高中数学 必修4 (王后雄电子版)

第1章节 三角函数 1．1 任意角和弧度制

【例题1】下列命题正确的是（ ）

A. 终边相同的角一定相等

B. 第一象限角都是锐角

C. 锐角都是第一象限角

D.小于90°的角都是锐角

【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。其中正确的命题有（ ）。

A.1个

B.2个

C. 3个

D.4个

【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。点

P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。已知点P 在1秒钟内

转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟

后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限

【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，

则有（ ）。

A ．

B ．

C ．（ ）

D ． 【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。

（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。

【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）

A ．{}00360457,k k Z αα=?+∈

B ．{}0036097,k k Z αα=?+∈

C ．{}00360263,k k Z αα=?+∈

D ．{}00360263,k k Z αα=?-∈

【例题7】下列各命题中，假命题是（ ）

A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的

C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度

D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。

【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。

【例题9】若角α是α一象限角，问2α、3

α是第几象限角？ 例题10

例题3

【例题10】 如图所示，（1）分别写出终边落在OA 、OB 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。

【例题11】已知角β的终边在如图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么β∈ 。

【例题12】(1)设集合A ＝{}180150,k k Z αα=+∈∪{}180,k k Z αα=∈。集合B ＝{}18090,k k Z ββ=+∈则（ ）

A. A ?≠B

B. B ?≠

A C. A ∩

B ＝? D. A ＝B （2）设集合M ＝{}90,k k Z αα=∈∪{}18045,k k Z αα=+∈, N ＝{}45,k k Z ββ=∈，则集合M 与集合N 的关系是（ ）

A. M ?≠N

B. M ?≠

N C. M ＝N D. M ∩N ＝? 【例题13】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如图）

【例题14】把下列角化成2k π＋α（0≤α≤2π，k ∈Z ）形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角。

【例题15】已知⊙O 的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是 .

【例题16】将钟表上的时针作为角的始边,分针作为终边,那么当钟表上显示8点5分时,时针与分针构成的角度是 .

【例题17】今天是星期一,

（1）7k （k ∈Z ）天后的那一天是星期几？7k （k ∈ Z ）天前的那一天是星期几？

（2）158天后的那一天是星期几？

【例题183dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，问点A 走过的路程及走过的弧对应的扇形的总面积。

速效基础演练

1. 下列命题中正确的是（ ）

A. 第一象限角一定不是负角

B. 小于90°的角一定是锐角

C. 钝角一定是第二象限角

D. 终边和始边都相同的角一定相等

2. 与405°角终边相同的角一定相等 （ ）

A. k ·360°－ 45°，k ∈Z

B. k ·360°－ 405°，k ∈Z

C. k ·360°＋ 45°，k ∈Z

D. k ·180°＋ 45°，k ∈Z

3. 若α是第四象限角，则﹣α一定在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4.下列各式不正确的是（ ）

A.终边在x 轴上的角的集合是{/,}ααk πk z =∈

B. 终边在y 轴上的角的集合是{/,}2

πααk πk z =

+∈ C. 终边在坐标轴上的角的集合是{/,}2

πααk k z =?∈ D. 终边在y=X 上的角的集合是{/2,}4πααk πk z =+∈ 5.射线OA 饶端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC=

6.扇形的圆心角是72°，半径为5cm ，它的弧长为 ，面积为 .

