7状态空间设计法极点配置观测器

第7章线性定常离散时间状态空间设计法

7.1引言

7.2状态反馈配置极点

7.3状态估值和状态观测器

7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点

7.5扰动调节

7.6无差调节

7.1

引言

一个被控对象：

(1)()()()()

():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n

+=+??

=?????? 7.1

当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声

● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。

给d L (k )扰动

图7.1 控制系统示意图

根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。

伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。

7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点

工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈

()()()u k v k Lx k =+

7.2

如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得

(1)()()()()

()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+??

=??=+?

7.3

整理得

()(1)()()

()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++??

=?

7.4

(k )

v

(k )

图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点

闭环系统的特征方程为

[]det ()0zI F GL -+=

7.5

问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有

[]1det ()()0n

i i zI F GL z λ=-+=-=∏

7.6

定理：状态反馈配置极点

若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F , G ）是一个能达对（能达性矩阵

-1[...]N c W F G FG G =满秩）

，则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k =+下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根λ1, λ2, ..., λn 。

证明：略

在实际工程应用中，动态系统式7.1的阶数n 不会太高。在式7.6中L 是一个r 行n 列的矩阵，有nr 个待定参数，分别令式中等号左右的n 阶首一多项式的n 个系数对应相等，可得n 个线性方程。

当单输入单输出情况时，l 是一个n 元行向量，此时l 是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，L 是一个r 行n 列的矩阵，此时L 不是唯一的。

有限拍闭环控制器

当选择闭环系统的n 个特征根均为零，即λi =0，i =1，2，…，n ，则式7.6成为

[]det ()0n zI F GL z -+==

7.7

根据矩阵代数中的Cayley-Hamilton 定理，此时有

0n F =

7.8

上式表明，由任何扰动引起的状态偏差，系统都会在最多n 拍以内使之衰减为零。 关于有限拍控制器，有两点需要注意： ①

n 拍意味着过度过程不大于nT ，T 为采样周期。这一点似乎意味减小采样周期就可

以提高系统的动态速度。但是，减小采样周期同时意味着控制信号的幅值急剧增大。如果控制信号的幅值超出了系统允许的范围，实际上达不到预期的控制效果。因此，谨慎地选取采样周期非常重要。

②

就动态性能而言，离散时间系统中的零特征值（同时采样T 周期趋于零）等价于连

续时间系统中的特征值为 “-∞”，二者都是无法实现的。

7.3 状态估值和状态观测器

用一组代数运算器（无动态运算）通过状态反馈实现被控对象的动态特性任意配置，似

乎是一种很完美的控制方法。但是尚有几个非理想的因素需要解决。比如，

● 状态是否可以直接测得？ ● 是否可以实现无差调节？ ● 对扰动的调节能力如何？

工程控制中，状态反馈的实现需要被控对象的n 个状态可以实时测得。这一点对于一般的系统大多是不现实的。而在经典控制理论的输出反馈中，系统的输出总是可以检测的。

因此，能否实现通过状态反馈实现任意配置极点，首先需要设法实时获得n 个状态的值 7.3.1

全维观测器

假设被控对象式7.1的状态x 无法直接测得，一个合理的办法是人为地对x 进行重构，如

图7.3所示。重构系统具有和式7.1完全相同的结构、参数、和输入量，其状态记为?x

，输出记为?y

。 理论上讲，由于重构的系统和原系统结构和参数均完全相同，如果x 和?x 的初始状态也相同，则有?()()x

k x k =；由?x 取代x 进行状态反馈即可。实际上却存在三个问题： ● 一是对象中的扰动会改变其状态；

● 二是原系统可能存在稳定性问题，因而重构系统也会不稳定； ● 三是原系统参数可能并不太准确。

为了保证?()x

k 动态跟踪()x k ，引入输出误差?()()y k y k -的反馈 ()???(1)()()()()??()()x

k Fx k Gu k K y k y k y k Cx k +=++-???

=??

7.9

图7.3 全维观测器结构

化简后后得到

()??(1)()()()??()()x

k F KC x k Gu k Ky k y k Cx k +=-++???

=??

7.10

现在考虑（定义）估值误差

???()()()x

k x k x k =- 7.11

将式7.1和式7.10带入上式，得

()????(1)()x

k F KC x k +=- 7.12

显然，如果可以选择矩阵K 使得矩阵（F-KC ）具有稳定且足够小的特征值，??()x

k 就会足够快地趋于零；就是说，?()x

k 会足够快地趋于()x k 。 这就是渐进状态观测器，简称观测器。 定理：观测器的动态特性

若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F , C ）是一个能观对（能观性矩阵

1O ...

()T

T

T T T N T

W C

F C F C -=????满秩）

，则一定存在一个n 行m 列的输出反馈矩阵K ，使得状态观测器式7.10或式7.12具有任意给定的n 个期望的特征根γ, γ2, ..., γn 。

即有

[]1det ()()0n

i i zI F KC z γ=--=-=∏

7.13

就是说，总可以通过选取适当的矩阵K 使得观测器具有期望的稳定性 ?无论原来的系统式7.1是否稳定！

在上式中K 是一个n 行m 列的矩阵，有nm 个待定参数，分别令式中等号左右的n 阶首一多项式的n 个系数对应相等，可得n 个线性方程。

当单输入单输出情况时，K 是一个n 元行向量，此时K 是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，K 是一个n 行m 列的矩阵，此时K 不是唯一的。 式7.9的观测器与原系统式7.1具有相同的维数，因而称为全维观测器。 7.3.2

降维观测器（Luenberger 观测器）

观测器实际上是控制器的一部分。降低观测器的维数可以简化控制器的设计和实现。 降维观测器的思路是，式7.1中的输出y (k )中已经“直接”包含了部分状态x (k )的信息，这些对应的状态就可直接测得，只需对剩余无法测得的状态进行观测，观测器的维数就可降低，称为降维观测器。

假设输出矩阵C 是满秩的，则一定存在一个相似变换

12()()()()x k x k Px k x k ??

