高中数学全套学案 新人教A版必修4

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-1任意角和弧度制学案

新人教A 版必修4

1.下列说法中，正确的是（ ）

A ．第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角

C ．小于90°的角是锐角 D.0°到90°的角是第一象限的角 2.已知α是锐角，那么2α是（ ）

A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角 3.下面4个命题，其中真命题的个数是 （ ） （1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同； （3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k ∈Z ｝

5.把

411π

-

表示成)(2z k k ∈+πθ的形式，使||θ最小的θ为（ ） A.43π-

B.4π

C.43π

D.4π-

6.与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．

7.在直角坐标系中，若角α和角β的终边互相垂直，则角α和角β之间的关系是 （ ） A.β=α+90° B.β=k ·360°+90°+α(k ∈z) C.β=α+90° D.β=k ·360°+90°+α(k ∈z)

8.（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α集合是 . （2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 .

9.角α，β的终边关于0=+y x 对称，且α=-60°，求角β.

10.角α的终边落在区间（－3π,－5

2 π）内,则角α所在象限是 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

11.已知扇形的周长是cm 6，面积为2

2cm ，则扇形弧度数是（ ）

A 、1

B 、4

C 、1或4

D 、2或4 12.将下列各角的弧度数化为角度数：

（1）=-67π

度； （2）=-

38π

度；

（3）1．4 = 度； （4）=

32 度.

13.若圆的半径是cm 6，则ο15的圆心角所对的弧长是 ；

所对扇形的面积是 .

14.将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.

15.已知集合}

04|{},,2

3

|{2≥-=∈+

≤≤+

=x x B z k k x k x A π

ππ

π，求B A I .

云

南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-1任意角学案 新人教A 版必

修4

【学习目标】

1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.

2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.

3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 【学习重点】

将0o到360o的角概念推广到任意角. 【学习难点】

终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来 【问题导学】

1. 角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？

2. 体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、转体900度就是一个角的概念. 但是用我们之前学习的0度到360度的角是不够用，所以必须将角的概念推广，你能说出他们在原地旋转3圈旋转了多少度吗？

3.你的手表慢了5分钟，你怎样将它校准？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？

【自主学习】

1.任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）

2.能否以同一条射线为始边作出下列角吗？能的话，作出来。

210o-150o-660o

3. 如何判断一个角是第几象限的角？上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.

4.在直角坐标系中标出-32°、328°、-392°，你能发现什么？解释一下为什么？除了这几个角之外你还能举出有相同特征其它角吗？

【典型例题】

1.在0°～360°范围内找出与-860°36′终边相同的角，并判断它是第几象限角。

2.根据课本例2，请写出终边在X轴上角的集合

3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤?＜360°的元素?写出来

（1）1303°18′（2）-225°

【对应测试】

1. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A?C D．A=B=C

2.下列结论正确的是（）

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角

C．不相等的角终边一定不同

D．{}Z

k

k∈

±

?

=,

90

360

|ο

ο

α

α

=

{}Z

k

k∈

+

?

=,

90

180

|ο

ο

α

α

3．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．

4．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为．

5.今天是星期5，那么7k（k属于Ｚ）天后的那一天是星期几?7k天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-2任意角的三角函数学案

新人教A版必修

4

【学习目标】

1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.

2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.

【学习重点】

任意角的正弦，余弦，正切的定义.

【学习难点】

三角函数的值在各象限的符号.

【问题导学】

在初中的时候我们已经学习过锐角三角函数，它们都是以锐角为自变量的，根据初中学习的知识填好下表：

图形定义定义域三角函数的符号

sinA=

cosA= tanA= A∈

sinA 0

cosA0

tanA 0

2. 课本P11页的图1.2-1：设锐角α，顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，在α的终边上任取一点P（a，b），则知sinα= ，cosα= ，tanα= ，若|OP|=1，则sinα= ，cosα= ，tanα= 。

3.根据上题，回答：改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么？

【自主学习】

1.什么是单位圆，请利用单位圆来定义一下任意角的三角函数。

2.对于任意角的三角函数思考下列问题：

(1)定义域

(2)函数值的符号规律

(3)三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？

(4)终边相同的角相差2 的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？请据此写出可以得出的诱导公式

