空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛

教学案

参赛人: 王立广

参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系

学习目标：

1、知识与技能

（1）理解空间两条直线的位置关系。

（2）会用平面衬托来画异面直线。

（3）掌握并会应用平行公理。

（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。

2、过程与方法

在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法；

3、情感态度与价值观

(1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

(2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。

(3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。

学习重点：异面直线的判断；

学习难点：异面直线所成角的推证与求解。

教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型

一、课前导学

平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有

个公共点；平行直线公共点。

【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？

【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？）

二、新课导学A

B

D

1.异面直线的定义:

我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？

2.空间两直线的位置关系

按平面基本性质分??

????

??????

不同在任何平面内

在同一平面内 按公共点个数分??

?

?

??

??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】

1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？

（学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。）

2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么

AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?

（学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合

作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案）

【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？

3．异面直线的判断

经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。

【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？

4.异面直线的画法

说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三

A

D

C B

E

G H C

种画法是异面直线的常见画法。

a b

a

b

【合作探究】分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

5.异面直线所成的角 (1)复习回顾

在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图。

(2)问题提出

在空间,如图所示, 正方体ABCD －EFGH 中, 异面直线AB 与HF 的错开程度可以怎样来刻画？ (3)问题猜想

思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思考 : 这个角的大小与O 点的位置有关吗 ? 即O 点位置不同时, 这一角的大小 是否改变? (4)理论支持

㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?

观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a , b , c , d , e , … 之间有何关系？

a ∥

b ∥

c ∥d

∥e ∥ …

公理４： 。

【问题引导】怎么说明空间两条直线是平行直线？

（5）解决问题

a b c

e

d A B G F H E D C

异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线 a 、 b , 经过空间任一点O 作直线a a //'，b b //'，则把 叫做异面直线所成的角。

a

b

【问题引导】1.异面直线所成的角最大可以是多少？最小呢？它的取值范围是 。

2.两条异面所成的角可以是直角吗？

3.在求作异面直线所成的角时,怎样作角比较简单？

三、例题选讲

例1. 如图，已知空间四边形ABCD 中，点

E 、

F 、

G 、

H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明你的结论。 证明：

【问题点拨】1.参考课本P115，什么是空间四边形？与平面四边形有何区别和联系？

小组合作探究：在例1中，若加上条件AC=BD ，那么这个四边形是什么四边形？

例2．如图，正方体ABCD-EFGH 中，

(1) 求AB 与EH 所成的角？ (2) 求BE 与AC 所成的角？

A B G

F H E D C

a ′

O

b ′

【问题点拨】如何求解异面直线所成的角？可以分成几个步骤？

四．随堂训练 1.下图正方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是 直线 ②BD 和FH 是 直线 ③BH 和DC 是 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条? (3)在正方体ABCD-EFGH 中,

①求BC 和EG 所成的角是多少度? ②求AH 和EG 所成的角是多少度?

五．课堂小结

异面直线的定义:

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法：用平面来衬托

异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角 公理４（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 异面直线所成角的求法:

一作(找)二证三求

六、课后作业：

（1）更正学案上的错误，完成学案中所有内容； （2）书面作业P116 3；P118 2.

G F

H E

B C D A

板书设计：

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线． 知识点二平行直线 1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示： 2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1. a∥b b∥c a∥c C D B A1 C B1 D C D

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

作业空间中直线位置关系的判断

题型一空间中直线位置关系的判断 【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 题型二公理4及等角定理的应用 【例2】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点． (1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.

【例3】在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。. 【例4】 如图，在正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小． 5．已知长方体 1111D C B A A B C D -中，M 、N 分

别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个 （C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥b ，b 与c 所成的角为030，则a 与c 所成的角也为030； （3）a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12

空间直线与直线的位置关系(教案)