知能提升突破

1.将-885°化为360αk +?°（0°≤α≤360°，k z ∈）的形式是（ ）

A.-165°+(-2)×360°

B. 195°+(-3)×360°

C.195°+(-2)×360°

D. 165°+(-3)×360°

2.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm,则扇形的周长为（ ）

A.6πcm

B.60cm

C.(40+6π)cm

D.1080cm

3.若3α=-，则角α的终边在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D 第四象限

4. 将-1485°化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式是（ ）。

A. 84π

π-- B. 784ππ-- C. 104ππ-- D. 7104

ππ- 5. 已知集合}{}{|2(21),,|44,A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤则A B ?=（ ）。

A. ?

B. {}|0ααπ≤≤

C. {}|44αα-≤≤

D. {|4ααπ-≤≤-或}0απ≤≤

6. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A.6rad π

B. 6rad π

- C. 12rad π

D. 12rad π

-

7.下列四个命题中正确的是（ ）。

A. α是第一象限的角，则2

α必为第一象限的角 B.360()k k Z α+?∈表示与α终边相同的角，则α是锐角

C.终边相同的角不一定相等

D.2α与α的终边不可能相同

8.终边经过点(,)(0)a a a ≠的角α的集合是（ ）。 A. 4π?????? B. |2,4k k Z πααπ??=+∈???? C.5,44ππ?????? D. |2,4k k Z πααπ??=+∈????

9.与角-1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是__________，最大负角是____________。

10.α为第四象限角，则2α在_____________。

11.在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 为该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是__________。

12.（1）写出与-1 840°终边相同的集合M=______________________________。

（2）把-1 840°的角写成360(0360)k αα?+?≤

（3）若角M α∈，且[]360,360α∈-??，则角α=_______________。

13.已知角α是第二象限角，试判断角2

a 和2α各是第几象限。 14.解答下列各题：

（1）已知扇形的同长为10cm ，面积为4cm 2,求扇形圆心角的弧度数；

（2）已知扇形圆心角是72°，半径等于20cm,求扇形的面积；

（3）已知一扇形的周长为40㎝，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？

15. 若角β31）的直线上，写出β的集合；当β∈（﹣360°，360°）时，求β。

最新5年高考名题诠释

【考题1】已知α为第三象限，则2

α所在的象限是（ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第三象限

【考题2】集合A={a/a=60°+K ·360°,K ∈Z},

B=[β/60720,},{/60180},K K Z C K K Z βγγ=+∈==+∈那么集合A 、B 、C 的关系是

【考题3】如图1-1-15，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区

的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行与BO 的小路CD.已知某

人从C 沿CD 走到D 用了10分钟.，从D 沿CD 走到D 用了10分钟，若此人步行的

速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米 ）

任意角的三角函数

【例题1】有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相同：②：终边不同的角的同名三角函数的值不等：③若sin α＞0,则α是第一、二象限的角：④：若α是第二象限的角。且P （X,y ）是其终边上的一点。则22x y +.其中正确的命题的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

【例题2】求53

π的正弦、余弦和正切值.

人教A版高中数学必修四教案全

高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角

新课标高中数学人教A版必修四教材解读

新课标高中数学人教A版必修四教材解读4 尤溪第一中学罗世卿 四、教学内容分析 第三章三角恒等变换 课程标准内容： 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 知识结构： 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时安排： 建议本节4课时 第1课时:两角差的余弦公式； 第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式； 第4课时:公式的综合运用. 教学要求： 基本要求。①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。 发展要求。①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。③能对公式进行简单的逆用。 说明。①控制好拆分角度的难度。②题型的变化不宜过多。 重点难点： 重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。 难点：两角差的余弦公式的探索和证明。 教学建议：

教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如，在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。 这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。 本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 3．2简单的三角恒等变换（3课时） 教学要求： 基本要求。①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求。①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。②理解三角变换的基本特点和基本功能。③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明。积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。 重点难点： 重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点. 难点：公式的灵活应用. 教学建议： 三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式

2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1．1任意角和弧度制 1．1.1任意角 [提出问题] 问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？ 提示：旋转方向不同． 问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ 提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. [导入新知] 角的分类 1．按旋转方向 2. (1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角； (2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． [化解疑难] 1．任意角的概念 认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转方向； ②要明确旋转角度的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角的前提条件 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. [提出问题] 在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°. 问题1：这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同． 问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？ 提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. 问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． [导入新知] 终边相同的角 β|β＝α＋k·360°，k∈Z，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [化解疑难] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点． (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．