3.完成下表：

角度 0 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 弧度 [ sinα cosα

tanα

【典型例题】

1.已知直线y=x 与单位圆交于A 、B 两点，点A 在x 轴的上方，O 是坐标原点。 (1)求以射线OA 为终边的角α的正弦值和余弦值 （2）求以射线OB 为终边的角β的正切值

【对应测试】

1. 下列说法中正确的个数是（ ）

（1）终边相同的角的同一三角函数值相等 （2）终边不同的角的同一三角函数值不全相等 （3）若sin α>0,则α是第一二象限角

（4）若α是第二象限角，且P （x ，y ）是其终边上的一点，则cos α= A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若sin α*cos α< 0,则α在 （ ）

Α．第一二象限 B ．第一三象限 C.第一四象限 D.第二四象限

3．已知点（1，y ）是角α终边上的一点，且cos α= 63

，则y=

4．若

s in α*cos α< 0，则函数y=

α

α

ααααtan tan cos cos sin sin ++的值为

5.利用诱导公式求下列各式的值

（1）

)415tan(35cos

ππ-+

（2）ο

ο

ο

360cos 765tan 810sin -+

6.已知角α的终边上的一点P （4t ，-3t ）（t ≠0），求α的各三角函数值

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-2三角函数线学案 新人

教A 版必修4

【学习目标】

1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。 【学习重点】

三角函数线的探究与作法。 【学习难点】

利用三角函数线比较大小以及求角的大小。 【问题导学】

阅读课本15~17页回答以下问题 1.什么是有向线段？

2.线段OM,MP 的方向是如何规定的？

3.什么是三角函数线？

【自主学习】

在单位圆中，当角α终边为第一象限时，正弦线，余弦线，正切线是如何画出来的？请画一下。

2.请在单位圆中画出当角α终边为第二，三，四象限时的三角函数线。

3.根据上边画的三角函数线，证明tan α=AT=x y

4.当角α的终边与y 轴重合时，三角函数线有什么特点,相对应的三角函数值为多少？当角α的终边与x 轴重合时，三角函数线又有什么特点,相对应的三角函数值为多少？ 【典型例题】

1．作出下列各角的三角函数线

（1）3π

（2）611π （3）32π-

2．比较下列各组数的大小

(1)sin1和sin

3

π

(2)cos

7

4π和cos

7

5π

(3)tan

8

9π和tan

7

9π (4)sin

5

π和tan

5

π

3.已知角α的正弦线和余弦线是符号相反,长度相等的有向线段,则α的终边在（ ） A.第一象限角平分线上 B.第二，四象限角平分线上 C.第一，三象限角平分线上 D.第四象限角平分线上 【对应测试】

1.用三角函数线判断1与|cos ||sin |αα+的大小关系是 （ ） A.|cos ||sin |αα+>1 B.|cos ||sin |αα+≥1 C.|cos ||sin |αα+=1 D.|cos ||sin |αα+<1

2.若π4 <θ < π

2 ，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ C ． tan θ>sin θ>cos θ D ．sin θ>tan θ>cos θ

3.如果MP 和OM 分别是角a=87π

的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是

A MP< OM< 0

B O M >0 > MP

C OM< MP< 0

D MP >0 > OM

3.利用单位圆写出符合下列条件的角x 的集合。 ⑴

:21cos =

x ；⑵:21cos >x ；

⑶

:

23

|cos |≤

x 。

4.已知点P( 1，Y)是角α的终边上的一点，且cos α=63

，则Y=

5.将sin1,cos1,tan1的大小关系用“＞”号连接起来为

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-2同角三角函数的关系学

案 新人教A 版必修4

【学习目标】

掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,α

αcos sin =tan α,并会运用它们进行简单的三

角函数式的化简、求值及恒等式证明. 【学习重点】

公式sin2α+cos2α=1,

α

αcos sin =tan α的推导及其应用

【学习难点】

公式的变式及灵活运用 【问题导学】

1.初中阶段学习了锐角三角函数的定义后，老师介绍了同角三角函数间关系，你还记得吗？

2. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？

【自主学习】

1. 同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广到任意角吗？你能证明吗？

2. 如何进行公式sin2α+cos2α=1, tan α=α

α

cos sin 的推导及其变形。

【典型例题】

1.已知

21

tan -

=α，求αααα2

2cos 2cos sin sin 1

--的值

（2）α

αcos 1cos 1+-+

α

αcos 1cos 1-+ ，其中α是第四象限角

（3）?

