2020届高考数学导数的11个专题

目录

导数专题一、单调性问题 (2)

导数专题二、极值问题 (38)

导数专题三、最值问题 (53)

导数专题四、零点问题 (77)

导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118)

导数专题六、渐近线和间断点问题 (170)

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190)

导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201)

导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214)

导数专题十、极值点偏移问题 (219)

导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题

【知识结构】

【知识点】

一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；

二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，

讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.

三、分类讨论的思路步骤：

第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与

区间的位置关系（分类讨论）；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数

值比较得到函数的最值.

四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：

1.最高次项系数是否为0；

2.导函数是否有极值点；

3.两根的大小关系；

4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立；

（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参

变量的范围；

（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于

零有解.

六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法

（1）参变分离；

（2）导函数的根与区间端点直接比较；

（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。

七、求解函数单调性问题方法提炼：

（1）将函数f (x )单调增（减）转化为导函数f '(x)≥(≤)0恒成立；

（2）f '(x)=g (x )h (x )，由g (x)> 0 （或g (x)< 0 ）可将f '(x)≥(≤)0恒成立转化为h (x )≥(≤)0（或h (x )≤(≥)0）恒成立；

（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

{ }

【考点分类】

考点一、分类讨论求解函数单调性；

【例 1-1】（2015-2016 朝阳一模理 18）已知函数 f (x ) = x + a ln x , a ∈ R ．

（Ⅰ）求函数 f (x ) 的单调区间；

（Ⅱ）当 x ∈[1, 2]时，都有 f (x ) > 0 成立，求 a 的取值范围；

（Ⅲ）试问过点

P (1，3) 可作多少条直线与曲线 y = f (x ) 相切？并说明理由．

f (x ) 的定义域为 x x > 0 ． f '(x ) = 1+ a =

x + a ．

x

x

（1）当 a ≥ 0 时， f '(x ) > 0 恒成立，函数 f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增；

（2）当 a < 0 时， 令 f '(x ) = 0 ，得 x = -a ．

当0 < x < -a 时， f '(x ) < 0 ，函数 f (x ) 为减函数； 当 x > -a 时， f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 为增函数．

综上所述，当 a ≥ 0 时，函数 f (x ) 的单调递增区间为(0, +∞) ．

当

a < 0 时，函数 f (x ) 的单调递减区间为(0, -a ) ，单调递增区间为(-a ，+∞) ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当

-a ≤ 1 时，即 a ≥ -1 时，函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上为增函数，所以在区间[1, 2] 上， f (x )min = f (1) = 1 ，显然函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上恒大于零；

（2）当1 < -a < 2 时，即-2 < a < -1 时，函数 f (x ) 在[1

，- a ) 上为减函数，在(-a , 2] 上为增函数，所以 f (x )min = f (-a ) = -a + a ln(-a ) ．

依题意有 f (x )min = -a + a ln(-a ) > 0 ，解得 a > -e ，所以-2 < a < -1 ． （3）当-a ≥ 2 时，即 a ≤ -2 时， f (x ) 在区间[1, 2] 上为减函数， 所以 f (x )min = f (2) = 2+a ln 2 ．

依题意有 f (x )