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究

空间直线与直线之间的位置关系

空间直线与直线的位置关系 A.异面直线定义 文字叙述：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 图形表示：如图. 记法：直线a 与b 异面. B.直线与直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系： 2.异面直线的判定方法： 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 注：反证法；反证法是证明两直线异面的主要方法，目前不掌握. 3.平行公理（平行线的传递性） 平行于同一条直线 的两条直线互相平行. 作用：判断空间两条直线平行的依据. 4.等角定理 空间中如果两个角的的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 . 5.异面直线所成的角 （1）定义：设直线,a b 是异面直线，经过空间任意一点O 作a '∥a 、b ∥b '，则把a '与b '所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（夹角）. （2）异面垂直：两条异面直线所成角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作a b ⊥. 注：空间垂直关系有相交垂直和异面垂直两种. （3）两条异面直线所成角范围：(0,]2 πθ∈. （4）求异面直线所成角的步骤： 作 、 证 、 求 . 作出异面直线所成角的方法是 平移，平移一条或两条直线，转化为相交线所成的角 . 注：平移过程常利用特殊位置上的点来实现，如利用已有的平行线来实现平移，或利用相似三角形平行关系、平行四边形对边平行关系实现平移 . A .平行公理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上. （1）若E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形. （2）要使四边形EFGH 是平行四边形，请问E ，F ，

空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系 [新知初探] 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： 2．空间两条直线的位置关系 位置关系特点 相交同一平面内，有且只有一个公共点 平行同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 [点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面 直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． a∥b b∥c?a∥c. (2)符号表述：} 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. [点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． (2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系

中得到了广泛的应用． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行() (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行() (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线() (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)× 2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是() A．共面B．平行 C．异面D．平行或异面 解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于() A．30°B．30°或150° C．150°D．以上结论都不对 解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°. 两直线位置关系的判定 [典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． [解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内． (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内． [答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 (1)判定两条直线平行或相交的方法

空间中直线与直线之间的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线 ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗 ⑤什么是空间等角定理 ⑥什么叫做两异面直线所成的角 ⑦什么叫做两条直线互相垂直

空间直线与直线的位置关系

空间直线与直线的位置关系 新课讲授： 公理4 问题1：平面中直线的平行传递性？ 问题2: 利用教室内实例寻找空间中直线平行的传递性. 公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行. 公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁. （1） 等角定理 问题1：初中学习的等角定理？如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补 空间仍然成立 等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视. 证明： （三）例题分析 例1：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11B C ，AD 的中点，求证 ：EC F A //1 例2 如图，正方体中，过P 作1DD 的平行线 例3 在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：111D AC AC B ∠=∠. 例4 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边中点. （1） 判断四边形EFGH 形状； （2） 若空间四边形中对角线AC=BD ，判断四边形EFGH 形状； （3） 四边形EFGH 什么情况下为矩形？ A B C D

（4） 结合（2）、（3） （5） 第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？ （6） 若E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且11 ,33 CF CB CG CD = =，判断四边形EFGH 形状. 例5在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是11,AA CC 中点，判断四边形1BED F 的形状并加以证明. 例6 在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在1111,C D C B 上，且满足11,AE C G AF C H ==，联结11,,,A F A E CH CG ,求证：1EA F GCH ∠=∠ 例7空间四边形ABCD 的各边中点依次为E 、F 、G 、H ，连结EG 、FH. （1）求证：EG 与HF 互相平分 （2）若BD=2，AC=4，求2 2 EG HF +的值. 例7 如图,A 是ΔBCD 所在平面外一点,M,N 分别是ΔABC 和ΔACD 的重心,若BD=6,求MN 的长. 异面直线 一、引入课题 提问：空间中两直线的位置关系：有平行、相交.除此以外，还有其他位置关系吗？ 二、讲授新课 （2） 异面直线 1、定义： 2、与平行直线、相交直线的区别： D C A B M N E F

空间中直线与直线之间的位置关系教案

空间中直线与直线之间的位置关系教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 共面直线

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 第一课时 空间的平行直线 一、知识点回顾与梳理 1、空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 2、平行直线的概念 在同一平面内没有公共点的直线叫做平行直线。 初中平面几何中，有两个重要的结论： ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行； ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 这两个结论也可以推广到空间 3、公理4：平行于同一直线的两条直线平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 说明：①公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性， 该公理也称平行公理，根据平行公 理可知：直线间平行的传递性在空间也是成立的； ②几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向； ③ 公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法，重要作用是用它证明等角定理及其推论，为下一步研究异面直线打基础。 4、空间图形的平移 如果空间图形F 的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F '的位置，我们就说图形F 在空间作了一次平移。 5、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 说明：要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”和“方向相同”这两个条件。如果没有“方向相同”这个条件，两角还有可能互补。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 其中也要注意“所成的锐角或直角”这一条件。 等角定理及其推论表明，角平移后大小不变，说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础，这为异面直线所成的角准备条件。 空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD 叫空间四边形的对角线。 二、典型例题分析与方法总结 问题1：证明空间两条直线平行的方法 证明空间两条直线平行，本章共有五种方法，到本讲为止，可有两种证明方法证明两条直线平行。 （1）用定义证明两条直线平行，需证两个方面：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点； （2）用公理4证明两条直线平行，就是需要找到一条直线c 作桥梁，使得a //c ，同时b //c ，