--??

?-170cos 110cos 10cos 10sin 212

3.

求证：αα

α

αsin cos 1cos 1sin -=

+

【对应测试】

1.已知0cos 3sin =+αα，则α所在的象限是（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第一、三象限

D.第二、四象限

2.ααcos sin 21?+的值为（ ）

A.ααcos sin +

B.ααcos sin -

C.ααsin cos -

D.|ααcos sin +|

3.若θθcos ,sin 是方程0242

=++m mx x 的两根，则m 的值为( )

A ．51+

B ．51-

C ．51±

D ．51--

4.⑴已知0cos 2sin =-αα，则=

ααcos sin 1

。

⑵=-?-αααα2

2cos 5cos sin 3sin 4 。

5.已知α是第三象限角，化简=

+---+αα

ααsin 1sin 1sin 1sin 1 。

6.已知

524cos ,53sin +-=+-=

m m

m m θθ，则m=_________；=αtan ．

7、化简：α

αα

α4

266sin sin cos sin 1---

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-3诱导公式1学案 新人教

A 版必修4

【学习目标】

使学生掌握正弦、余弦、正切在的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解. 【学习重难点】

重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.

难点：四组公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 【问题导学】

提问1：试写出诱导公式（一） 诱导公式（一）

提问2：试说出诱导公式一的结构特征

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

【自主学习】 (一）

（1）角与（π+）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

（2）设与（π+）的终边分别交单位圆于p ，p ′，则点p 与p ′具有什么关系？ （关

于原点对称）

（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？[p′（－x,－y）]

（4）sin与sin（π+）、cos与cos（π+）、tan与tan（π+）关系如何？

（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？

根据以上结论请同学们归纳推导公式。

诱导公式（二）

sin（π+α）= cos（π+α）= tan（π+α）=

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时）

②把求（π+α）的三角函数值转化为求α的三角函数值。

(二）

利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于x轴对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。

对于任意角αsinα与sin（－α）的关系如何呢？试说出你的猜想？

（1）α与（－α）角的终边位置关系如何？（关于x轴对称）

（2）设α与（－α）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于x轴对称）

（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？[p′(x,－y)]

（4）sinα与sin（－α）、cosα与cos（－α）、tan α与tan（－α）的关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？

诱导公式（三）

sin（－α）= cos（－α）= tan（－α）=

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）

②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值

(三）

利用公式二和三请同学们想想对于任意角αsinα与sin（π－α）的关系如何呢？

试说出你的猜想？

我们也可以仿照公式二和三的推导过程进行推导。

（1）α与（π－α）角的终边位置关系如何？（关于y轴对称）

（2）设α与（π－α）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于y轴对称）

（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？[p′(－x, y)

（4）sinα与sin（π－α）、cosα与cos（π－α）、tan α与tan（π－α）关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？

诱导公式（四）

sin（π－α）= cos（π－α）= tan（π－α）=

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）

②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值

【典型例题】

例1．下列三角函数值：

（1）cos210o； (2)sin 45π

例2．求下列各式的值：

sin(－34π)；（2）cos(－60o)（3）sin(－210o)

例3.下列三角函数值：

（1）cos120o； (2)sin 43π

【对应检测】 一、选择题

1.若sin(π＋α)=－21

,则sin(4π－α)=( )

A ．21

B ．－21

C ．－23

D ．23

2．对于α∈R ，下列等式中恒成立的是（ ）

A ．cos （－α）＝－cos α

B ．sin （2π－α）＝sin α

C ．tan （π＋α）＝tan （2π＋α）

D ．cos （π－α）＝cos （π＋α）

3. 若 tan (2π－α)=02,25<α<π

-，则sin(π－α)等于 （ ）

A ．－35

B ．35

C ．－32

D ．32

4. 已知sin m

=π

75，则cos 72π等于 （ ）

A ．m

B ．－m

C ．2

1m - D ．－2

1m - 二、填空题

1.化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

2.要使方程x2－px+q=0的两根成为一直角三角形两锐角α和

-2π

α的正弦值，实数p 、q 必须满足的关系式为 .

3．已知3

sin()5πα+=

，α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是

三、解答题

1．求下列各三角函数：

（1）13sin()

4

π-

（2）cos(1665)-?

2． 已知3

cos(

)6

3π

α-=

，求25cos()sin ()

66π

παα+--的值．

3.已知.