==????

7.14

其中，1()x k 和2()x k 分别为n-m 维和m 维。

于是，式7.1成为

11111212221122122(1)()()(1)()()()[0]()()x k x k F F G u k x k x k F F G x k y k I x k x k ?+????????=+?????????+?????????

?

???

==???

???

7.15

展开得

11111221221112222

(1)()()()

(1)()()()()()x k F x k F x k G u k x k F x k F x k G u k y k x k ?+=++?

+=++??=? 7.16

对应有

111122112112[0]F F F P FP F F C CP I B G P G B --???

==??

???

?

?

==??

??

?==??????

7.17

注意到2()()y k x k =，已经直接得到了2()x k 的估值，即

2?()()x

k y k = 7.18

为了对1()x k 设计观测器，令1()x k 子系统的输出为

()()

121122222222()()

(1)()()(1)()()y k F x k x k F x k G u k y k F y k G u k ==+-+=+-+ 7.19

则待观测的1()x k 子系统成为

()111112211

211222(1)()()()

()()(1)()()x k F x k F x k G u k y k F x k y k F y k G u k ?+=++??

==+-+?? 7.20

仿照式7.10对上式中的1()x k 设计n-m 维降维观测器，得

()

1111122111112112????(1)()()()()()??()()?

()()x k F x k F x k G u k K y k y k y k F x k x k y k ?+=+++-??=??=??

7.21

将式7.20带入上式，得

()()()11112111121212212??(1)()()()(1)?()()

x k F K F x k G K G u k F K F y k K y k x k y k ?+=-+-??

+-++?

?=?? 7.22

将上式用结构图表示如下图7.4。图中有一个增序算子z ，将该支路移到减序支路之后（必

须在反馈分支之前，为什么？）二者相互抵消；相应的状态改记为1?()w

k ；再考虑线性变换式7.14，最后得到x (k )的状态估值?()x

k ；如图7.5所示。

)

图7.4 降维观测器式7.23的结构

u

图7.5 降维观测器式7.23的等效简化

再对上图进行简化，将K 1输入支路移到反馈分支之后，最后得降维状态观测器动态方程如下式，亦如下图7.6所示。

()()()1111211112121221112111111??(1)()()()??()()()

?()?()()w k F K F w k G K G u k F K F F K F K y k x k w k K y k x k x k P y k ?+=-+-????+-+-???

?=+?

???

=?

?????

7.23

得到x (k )的状态估值?()x k 后，即可实现7.2节中由式7.2定义的状态反馈以实现极点配置，

示于图7.8。

图7.6 降维观测器

关于降维观测器有如下定理： 定理：降维观测器的动态特性

若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F , C ）是一个能观对，并且C 是满秩的，则一定存在一个相似变换阵P ，经式7.14变换得到式7.15或7.16。对此一定可以构成如式7.23所示的n-m 维降维观测器，其n-m 个观测器特征值可以通过选择(n-m )m 维矩阵L 1进行任意配置，即任给n-m 个特征值ε1, ε2, ..., εn-m , 一定存在L 1使得

111211det ()()0n m

i i zI F L F z ε-=??--=-=??∏

7.24

证明：略

当C 非满秩时，设其秩为m 1

在式7.24中L1是一个(n-m)m的矩阵，有(n-m)m个待定参数，一般其解不是唯一的。

构成降维观测器的方法很多，并不限于上述方法。

有限拍观测器

无论对式7.11的全维观测器或式7.23的降维观测器，当选择其特征根均为零时，即得其有限拍观测器。

7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点

通过全维或降维观测器得到状态估值后，就可以利用状态估值构成状态反馈以配置极点。如图7.7和7.8所示。

v(

图7.7 利用全维观测器构成状态反馈

图7.8 利用降维观测器构成状态反馈

现在的问题是，利用状态估值构成的状态反馈系统的动态特性如何？下面以全维观测器为例进行分析。

与图7.7对应的系统方程由式7.1，7.2和7.10共同组成，是一个2n 维系统。如下式

()(1)()()

()()???(1)()()()()??()()?()()()x k Fx k Gu k y k Cx k x k Fx k Gu k K y k y k y k Cx k u k v k Lx

k +=+??=??

+=++-??=?

?=+? 7.25

改写为

(1)()()??(1)()()()[0]?()x k F GL x k G v k x k KC F KC GL x k G x k y k C x k +?????????

=+?????????+-+?????????

?

???=??????

7.26

对上式进行相似变换，并不影响系统的特征值

()()0()0???()()()?()x k x k I

x k I

x k I I x k x k I I x k ??

????????==??????????---?????

????

???

7.27

得到

(1)()()??00??(1)()()()[0]??()x k x k F GL GL G v k F KC x k x k x k y k C x k ?+????+-????=+?????????-+????????

??????

???

=????????

7.28

考虑到式7.6和式7.13，上式的特征方程为

()()11

det det ()det ()0()

()0

n

n

i i

i i F GL GL zI zI F GL zI F KC F KC z z λγ==+-????-=-+-- ???-???

?=--=∏∏ 7.29

其中，λi 和γi ，i=1，2，…，n ，分别为由状态反馈阵L 和状态估值反馈矩阵K 决定的闭环系统极点和观测器极点。

求式7.28从输入v (k )到输出y (k )的传递函数，有

1

1

1()[0]00()[0]0()0[()]F GL GL G H z C zI F KC zI F GL GL G C zI F KC C zI F GL G

---+-??????=-??????-?????