高一必修二《空间两直线的位置关系》练习题

高一必修二《空间两直线的位置关系》练习 题 【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高一必修二《空间两直线的位置关系》练习题，希望能给大家带来帮助! 重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角;掌握公理4及等角定理. 经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A、BC、D、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点. 求证：(1) (2)A、B、C、D、E 共面. 当堂练习： 1.若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是( ) A.相交、平行或异面 B. 相交或平行 C.异面 D.平行或异面 2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.异面 B. 相交 C.平行 D.异面或相交 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )

A.3条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 4.已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c 与b() A. 一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 5.下面命题中，正确结论有() 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 6.下列命题中正确命题的个数是( ) 两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行; 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变; 过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则BAE是异面直线AB与CD所成的角; ④四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.

1.2.2 空间两直线的位置关系

1.2.2 空间两直线的位置关系 重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理． 经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A、B、 C、D、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点． 求证：（1）=； （2）A、B、C、D、E共面． 当堂练习： 1．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（） A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（） A．异面B．相交C．平行D．异面或相交 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（） A．3条B．4条C．6条D．8条 4．已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（） A．一定是异面直线B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 5．下面命题中，正确结论有（） 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中正确命题的个数是（） 两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行； 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变； 过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则BAE是异面直线AB与CD所成的角; ④四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形. A．0B．1C．2D． 3

空间中直线与直线之间的位置关系

第二部分：案例题（包括教案设计、资源准备、教学实施和教学评价） 【说明】“空间中直线与直线之间的位置关系”是人教课标高中一年级必修2第二章第一节，本节课所需课时为1课时，45分钟，空间中直线与直线之间的位置关系是在平面中两条直线的位置关系以及平面的基本性质的基础上提出来的。它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，进一步提高学生的空间想象能力，发展推理能力。本试卷结合具体的教学案例考查教师的教育技术应用能力，其具体教学容、教学对象、教学环境和教学要求如下：【教学容】空间中直线与直线之间的位置关系 【教学对象】高中一年级学生 【教学环境】多媒体网络教室 【教学要求】遵循国家课程标准，在先进教育理念指导下，基于给定的教学环境，恰当利用教育技术，进行教案设计、资源准备、实施教学并进行评价。 教案设计（本部分共5个题，每题4分，满分20分）在进行“空间中直线与直线之间的位置关系”一课的教案设计时，应进行学习者和教学环境分析、确定教学目标与教学容、设计教学活动并选择合适的教学策略。下面是一份教案，请结合教案回答其中相应的问题。 一、教学容结构图 二、教学目标分析 ①能理解异面直线的定义； ②了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念； ③能正确理解等角定理，并会运用此定理进行相关的推理证明； ④通过对实际模型的认识，能将文字转化为图形和符号，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题；

⑤通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力； ⑥在学习空间中两直线间的位置关系时，逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、空间想象能力和思维能力。 第9题 (单选题)对于"共面直线的平行定理"所需达到的教学目标表述较为合理的是（）。 (4 分) A．仅要求学生能熟练背诵共面直线的平行定理 B．能熟练操作共面直线的平行定理 C．能较为准确的评价共面直线的平行定理 D．能理解共面直线的平行定理，并会运用此定理进行相关的推理证明 三、学习者特征分析 ①空间直线的三种位置关系在现实量存在，学生对他们已有一定的感性认识； ②学生善于抽象思维，并具有很强的空间想象能力； ③学生的思维比较活跃，能积极地参与讨论； ④相交直线和平行直线都是共面直线，学生对它们已经很熟悉； ⑤异面直线的概念学生非常熟悉。 第10题 (单选题)根据上述的学生特征分析，您认为下列哪个选项的分析是比较恰当的是（）。 (4 分) A．①、②、⑤比较符合高中一年级学生的实际情况 B．①、②、④比较符合高中一年级学生的实际情况 C．①、③、④比较符合高中一年级学生的实际情况 D．③、④、⑤比较符合高中一年级学生的实际情况 四、教学策略选择与设计 ①以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系； ②通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程，使学生理解平行公理和等角定理。 五、教学资源与工具设计 ①本节课多媒体演示文稿； ②高中新课程标准实验教科书《数学》（人教A版）必修2； ③一套三角尺作图工具。 第11题 (单选题)根据上述"教学资源与工具设计"，为很好地完成本次教学，教学环境中必备的教学设备是（）。 (4 分) A．多媒体计算机和投影设备 B．数码相机