)65cos(,33)6cos(的值求α-π

=α+π

5.已知

)900tan()180sin()180tan()540tan()720cos()180sin(,31

)3sin(αααααααπ+----+++-=+οοοοοο求

.

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-3诱导公式2学案 新人教

A 版必修4

【学习目标】

使学生掌握正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦、正切值的求解. 【学习重难点】

重点：诱导公式五、六的推导及综合运用.

难点：公式五、六的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 【问题导学】

提问1：试写出诱导公式（二，三，四） 诱导公式（二） 诱导公式（三） 诱导公式（四）

提问2：试说出诱导公式一的结构特征 结构特征： 【自主学习】

在直角三角形ABC 中

C

B

A 有sin A=c a 、cos A=c b 、tan A=b a

sin B=c b cos B=c a tan B=a b 我们发现A 与B 之间满足 B=2π-A 所以有A 与2π

-A 之间的

函数关系有sin （2π－A ）= cos A cos （2π－A ）= sin A tan （2π

－A ）=1/ tan

A

对于任意角α sin α与

cos )2sin(ααπ

=-的关系如何呢？试说出你的猜想？

我们也可以仿照前面二，三，四公式的推导过程进行推导。

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-3诱导公式3学案 新人教

A 版必修4

【学习目标】

使学生掌握正弦、余弦、正切在的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解. 【学习重难点】

重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.

难点：四组公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 【问题导学】

提问1：试写出诱导公式（一） 诱导公式（一）

提问2：试说出诱导公式一的结构特征

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

【自主学习】 (一）

（1）角与（π+）的终边关系如何？

（2）设与（π+）的终边分别交单位圆于p ，p ′，则点p 与p ′具有什么关系？

（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？

（4）sin与sin（π+）、cos与cos（π+）、tan与tan（π+）关系如何？

（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？

根据以上结论请同学们归纳推导公式。

诱导公式（二）

sin（π+α）= cos（π+α）= tan（π+α）=

结构特征：①

②

(二）

利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于x轴对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。

对于任意角αsinα与sin（－α）的关系如何呢？试说出你的猜想？

（1）α与（－α）角的终边位置关系如何？

（2）设α与（－α）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？

（4）sinα与sin（－α）、cosα与cos（－α）、tan α与tan（－α）的关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？

诱导公式（三）

sin（－α）= cos（－α）= tan（－α）=

结构特征：①

②

(三）

利用公式二和三请同学们想想对于任意角αsinα与sin（π－α）的关系如何呢？

试说出你的猜想？

我们也可以仿照公式二和三的推导过程进行推导。

（1）α与（π－α）角的终边位置关系如何？

（2）设α与（π－α）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？

（4）sinα与sin（π－α）、cosα与cos（π－α）、tan α与tan（π－α）关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？

sin（π－α）= cos（π－α）= tan（π－α）=

结构特征：①

②

【典型例题】

例1．下列三角函数值：

5π

（1）cos210o；(2)sin4

例2．求下列各式的值：

sin(－34π)；（2）cos(－60o)（3）sin(－210o)

例3.下列三角函数值：

（1）cos120o； (2)sin 43π

【对应检测】 一、选择题

1.若sin(π＋α)=－21

,则sin(4π－α)=( )

A ．21

B ．－21

C ．－23

D ．23

2．对于α∈R ，下列等式中恒成立的是（ ）

A ．cos （－α）＝－cos α

B ．sin （2π－α）＝sin α

C ．tan （π＋α）＝tan （2π＋α）

D ．cos （π－α）＝cos （π＋α）

3. 若 tan (2π－α)=02,25<α<π

-，则sin(π－α)等于 （ ）

A ．－35

B ．35

C ．－32

D ．32

4. 已知sin m

=π

75，则cos 72π等于 （ ）

A ．m

B ．－m

C ．21m -

D ．－2

1m -

二、填空题

1.化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

2.要使方程x2－px+q=0的两根成为一直角三角形两锐角α和-2π

α的正弦值，实数p 、q

必须满足的关系式为 .

3．已知

3

sin()5πα+=

，α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是

三、解答题

1．求下列各三角函数：

（1）

13sin()

4

π-

（2）cos(1665)-?

2． 已知

3

cos(

)6

3π

α-=

，求25cos()sin ()

66π

παα+--的值．

3.已知.