?-+????=????--????=-+

7.30

可见其从输入到输出的传递函数完全由状态反馈的几点决定，无观测器的极点。 无关因此有如下定理： 定理：分离特性

当由全维（降维）状态观测器得到的状态估值实现状态反馈配置极点时，2n 维（2n -m 维）系统有2n 个（2n -m 个）极点；由状态反馈阵L 确定的n 个闭环极点和由状态估值反馈矩阵K （K 1）决定的n 个（n -m 个）观测器极点，相互独立，互不影响。由状态反馈阵L 任意配置的n 个闭环极点决定系统从输入到输出的传递函数；由状态估值反馈矩阵K （K 1）决定的n 个（n -m 个）观测器极点决定着状态估值趋于系统真实状态的速度。

观测器极点对对闭环系统特性的影响

由式7.13可知，观测器的估值误差由观测器的极点决定。可以想象，如果观测器的响应速度很慢，则由此得到的估值将会较大的偏离实际系统的状态。必然会影响闭环系统的动态特性。一般来说，有以下设计原则：

● 观测器的响应速度应该明显快于闭环系统（传递函数）的响应速度。

● 观测器的响应速度（频带）也不能太宽，应保证噪声频带在观测器的频带之外。 观测器等效为动态校正环节

以图7.7的全维观测器为例，其可以看成是以被控对象的输入u (k )和输出y (k )为其输入，

以?()x

k 为其输出。于是，观测器可以等效为两个传递函数H u (z )和H y (z )，如图7.9所示。

v (

图7.9 状态观测器构等效为动态校正

其中，

()()1

111

1

()()()()()

()

u y H z L zI F zI KC zI F G

H z L zI F zI zI F KC K

-----=---=--- 7.31

可有如下一般性的结论：

① 利用状态观测器实现状态反馈控制规律时，观测器与经典控制理论中的动态校正环节等效，二者本质上是一致的。

② 为了达到同样的校正目的，一般来说用观测器会比使用经典校正法更为简单些，例如阶数可以更低些。

③ 上述所谓的等效仅仅是输入输出意义下的，其内部模态不一定等效。

④ 利用状态观测器实现状态反馈控制规律时，使用了系统内部的更多信息，一般来说对系统设计的任意性更大些。

⑤ 经典的校正方法是以开环特性间接把握闭环特性，而利用状态观测器实现的反馈控制规律是直接把握闭环极点。

但是，基于观测器的闭环设计方法也还有很多局限性，比如，如何实现无差调节，如何对扰动调节特性进行设计，等。

下面讨论这些问题。

以下两节内容仅供同学们参考，尚有相关问题需要进一步研究。

7.5 扰动调节

再来回顾图7.1，图中的扰动可能是负载扰动、环境扰动、甚或是参数扰动，或其它扰动。

扰动的加入点可能在输入端、输出端或模型内部。扰动可能引起输出的动态偏差和稳态偏差。在经典控制理论中可以对扰动进行反馈控制或前馈控制，可以通过积分调节消除扰动的稳态误差。

本节讨论在状态空间模型下通过观测器对扰动进行估值和前馈控制，下一节讨论扰动的误差调节。

假设输入端有r 维扰动d (k )，包含扰动的被控对象如下图7.10所示。

)

图7.10 扰动前馈控制与状态反馈配置极点示意图

当输出端或模型内部存在扰动时，不失一般性，一般总可以等效向前移动，并入d (k )中。 在式7.1中考虑扰动d (k )，有

(1)()()()

()()x k Fx k Gu k Gd k y k Cx k +=++??

=?

7.32

一般来说，做如下假设是合理的：

扰动的频带远小于闭环系统的频带。就是说闭环系统的动态调节速度要比扰动的变化速度快得多。在这一假设下，有理由做式7.33的假设。该假设的工程意义是，由于扰动变化缓慢，使得任意相邻两个采样点上的扰动值近似不变。既有

(1)()d k d k +=

7.33

式7.32和7.33联立，得到一个状态扩充的系统方程

(1)()()

()()x k Fx k Gu k y k Cx k ?+=+??

=??

7.34

其中，

[]22222()2()()(),,00()00,r n n n r

m n G F G x k x k F G I d k C C n n r ???

???????===???????

??????????

?==+?

7.35

为了得到d (k )状态估值?()d

k ，首先研究式7.35的可观性。其可观性矩阵为 22222O 12

1()()0.........[...]n n n n n mn n C C CF CI G CF W CF C F F I G CF ---????

????????==????????+++?

??? 7.36

如果上式是满秩的，则可以构成一个全维或降维的渐近观测器，得到()x k 的状态估值

?()x

k 。其中包括?()d k ，仍如图7.10所示。 对于扰动?()d k ，采用前馈补偿控制。取前馈补偿控制系数为“-I r ”，则理论上可以实现扰动全补偿。即由于有

?()()d

k d k = 7.37

因此?()d

k 支路和d (k )支路的影响相互抵消，不对输出产生影响。这就是基于扰动观测器的扰动前馈补偿控制。

事实上，观测器是一个渐近观测器。即考虑观测器的动态速度不会无限快，?()d k 总会比d (k )略微滞后，全补偿只是近似的。

利用对状态的估值?()x

k ，即可以实现状态反馈配置极点。亦示于图7.10中。 7.6 无差调节

由上节可知，通过扰动前馈补偿，可以消除负载等扰动对系统输出的影响。但是前馈补

偿属于开环控制，由于参数的变化或不准确，都会影响补偿控制的效果。

为了得到稳态无差调节的特性，现在只考虑标量系统，即单输入单输出系统，亦即，m =r =1。当考虑多输入多输出系统时，涉及到解耦问题，要复杂一些，这里不再讨论。

考虑如下标量纯积分系统

(1)()()s k s k e k +=+ 7.38

当达到“稳态”时，一定有下式成立。

(1)(),()0

s k s k e k +== 7.39

再令

()()()e k v k y k =-

7.40

将式7.1、式7.38及7.40联立，得到

(1)()()(1)()()()()()()()

x k Fx k gu k s k s k e k e k v k y k y k cx k +=+??+=+?

