稳态误差计算(普通解法)

七、系统误差的计算

直接与间接测量的系统误差分析 陈军灵 摘 要 本文论述了在电气工程中直接测量与间接测量的系统误差的分析，并列举系统误差计算范例。 关键词 系统误差 直接测量 间接测量 在电气测量技术中，按测量方法可分为直接测量和间接测量。测量误差可分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类[1]。在电气工程测量中，主要考虑的是系统误差。系统误差可按下面方法进行计算。 1．直接测量 在仪表的正常工作条件下，测量结果中的误差即是所使用仪表本身的基本误差，可以根据仪表的准确度等级计算。例如仪表测量时的读数为Ax ，仪表量程为A m ，准确度等级为K ，则测量结果可能出现的最大相对误差为 100%A K%A γx m max ?±= （1） 例如；用量限为30A ，准确度为1.5级的安培表，测得电流为10A ，求可能出现的最大相对误差max γ： 4.5%100%10300.015γm ax ±=??±= 即最大相对误差为±4.5% 2．间接测量 设y 为可直接测量的局部量x 1、x 2、x 3的测量结果。y γ为y 的相对误差（合成相对误差）。x1γ、x2γ、x3γ为对应于x 1、x 2、x 3的相对误差（局部量的相对误差）。因此 当 y=x 1+x 2+x 3 则 x33x22x11y γy x γy x γy x γ++= （2）

当 y=x 1-x 2 则 x22x11y γy x γy x γ+= （3） 当 y=x 1x 2 则 x2x1y γγγ+= （4） 当 y ＝2 1x x 则 x2x1y γγγ-= （5） 当 y=q 3n 2m 1x x x ?? 则 x3x2x1y q γn γm γγ++= （6） 由此可见， （2）式：当被测量y 为可直接测值x 1、x 2、x 3之和时，合成相对误差y γ不会大于各局部相对误差x γ中的最大者。 例如；电流表测量得出两并联支路电流:I 1=10.0A,1γ=±2.0%,I 2=20.0A,2γ=±4.0%,求电路总电流I 以及可能产生的最大相对误差y γ。 I=I 1+I 2=10.0+20.0=30.0A 最差的情况出现在合成最大相对误差取同符号。即 3.33% 4.0%30.020.02.0%30.010.0γI I γI I γ2211y =?+?=+= （3）式：当被测量y 为两个被测量之差时，合成的相对误差不仅与局部相对误差有关，而且与两被测量之差有关。若两被测量之差越大，合成相对误差越小，反之两被测量之差越小，则合成相对误差越大，当x 1、x 2的值很接近时，将出现非常大的间接测量相对误差，所以工程上要尽量避免这样的间接测量。 例如；电压表测得串联电路的电压U ＝1000V , U γ＝±3%；U 1 ＝800V , 1γ＝±3%，求U 2最大相对误差2γ。 根据 U 2＝U ―U 1＝1000－800＝200V 2γ =%27%3*200 800%3*2001000=+

计算机控制系统的稳态误差

计算机控制系统报告 --计算机控制系统的稳态误差 在计算机控制系统中存在稳态误差。怎样计算稳态误差呢？ 在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法计算：一是建立在拉氏变换中值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。 在离散系统中，根据连续系统稳态误差的两种计算方法,在一定的条件下可以推广到离散系统。又由于离散系统没有唯一的典型结构形式，离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。 书上主要介绍了利用z 变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。 设单位反馈误差采样系统如图4.12所示。 图4.12 单位反馈误差采样反馈系统 系统误差脉冲传递函数为 （4.1） 若离散系统是稳定的，则可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差 （4.2） Φ==+e ()1()()1()E z z R z G z )](1[)()1(lim )()1(lim )(lim )(1111*z G z R z z E z t e e z z t +-=-==∞-→-→∞ →