)65cos(,33)6cos(的值求α-π

=α+π

6．化简1、化简[][]

sin (21)2sin (21)()

sin(2)cos(2)

,n n n Z n απαπαππα+++-+∈-?-

2、2

1sin(2)sin()cos ()

αππαα+-+--

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-4正弦函数、余弦函数图

像的性质学案 新人教A 版必修4

教学目标：

1.要求学生利用单位圆的正弦线画出正弦函数的图象.

2.利用诱导公式获得余弦函数的图象.

3.掌握五点画图法会画正余弦函数图象以及相关的三角函数图象. 重点：五点作图法画正余弦函数图象.

难点：对正余弦函数图象的理解以及正确作出正弦函数或余弦函数以及相关函数图象. 课前预习

1.“五点法”作正弦函数图象的五个点是___________________________

2.“五点法”作余弦函数图象的五个点是___________________________

3.作正、余弦函数图象方法有二：一是 ____________；二是利用______________________ 来画的几何法。

4. 作正弦函数图象可分两步:一是画出 的图象,二是把这一图象向_______ 连续平移(每次2π个单位长度)

5.怎样利用正弦曲线作出正弦函数的图象:_________________________________

二．新课导入

物理中简谐运动的图象叫“正弦曲线”或“余弦曲线”三．新课讲解

知识点一：（１）利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象

思考：在做正弦函数图象时抓住哪些关键点：

[0,2]

xπ

∈，在要求精度不太高的情况下我们一般用五点作图x

sin x

（2）怎样由

sin

y x

=，x R

∈得到cos

y x

=，x R

∈图象

方法：

我们把以上两个图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

思考：余弦曲线图象应抓住哪些关键点：

[0,2]

xπ

∈，在要求精度不太高的情况下我们一般用五点作图

x

cos x

（3）.典型例题

例1.画出下列函数的简图

sin

y x

=，x R

∈

(1)

1sin

y x

=+[0,2]

xπ

∈

(2)

cos

y x

=-[0,2]

xπ

∈

(3)

2sin

y x

=[0,2]

xπ

∈

(4)

3

sin()

2

y x

π

=+

[2,2]

xππ

∈-

知识点二：正、余弦函数的性质

定义域：

值域:

（3）对称性:

小结：（1）正弦曲线定义（2）正余弦函数图象五点作图法步骤（3）图象应用；（4）三角函数性质

课后作业

1.以下对正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是 （ ） A. 在[2,22]()x k k k Z πππ∈+∈上的图象形状相同只是位置不同

B. 介于直线1y =与1y =-之间当x>0时，你估计函数y=2x

和y=2

x 的图象共有几个交点？

C.关于x 轴对称

D.与y 轴仅有一个交点 2.在[0,2]π上，满足

1

sin 2x ≥

的x 的取值范围是（ ）

A. [0,]6π

B. 5[,]66ππ

C. 2[,]63ππ

D. 5[,]6ππ

3. cos y x =的图象向左平移2π

个单位后，得到()y g x =的图象，则()g x 的解析式（ ）

A. sin x -

B. sin x

C. cos x -

D. cos x

4.

sin 10x π

=

的根的个数为___________.

5.

29sin y x x =-+

_____________

6.由sin()cos 2x x

π

-=可知，把函数sin y x =的图象经过____________________ (变换)可

得y=cosx 的图象.

7..作出下列函数的简图

（1）

2

1cos y x =- （2）sin ||y x = [2,2]x ππ∈-

若()sin

4f x x

π

=，求(1)(2)f f ++……(2010)f +

云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 2-1平面向量数量积的坐标

表示、模、夹角学案 新人教A 版必修4

人教A版高中数学必修四教案全

高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

【最新】高中数学必修四导学案

高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

高中数学必修四学案：2.3向量的坐标表示 Word版缺答案

2.3向量的坐标表示 2. 3.1平面向量基本定理 1．A 设向量23,42,m a b n a b =-=- 32p a b =+，试用,m n 表示p ，则p =__ 2．A 在ABC ?中，AB c =，AC b =，若点 D 满足2BD DC =，则AD =________ 3．B 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则λ μ = . 4．B D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、 AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下 列命题： ①12AD =-a -b ； ②BE =a +2 1b ； ③12CF =- a +2 1 b ； ④0AD BE CF ++=． 其中正确命题的个数是______________． 5．B 设a ，b 是不共线的两个向量，已知 2AB a kb =+， BC a b =+， 2CD a b =-，若A 、B 、D 三点共线， 求实数k 的值． 6．B 在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，1 3 BN BD =，求证,,M N C 三点共线. 7．C 如图，//OM AB ，点P 在由射线 OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的 阴影区域内(不含边界)运动，且 OP xOA y OB =+ → → → ，则x 的取值范围 是 ；当1 2 x =-时，y 的取值范围是 . 8．C 已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直