min = 2+a

ln 2 > 0 ，解得 a > - 2 ln 2 ，所以-

2

ln 2

< a ≤ -2 ．

x x

综上所述，当 a > -

2

ln 2

时，函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上恒大于零．

（Ⅲ）设切点为（x , x +a ln x ) ，则切线斜率 k = 1 +

a

，

切线方程为 y - (x + a ln x ) = (1 +

x 0

a

)(x - x ) ．

因为切线过点 P (1,3) ，则3 - (x + a ln x ) = (1 + a

)(1 - x ) ．

即 a (ln x 0 +

0 -1) - 2 = 0 ． ………………①

令 g (x ) = a (ln x + 1

-1) - 2 (x > 0) ，则 g '(x ) = a ( 1

- 1 ) = a (x -1) ．

x

（1）当 a < 0 时，在区间(0,1) 上， g '(x ) > 0 ， x x 2

x 2

g (x ) 单调递增；

在区间(1, +∞) 上， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，

所以函数 g (x ) 的最大值为 g (1) = -2 < 0 ．

故方程 g (x ) = 0 无解，即不存在 x 0 满足①式． 因此当 a < 0 时，切线的条数为0 ．

（2）当 a > 0 时, 在区间(0,1) 上， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，

在区间(1, +∞) 上， g '(x ) > 0 ， g (x ) 单调递增， 所以函数 g (x ) 的最小值为 g (1) = -2 < 0 ．

1+ 2 2 -1- 2

-1- 2 取 x 1 = e

a

> e ，则 g (x 1 ) = a (1+ + e a

a -1) - 2 = a e a > 0 ．

故 g (x ) 在(1, +∞) 上存在唯一零点．

-1-

2

1

2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2

取 x 2 = e < e ， 则 g (x 2 ) = a (-1- a + e a -1) - 2 = a e a - 2a - 4 = a [e a - 2(1+ )] ． a

设t = 1 + 2

(t > 1) ， u (t ) = e t - 2t ，则u '(t ) = e t

- 2 ．

a

1

x

a

当t > 1 时， u '(t ) = e t

- 2 > e - 2 > 0 恒成立．

所以u (t ) 在(1, +∞) 单调递增， u (t ) > u (1) = e - 2 > 0 恒成立．所以 g (x 2 ) >

0 ． 故 g (x ) 在(0,1) 上存在唯一零点． 因此当 a > 0 时，过点 P (1，

3) 存在两条切线．

（3）当 a = 0 时， f (x ) = x ，显然不存在过点 P (1，

3) 的切线．综上所述，当 a > 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线； 当 a ≤ 0 时，不存在过点 P (1，

3) 的切线． 【例 1-2】（2015-2016 海淀一模理 18）已知函数 f ( x ) = ln x + 1 -1 ， g ( x ) = x -1

.

x （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小值；

（Ⅱ）求函数 g (x ) 的单调区间；

(Ⅲ) 求证：直线 y = x 不是曲线 y = g (x ) 的切线.

ln x

f (x ) 的定义域为(0, +∞)，

f '( x ) = 1 - 1

= x - 1

x x 2 x 2

当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 的变化情况如下表：

函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的极小值为 f (a ) = ln1 + 1

- 1 = 0 ，

1

所以 f (x ) 的最小值为0

（Ⅱ）解：函数 g (x ) 的定义域为(0,1) Y (1, +∞) ，

ln x - ( x -1) 1 ln x + 1

-1

g '( x ) = ?x = ?x =

f ( x ) ln 2 x ln 2 x ln 2 x

由（Ⅰ）得， f ( x ) ≥ 0 ，所以 g '(x ) ≥ 0

1 2

1

0 0

所以g (x) 的单调增区间是(0,1),(1, +∞) ，无单调减区间.

（Ⅲ）证明：假设直线y =x 是曲线g(x) 的切线.

ln x

+

x

-1

设切点为(x0 , y0 ) ，则g '(x0 ) =1，即0=1

ln2 x

又 y =

x

-1

, y =x ，则

x

-1

=x .

ln x

ln x

所以ln x0=

x

-1

= 1-

1

x

x

, 得g '(x0 ) = 0 ，与g '(x0 ) = 1矛盾

所以假设不成立，直线

y =x 不是曲线g(x) 的切线

【练1-1】（2015-2016 西城一模理18）已知函数f ( x) =xe x -ae x -1 ，且f ' (1) =e . (Ⅰ) 求a 的值及f (x) 的单调区间；

(Ⅱ) 若关于x 的方程f ( x) =kx2 - 2(k > 2) 存在两个不相等的正实数根x , x ，证明：x -x > ln

4

.

1 2 e

f ( x) 求导，得 f '(x) = (1+x)e x -a e x-1 ，

所以 f '(1) = 2e -a = e ，解得a =e.

故 f (x) =x e x -e x ， f '(x) =x e x.

令 f '(x) = 0 ，得 x = 0 .

当x 变化时， f '( x) 与f (x) 的变化情况如下表所示：

所以函数 的单调减区间为，单调增区间为.

（Ⅱ）解：方程 f (x) =kx2 - 2 ，即为(x -1)e x -kx2 + 2 = 0 ，

设函数 g(x) = (x -1)e x -kx2 + 2 .

求导，得g'(x) =x e x - 2kx =x(e x - 2k) ．

由g'(x) = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = ln(2k) .