（4.2）式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。除此之外，离散系统的稳态误差与采样系统的周期的选取也有关。上式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z)比较复杂时，计算e(∞)仍然有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。 在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v 作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中 v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等。下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。 1．单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，其z 变换函数为 （4.3） 得单位阶跃输入响应的稳态误差 （4.4） 上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差。式中 （4.5） 称为静态位置误差系数。若G(z)没有z=1的极点，则Kp ≠∞，从而e(∞)≠0；若G(z)有一个或一个以上z=1的极点，则Kp= ∞，从1 11)(--=z z R →∞==+1p 11()lim 1()z e G z K →=+p 1lim[1()]z K G z

实验四 线性定常系统的稳态误差

实验四 线性定常系统的稳态误差 一、实验目的 1．通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输入信号的形式、幅值大小之间的关系； 2．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。 二、实验原理 控制系统的方框图如图4-1所示。其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。 图4-1 控制系统的方框图 由图4-1求得 )() ()(11 )(S R S H S G S E += （4-1） 由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，而且也与输入信号R(S)的形式和大小有关。如果系统稳定，且误差的终值存在，则可用下列的终值定理求取系统的稳态误差： )(lim 0 S SE e s ss →= （4-2） 本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。下面叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输入信号所产生的稳态误差ss e 。 1．0型二阶系统 设0型二阶系统的方框图如图4-2所示。根据式（4-2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输入时的稳态误差： 图4-2 0型二阶系统的方框图 ● 单位阶跃输入（s S R 1 )(= ） 3 1 12)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=?+++++? =→S S S S S S e S ss （4-3） 输入输出响应曲线如图4-1所示，仿真图如图4-2所示。

图4-3 0型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-4 Matlab 仿真曲线 由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为，符合 4-3式计算的理论值。 ● 单位斜坡输入（2 1)(s S R = ） ∞=?+++++?=→201 2)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss （4-4） 输入输出响应曲线如图4-3所示，仿真图如图4-4所示。 图4-5 0型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-6 Matlab 仿真曲线 由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差趋于无穷大，符合4-5式理论计算值。 上述结果表明0型系统只能跟踪阶跃信号， 0型系统跟踪阶跃输入有稳态误差，计算公式为： P ss K R e += 10 （4-5） 其中)()(lim 0 S S H S G K p →?，R 0为阶跃信号的幅值。 2．I 型二阶系统 设图4-4为I 型二阶系统的方框图。

3.8系统误差分析与计算

第三章 系统的时间响应分析 3.8系统的误差分析与计算 对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。 系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差的计算方法。 本节内容分五点进行讲解： 一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差 一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε 1、定义 系统的误差e(t) （输出端定义）：设()or x t 是控制系统的希望输出，()o x t 是其实际输出，则误差()e t 定义为： 值希望输出值－实际输出=-=)()()(t x t x t e o or Laplace 变换记为)(1s E ，为避免与系统的偏差()E s 混淆，用下标1区别。 )()()(1s X s X s E o or -= 系统的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中 有时无法测量，因而，一般只有数学意义。 系统的偏差()t ε（输入端定义）：为输入信号与反馈信号的差值 ()()()i t x t b t ε=-，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。 系统偏差的Laplace 变换记为()E s ，()()()()()()i i o E s X s B s X s H s X s =-=- 2、误差与偏差)(t ε的关系 输出为希望值时，即)()(s X s X or o =，不起调节作用）（＝应该有)(0)(s E s E 0)()()()()()()(===s H s X s X s H s X s X s E or i o i －－ ) () ()()()()(s H s X s X s H s X s X i or or i = ?=从而有， 输出偏离希望值时（一般情况）

误差基本知识及中误差计算公式

测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=

2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。

误差基本知识及中误差计算公式

测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。

§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=

2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。

控制系统的稳态误差

3.5 控制系统的稳态误差 3.5 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 (3.73 ) 式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 (3.74) 式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。随时间的增大，方程 的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通 解趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差 控制系统的误差可以表示为 (3.75) 式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的 输出。 稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差

图3.23 单位反馈和非单位反馈系统 （a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统 在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图 3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即 (3.76) 式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为: (3.77) 对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈 量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出 量，于是，定义非单位反馈系统的误差为 (3.78) 式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得 (3.79)