线与AB 、AC 两条边分别交于M 、N ，且AM x AB = → → ，AN y AC = → → .求11 x y +的 值. 2.3.2平面向量的坐标运算 专题1平面向量的坐标表示及坐标运算

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

(人教版)高中数学必修四优秀教案

第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1．1任意角和弧度制 1．1.1任意角 [提出问题] 问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？ 提示：旋转方向不同． 问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ 提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. [导入新知] 角的分类 1．按旋转方向 2. (1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角； (2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． [化解疑难] 1．任意角的概念 认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转方向； ②要明确旋转角度的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角的前提条件 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. [提出问题] 在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°. 问题1：这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同． 问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？ 提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. 问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． [导入新知] 终边相同的角 β|β＝α＋k·360°，k∈Z，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [化解疑难] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点． (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．

高中数学必修四学案及答案(人教B版)

2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量_含答案

第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

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第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

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第一章 三角函数 一、基本概念 （1）任意角 ①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若0 30=α，则终边 在其上的角的集合为 {} Z k k ∈?+=,36030 00 ββ 终边在x 轴上的角的集合为{} 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z ②弧度制 弧度制是角度的另一种表示方法. 概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π 180 1= rad ，则180 1π= ? <2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则r l =α ③角度制和弧度制单位换算 π 180 1= rad ，则180 1π= ? 常见的角度制和弧度制的转化：

（4）象限角（任意角的归类） 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

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第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：

1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°

课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、

新人教版高中数学必修四教材分析

新人教版高中数学必修四教材分析

一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生

体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：

辽宁省人教b版高一数学必修四导学案：3.2.1倍角公式

3.2.1倍角公式 （一）倍角公式 sin 2________________α= 简记为_____________. cos 2________________α=简记为_____________又可写成 ________________.________________.=??=? tan 2________________α= 简记为_____________. （二）公式的变形应用 21sin 2_______________(_________).α±== sin __________.α?= 1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα?== *（三）相对2倍角 sin _________.α=（利用2 α表示）. cos3_________.α=（利用32α表示）. 一、求值问题 例1 已知3sin 5α= ，求sin 2()4 πα-及tan 2α的值. 二、利用公式化简求值 例2 （1）化简: 000cos 20cos 40cos80 （2）化简：000sin10sin 50sin 70 （3）若00180270α<<

例3 已知5sin(),04134 x x ππ-=<<，求cos 2cos()4x x π+的值. 三、证明 例4 变式： 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ +-=++. 求证：2sin 2sin tan 2cos 22sin cos θθθθθθ +=++ （理） 已知cos 26(),()cos sin 5 x f x f x x α==+，求2()f α-的值. （二）（第24届数学家会标） 它是由四个相同的直角三角形拼成大正方形和小正方形，大正方形面积=1，小正方形面积= 125，每三角形中较小的角为θ，求22sin cos θθ-.（利用倍角公式）

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第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//

高中数学必修4学案 2 弧度制

山东省临沭第二中学高一数学学科学案 编号002时间：2013-1-24 主编：王廷建 审核：高一年级组 班级： 姓名： 课题：弧度制 【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α= （l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用 【学习重点】 1.弧度与角度之间的换算； 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学习难点】 1.弧度与角度之间的换算； 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。 【问题导学】 1.初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ 2.什么是弧度制？角度制与弧度制有什么区别？ 3.<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？ 由上可知：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 问；当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4.角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 180 1π = ?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 ( π 5718'≈

归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： < 5.弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式： ||l r α=? 因为||l r α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为 ||l r α=?． 根据这个你能证明出下面两个扇形面积公式吗？ 请证明． 【典型例题】 1.把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 2.把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4) 4 π 3.半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数，并求出该扇形的面积。 【基础题组】 (2) ;R 21(1)S 2α=2 (1) 1(2) 2 1(3) 2 l R S R S lR αα== =