所以当x ∈ (0, +∞) 变化时，g'(x) 与g(x) 的变化情况如下表所示：

00

2(x +x -

(0, ln(2k )) (ln(2k ), +∞) 由k > 2 ，得ln(2k ) > ln 4 > 1 . 又因为 g (1) = -k + 2 < 0 ， 所以 g (ln(2k )) < 0 .

不妨设 x 1 < x 2 （其中 x 1, x 2 为 f (x ) = kx 2 - 2 的两个正实数根），

因为函数 g (x ) 在(0, ln 2k ) 单调递减，且 g (0) = 1 > 0 ， g (1) = -k + 2 < 0 ， 所以0 < x 1 < 1.

同理根据函数 g (x ) 在(ln 2k , +∞) 上单调递增，且 g (ln(2k )) < 0 ， 可得 x 2 > ln(2k ) > ln 4，

所以| x - x |= x - x > ln 4 -1 = ln 4

，

1 2 2 1

e

即 | x 1 - x 2

|> ln 4 . e

【练 1-2】（2011-2012 石景山一模文 18）已知函数 f (x ) = x 2

+ 2a ln x .

（Ⅰ）若函数 f (x ) 的图象在(2, f (2)) 处的切线斜率为1 ，求实数 a 的值；

（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；

（Ⅲ）若函数 g (x ) = 2 + f (x ) 在[1, 2] 上是减函数，求实数 a 的取值范围.

x

2a 2x 2 + 2a f '(x ) = 2x + =?1 分

x x

由已知 f '(2) = 1，解得 a = -3 .............................................................. 3 分 （II ）函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) .

（1）当 a ≥ 0 时, f '(x ) > 0 ， f (x ) 的单调递增区间为(0, +∞)；……5 分

（2）当 a < 0 时 f '(x ) =

.

x

当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下：

2

由上表可知，函数 f (x ) 的单调递减区间是；

单调递增区间是+∞) ................................................................ 8 分

（II ）由 g (x ) = 2 + x 2

+ 2a ln x 得 g '(x ) = - 2 x

x

2

+ 2x +

2a ， ....... 9 分

x

由已知函数 g (x ) 为[1, 2] 上的单调减函数， 则 g '(x ) ≤ 0 在[1, 2] 上恒成立， 即- + 2x +

2a

≤ 0 在[1, 2] 上恒成立. x 2

x

即 a ≤ 1 - x 2

在[1, 2] 上恒成立 ................................ 11 分

x

令h (x ) = 1

- x 2

，在[1, 2] 上 h '(x ) = - 1 - 2x = -( 1

+ 2x ) < 0 ，

x

所以 h (x ) 在[1, 2] 为减函数.

h (x )

min

x 2 x 2

= h (2) = - 7

, 2

所以 a ≤ -

7 .......................................................................................... 14 分

2

【练 1-3】（2015-2016 朝阳期末文 19）已知函数 f (x ) = (2k -1) ln x + k + 2x ， k ∈ R .

x

（Ⅰ）当 k = 1 时，求曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 k = e 时，试判断函数 f (x ) 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数 f (x ) 的单调区间.

【答案】函数 f (x ) 的定义域： x ∈ (0,+∞) .

f '(x ) = 2k - 1 - k x x 2 + 2 = 2x 2 + (2k - 1)x - k x

2

= (x + k )(2x - 1) .

x 2

（Ⅰ）当 k = 1 时， f (x ) = ln x + 1

x

+ 2x .

f '(x ) = (x + 1)(2x - 1) .

x 2

有 f (1) = ln1 + 1 + 2 = 3 ，即切点（1,3），

k = f '(1) =

(1 + 1)(2 - 1)

= 2 .

1

2

所以曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处切线方程是 y - 3 = 2(x -1) ，

即 y = 2x + 1.

（Ⅱ）若 k = e ， f (x ) = (2e -1) ln x + e

+ 2x .

x

f '(x ) = (x + e)(2x -1) .

x 2

令 f '(x ) = 0 ，得 x 1 = -e （舍）， x 2

= 1

.

2

则 f (x )

=

1

= (2e -1) ln 1 + e + 2 ? 1

= 2(1 - ln 2)e + ln 2 + 1 > 0 .

min

f ( )

2

2 1

2

2

所以函数 f (x ) 不存在零点.

