高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析

导数及其应用

一.导数概念的引入

1. 导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000

()()lim x f x x f x x

?→+?-?，

我们称它为函数

()

y f x =在

x x =处的导数，记作

0()

f x '或

|x x y ='，即

0()f x '=000

()()lim

x f x x f x x

?→+?-?

2.

导数的几何意义：

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n

n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数

()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率

k ，即00

()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==-

3. 导函数：当x 变化时，

()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.

()y f x =的导函数有时

也记作

y ',即

()()()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?

二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1

()f x x αα-'=;

3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=

4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;

5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=

6 若()x f x e =,则()x f x e '=

7 若

()log x

a

f x =,则1()ln f x x a '= 8 若

()ln f x x =,则1()f x x

'=

导数的运算法则

1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±

2.

[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?

3. 2

()()()()()[]()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数

(())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的

是最小值.

推理与证明

考点一 合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.

类比推理的一般步骤:

(1) 找出两类事物的相似性或一致性;

(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同

或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越

可靠.

考点二 演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证方法.

2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时

命题也成立,

完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。 考点三 证明

1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:

数系的扩充和复数的概念 复数的概念

(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数;

0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 （1）12()()z z a c b d i ±=±+± （2）

12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ （3）

12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d

-++=≠+ 2,几个重要的结论

(1) 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ?== (3)若z 为虚数,则

22||z z ≠

3.运算律 (1)

m n m n z z z +?=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈

4.关于虚数单位i 的一些固定结论：

（1）2

1i

=- （2）3i i =- （3）41i = （2）2340n n n n i i i i ++++++=

练习一组

一、选择题

1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零

D ．不等于零

[答案] D

[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.

2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx

D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)

[答案] D

[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09

D ．2.9

[答案] D

[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.

∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)

＝－1.71－(－2)

0.1＝2.9，故应选D.

4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09

D ．2.1

[答案] B

[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.

∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1

＝5.69－5

0.3＝2.3，故应选B.

5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx

D ．(Δx )2－2·Δx

[答案] B

[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx ) ＝－2Δx －(Δx )2， ∴

f (2＋Δx )－f (2)

2＋Δx －2

＝－2－Δx ，故应选B.

6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy

Δx 等于( )

A ．2

B ．2x

C ．2＋Δx

D ．2＋(Δx )2

[答案] C [解析]

Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx

＝[(1＋Δx )2＋1]－2

Δx

＝2＋Δx .故应选C.

7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3

D ．9.3

[答案] A

[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，

∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3

＝1.89

0.3＝6.3，故应选A.

8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1

x 中，平均

变化率最大的是( )

A ．④

B ．③

C ．②

D ．①

[答案] B

[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx

＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.

9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )

A ．v 0

B.Δt

s (t 0＋Δt )－s (t 0) C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt

D.s (t )t

[答案] C

[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.

10．已知曲线y ＝1

4x 2和这条曲线上的一点P ????1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )

A.????1＋Δx ，1

4(Δx )2 B.????Δx ，1

4(Δx )2 C.????1＋Δx ，1

4(Δx ＋1)2

D.???

?Δx ，1

4(1＋Δx )2 [答案] C

[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝1

4(Δx ＋1)2，故应选C.

二、填空题

11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy

Δx ＝________.

[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12

[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)

Δx

＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx

Δx

＝(Δx )2＋6Δx ＋12.

12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1

x 的平均变化率为________．

[答案] －2

9

[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －

1

2Δx ＝－14＋2Δx

＝－2

9.

13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝1

2时的平均变化率为________．

[答案] 6－2

[解析]

Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1

＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．

[答案] 5 4.1

[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率 k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－22

1＝5.

当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.

三、解答题

15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．

[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为 f (－1)－f (－3)－1－(－3)

＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]

2＝2.

函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为 f (5)－f (0)

5－0

＝2. 函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为 g (－1)－g (－3)

－1－(－3)

＝－2.

函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为 g (5)－g (0)

5－0

＝－2.

16．过曲线f (x )＝2

x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx

＝1

4

时割线的斜率． [解析] 割线AB 的斜率k ＝

(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy

Δx

＝2

(1＋Δx )2－2

Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )

2＝－7225. 17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ [解析] 在x ＝2附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；

在x ＝2附近的平均变化率为

k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22

Δx ＝4＋Δx ；

在x ＝3附近的平均变化率为

k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32

Δx ＝6＋Δx .