?

=-??=? 7.41

整理后得下式。其中，u (k )是反馈控制向量，v (k )是给定控制指令向量。

(1)0()0()()(1)1()01()()[0]()x k F x k g u k v k s k c s k x k y k c s k ?+??????????=++???????????+-???????????

?

??

?=??????

7.42

在上式中，如果如下可控性判别矩阵满秩，

21(1)(1)

0()(...)n c n n n n n G Fg

F g F g

W cg

c F I g

c F F I g -++??=?

?

--+-+++?

? 7.37

则根据状态反馈配置极点的定理，一定存在一个1行n +1列的反馈矩阵l ，使得上述n +1维系统的全部极点可以任意配置。

再同时考虑状态和扰动观测器，以及扰动前馈控制，其系统结构图一并示于图7.11中。

图7.11 无差控制系统示意图

实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计(优.选)

实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计 一、实验目的 1. 加深对状态反馈作用的理解。 2. 学习和掌握状态观测器的设计方法。 二、实验原理 在MATLAB 中，可以使用acker 和place 函数来进行极点配置，函数的使用方法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 [K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。 三、实验内容 1.已知系统 （1）判断系统稳定性，说明原因。 （2）若不稳定，进行极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进行极点配置？ （4）使用状态反馈进行零极点配置的前提条件是什么？ 1. （1） （2） 代码： a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1]; b=[1,1,1]'; p=[-1,-2,-3]'; K=acker(a,b,p) K = -1 2 4 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进行极点配置?

在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进行简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。 (4)使用状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。 2.已知系统 设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。 （1）给出原系统的状态曲线。 （2）给出观测器的状态曲线并加以对比。（观测器的初始状态可以任意选取）观察实验结果，思考以下问题： （1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。 （2）说明观测器的引入对系统性能的影响。 （1）A=[0 1;-3 -4]; B=[0;1]; C=[2 0]; D=[]; G=ss(A,B,C,D); x=0:0.001:5; U=0*(x<0)+1*(x>0)+1*(x==0); X0=[0 1]'; T=0:0.001:5; lsim(G,U,T,X0);

基于极点配置的控制器设计与仿真

计算机控制理论与设计作业 题目：基于极点配置方法的直流调速系统的控制器设计

摘要 本文目的是用极点配置方法对连续的被控对象设计控制器。基本思路是对连续系统进行数学建模，将连续模型进行离散化，针对离散的被控对象，用极点配置的方法分别在用状态方程和传递函数两种描述方法下设计前馈和反馈控制器，并用MATLAB仿真。文中具体以直流调速系统作为研究对象，对直流调速系统的组成和结构进行了分析，把各个部分进行数学建模，求出其传递函数，组成系统结构框图，利用自控原理的知识对结构图化简，求出被控对象的传递函数和状态方程，进一步得将其离散化。第一种是通过极点配置设计方法的原理，用状态方程设计被控对象的控制律，因为直流调速系统存在噪声，实际状态不可测，故选择了全阶的观测器，又因为采样时间小于计算延时，所以选择了预报观测器。利用所学知识对此闭环系统设计前馈和反馈控制器[1]。第二种利用传统的离散传递函数，从代数多项式的角度进行复合控制器的设计，在保证系统稳定的情况下，分析系统的可实现性，稳定性，静态指标，动态指标，抗干扰等方面性能研究前馈反馈相结合控制器设计。重点是保证被控对象的不稳定的零极点不能被抵消。最后利用MATLAB的Simulink进行仿真，观察系统的输出的y和u和收敛性，并加入扰动看其抗干扰性能，得出结论。 经研究分析，对于直流调速系统，基于极点配置设计的前馈反馈相结合的控制器，具有良好的稳定性能和抗干扰性能。运行结果符合实际情况。 关键词：极点配置；状态方程；直流调速系统；代数多项式；Matlab；

1绪论 1.1论文的背景及意义 在工业生产和日常生活中，自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，确定性系统是指系统的结构和参数是确定的，确定的输入下，输出也确定的一类系统。确定性系统相对于不确定性系统而言的。在确定的系统中所用的变量都可用确切的函数关系来描述，系统的运动特性可以完全确定。以确定性系统为研究对象的控制理论称为确定性控制理论。本文以直流调速系统为研究对象，利用极点配置的设计方法，包括利用状态空间模型和传递函数模型分别描述线性系统，采用闭环极点为指标的控制器设计的理论和方法，设计出前馈和反馈控制器，组建闭环控制系统，用Matlab进行仿真可以逼真地还原出实际系统。 1.2 论文的主要内容 本文直流电机的调速系统的模型作为研究对象，利用线性系统极点配置的设计方法，设计前馈反馈控制器。论文研究的主要内容: (1)阅读学习国内外期刊文献，研究了极点配置的基本原理和Matlab的实现方法。 (2)系统的说明直流电机的系统结构和工作原理并分析，建立直流调速系统的数学模型，将其进行离散化，并讨论其传递函数与状态方程之间的关系。 (3)分析极点配置控制器的设计原理，利用状态方程设计控制器。 （4）将被控对象的传递函数离散化，利用传递函数模型设计控制器。 (4)在MATLAB中建立闭环直流调速系统的模型，根据闭环极点配置的设计步骤编写程序，用Simulink搭建仿真系统，对闭环直流调速系统的输出进行仿真分析。 (5)对仿真结果分析。将仿真结果与实际直流调速系统的阶跃响应的各项参数相比较，得出结论。

倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告

《现代控制理论》实验报告 状态空间极点配置控制实验 一、实验原理 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。 １．状态空间分析 对于控制系统X = AX + Bu 选择控制信号为：u = ?KX 式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量） A n × n维常数矩阵 B n ×1维常数矩阵 求解上式，得到 x(t) = (A ? BK)x(t) 方程的解为： x(t) = e( A?BK )t x(0) 状态反馈闭环控制原理图如下所示： 从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。 ２．极点配置的设计步骤 1) 检验系统的可控性条件。 2) 从矩阵 A 的特征多项式 来确定 a1, a2,……,an的值。 3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW 其中 M 为可控性矩阵， 4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式 5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定： 二、实验内容 针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。 三、实验步骤及结果 1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输 入的系统状态方程为： 可以取1 l 。则得到系统的状态方程为： 于是有：

直线一级倒立摆的极点配置转化为： 对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比? = 0.5）。 2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。 方法一：按极点配置步骤进行计算。 1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。 倒立摆极点配置原理图 2) 计算特征值 根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为 2 秒），我们选取期望的闭环极点s =μi (i = 1,2,3,4) ，其中： 其中，μ 3,μ 4 使一对具有的主导闭环极点，μ 1 ,μ 2 位于 主导闭环极点的左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为： 因此可以得到： 由系统的特征方程： 因此有 系统的反馈增益矩阵为： 3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW 式中： M = 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.7500 0 5.5125 0.7500 0 5.5125 0 W = 0 -7.3500 -0.0000 1.0000 -7.3500 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 于是可以得到： T = -7.3500 -0.0000 1.0000 0 0 -7.3500 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 0.7500 0 -0.0000 0 -0.0000 0.7500 T’= -7.3500 0 0 -0.0000 -0.0000 -7.3500 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0.7500 -0.0000 0 1.0000 0 0.7500

基于输出反馈的区域极点配置

第22卷第2期南　京　理　工　大　学　学　报Vol.22No.21998年4月　Journal of Nanjing University of Science and Technology Apr.1998 基于输出反馈的区域极点配置 X 王子栋X X 郭　治 (南京理工大学信息学院,南京210094)摘要　该文研究输出反馈情形下线性定常连续及离散系统区域极点配置的统一代数刻划问题,即利用完全参数化方法,设计输出反馈控制器,使闭环极点配置于指定圆形区域内。文中导出了期望输出反馈控制器存在的充要条件,并进一步给出了这类控制器的全部参数化刻划。最后,得到了若干有益的推论,包括线性离散及连续系统稳定化控制器的统一代数表示等。 关键词　线性系统,输出反馈,极点配置,参数法,代数刻划 分类号　TP 202.1,T P 214.1 众所周知,线性定常系统的稳态及动态特性直接受其极点所在位置的影响,因而极点配置问题一直是控制理论研究中基本而重要的课题之一,其在工程实践中也具有明显的应用背景,如飞行控制系统的设计以及柔性结构的振动控制等[1]。迄今为止,精确极点的配置问题已得到了很好的研究。在过去的十年中,区域极点的配置问题也开始受到充分的注意,涌现出一批成果[2][3]。 目前,区域极点配置的相关文献中的大部分均是针对某性能指标给出具体的设计方法,且均集中于状态反馈情形,缺乏一定的通用性。本文对连续及离散线性定常系统使用统一的代数方法,给出了配置闭环极点至给定圆形区域的输出反馈控制器的全部参数化刻划,为区域极点配置问题提供了一条具有理论意义及应用价值的新途径。 1　问题的描述 考虑线性定常连续系统x a (t )=A x (t )+B u (t ),y (t )=Cx (t )及线性定常离散系统x (k +1)=A x (k )+Bu (k ),y (k )=Cx (k ),其中x ∈R n 为状态,u ∈R m 为控制输入,y ∈R p 为测量输出,A 、B 、C 为适维已知常数阵。(A ,B )及(A ,C )分别为可控和可观的。 考虑圆形区域D (A ,r ),其中在连续时间情形D (A ,r )表示圆心在A +j 0(A <0)处、半径为r (r <-A )的圆,在离散时间情形D (A ,r )表示单位圆内圆心位于A +j 0、半径为r 的圆。这里均考虑复平面。 X X XX 王子栋　男　32岁　副教授 国家自然科学基金及高校博士学科点专项科研基金资助项目 本文于1997年1月14日收到

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计 14122156 杨郁佳 （1）倒立摆的运动方程并将其线性化 选取小车的位移z ，及其速度z g 、摆的角位置θ及其角速度θg 作为状态变量，即T x z z θθ??=??? ?g g 则系统的状态空间模型为 01000100000010()1000mg M M x u M m g Ml Ml x ????????????-????=+????????+-????????????g []1000y x = 设M=2kg ，m=0.2kg ，g=9.81m/2 s ，则单级倒立摆系统的状态方程为 (1010) 01010 01020.500013030 011040.54x x x x u x x x x ??????????????????-????????=+????????????????-???????????? []12100034x x y x x ???? ??=?????? （2）状态反馈系统的极点配置。 首先，使用MATLAB ，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 MATLAB 程序如下：

A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0]; B=[0; 0.5; 0; -0.5]; C=[1 0 0 0]; D=0; rct=rank(ctrb(A,B)) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) MATLAB程序执行结果如下： 系统能控，系统的极点为 1=0 λ 2=0 λ 3=3.3166 λ 4=-3.3166 λ 可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在 1=-3 λ* 2=-4 λ* 3=-5 λ* 4=-6 λ*

7状态空间设计法极点配置观测器解析

第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节

7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点

基于极点配置方法的直流电机转速控制系统设计

摘要 建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。建模是控制理论中所要解决的第一个问题。控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。设计控制系统是控制理论的核心内容。在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。在非线性系统中，我们用到了微分几何。可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。 本报告首先介绍了直流电动机的物理模型, 并测量计算了它的具体参数。然后根据牛顿第二定律和回路电压法分别列写运动平衡方程式和电机电枢回路方程式，从而通过一些数学变换抽象出了以电压为输入、转速为输出、电流和转速为状态变量的数学模型。通过对抽象出来的模型进行性能分析，确定需要使用状态观测器来修正系统。继而借助MATLAB软件对转速环进行了状态反馈控制器的设计，使系统的阶跃响应达到了设计指标。 关键词：建模控制理论设计控制系统直流电动机转速状态反馈控制器