（Ⅲ） f '(x ) = (x + k )(2x - 1) .

x

2

当- k ≤ 0 ，即 k ≥ 0 时，

当- k > 1

，

2

(0,

) ， (-k ,+∞) ； 2

即 k < - 2

时， f (x ) 的单调增区间是

当0 < -k <

1

，即- 1

2

2

< k < 0 时，

当- k =

，即 k = - 时，

2 2

综上 k ≥ 0 时， f (x ) 的单调增区间是( 1

,+∞) ;减区间是 2

(0, 1 ) .

2 1

?

1 当- < k < 0 时， f (x ) 的单调增区间是(0,-k ) , ( 1

2 2 1

,+∞) ;减区间是(-k , 1 ) .

2

当 k = - 2 1 时， f (x ) 的单调增区间是(0,+∞) ;

1 1

当 k < - 2

时， f (x ) 的单调增区间是(0, ) ， (-k ,+∞) ;减区间是( 2 2 ,-k

) . 【

练

1

（2015-2016 丰台期末文 20）设函数 f ( x ) = x 3 + ax 2

+ bx 的图象与直线 y = -3x + 8

相切于点 P (2, 2) ． （Ⅰ）求函数 f (x ) 的解析式；

（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；

（Ⅲ）设函数 g (x ) = 1

x 3

-

m +1 x 2 + mx - 1

(m > 1) ，对于? x ∈[0, 4] , ? x ∈[0, 4] ，

3

2 3 1 2

使得 f ( x 1 ) = g ( x 2 ) ，求实数 m 的取值范围.

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx 的图象与直线 y = -3x + 8 相切于点 P (2, 2) ，

∴ f '(2) = -3 ， f (2) = 2 ．

∵ f '( x ) = 3x 2 + 2ax + b ，

?8 + 4a + 2b = 2

∴ ? ?3? 22

+ 2a ? 2 + b = -3

?a = -6 解得 ． ?b = 9

∴ f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 9x ．

（Ⅱ） f '( x ) = 3x 2 -12x + 9 = 3( x -1)( x - 3) ， 令 f '(x ) > 0 ，得 x < 1或 x > 3 ； 令 f '(x ) < 0 ，得1 < x < 3 ．

∴ f (x ) 的单调递增区间为(-∞,1) ， (3, +∞) ；单调递减区间为(1,3) ． …8 分 （Ⅲ）记 f (x ) 在[0, 4] 上的值域为 A , g (x ) 在[0, 4] 上的值域为 B ，

∵对于?x1 ∈[0, 4]，?x2 ∈[0, 4]，使得f ( x1 ) =g ( x2 ) ，

∴A ?B ．

由（Ⅱ）得：f (x) 在[0,1]上单调递增，在(1,3) 上单调递减，在[3, 4]上单调递增，f (0) = 0 ，f (1) = 4 ，f (3) = 0 ，f (4) = 4 ，

∴A =[0, 4]．

∵g(x) =1

x3 -

m +1

x2 +mx -

1

(m > 1) ，3 2 3

∴g '(x) =x2 - (m +1)x +m = (x -1)(x -m)．

1 当1

∵g(0) =-1

< 0 ，且A ?B ，

3

∴g(1) ≥ 4 或g(4) ≥ 4 ，

∴g(1) =1

m -

1

≥ 4 或g(4) =-4m +13 ≥ 4 ，

2 2

即m ≥ 9 或m ≤9 ．

4 又∵1

∴1

2 当m ≥ 4 时，g(x) 在[0,1]上单调递增，[1, 4]上单调递减，∴g(x) 的最小值为g(0) 或g(4) ，g(x) 的最大值为g(1) ．

∵g(0) =-1

< 0 ，且A ?B ，

3 ∴g(1) ≥

4 ，

， 1 = ∴ 1 m - 1

≥ 4 ，即 m ≥ 9 ．

2 2

综上所述：1 < m ≤ 9

或 m ≥ 9 ．

4

1 【练 1-5】（2015-2016 朝阳二模文 20）已知函数 f (x ) = ax - - (a +1) ln x , x

a ∈ R .

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间；

1

（Ⅱ）当 a ≥ 1 时，若 f (x ) > 1 在区间[ , e] 上恒成立，求 a 的取值范围.

e

' ax 2 - (a +1)x +1 (ax -1)(x -1) 【答案】(Ⅰ) 函数 f (x ) 的定义域为{x x > 0} , f (x) =

2 2 . x x

（1） 当 a ≤ 0 时， ax -1 < 0 ,

令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1，则函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1)

令 f '(x ) < 0 ，解得 x > 1 ，函数 f (x ) 单调递减区间为（1，+∞）.

