高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()lim x f x x f x x
?→+?-?，
我们称它为函数
()
y f x =在
x x =处的导数，记作
0()
f x '或
|x x y ='，即
0()f x '=000
()()lim
x f x x f x x
?→+?-?
2.
导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n
n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数
()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率
k ，即00
()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==-
3. 导函数：当x 变化时，
()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.
()y f x =的导函数有
时也记作
y ',即
()()()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1
()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x f x e '=
7 若
()log x
a
f x =,则1()ln f x x a '= 8 若
()ln f x x =,则1()f x x
'=
导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2.
[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?
3. 2
()()()()()[]()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数
(())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相
同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题
越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1
时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。 考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数;
0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 （1）12()()z z a c b d i ±=±+± （2）
12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ （3）
12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d
-++=≠+ 2,几个重要的结论
(1) 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ?== (3)若z 为虚数,则22||z z ≠ 3.运算律 (1)
m n m n z z z +?=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈
4.关于虚数单位i 的一些固定结论：
（1）2
1i
=- （2）3i i =- （3）41i = （2）2340n n n n i i i i ++++++=
练习一组
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零
D ．不等于零
[答案] D
[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3
B ．0.29
C ．2.09
D ．2.9
[答案] D
[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为
f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)
＝
－1.71－(－2)
0.1
＝2.9，故应选D.
4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2
B ．2.3
C ．2.09
D ．2.1
[答案] B
[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝
f (1.3)－f (1)1.3－1
＝
5.69－5
0.3
＝2.3，故应选B.
5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx
D ．(Δx )2－2·Δx
[答案] B
[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx ) ＝－2Δx －(Δx )2，
∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2
＝－2－Δx ，故应选B.
6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy
Δx 等于( )
A ．2
B ．2x
C ．2＋Δx
D ．2＋(Δx )2
[答案] C
[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝[(1＋Δx )2＋1]－2
Δx
＝2＋Δx .故应选C.
7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3
D ．9.3
[答案] A
[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89， ∴平均速度v ＝
S (3.3)－S (3)3.3－3
＝1.89
0.3
＝6.3，故应选A.
8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2
、③y ＝x 3
、④y ＝1
x
中，
平均变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[答案] B
[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－10
13.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应
选B.
9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )
A ．v 0
B.
Δt
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
C.
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
D.
s (t )t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.
10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ? ????
1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则
点Q 的坐标为( )
A.?
??
??
1＋Δx ，14(Δx )2
B.?
????
Δx ，14(Δx )2 C.?
????
1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.?
??
??Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C
[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝1
4
(Δx ＋1)2，故应选C.
二、填空题
11．已知函数y ＝x 3
－2，当x ＝2时，Δy
Δx
＝________.
[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12
[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)
Δx
＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx
Δx
＝(Δx )2＋6Δx ＋12.
12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1
x 的平均变化率为________．
[答案] －2
9
[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －
1
2Δx ＝－14＋2Δx ＝－2
9
.
13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝1
2时的平均变化率为________．
[答案] 6－2
[解析]
Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率
k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－22
1＝5.
当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.
三、解答题
15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．
[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为
f (－1)－f (－3)－1－(－3)
＝
[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]
2
＝2.
函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为
f (5)－f (0)
5－0
＝2.
函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为
g (－1)－g (－3)
－1－(－3)
＝－2.
函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为
g (5)－g (0)
5－0
＝－2.
16．过曲线f (x )＝2
x
2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当
Δx ＝1
4
时割线的斜率．
[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy
Δx
＝2
(1＋Δx )2－2
Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225
.
17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ [解析] 在x ＝2附近的平均变化率为
k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1
Δx
＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22
Δx
＝4＋Δx ；
在x ＝3附近的平均变化率为
k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32
Δx
＝6＋Δx .
对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．
18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，
则AB AC ＝BE CD
， 即
y
y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14
x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为
x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72
.
所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7
2
14＝14
.
即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为1
4
.
练习二组
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B ．一个函数
C ．一个常数，不是变数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C
[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy
Δx 无限趋近的常数，故应选C.
2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
[答案] B
[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，
∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32 ＝18Δt ＋3(Δt )2∴
Δs
Δt
＝18＋3Δt . 当Δt →0时，Δs
Δt →18，故应选B.
3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx
D ．1
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，
∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2 ∴Δy
Δx
＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy
Δx →2
∴f ′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )
A ．37
B ．38
C ．39
D ．40
[答案] D
[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3
Δt ＝40＋4Δt ，
∴s ′(5)＝li m Δt →0 Δs
Δt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.
5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量
B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′ D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) [答案] C
[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.
6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( ) A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0
[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]
C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
D ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.