1 系统的物理模型、参数及设计要求 -------------------- 4 1.1 系统模型 ------------------------------------- 4 1.2 系统参数 ------------------------------------- 5 1.3 设计要求 ------------------------------------- 5 2 系统模型的建立------------------------------------ 6 2.1 模型抽象 ------------------------------------- 6 2.2 所建模型的性能分析 --------------------------- 7 3 系统状态观测器的设计----------------------------- 11 3.1 期望配置的极点的确定以及状态观测器的设计----- 11 3.1.1 第一组极点配置-------------------------- 11 3.1.2 第二组极点配置-------------------------- 11 3.2 状态观测器的设计 ---------------------------- 12 3.2.1 第一组极点------------------------------ 12 3.2.2 第二组极点------------------------------ 14 3.3 状态观测器的仿真图 -------------------------- 16 3.4 原系统加了状态观测器后的仿真结果图及分析----- 17 3.4.1 第一组极点------------------------------ 17 3.4.2 第二组极点------------------------------ 18 4 状态观测器极点配置与PID方法的比较 --------------- 20 4.1 直流电机转速、电流PID控制的设计------------- 20 4.2 两种方法的比较 ------------------------------ 21

状态反馈与状态观测器

实验七 状态反馈与状态观测器 一、实验目的 1. 掌握用状态反馈进行极点配置的方法。 2. 了解带有状态观测器的状态反馈系统。 二、实验原理 1. 闭环系统的动态性能与系统的特征根密切相关，在状态空间的分析中可利用状态反馈来配置系统的闭环极点。这种校正手段能提供更多的校正信息，在形成最优控制率、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦等方面获得广泛应用。在改善与提高系统性能时不增加系统零、极点，所以不改变系统阶数，实现方便。 2. 已知线形定常系统的状态方程为 x Ax Bu y cx =+=为了实现状态反馈，需要状态变 量的测量值，而在工程中，并不是状态变量都能测量到，而一般只有输出可测，因此希望利用系统的输入输出量构成对系统状态变量的估计。解决的方法是用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态向量 ?()x t 作为系统状态向量()x t 的估值。状态观测器的状态和原系统的状态之间存在着误差，而引起误差的原因之一是无法使状态观测器的初态等于原系统的初态。 引进输出误差?()()y t y t -的反馈是为了使状态估计误差尽可能快地衰减到零。状态估计的误差方程为 误差衰减速度，取决于矩阵（A-HC ）的特征值。 3. 若系统是可控可观的，则可按极点配置的需要选择反馈增益阵k ，然后按观测器的动态要求选择H ，H 的选择并不影响配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理称为分离定理。 三、实验内容 1. 设控制系统如6.1图所示，要求设计状态反馈阵K ，使动态性能指标满足超调量%5%σ≤，峰值时间0.5p t s ≤。

倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。 关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真 引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器 1．数学模型的建立 倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 1.1微分方程的数学模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：

图1：直线一级倒立摆模型 设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置 Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本

一. 极点配置原理 假设原系统的状态空间模型为： ???=+=Cx y Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且： 这时，闭环系统的状态空间模型为： ()x A BK x Bv y Cx =-+?? =? 二. 状态观测器设计原理 假设原系统的状态空间模型为： ???=+=Cx y Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且： ??(y y)??x Ax Bu G y Cx ?=++-??=?? 设?x x x =-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =- 解得： (A GC)t (0),t 0x e x -=≥ 由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样 x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量?x 就能够渐进地逼近实际状态向量x 。状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。 三. 状态观测的实现 为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。 u Kx v =-+

证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得 2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cx y CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x -----=??-=??--=????----=? 将等号左边分别用z 的各分量12,, ,n z z z 表示，有 121(n 1)(n 2)(n 3) 2 n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----?? ???????? -?? ????? ? ? ?????==--==?? ????????????????????----?? ? 如果系统完全能观，则 rankQ n = 即 1?(Q Q)T T x Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变 换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量?x 。也就是说系统完全能观，状态就能被系统的输入输出以及各阶倒数估计出来。 四. 实例 给定受控系统为 再指定期望的闭环极点为12,341,1,2i λλλ*** =-=-±=-，观测器的特征值为 12,33,32i λλ=-=-±，试设计一个观测器和一个状态反馈控制系统，并画出系统 的组成结构图。 []0100000101000100 05 021000x x u y x ???? ????-????=+????????-???? =

基于MATLAB的状态观测器设计

基于MATLAB 的状态观测器设计 预备知识： 极点配置 基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。 1. 极点配置原理 假设原系统的状态空间模型为： ???=+=Cx y Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且： Kx u input -= 这时，闭环系统的状态空间模型为： ???=+-=Cx y Bu x )BK A (x 2. 极点配置的MATLAB 函数 在MATLAB 控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。调用格式为： K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统 其中：A ，B 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量。 K=place(A,B,P) (K,prec,message)=place(A,B,P) place()用于单输入或多输入系统。Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。 3. 极点配置步骤： （1）获得系统闭环的状态空间方程； （2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P ； （3）利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； （4）检验系统性能。 已知系统模型 如何从系统的输入输出数据得到系统状态？

初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。 不足：初始状态不精确，模型不确定。 思路：构造一个系统，输出逼近系统状态 称为是的重构状态或状态估计值。实现系统状态重构的系统称为状态观 测器。 观测器设计 状态估计的开环处理： 但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！ 应用反馈校正思想来实现状态重构。 通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。 基于观测器的控制器设计 系统模型 若系统状态不能直接测量， 可以用观测器来估计系统的状态。 L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。 真实状态和估计状态的误差向量 误差的动态行为：