所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ，单调递减区间为（1，+∞）.

1

（2） 当0 < a < 1时， a

> 1 ,

令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1或 x > 1

，则函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ；

a 令 f '(x ) < 0 ，解得1 < x < 1 ，函数 f (x ) 单调递减区间为（1 1

) .

a a

1 1

所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ，（ ，+∞) ，单调递减区间为（1， ) .

（3） 当 a = 1时， f

'(x )= a (x -1)2

x 2

a

≥ 0 恒成立，

所以函数 f (x ) 的单调递增区间为（0，+∞) .

（4） 当 a >1时， 0 <

< 1,

a

令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1

或 x > 1 ，则函数 f (x ) 的单调递增区间为（0

) ，（1，+∞) ；

， a

a

令 f '(x ) < 0 ，解得 1 < x < 1 ，则函数 f (x ) 的单调递减区间为( 1

，1) .

a

a

1 1

所以函数 f (x ) 的单调递增区间为（0， ) ，（1，+∞) ，单调递减区间为( a a

，1) （Ⅱ）依题意，

1

< < 1

在区间[ , e] e

上 f (x ) min > 1.

' ax 2 - (a +1)x +1 (ax -1)(x -1)

f (x ) = = ， a ≥ 1 .

x 2 x 2

令 f '(x ) = 0 得， x =1或 x = 1

.

a

若 a ≥ e ，则由 f '(x ) > 0 得，1 < x ≤ e ，函数 f (x ) 在(1, e )上单调递增.

由 f '(x ) < 0 得， 1 ≤ x < 1,函数 f (x ) 在( 1

,1)上单调递减.

e e

所以 f (x )min = f (1) = a -1 > 1，满足条件；

若1 < a < e ，则由 f '(x ) > 0 得， 1 < x < 1

或1 < x < e ；

e

a

由 f '(x ) < 0 得， 1

< x < 1 .

a

1 1 1 函数 f (x ) 在(1, e ), ( , ) 上单调递增,在( ,1) 上单调递减.

e a

a

1

f (x )min = min{ f ( e

), f (1)}，

? 1 ? e 2 ? f ( ) > 1

依题意? e ?a > ，即? e +1 ，所以

2 a e ； ?? f (1) > 1 若 a = 1，则 f '(x ) ≥ 0 .

1 ?? a > 2

1

所以 f (x ) 在区间[ e , e] 上单调递增， f (x )min = 综上， a > 2 . f ( ) > 1，不满足条件；

e

1 【练 1-6】（2015-2016 房山二模文 19）已知函数 f ( x ) = x + e

x

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间；

（Ⅱ）若直线 y = kx 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点，求实数k 的取值范围。

f (

x ) = x + 1 e x

,定义域为 R

min

'

1 e x -1

'

f ( x ) = 1- = ，令 f ( x ) = 0, 得x = 0

e x e

x

所以 f ( x ) 的增区间为(0, +∞) ，减区间为(-∞, 0)。

（II ）因为直线 y = kx 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点，

所以方程 f ( x ) = kx 无实根，即 x + 1

e

x

= kx 无实根，等价于(k -1) x ? e x -1 = 0 无实根 设 g ( x ) = (k -1) x ? e x

-1，即 y = g ( x ) 无零点。

g ' ( x ) = (k -1)? e x + (k -1) x ? e x = e x ?(k -1)?( x +1)

当 k = 1时， g

'

( x ) = 0, g ( x ) = -1，显然无零点，符合题意；

当 k > 1时，令 g

'

( x ) = 0,得x = -1

g (-1) = -(k -1)e -1 -1 < 0 ，显然不符合题意；当 k < 1 时，令 g ' ( x ) = 0,得x

由g (-1)max = -(k -1)e -1 -1 < 0，得k>1-e ，所以1- e < k < 1时，符合题意综上所述：1- e < k ≤ 1

k 2

+ 2k k 2 + 2k k 2

+ 2k k 2 + 2k k 2

+ 2k

【练 1-7】（2015-2016 朝阳一模文 19）已知函数 f (x ) =

k + x

? e x (k ∈ R ) .

k - x

（Ⅰ）若 k = 1, 求曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；

（Ⅲ）设 k ≤ 0 ，若函数 f (x ) 在区间(

3, 2 2 )上存在极值点，求 k 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)若 k = 1，函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ 1}

， f '(x )=

e x (3 - x 2 )

（1- x )2 .

则曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处切线的斜率为 f '(0)=3 .

而 f (0)=1 ，则曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处切线的方程为 y = 3x +1

（Ⅱ）函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k }

， f '(x )=

e x (2k + k 2 - x 2 ) （k - x )2

.

（1）当 k > 0 时，由 x ≠ k ,且此时 > k ，可得- < k <

令 f '(x ) < 0 ，解得 x < - 或 x ，函数 f (x ) 为减函数；

令 f '(x ) > 0 ，解得- < x < ，但 x ≠ k ，

所以当- < x < k ， k < x < 时，函数 f (x ) 也为增函数.

所以函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞，- k 2 + 2k ，

（ k 2

+ 2k ，∞) ，

单调增区间为（- k 2 + 2k ，k ) ，（k , k 2

+ 2k ) .

（2）当 k = 0 时，函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞,0)，（0,+∞).

当 k = -2 时，函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞,-2)，（-2，+∞).

当-2 < k < 0 时，由2k + k 2

< 0 ，所以函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞,k )，（k ,+∞).即当-2 ≤ k ≤ 0 时，函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞,k )，（k ,+∞).

（3）当 k < -2 时，此时- > k .

令 f '(x ) < 0 ，解得 x < - 或 x > ，但 x ≠ k ，所以当 x < k ，

k 2

+ 2k k 2

+ 2k k 2

+ 2k k 2 + 2k k 2

+ 2k k 2 + 2k k 2

+ 2k

k

3 2 e / e ( x 1) 1 e '

e ( x -1) 令

f '(x ) > 0 ，解得- < x < ，函数 f (x ) 为增函数.

所以函数 f (x ) 的单调减区间为（-∞,k )，（k ,- k 2 + 2k )，（ k 2

+ 2k , +∞) ，

函数 f (x ) 的单调增区间为（- k 2 + 2k , k 2

+ 2k ) .......................................

9 分

（Ⅲ）（1）当 -2 ≤ k ≤ 0 时，由（Ⅱ）问可知，函数 f (x ) 在( 3, 2 2) 上为减函数，

所以不存在极值点;

（2）当 k < -2 时，由（Ⅱ）可知， f (x ) 在（- k 2

+ 2k , k 2

+ 2k ) 上为增函数，

在（ k 2

+ 2k , +∞) 上为减函数.

若函数 f (x ) 在区间( 3, 2 2) 上存在极值点，则 解得-4 < k < -3或1 < k < 2 , 所以-4 < k < -3.

< 2 ，

综上所述，当-4 < k < -3时，函数 f (x ) 在区间

( 3, 2 2 ) 上存在极值点.

x 【练 1-8】（2015-2016 东城期末理 19）已知函数 f ( x ) = - a ( x - ln x ) ． x

（Ⅰ）当 a = 1 时，试求 f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 a ≤ 0 时，试求 f (x ) 的单调区间；

（Ⅲ）若 f (x ) 在(0,1) 内有极值，试求a 的取值范围．

x - f ( x ) = - + f / (1) = 0 f (1) = e - 1 【答案】（Ⅰ）当 a = 1 时，

方程为 y = e - 1 ．

1 ， ， ． x

2 x

' e x ( x -1)

1 e x ( x -1) - ax ( x -1)

（Ⅱ） f (

x ) = - a (1 - ) = ，

x 2

x x 2

(e x - ax )( x -1)

=

．

x 2

当 a ≤ 0 时，对于?x ∈ (0, +∞) ， e x

- ax > 0 恒成立，

所以 f '

(x ) > 0 ? x > 1 ；

f ' (x ) < 0 ? 0 < x < 10.

所以 单调增区间为(1, +∞) ，单调减区间为(0,1) ．

（Ⅲ）若 f (x ) 在(0,1) 内有极值，则 f '

(x ) 在 x ∈ (0,1) 内有解．

令 f '

(e x - ax )( x -1)

( x ) =

= 0 x 2

? e x

- ax = 0 x ? a = . x

设 g ( x ) = e

x

x ∈ (0,1) ,

x 所以 g ( x ) = , 当 x ∈(0,1) 时， x

g '

(x ) < 0 恒成立，

所以 g (x ) 单调递减.

k 2 + 2k k 2

+ 2k k 2

+ 2k x

又因为 g (1) = e ，又当 x → 0 时， g (x ) → +∞ , 即 g (x ) 在 x ∈(0,1) 上的值域为(e, +∞) ,

所以 当

a > e

时， f (e x - ax )( x -1)

'

( x ) = = 0 x

2

有解.