最新北师大版高中数学必修3必修4课后习题答案

第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点 后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示. 返回第二步. 第五步，输出5a . 程序框图：

习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=?->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步. 程序框图：

(人教版)高中数学必修四优秀教案

第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

高中数学必修4课本知识点

第一章 三角函数 一、基本概念 （1）任意角 ①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若0 30=α，则终边 在其上的角的集合为 {} Z k k ∈?+=,36030 00 ββ 终边在x 轴上的角的集合为{} 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z ②弧度制 弧度制是角度的另一种表示方法. 概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π 180 1= rad ，则180 1π= ? <2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则r l =α ③角度制和弧度制单位换算 π 180 1= rad ，则180 1π= ? 常见的角度制和弧度制的转化：

（4）象限角（任意角的归类） 设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

高一数学必修四(公式总结)

高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” 听得懂想得通记得住说得出用得上

高中数学 必修4 (王后雄电子版)

第1章节 三角函数 1．1 任意角和弧度制 【例题1】下列命题正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角 【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。其中正确的命题有（ ）。 A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠ ＝45°。点 P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限 【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}， 则有（ ）。 A ． B ． C ． （ ） D ． 【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。 【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ） A ．{}00360457,k k Z αα=?+∈ B ．{}0036097,k k Z αα=?+∈ C ．{}00360263,k k Z αα=?+∈ D ．{}00360263,k k Z αα=?-∈ 【例题7】下列各命题中，假命题是（ ） A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的 C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度 D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。 【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。 【例题9】若角α是α一象限角，问 2α、3 α 是第几象限角？ 【例题10】 如图所示，（1）分别写出终边落在OA 、OB 位置上的角的集合； 例题3

新人教版高中数学必修四教材分析

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一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生

体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点：

人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、

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数学①必修 第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 1.2.2 集合的运算 第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数 2.1.2 函数的表示方法 2.1.3 函数的单调性 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图像（选学） 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质和图像 2.2.2 二次函数的性质和图像 2.2.3 待定系数法 2.3 函数的应用（I） 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法 第三章基本初等函数（I） 3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.2 函数的应用（II） 数学②必修 第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系 第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的集中形式 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式 数学③必修 第一章算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示 1.2 基本算法语句 1.2.1 赋值、输入和输出语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样 2.1.2 系统抽样 2.1.3 分层抽样 2.1.4 数据的收集 2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.3 变量的相关性 2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 第三章概率

北师大版高中数学必修必修4课后习题答案

第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点 后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示. 返回第二步. 第五步，输出5a . 程序框图：

习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=?->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步. 程序框图：

高一数学必修4 教案全集

1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 顶点 A O

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角

新课标人教版高中数学必修四教案合集

新课标人教版高中数学必修四教案合集 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标 1\提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： 始边终边 顶点 A O B

③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 负角：按顺时针方向旋转形成的角

【人教A版】高中数学必修4第二章课后习题解答

新课程标准数学必修4第二章课后习题解答 第二章 平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77） 1、略. 2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等. 3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH = 4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、 （2 ） . 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB . 4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST 5、33 2 AD = . 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与 AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84） 1、图略. 2、图略. 3、（1）DA ； （2）CB . 4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g .

练习（P87） 1、图略. 2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA . 3、图略. 练习（P90） 1、图略. 2、57AC AB =，2 7 BC AB =-. 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向. 3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）8 9 b a =. 4、（1）共线； （2）共线. 5、（1）32a b -； （2）111 123 a b -+； （3）2ya . 6、图略. 习题2.2 A 组（P91） 1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走km ； （4）向西南走 ；（5）向西北走 km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水 的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC 表示船实际航行的速度. 在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =， 所以22 8AC AB AD = +==因为 tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈? 所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略 6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=- 9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -. 10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-， DC b a =-，BC a b =--. （第11题）