控制系统的极点配置实验报告

课程名称： 控制理论乙 指导老师： 姚唯 成绩： 实验名称： 控制系统的极点配置 实验类型： 同组学生姓名： 郁明非 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1．掌握全状态反馈系统的极点配置方法 2．在Simulink 仿真环境中，研究极点配置对系统特性的影响 二、实验内容和原理 （一）实验内容 1．一被控对象，其传递函数为 ) 3)(2)(1(10 )(+++= s s s s G 设计反馈控制器u=-kx ，使闭环系统的极点为3221j +-=μ，3222j --=μ，103-=μ。 2． 在Simulink 仿真环境下，用基本环节组成经过极点配置后的系统，通过图形观察环节，观察系统的各点响应。 （二）实验原理 对一给定控制系统如果其状态完全可控，则可进行任意极点配置即通过设计反馈増益K 使闭环系统具有期望的极点。极点配置有二种方法：第一种方法是采用变换矩阵T ，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K ；第二种方法基于Caylay-Hamilton 理论，通过矩阵多项式φ（a），可求出K （这种方法称为Ackermann 公式）。在MATLAB 中，利用控制系统工具箱函数place 和acker 进行极点配置设计。 三、主要仪器设备 一台PC 电脑，matlab 仿真软件，simulink 仿真环境 四、实验源代码及实验结果

function jidianpeizhi num=[10]; den=[1,6,11,6]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10]; K=place(A,B,J); K sys=ss(A-B*K,[0;0;0],eye(3),0); t=0::4; X=initial(sys,[1;0;0],t); x1=[1,0,0]*X'; x2=[0,1,0]*X'; x3=[0,0,1]*X'; subplot(3,1,1); plot(t,x2); grid on; title('Reponse to initial condition'); ylabel('x1'); subplot(3,1,2); plot(t,x2); grid on; ylabel('x2'); subplot(3,1,3); plot(t,x3); grid on; ylabel('x3'); xlabel('t(sec)');

状态空间设计与分析

状态空间分析及设计 姓名：周海波 学号：200740297(15) 班级：自控实验0701班 日期：2010-5-2

目录 一．系统能控性和能观性判定 二．主导极点法进行状态反馈极点配置 三．对称根轨迹法（SRL）进行状态反馈极点配置 四．主导极点法和SRL状态反馈极点配置对比 五．全维观测器设计和分析 1.观测器设计 2.分离定理验证 六．带全维观测器的状态反馈与直接状态反馈对比 七．降阶观测器和带降阶观测器的状态反馈系统的设计和分析八．全维观测器的状态反馈与降阶观测器的状态反馈对比 1.抗过程干扰能力 2.抗测量噪声能力 九．采用内模原则设计状态反馈系统 1.跟踪性能分析 2.抗干扰性能分析

状态空间分析及设计 有以下系统 122201101011x x μ ???????????=?+?????????????i []100y x =要求：对系统设计状态反馈使得系统闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态误差值为1%范围内的调节时间小于4.6s. 一．系统能控性和能观性判定 由系统能控性判别矩阵： 224001013115rank B AB A B rank ???????==????????? 由系统能观性判别矩阵：21001223142C rank CA rank CA ????????=???=????????????? 所以系统既是能控的又是能观的。 二．主导极点法进行状态反馈极点配置1.当 4.61% 4.6s n t s ζω?== <%5%e πζσ?=<解得：0.691n ζζω>??>?取0.75 2n ζω==则：2222340 n n s s s s ζωω++=++=所以1,2 1.5 1.323s j =?±，取非主导极点38s =?，则期望特征多项式为： 232(34)(8)112832 s s s s s s +++=+++设[]123K k k k =又

系统稳定性分析 、利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器

实验报告 实验名称系统稳定性分析、利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器系专业班 姓名学号授课老师 预定时间实验时间实验台号 一、目的要求 掌握系统稳定性的概念。学会使用MATLAB确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。 掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。 掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。学会用MATLAB求解状态反馈矩阵。 掌握状态观测器的设计方法。学会用MATLAB设计状态观测器。 熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。 二、原理简述 函数eig()的调用格式为V=eig(A)返回方阵A的特征值。 函数roots()的调用格式为roots(den)，其中den为多项式的系数行向量。计算多项式方程的解。 函数pole()的调用格式为pole(G)，其中G为系统的LTI对象。计算系统传递函数的极点。 函数zpkdata()的调用格式为[z,p,k]=zpkdata(G,’v’)，其中G为系统LTI对象。返回系统的零点、极点和增益。 函数pzmap()的调用格式为pzmap(G)，其中G为LTI对象。绘制系统的零点和极点。 对于线性定常连续系统x Ax，若A是非奇异矩阵，则原点是其唯一的平衡状态。统在原点处大范围渐近稳定的充分条件是：存在李氏函数v(x)x T px，且v(x)正定，v(x)负定。 如果SISO线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈,将闭环系统极点配置到 任意期望的位置。 MATLAB提供的函数acker()是用Ackermann公式求解状态反馈阵K。 MATLAB提供的函数place()也可求出状态反馈阵K。 如果线性定常系统完全能观测，则可构造全维（基本）观测器。全维（基本） 状态观测器的状态方程为观测器的反馈矩阵L为 其中为系统的能观测矩阵。 其中为期望的状态观测器的极点。观测器设计是极点配置的对偶问题，故可利用函数acker()和place()进行求解。

控制系统的极点配置设计法

控制系统的极点配置设计法 一、极点配置原理 1.性能指标要求 2.极点选择区域 主导极点： 2 11 1 cos tan ξ βξ ξ -- - == 图3.22 系统在S平面上满足 时域性能指标的范围 n s t ζω 4 = ；当Δ=0.02时，。 n s t ζω 3 = 当Δ=0.05时,

