第一章集合与函数概念(教师用书)
第一章集合与函数概念
§1.1集合
1.1.1 集合的含义与表示（一）
1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．
2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．
1．元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练
集合的概念
【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．
解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．
规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是()
A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数
答案 D
集合中元素的特性
【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．
解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－3
2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a
2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－3
2时，a－2＝－7
2
，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－3
2.
规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．
变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
解∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，
∴m只能取3.
元素与集合的关系
【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．
分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A中的元素．
解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－22，
所以6－22是集合A中的元素．
规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断1
2－3
是不是集合A中的元素．
解∵1
2－3
＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z，
∴2＋3∈A，即1
2－3
∈A.
1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．
课时作业
一、选择题
1．下列几组对象可以构成集合的是()
A．充分接近π的实数的全体B．善良的人
C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
答案 D
2．下列四个说法中正确的个数是()
①集合N中最小数为1；②若a∈N，则－a?N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
A．0 B． 1 C．2 D．3
答案 A
3．由a2 ，2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1 B．－2 C．6 D．2
答案 C
解析验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
答案 D
解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．
5．已知x、y、z为非零实数，代数式x
|x|＋y
|y|＋
z
|z|＋
|xyz|
xyz的值所组成的集合是M，则下列
判断正确的是()
A．0?M B．2∈M C．－4?M D．4∈M
答案 D
解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.
二、填空题
6．用“∈”或“?”填空
(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)1
3______Z；(4)－
1
2______R；(5)1______N
*；
(6)0________N.
答案(1)?(2)∈(3)?(4)∈(5)∈(6)∈
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1?A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
答案 1
解析当x＝1时，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；
当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．
答案①④⑤
三、解答题
9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x . 解 当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0， 则x ＝－2或x ＝1.
经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．
当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．
∴x ＝－3或x ＝2.
10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个． 【探究驿站】
11．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则1
1－a
∈A (a ≠1)．
求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．
证明 (1)若a ∈A ，则1
1－a
∈A .
又∵2∈A ，∴1
1－2
＝－1∈A .
∵－1∈A ，∴11－(－1)＝1
2
∈A .
∵12∈A ，∴11－1
2
＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，1
2.
(2)若A 为单元素集，则a ＝1
1－a ，
即a 2－a ＋1＝0，方程无解．
∴a ≠11－a
，∴A 不可能为单元素集．
1.1.1集合的含义与表示(二)
自主学习
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举
法．
2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 3．不等式x －7<3的解集为{x |x <10}．
4．所有偶数的集合可表示为{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }。
5．方程(x ＋1)(x －3)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,3}
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)已知集合M ＝??????x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ； (2)方程组?
????
x ＋y ＝2
x －y ＝0的解集；
(3)由|a |a ＋b
|b |
(a ，b ∈R )所确定的实数集合．
分析 解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．
解 (1)∵x ∈N ，且6
1＋x ∈Z ，
∴1＋x ＝1,2,3,6，
∴x ＝0,1,2,5，∴M ＝{0,1,2,5}．
(2)由????? x ＋y ＝2x －y ＝0，得?????
x ＝1y ＝1
，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(3)要分a >0且b >0，a >0且b <0，a <0且b >0，a <0且b <0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．
规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然． 变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }； (2)B ＝{x |(x －1)2(x －2)＝0}；
(3)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (4)已知集合C ＝?
???
??
61＋x ∈Z |x ∈N ，求C .
解 (1)∵|x |≤2，x ∈Z ，
∴－2≤x ≤2，x ∈Z ， ∴x ＝－2，－1,0,1,2. ∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)∵1和2是方程(x －1)2(x －2)＝0的根， ∴B ＝{1,2}．
(3)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *，
∴????? x ＝1，y ＝3，或????? x ＝2，y ＝2，或?????
x ＝3，y ＝1.
∴M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4)结合例1(1)知，6
1＋x ＝6,3,2,1，
∴C ＝{6,3,2,1}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x 2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x －6<5的解集； (4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集． 解 (1)文字描述法：{x |x 是正偶数}． 符号描述法：{x |x ＝2n ，n ∈N *}． (2){x |x 2＋2＝0，x ∈R }． (3){x |4x －6<5，x ∈R }．
(4){(x ，y )|y ＝2x ＋3，x ∈R ，y ∈R }．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．
变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合； (3)不等式x －3>2的解集．
解 (1){(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．
(2)?
?????????(x ，y )|???
??
y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝?
?????
???
?(x ，y )|???
??
x ＝1
y ＝4. (3){x ∈R |x －3>2}．
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数； (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集； (3)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．
分析 对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝0，
∴?????
x ＝2y ＝－3
，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}． 规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合． 变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组?
???