设 H (x ) = e x - ax ，则 H '( x ) = e x

- a < 0 x ∈(0,1) ， 所以 H ( x ) 在 x ∈(0,1) 单调递减.

因为 H (0) = 1 > 0 ， H (1) = e - a < 0 ,

所以 H (x ) = e x

- ax 在 x ∈(0,1) 有唯一解 x . x (0, x 0 ) x 0

(x 0 ,1) H ( x ) + 0 - f ' (x ) -

0 +

f (x )

递减

极小值

递增

所以 当a > e 时， f (x ) 在(0,1) 内有极值且唯一.

当a ≤ e 时，当 x ∈(0,1) 时， f '

(x ) ≥ 0 恒成立， f (x ) 单调递增，不成立． 综上， a 的取值范围为(e, +∞) ．

【练 1-9】（2015-2016 大兴期末理 18）已知函数 f (x ) = ax +

a - 2 + 2 - 2a (a > 0) .

x

（Ⅰ）当 a =1 时，求函数 f (x ) 在点(2, f (2)) 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；

（Ⅲ）若 f (x ) ≥ 2 ln x 在[1, +∞) 上恒成立，求 a 的取值范围.

【答案】（1）当 a = 1 时， f (x ) = x - 1 ， f '(x ) = 1 + 1

x x 2

f (2) = 3 , 2 f '(2) = 5

4

所以，函数 f (x ) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为 y - 3 = 5

(x - 2)

2 4

即： 5x - 4 y - 4 = 0

(Ⅱ)函数的定义域为：{x | x ≠ 0}

'

a - 2 ax 2 + (2 - a )

f (x ) = a - = x 2 (a > 0)

x 2

当0 < a ≤ 2 时， f '

(x ) ≥ 0 恒成立，所以， f (x ) 在(-∞, 0) 和(0, +∞) 上单调递增

当 a > 2 时，令 f '

(x ) = 0 ，即： ax 2 + 2 - a = 0 ， x = a - 2 , x =1

a 2

f ' (x ) > 0, x > x 或x < x ; f ' (x ) < 0, x < x < 0或0 < x < x ,

2

1

1

2

a - 2

a

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

浙江导数大题专练

导数大题专练 （2015年浙江省理15分）已知函数()2=++∈（ ），f x x ax b a b R ,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值. （1）证明：当|a |2时，M （a ，b ）2; （2）当a ，b 满足M （a ，b ）2，求|a |+|b |的最大值. ≥≥≤

（2015年浙江省文15分）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求b 的取值范围. 2 (),(,)f x x ax b a b R =++∈2 14 a b =+()f x [1,1]-()g a ()f x [1,1]-021b a ≤-≤

（2016理）已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

（2016文）设函数=，.证明：（I）； （II）.

（2017真）已知函数f(x)=（x e x-（ 1 2 x≥）. （Ⅰ）求f(x)的导函数； （Ⅱ）求f(x)在区间 1 [+) 2 ∞ ，上的取值范围.

（2017押）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）当t>0时，若f(x)）在区间1-1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)-m(t)的最小值．

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

2021高考数学浙江导数解答题200题

第一题：浙江省绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测数学试题 已知函数()x f x ae x -=+与21()(,)2 g x x x b a b R =+-∈（1）若(),()f x g x 在2x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有两个极值点1212,()x x x x >，且1230x x -≥，求实数a 的取值范围 第二题：浙江省2019年诸暨市高考适应性试卷数学 已知函数2()(0) x f x e ax a =->（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围； （2）若()f x 在12,x x x =处的导数相等，证明：122ln 2x x a +<（3）当12a =时，证明：对于任意11k e ≤+，若12 b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x y e =的交点在y 轴两侧） 第三题：浙江省2019年5月高三高仿真模拟浙江百校联考（金色联盟） 已知函数()ln(1)() f x x ax a a R =--+∈（1）求函数()f x 在区间[2,3]上的最大值； （2）设函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：1222 x x e +>+第四题：浙江省台州市2019届高三4月调研数学试卷 已知函数2()x f x x e =（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围； （2）若实数,m n 满足(2)m n f +=-，其中m n >，分别记：关于x 的方程()f x m =在(,0)-∞上两个不同的解为12,x x ；若关于x 的方程()f x n =在(2,)-+∞上两个不同的解为34,x x ，求证：1234x x x x ->-第五题：浙江省嘉兴、平湖市2018学年第二学期高三模拟(2019.05)考试数学已知函数2 ()ln ,()1(,)a f x x g x bx a b R x ==+-∈（1）当1,0a b =-=时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