空间两条直线的位置关系(1)【一等奖教案】 苏教版必修2

1.2.2 空间两条直线的位置关系（1） 教学目标： 1．了解空间两条直线的位置关系； 2．理解并掌握公理4及等角定理； 3．初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略. 教材分析及教材内容的定位： 本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用. 教学重点： 异面直线的定义，公理4及等角定理． 教学难点： 异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透. 教学方法：

变式：如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边 A B C D B A 1 C 1 B 1 D 1 A B C D E F

形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形EFGH 的形状还是平行四边形吗？ 例2 如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，求证：∠C 1E 1B 1 ＝∠CEB ． 2．练习. （1）若两直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系________________． （2）直线a 和b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a 和b 的位置关系是_________． （3）如果OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1，∠AOB ＝40o ，则∠A 1O 1B 1＝ ． （4）如图已知AA 1，BB 1，CC 1不共面，AA 1 BB 1，BB 1 CC 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1． A B C D E F G H A B C D E F G H 折叠 E 1 E A 1 C 1 B 1 D 1 A B C D ∥ ∥

空间直线与直线的位置关系

教学目标 ［知识与技能］ 通过学习能知道空间直线的三种位置关系； 初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角； 初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理． ［过程与方法］ 通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质． ［情感、态度与价值观］ 经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义，通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯．

重点、难点与关键点 重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．难点：异面直线概念的理解与求法． 关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角． 教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件．教学过程设计： 思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？ 设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯． 师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑 板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是：

板书：空间中直线与直线的位置关系 观察：如图2．1-13，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B1所在直线与线段BC 所在直线的位置关系如何？ （虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义为异面直线． 板书：1．异面直线的定义： 把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）． 概念辨析： 下列说法是否正确？请同学思考后回答：

高一数学空间两直线的位置关系知识点归纳

高一数学空间两直线的位置关系知识点归纳 高一数学空间两直线的位置关系知识点归纳 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： (1)共面：平行、相交 (2)异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法 两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法 2、若从有无公共点的`角度看可分为两类： (1)有且仅有一个公共点相交直线; (2)没有公共点平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

空间直线与直线之间的位置关系教案

..空间直线与直线之间的位置关系教案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角公理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2．过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣. （二）教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理. 难点：异面直线所成角的计算. （三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合； 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课导入 问题：在同一平面内，两条 直线有几种位置关系？空间的 两条直线还有没有其他位置关 系？ 师投影问题，学生讨论回答 生1：在同一平面内， 两条直线的位置关系有：平行 与相交. 生2：空间的两条直线 除平行与相交外还有其他位置 关系，如教室里的电灯线与墙 角线…… 师（肯定）：这种位 置关系我们把它称为异面直 线，这节课我们要讨论的是空 间中直线与直线的位置关系. 以旧导新 培养学生 知识的系 统性和学 生学习的 积极性. 探索新知 1．空间的两条直线位 置关系： 共面直线 异面直线：不同在任何一个平面 内，没有公共点. 师：根据刚才的分析，空 间的两条直线的位置关系有以 下三种：①相交直线—有且仅 有一个公共点 ②平行直线—在同一 平面内，没有公共点. ③异面直线—不同在 任何一个平面内，没有公共点. 随堂练习：现在大家思考一下这三种位置 关系可不可以进行分类 生：按两条直线是否 共面可以将三种位置关系分成 两类：一类是平行直线和相交 培养学生 分类的能 力，加深学 生对空间 的一条直相交直线：同一平面内， 有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内， 没有公共点