7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( ) A ．4a B ．2a ＋b C ．b
D ．4a ＋b
[答案] D
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c
Δx
＝4a ＋b ＋a Δx ，
∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．直线
[答案] D
[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( ) A ．0 B ．3 C ．－2
D ．3－2t
[答案] B
[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2
Δt ＝3－Δt ，
∴s ′(0)＝li m Δt →0
Δs
Δt
＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )
x －a 等于( )
A ．－1
a
B.2a
C ．－1
a
2
D.1a
2
[答案] C
[解析] li m x →a f (x )－f (a )
x －a
＝li m x →a 1x －
1
a x －a
＝li m x →a
a －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1
a
2.
二、填空题
11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则
li m
Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx
＝________；
li m x →x 0
f (x )－f (x 0)
2(x 0－x )
＝________.
[答案] －11，－112
[解析] li m Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx
＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)
－Δx ＝－f ′(x 0)＝－11；
li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝－12f ′(x 0)＝－112
.
12．函数y ＝x ＋1
x
在x ＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy ＝? ?
???1＋Δx ＋11＋Δx －? ????1＋11
＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2
Δx ＋1
，
∴
Δy Δx ＝Δx Δx ＋1
.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0.
13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4
Δx ＝a ，
∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy
Δx
＝a .∴a ＝2.
14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )
x －3
的值
是________．
[答案] 8
[解析] li m x →3
2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)
x －3
＝lim x →3
2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))
x －3
.
由于f (3)＝2，上式可化为
li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)
x －3＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题
15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． [解析] 由导数定义有f ′(x 0)
＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx
＝2x 0，
16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 位移公式为s ＝12
at 2
∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0
Δt ＋1
2a (Δt )2 ∴
Δs Δt ＝at 0＋1
2
a Δt ， ∴li m Δt →0
Δs Δt ＝li m Δt →0 ? ??
??
at 0＋12a Δt ＝at 0，
已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )， 求(1)Δy
Δx
(2)f ′(1)．
[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝(1＋Δx )2＋3－12－3
Δx ＝2＋Δx .
(2)f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝lim Δx →0
(2＋Δx )＝2.
18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f (x )＝???
x ＋x 2 (x ≥0)
－x －x 2
(x <0)
Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )
＝?
??
Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)－Δx －(Δx )2
(Δx <0) ∴lim x →0＋ Δy
Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－
Δy
Δx ＝lim Δx →0－
(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－
Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy
Δx
无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)
练习三组
1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－1
2＜0.故应选B.
2．曲线y ＝12x 2－2在点? ?
???1，－32处切线的倾斜角为( )
A ．1
B.π4
C.5
4π
D ．－π4
[答案] B
[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(1
2
x 2－2)Δx
＝li m Δx →0 (x ＋1
2Δx )＝x
∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π
4
，故应选B.
3．在曲线y ＝x 2
上切线的倾斜角为π
4
的点是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C.? ??
??14，116
D.? ??
??12，14 [答案] D
[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0
＝1
2
，∴P ? ??
??
12，14.
4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B
[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.
由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
5．设f(x)为可导函数，且满足lim
x→0f(1)－f(1－2x)
2x
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))
处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] lim
x→0f(1)－f(1－2x)
2x
＝lim
x→0
f(1－2x)－f(1)
－2x
＝－1，即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( ) A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.
8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( ) A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设x P＝x0，
∴Δy ＝3x 20·Δx ＋3x 0·(Δx )2＋(Δx )3
＋Δx ，
∴Δy Δx
＝3x 20＋1＋3x 0(Δx )＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，
∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，
故P (1,0)或(－1，－4)，故应选A.
9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2
3上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取
值范围为( )
A.??????0，π2∪??????23π，π
B.??????0，π2∪??????
56π，π C.????
??23π，π
D.? ??
??π2，56π [答案] A
[解析] 设P (x 0，y 0)，
∵f ′(x )＝li m Δx →0
(x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －
2
3
Δx
＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－ 3.
∴α∈??????0，π2∪????
??
23π，π.故应选A.
10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π
4
]，则点P 横坐标的取值范围为( )
A ．[－1，－1
2]
B ．[－1,0]
C ．[0,1]
D ．[1
2
，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π
4
]，
∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－1
2
.
11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________． [答案] 4x －y －1＝0 [解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2
∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2 ∴Δy Δx
＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy
Δx ＝4.即f ′(2)＝4.
又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0.
12．若函数f (x )＝x －1
x
，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．
[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)
[解析] 由f (x )＝x －1
x
＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋
1
x
Δx
＝li m Δx →0
?
????
?
1＋
1x (x ＋Δx )＝1＋1x
2. ∴切线的斜率k ＝1＋1
1
＝2.
∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．
13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．
14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x －y －11＝0
[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．
设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2
＋3.当x 0＝－1
时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.
三、解答题
15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ?
?
???4，－74处的切线方程．
[解析] ∴y ′＝lim Δx →0
? ??
??1
x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )
Δx
＝lim Δx →0
－Δx x (x ＋Δx )－
Δx x ＋Δx ＋x
Δx
＝lim Δx →0 ? ????
－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－5
16
，
∴曲线在点P ? ?