对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．

18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．

(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．

[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，

则AB AC ＝BE CD

， 即

y y ＋x ＝1.68

，所以y ＝f (x )＝14x .

(2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为

x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝7

2.

所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

＝7

214＝14.

即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为1

4

.

练习二组

一、选择题

1．函数在某一点的导数是( )

A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B ．一个函数

C ．一个常数，不是变数

D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C

[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx 无限趋近的常数，故应选C.

2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54

D ．81

[答案] B

[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，

∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32 ＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs

Δt ＝18＋3Δt .

当Δt →0时，Δs

Δt →18，故应选B.

3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx

D ．1

[答案] B

[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，

∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2 ∴

Δy

Δx

＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy

Δx →2

∴f ′(1)＝2，故应选B.

4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )

A ．37

B ．38

C ．39

D ．40

[答案] D

[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3

Δt ＝40＋4Δt ，

∴s ′(5)＝li m Δt →0

Δs

Δt

＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D. 5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量

B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′ D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) [答案] C

[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.

6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( ) A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

D ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

[答案] D

[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.

7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( ) A ．4a B ．2a ＋b C ．b

D ．4a ＋b

[答案] D

[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c

Δx

＝4a ＋b ＋a Δx ， ∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0

Δy

Δx

＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆

D ．直线

[答案] D

[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.

9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )

A ．0

B ．3

C ．－2

D ．3－2t

[答案] B

[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2

Δt ＝3－Δt ，

∴s ′(0)＝li m Δt →0

Δs

Δt

＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1

x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a

B.2

a C ．－1a 2

D.1a

2 [答案] C

[解析] li m x →a f (x )－f (a )

x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a ＝li m x →a

a －x (x －a )·xa

＝－li m x →a 1ax ＝－1

a 2. 二、填空题

11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________； li m x →x 0

f (x )－f (x 0)

2(x 0－x )

＝________.

[答案] －11，－11

2

[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)

－Δx

＝－f ′(x 0)＝－11；

li m x →x 0

f (x )－f (x 0)2(x 0－x )

＝－1

2li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

＝－12f ′(x 0)＝－11

2

.

12．函数y ＝x ＋1

x 在x ＝1处的导数是________．

[答案] 0

[解析] ∵Δy ＝???

?1＋Δx ＋11＋Δx －???

?1＋1

1

＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2

Δx ＋1，

∴

Δy Δx ＝Δx Δx ＋1

.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2

[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，

∴f ′(1)＝li m Δx →0

Δy

Δx

＝a .∴a ＝2. 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )

x －3

的值是________．

[答案] 8 [解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)

x －3

＝lim x →3

2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3

. 由于f (3)＝2，上式可化为 li m x →3

2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3

＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题

15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． [解析] 由导数定义有f ′(x 0) ＝li m Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20

Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx

＝2x 0，

16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－

3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

[解析] 位移公式为s ＝12

at 2

∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2 ∴

Δs Δt ＝at 0＋1

2

a Δt ，

∴li m Δt →0

Δs Δt

＝li m Δt →0 ????at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－

3s ， ∴at 0＝800m/s.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )， 求(1)Δy Δx

(2)f ′(1)．

[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)

Δx

＝(1＋Δx )2＋3－12－3

Δx ＝2＋Δx .

(2)f ′(1)＝lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)

Δx

＝lim Δx →0

(2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．

[解析] f (x )＝?

????

x ＋x 2 (x ≥0)－x －x 2 (x <0)

Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )

＝?

????

Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)

－Δx －(Δx )2 (Δx <0) ∴lim x →0＋ Δy

Δx ＝lim Δx →0＋

(1＋Δx )＝1， lim Δx →0－

Δy

Δx ＝lim Δx →0－

(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－

Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx

无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋

表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)

练习三组

1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0

D ．f ′(x 0)不存在

[答案] B

[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－1

2＜0.故应选B.

2．曲线y ＝1

2x 2－2在点????1，－32处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5

4π

D ．－π4

[答案] B

[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(1

2

x 2－2)Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π

4

，故应选B.

3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π

4的点是( )

A ．(0,0)

B ．(2,4) C.????14，116

D.????12，14

[答案] D

[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ????12，14.