浙江省高考数学一轮复习：13 导数与函数的单调性

浙江省高考数学一轮复习：13 导数与函数的单调性 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数 在开区间内有极小值点（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 2. （2分） (2020高二下·九台期中) 函数的单调递减区间为（） A . （-∞，0） B . (1，＋∞) C . (0，1) D . （0，＋∞） 3. （2分） (2020高二下·北京期中) 函数的增区间是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 函数f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）

A . B . C . D . 5. （2分）函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（） A . 5,-15 B . 5,-4 C . -4,-15 D . 5,-16 6. （2分） (2019高二下·余姚期中) 已知可导函数，则当时， 大小关系为（） A . B . C .

D . 7. （2分）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2020高三上·双鸭山开学考) 定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2 +1＞0（为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（） A . （1，8） B . （2，+∞） C . （4，+∞） D . （8，+∞） 9. （2分）函数的单调递减区间是（） A . B . C . D . 10. （2分） (2019高二上·建瓯月考) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时， ，且则不等式的解集为（） A . （－∞，－2）∪（2，+∞） B . （－2，0）∪（0，2） C . （－2，0）∪（2，+∞）

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

(完整word)2019年高考数学全国一卷导数

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π??- ??? 有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。 （2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 。 首先来画一下函数图象。 )1ln(sin x x + =

从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间??? ??ππ ,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =- +， 21sin ())(1x 'x g x =-+ +. 当1,2x π??∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π??- ???有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α?π?∈ ??? 时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ??? 单调递减，而(0)=0f '，02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ??∈ ??? ，使得()0f 'β=，

浙江省高考数学试卷(含答案)

2017年浙江省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2） 2．（4分）椭圆+=1的离心率是（） A．B．C．D． 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） — A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（） A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关 6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（） 。

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A．B．C．D． 8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）（ 9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（）

浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 3 导数(解析版)(28道题)

第三章 导数 1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等. 2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上. 一．选择题 1.(2019·浙江省高三月考)α，,22ππβ?? ∈-???? ，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是( ) A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．2 2 αβ> 【答案】D 【解析】 构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0, 2x π?? ∈???? 时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π?? ∈-???? 时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选 D.故本小题选D. 2.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知,R a b ∈，关于x 的不等式3 2 11x ax bx +++≤在[0,2]x ∈时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为( ) A ．[2]- B ．3 [2,]4 -- C ．3[]4 - D ．5 [,2]2 - - 【答案】A

校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

2018年高考理科数学浙江卷导 数压轴题解析

2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析 已知函数. （I）若在，处导数相等，证明：； （II）若，证明：对任意，直线与曲线有唯一公共点. 【题目分析】 本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中取值范围问题的关键在于建立与之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。 第（II）问重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可能有几个的问题。题目中需要构造这样一个含有双参变量的函数，参数a不会影响“函数单调性”，也就是意味着函数的单调性比较好处理，难点在于“零点存在性定理”的运用，是否存在大于0或者小于0的点是由参数k和a共同控制的，对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑在及处的极限很容易得出存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0的点，本题中官方标准答案中给出以及这样两个极其复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。 本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明的正负号问题——将分为与两部分，此时参数k和a分开(k和a二者之间没有关系，相互独立)，逐一讨论范围之后再合并，从而确定的正负号。 【题目解答】 （I），；令，则和是关于的一元二次方程的两个不相等的正数根，从

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1．（2014大纲理）曲线1x y xe- =在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A．2e B．e C．2 D．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示， 则该函数的图象是(B) 4．（2012陕西文）设函数f（x）= 2 x +lnx 则（ D ） A．x= 1 2 为f(x)的极大值点B．x= 1 2 为f(x)的极小值点 C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在，若 :()0 p f x=： :q x x =是() f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】C 6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则 【答案】-1 8．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则． 【答案】 1 2 9．(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=