马歇尔需求函数（或瓦尔拉 需求函数）。 EMP 中的最优商品向量集表示为L R u p h + ?),( ，它被称为希克斯（或补偿）需求对应，如果是单值，则被称为希克斯（或补偿性）需求函数。希克斯需求函数就是反映P 变化时，保持U 不变的前提下，X 数量的变化。 7、如果单位年底发福利，你是愿意领取价值100元的大米，还是愿 意领取100元现金，请利用无差异曲线与预算约束线对你的选择做出 解释。 愿意领取100元现金，原因如下：

应用泛函分析相关习题

泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++

(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤

泛函分析答案

泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．

第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义

第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 一、间接效用函数的定义 直接效用函数：() u x 价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x ()()()*,,v y u y ==p x x p 间接效用函数的政策意义：通过价格政策（ p ）和收入政 策（y ）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征： 间接效用函数),(y v p 1) 在n +++?　上连续 2) 在(),y p 上零次齐次性 3) 在y 上严格递增 4) 在p 上严格递减 5) 在(),y p 上拟凹 6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且() 00,0v y y δδ≠p ，有：

()() ()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y = ≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n +++?　上连续 最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。 含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性 ()()max ,..v y u s t y ==p x px x 间接效用函数在(),y p 上零次齐次性： ()()()0 ,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y t ===?==x p p x px x p x px