定位误差计算

定位误差计算 定位误差计算是工艺设计中经常的事。下面的几个例题属于典型定位条件下的计算。 例题一：如下图所示零件，外圆及两端面已加工好（外 圆直径0 1.050-=D ） 。现加工槽 B ，要求保证位置尺寸 L 和 H ，不考虑槽底面斜度对加工质量的影响。试求： 1）确定加工时必须限制的自由度； 2）选择定位方法和定位元件，并在图中示意画出； 3）计算所选定位方法的定位误差。 解：① 必须限制4个自由度：Z X Z Y ,,, 。 ② 定位方法如下图所示。

③ 定位误差计算： 对于尺寸H ： 工序基准是外圆下母线 定位基准是外圆下母线 限位基准是与外圆下母线重合的一条线（也可认为是一个平面） 因此： 基准不重合误差0=?B 基准位移误差0=?Y 所以定位误差0=?DW 同理，对于尺寸L 其定位误差 ：0=DW ? 例题二：如下图所示齿轮坯，内孔及外圆已加工合格（ 025 .00 35+=φD mm ，0 1.080-=φd mm ），现在插床 上以调整法加工键槽，要求保证尺寸2 .005.38+=H mm 。试计算图示定位方法的定位误差（忽略外圆与内孔同轴度误差）。

解：工序基准是D 孔下母线；定位基准是D 轴中心线；限位基准V 型块的对称中心（垂直方向上）。定位误差计算如下： 1、基准不重合误差：T D /2； 2、基准位移误差：0.707Td 0825 .0025.05.01.07.05.07.0=?+?=?+?=?D d DW T T (mm) 例题三：a ）图工件设计图。试分别计算按b ）、c ）、d ）三种定位方式加工尺寸A 时的定位误差。

定位误差计算习题

习题一：如下图所示零件，外圆及两端面已加工好（外圆直径0 1.050-=D ）。现加工槽 B ，要求保证位置尺寸 L 和 H ，不考虑槽底面斜度对加工质量的影响。试求： 1）确定加工时必须限制的自由度； 2）选择定位方法和定位元件，并在图中 示意画出； 3）计算所选定位方法的定位误差。 习题二：如下图所示齿轮坯，内孔及外圆 已加工合格（025 .0035+=φD mm ，01.080-=φd mm ） ，现在插床上以调整法加工键槽，要求保证尺寸2.005.38+=H mm 。 试计算图示定位方法的定位误差（忽略外圆与内孔同轴度误差）。 习题三：a ）图工件设计图。试分别计算按b ）、c ）、d ）三种定位方式加工尺寸A 时的定位误差。 例题四：计算以图示定位方案加工尺寸A 时的定位误差。

习题五： 如图下图工件分别以A 、B 面定位加工E 面，计算定位误差。 习题六：如图两种方案铣平面，试分析定位误差。 习题七：如图，工件以内孔 在心轴 上固 定单边接触或任意边接触定位加工平面，试分析工序尺寸分别为 h1、h2、h3(工序基准为外圆中心线)、h4、h5时的定位误差。（工件外圆和内孔的同轴度误差为△b ） 习题八：有一批如图所示的工件， 外圆， 内 孔和两端面均已加工合格，并保证外圆对内孔的同轴度误差在T (e)=φ0.015范围内。今按图示的定位方案，用 心轴定位，在立式铣床上用顶尖顶住心轴铣 的槽子。除槽宽要求外，还应保证下列要求： (1) 槽的轴向位置尺寸 (2) 槽底位置尺寸 (3) 槽子两侧面对φ50外圆轴线的对称度公差 T (c)=0.25 习题九：用角度铣刀铣削斜面，求加工尺寸为39±0.04mm 的定位误差 习题十： D D ?+d －d ?00.016506()h φ-0.021 0307()H φ+0.007 0.020306() g φ+-00.043 129h -0 10.212512()L H -=010.254212()H h - =00.010 10.0120.056 30,55,400.15,0.03d mm d H mm t mm φφφ---===± =