4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4

B ．y ＝－3x ＋2

C ．y ＝－4x ＋3

D ．y ＝4x －5

[答案] B

[解析] y ′＝3x 2－6x ，∴y ′|x ＝1＝－3. 由点斜式有y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.

5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0

f (1)－f (1－2x )

2x

＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))

处的切线斜率为( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

[答案] B [解析] lim x →0

f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)

－2x

＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，

则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1，故选B.

6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在

B ．与x 轴平行或重合

C ．与x 轴垂直

D ．与x 轴斜交

[答案] B

[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B.

7．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( ) A ．3,3

B ．3，－1

C ．－1,3

D ．－1，－1

[答案] B

[解析] 由题意易得：f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，故应选B.

8．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,0)或(－1，－4) B ．(0,1) C ．(－1,0)

D ．(1,4)

[答案] A

[解析] ∵f (x )＝x 3＋x －2，设x P ＝x 0，

∴Δy ＝3x 20·Δx ＋3x 0·(Δx )2＋(Δx )3

＋Δx ，

∴

Δy Δx

＝3x 20＋1＋3x 0(Δx )＋(Δx )2

， ∴f ′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，

∴3x 20＋1＝4，x 2

0＝1.∴x 0＝±

1， 故P (1,0)或(－1，－4)，故应选A.

9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2

3上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值

范围为( )

A.????0，π2∪???

?2

3π，π

B.????0，π2∪???

?5

6π，π

C.????2

3π，π

D.????

π2，56π

[答案] A

[解析] 设P (x 0，y 0)，

∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －

2

3

Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3，

∴tan α＝3x 20

－3≥－ 3. ∴α∈????0，π2∪???

?2

3π，π.故应选A. 10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π

4

]，则点P 横坐标的取值范围为( )

A ．[－1，－1

2]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[1

2

，1]

[答案] A

[解析] 考查导数的几何意义．

∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π

4]，

∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－1

2

.

11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________． [答案] 4x －y －1＝0 [解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2

∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2 ∴

Δy Δx

＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0.

12．若函数f (x )＝x －1

x ，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．

[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)

[解析] 由f (x )＝x －1

x

＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．

∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx

－x ＋

1

x Δx

＝li m Δx →0 ????1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2

. ∴切线的斜率k ＝1＋11

＝2.

∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．

13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一

[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．

14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x －y －11＝0

[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求

出其最小值．

设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝

＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2

＋3.当x 0

＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.

三、解答题

15．求曲线y ＝1

x

－x 上一点P ????4，－74处的切线方程． [解析] ∴y ′＝lim Δx →0

???

?1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )

Δx

＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－

Δx

x ＋Δx ＋x

Δx

＝lim Δx →0 ? ????－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516

，

∴曲线在点P ????4，－7

4处的切线方程为： y ＋74＝－5

16(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0.

16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；

(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x

Δx ＝3x 2－3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f ′(1)＝0，

∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，

∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)

又直线l 过点P (1，－2)，

∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0

－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.

故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－9

4

， 于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14

.

17．求证：函数y ＝x ＋1

x 图象上的各点处的切线斜率小于1.

[解析] y ′＝li m Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

＝li m Δx →0 ?

???x ＋Δx ＋1x ＋Δx －????

x ＋1x Δx

＝li m Δx →0 x ·Δx (x ＋Δx )－Δx

(x ＋Δx )·x ·Δx

＝li m Δx →0

(x ＋Δx )x －1

(x ＋Δx )x

＝x 2－1x 2＝1－1

x

2＜1，

∴y ＝x ＋1

x

图象上的各点处的切线斜率小于1.

18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.

(1)求直线l 2的方程；

(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1

＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)

Δx ＝3， 所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx

＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229

.

(2)由????

?

y ＝3x －3，

y ＝－13x －22

9，得???

x ＝16

，y ＝－52，

即l 1与l 2的交点坐标为????16

，－52. 又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，????－22

3，0. 所以所求三角形面积S ＝12×????－52×?

???1＋223＝125

12.

练习三组

1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －

1，则y ′＝－x －

2

[答案] D

2.曲线y ＝1

3x 3－2在点????－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°

D ．60°

[答案] B

[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.

3.函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

[答案] D

[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.

4.设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0

D ．b 2－3ac <0

[答案] D

[解析] ∵a >0，f (x )为增函数， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c >0恒成立，

∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac <0，∴b 2－3ac <0.