???4，－74处的切线方程为：
y ＋74＝－5
16(x －4)．
即5x ＋16y ＋8＝0.
16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；
(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx ＝3x 2－3.
则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率
k 1＝f ′(1)＝0，
∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，
∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 2
0－3)(x －x 0)
又直线l 过点P (1，－2)，
∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 2
0－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，
解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.
故所求直线斜率k ＝3x 20
－3＝－9
4
，
于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋1
4
.
17．求证：函数y ＝x ＋1
x
图象上的各点处的切线斜率小于1.
[解析] y ′＝li m Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
＝li m Δx →0
? ?
???x ＋Δx ＋1x ＋Δx －? ??
?
?x ＋1x Δx
＝li m Δx →0
x ·Δx (x ＋Δx )－Δx
(x ＋Δx )·x ·Δx
＝li m Δx →0
(x ＋Δx )x －1
(x ＋Δx )x
＝x 2－1x 2＝1－1
x
2＜1，
∴y ＝x ＋1
x
图象上的各点处的切线斜率小于1.
18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.
(1)求直线l 2的方程；
(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1
＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)
Δx ＝3，
所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx
高中数学必修和选修知识点归纳总结
高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：
高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳
安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
高中数学选修-5知识点(最全版)
高中数学选修4-5知识点 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系． (2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a b ． (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a －b >0 a ＝ b ?a －b ＝0a ，<，≥，≤共5个． (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的． (3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ，c ∈R ?a ＋c >b ＋c ； (4)加法法则：a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (5)可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac
高中数学知识点总结精华版
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版
一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选高中学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。下面就是我给大家带来的高二数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点(一) 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。 第三章：函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根，即函 数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。 高二数学知识点(二) 第一章：三角函数。考试必考题。诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。 第二章：平面向量。个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。有同样情况的同学建议多看有关题的图形。 第三章：三角恒等变换。这一章公式特别多。和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。除此之外，就是多练习。要从多练习中找到变换的规律，比如一般 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 让我 再看你一眼 高中数学知识点回顾 姓名： 答题技巧 一、技术矫正： 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴、按序答题,先易后难：一定要选择熟题先做、有把握的题目先做； ⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上，该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪； ⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高考时间较紧张，也许待会儿根本顾不上再来思考； ⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记，有时间再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。 二、规范化提醒： 这是取得高分的基本保证，规范化包括：①解题过程有必要的文字说明或叙述;②注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误，答题或书写不规范而失分，总之，要吃透题“情”；③合理分配时间，做到一准、二快、三规范，特别是要注意解题结果的规范化。 例如： ⑴、解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不 3 等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开； ⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”，如利用法向量求出的空间角的余弦，应用题等都要作答； ⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论； ⑷、任何结果要最简.如2 , 2 211 4 22 == 等. ⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹、函数解析式后面一般要注明定义域； ⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围； ⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状，且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围. 三、考前寄语： ①、先易后难，先熟后生； ②、一慢一快：审题要慢，做题要快； ③、不能小题难做，小题大做，而要小题小做，小题巧做； ④、我易人易我不大意，我难人难我不畏难； ⑤、考试不怕题不会，就怕会题做不对； ⑥、基础题拿满分，中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分； ⑦、对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目，力争高上水平，有时“放弃”是一种策略。 知识点总结 1-2知识点总结选修统计案例第一章 ．线性回归方程1 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系?③线性回归方程：（最小二乘法） ay?bx?n??ynxxy??ii?1?i?b?其中，n2??2nxx?i?1?i? bx?a?y??. 注意：线性回归直线经过定点)y(x,n?)?yx)(y(x?ii．相关系数（判定两个变量线性相关性）：21i??r nn??22)y?x)?y((x ii1?i1i?负相关； <0时，变量注： ⑴>0时，变量正相关；y,xyx,rr接近，两个变量的线性相关性越强；② ⑵①越接近于1||r||r时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。0于条件概率3.ABAB发生的概对于任何两个事件和发生的条件下，，在已知BAAAPBPB)|, ) 其公式为|(. 率称为发生时发生的条件概率记为(ABP）（＝AP）（ 4相互独立事件 AB PABPAPB) ，则，如果_((())(1)一般地，对于两个事件＝，AB 相互独立．、称 AAAnPAAA PAPA)(…(2)如果_，)，…，＝相互独立，则有)(…(n2111 22PA). (n－－－－BBAABAAB也相互独立．(3)如果与，与相互独立，则，与， ：5．独立性检验（分类变量关系）列联表(1)2×2为两个变量，每一个变量设BA,变变量都可以取两个值，;?A,A:AA112量;?BB:B,B112通过观察得到右表所示数据： 列联表．×2并将形如此表的表格称为2 (2)独立性检验B，×2列联表中的数据判断两个变量A根据2 列联表的独立性检验．是否独立的问题叫2×2 的计算公式统计量χ 2(3)2bc n ad）－（2=χ 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈-- 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选
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