3.其它极点配置原则 系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2） ；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为 135 1 451s n s t t =?≤ ξω 式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。 图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。因为它衰减得最慢。其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。因此，对系统过渡过程进行近似分析时。可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。 n x o (t) （a ） （b ） 系统极点的位置与阶跃响应的关系

二、极点配置实例 磁悬浮轴承控制系统设计 1.1磁悬浮轴承系统工作原理 图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。 （a）（b） 图1 磁悬浮轴承系统的工作原理 Fig.1 The magnetic suspension bearing system principle drawing 假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。反之，当转子受到一个向上的扰动并向上运动，此时控制器使得功率放大器的输出电流由I0，减小到I0-i，电磁铁的吸力变小了，转子也能返回到原来的平衡位置。因此，不论转子受到向上或向下的扰动，都能回到平衡状态。这就是主动磁轴承系统的工作原理。即传感器检测出转子偏移参考点的位移，作为控制器的微处理器将检测到的位移信号变换成控制信号，然后功率放大器将这一控制信号转换成控制电流，控制电流在执行磁铁中产生磁力从而使转子维持其悬浮位置不变。悬浮系统的刚

基于极点配置的横滚自动驾驶仪设计

基于极点配置的横滚自动驾驶仪设计 文章基于尾舵控制的弹体，采用极点配置设计方法，建立了控制参数与开环穿越频率，阻尼比及零极点比值的解析关系。在综合考虑执行机构带宽及相位裕度的约束的前提下，完成横滚自动驾驶仪设计。仿真结果表明系统时域响应品质良好，具备良好的稳定裕度，文章提出的设计方法有效。 标签：极点配置；横滚自动驾驶仪；穿越频率 同时四代机为实现隐身的目的，导弹需内埋弹射发射，在初始弹射段，导弹位于载机机腹下，载机流场复杂，面临严重的干扰力矩，这都对导弹的横滚控制的稳定性、快速性及无静差控制提出了严格的要求[1]。 文章针对尾舵控制导弹，设计了一种无静差快响应两回路横滚控制自动驾驶仪。利用简化的三阶横滚自动驾驶仪，采用极点配置方法，综合考虑执行机构带宽及稳定裕度约束的前提下，完成横滚自动驾驶仪的设计，实现横滚无静差控制，给出导弹典型空域的设计结果及线性化仿真结果。 1 横滚自动驾驶仪设计 忽略执行机构、速率陀螺及结构滤波器的动态特性，横滚自动驾驶仪为三阶系统，其简化的结构框图如图1所示： 自动驾驶仪待设计参数包含内回路角速度反馈增益Ig，PI控制器参数Ki，Kg。 从（6）式可以看出，通过理想极点配置方法，横滚控制增益大小与弹体气动特性c1、c2、系统开环截止频率？棕cr、实零点与实极点大小比值？浊及阻尼比？孜有关。c1、c2为弹体本体特性，决定于导弹的气动外形。通过相关公式可知？浊为略大于1的数值，对于横滚控制来说，阻尼？孜通常取为0.9左右，因此最终横滚控制增益的计算取决于系统开环截止频率的选取。 对于简化的三阶横滚自动驾驶仪开环穿越频率选取因遵循以下两个原则：（1）稳定性要求：相位裕度大于60°；（2）快速性要求：系统开环截止频率决定了横滚控制的快速性，工程上通常将开环截止频带取执行机构等效带宽的1/3左右。 2 设计仿真 取某典型飞行状态，选取期望的设计参数，计算相应的控制增益，完成横滚自动驾驶仪设计及线性化仿真。飞行状态包含飞行高度（H=10000）、飞行马赫数（M=3.5），设计约束包含舵机带宽（180 rad/s）、系统开环相位裕度（>60°），期望参数包含开环穿越频率？棕cr（180 rad/s）、阻尼比（？孜=0.9）比例值？浊

直线一级倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计详细实验报告

一、直线一级倒立摆建模 根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 2) 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 3) 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 4) 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。 由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点: (1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度; (2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;

控制系统的极点配置实验报告

课程名称：控制理论乙指导老师：姚唯成绩： 实验名称：控制系统的极点配置实验类型：同组学生姓名：郁明非一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1．掌握全状态反馈系统的极点配置方法 2．在 Simulink 仿真环境中，研究极点配置对系统特性的影响 二、实验内容和原理 （一）实验内容 1．一被控对象，其传递函数为 10 G ( s ) ( s 1)( s 2 )( s 3 ) 设计反馈控制器u=-kx ，使闭环系统的极点为12j 23 ，2 2 j 2 3 ， 310 。 2． 在 Simulink仿真环境下，用基本环节组成经过极点配置后的系统，通过图形观察环节，观察系统的各 点响应。 （二）实验原理 对一给定控制系统如果其状态完全可控，则可进行任意极点配置即通过设计反馈増益 K 使闭环系统具有期望的极点。极点配置有二种方法：第一种方法是采用变换矩阵T，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K ； 第二种方法基于 Caylay-Hamilton 理论，通过矩阵多项式φ（a），可求出 K（这种方法称为 Ackermann 公式）。在 MATLAB 中，利用控制系统工具箱函数 place 和 acker 进行极点配置设计。 三、主要仪器设备 一台 PC 电脑， matlab 仿真软件， simulink 仿真环境 四、实验源代码及实验结果 function jidianpeizhi num=[10]; den=[1,6,11,6]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10]; K=place(A,B,J); K sys=ss(A-B*K,[0;0;0],eye(3),0); t=0:0.01:4; X=initial(sys,[1;0;0],t); x1=[1,0,0]*X'; x2=[0,1,0]*X'; x3=[0,0,1]*X'; subplot(3,1,1); plot(t,x2);