?
y ＝x y ＝x 2的解集． 解 (1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{周长为10 cm 的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}． (4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
课时作业
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
A ．{x |x 是不大于9的非负奇数}
B ．{x |x ≤9，x ∈N }
C ．{x |1≤x ≤9，x ∈N }
D ．{x |0≤x ≤9，x ∈Z } 答案 A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )
A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0}
B ．{(x ，y )|x ≠0，y ＝0}
C ．{(x ，y )|xy ＝0}
D ．{(x ，y )|x ＝0，y ＝0} 答案 C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x －1)2(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4 正确的是( ) A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有② D ．以上语句都不对 答案 C 4．已知集合A ＝?????? ????a ?? 65－a ∈N *，则A 为( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,6} D ．{－1,2,3,4} 答案 D 解析 由6 5－a ∈N *可知，5－a 为6的正因数，所以5－a 可以等于1,2,3,6，相应的a 分 别等于4,3,2，－1，即A ＝{－1,2,3,4}． 5．下列集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3} C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1} D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 B 二、填空题 6．下列可以作为方程组? ???? x ＋y ＝3 x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)． (1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}； (3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}； (5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}； (6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}． 答案 (3)(5)(6) 7．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)?A ，则满足条件的a 的值为________． 答案 0,1,2 解析 ∵(2,1)∈A 且(1，－4) ?A ， ∴2a －1≤3且a ＋4>3， ∴－1 ∴a 的取值为0,1,2. 8．已知集合M ＝{x ∈N |8－x ∈N }，则M 中的元素最多有________个． 答案 9 三、解答题 9．用另一种方法表示下列集合． (1){绝对值不大于2的整数}； (2){能被3整除，且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }； (4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}； (5){－3，－1,1,3,5}． 解 (1){－2，－1,0,1,2}． (2){3,6,9}． (3)∵x ＝|x |，∴x ≥0，又∵x ∈Z 且x <5， ∴x ＝0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}． (4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}． (5){x |x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z }． 10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合． 解 用描述法表示为(即用符号语言表示)： ???? ?? (x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0. 【探究驿站】 11．对于a ，b ∈N ＋，现规定： a * b ＝? ???? a ＋ b (a 与b 的奇偶性相同)a ×b (a 与b 的奇偶性不同). 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋} (1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ； (2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？ 解 (1)当a ，b 奇偶性不同时，a *b ＝a ×b ＝36， 则满足条件的(a ，b )有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为： M ＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}． (2)当a 与b 的奇偶性相同时a *b ＝a ＋b ＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1， 所以当a ，b 奇偶性相同时这样的元素共有35个． §1.1.2集合间的基本关系 自主学习 了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义． 1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)． 2．如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A＝B. 3．如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)． 4．不含任何元素的集合叫做空集，记作?. 5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集． 对点讲练 写出给定集合的子集 【例1】(1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； (2)填写下表，并回答问题. 原集合子集子集的个数 ? {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n12n 数及非空真子集的个数呢？ 解(1)不含任何元素的集合：?； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}； 含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}； 含有三个元素的集合：{0,1,2}． 故集合{0,1,2}的所有子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}． 其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集． ，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n n 1 －1，非空真子集的个数是2n－2. 规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． (2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集． 变式迁移1 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M. 解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 集合基本关系的应用 【例2】(1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1 (2)本例(1)中，若将“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解(1)∵B?A， ①当B ＝?时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠?时，有???? ? －3≤2m －1m ＋1≤4 2m －1 解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. (2)显然A ≠?，又A ?B ，∴B ≠?， 如图所示， ∴???? ? 2m －1 2m －1<－3m ＋1>4 ，解得m ∈?. 规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的． 变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M . 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3} 由B A 知 B ＝?或B ＝{2}或B ＝{3} 若B ＝?，则m ＝0； 若B ＝{2}，则m ＝1 2； 若B ＝{3}，则m ＝1 3 . ∴M ＝??? ? ??0，12，13. 集合相等关系的应用 【例3】 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值． 解 方法一 ∵A ＝B ， ∴集合A 与集合B 中的元素相同， ∴????? x ＝2x y ＝y 2 或????? x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为????? x ＝0y ＝0或????? x ＝0y ＝1或??? x ＝1 4 y ＝12 验证得，当x ＝0，y ＝0时， A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去． ∴x ，y 的取值为????? x ＝0， y ＝1，或??? x ＝14 ，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同． ∴????? x ＋y ＝2x ＋y 2，x · y ＝2x ·y 2 ， 即? ???? x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0. ∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝1 2. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)； 当y ＝12时，由①得x ＝14 . ∴????? x ＝0， y ＝1，或??? x ＝1 4 ，y ＝12. 规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解． 变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为??? ? ??a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ， b . 解 由集合相等得：0∈??? ? ??a ，b a ，1，易知a ≠0， ∴b a ＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0. 1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“?”表示，集合、集合间的关系用“?”、“＝”或“”等表示． 2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1} B . 3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面： (1)当A ?B 时，A ＝B 或A B . (2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用Venn 图直观表示． 课时作业 一、选择题 1．下列命题 ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A 时，则A ≠?. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 仅④是正确的． 2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3 A ．{a |3 B ．{a |3≤a ≤4}
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- 049集合与函数概念
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- 高一数学集合与函数概念知识点(附：集合与函数概念结构图)
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- 高一数学集合与函数概念知识点汇总
- 高中数学必修一集合与函数概念知识点梳理
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