定位误差分析计算综合实例

定位误差分析计算综合实例 定位误差的分析与计算，在夹具设计中占有重要的地位，定位误差的大小是定位方案能否确定的重要依据。为了掌握定位误差计算的相关知识，本小节将给出一些计算实例，抛砖引玉，以使学习者获得触类旁通、融会贯通的学习效果。 例3-3 如图3.25所示，工件以底面定位加工孔内键槽，求尺寸h 的定位误差？ 解：（1）基准不重合误差求jb ? 设计基准为孔的下母线，定位基准为底平面，影响两者的因素有尺寸h 和h 1，故jb ?由两部分组成： φD 半径的变化产生2 D ? 尺寸h 1变化产生12h T ，所以 122 h jb T D +?= ? 底平面，对刀基准（2）基准位置误差jw ? 定位基准为工件为与定位基准接触的支承板的工作表面，不记形状误差， 则有 0=?jw 所以槽底尺寸h 的定位误差为 122 h dw T D +?= ? 例3-4 有一批直径为0 d T d -φ的工件如图3.27所示。外圆已加工合格，今用V 形块定位铣宽度为b 的槽。若要求保证槽底尺寸分别为1L 、2L 和3L 。试分别分析计算这三种不同尺寸要求的定位误差。 解：（1）首先计算V 形块定位外圆时的基准位置误差jw ? 在图3.26中，对刀基准是一批工件平均轴线所处的位置O 点，设定位基准为外圆的轴线，加工精度参数的方向与21O O 相同，则基准位置误差jw ?为图中O 1 点到O 2点的距离。在ΔO 1CO 2中，2 2212α =∠= O CO T CO d ，，根据勾股定理求得 2 21sin 2α d jw T O O E = =?=? （2）分别计算图3.27三种情 况的定位误差 ①图a ）中1L 尺寸的定位误差 2 )(2 sin 2sin 20 1ααd L dw d jw jb T T E B = ?= ?=?=?=? ②图b ）中2L 尺寸的定位误差 L 2 L 3 L 1 0d T d -φ b 图3.27 V 形块定位外圆时定位误差的计算 图3.25 内键槽槽底尺寸定位误差计算 图3.26 V 形块定位外圆时 基准位置误差jw ?的计算 1—最大直径 2—平均直径 3—最小直径 B A α/ 2 1 C 3 2 O 2 O O

有效数字及误差计算

有效数字及误差计算 一、测量 所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行 比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。 测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择 的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如 273.15K ，3.0×108m/s 等等。 二、测量分类 根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。 1．直接测量 直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。 相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。 2．间接测量 间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物 理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度3/a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。 三、有效数字 测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该 测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。 图1用毫米尺测量工件的长度

如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm 和14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为13.6mm 。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是有一定根据，是有意义的）。 定义： 由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。 如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出 来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。 注： 1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量 工具有关。 2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定 了。 3、仪器的读数规则 测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字 和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的， 如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据最小分格 大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常 读到格值的1/10，1/5或1/2。 4、有效位数的认定 （1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效 数。如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。 （2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数 字。如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。 （3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无 效位零。如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。 （4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应 改变数值的有效位。因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位 数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如： km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--?=μ?=?= 注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。

自动控制系统的稳定性和稳态误差分析

实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就 是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: 0.2 s + 0.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5

s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i

定位误差计算方法

定位误差计算方法 皇甫彦卿 (杭州电子科技大学信息工程学院，浙江杭州310018) 摘要：分析了定位误差产生的原因和定位误差的本质,并结合具体的实例，对定位误差的计算提出了三种方法：几何法、微分法、组合法，并且为正确选择计算方法提供了依据。 关键词：定位误差；几何法；微分法；组合法 Position error calculation method Abstract：To analyze the causes of the positioning error and the nature of the positioning error, and combined with concrete examples, three methods are put forward for the calculation of position error: geometric method, differential method, group legal, and provide the basis for correct selection of calculation method. Key words: positioning error; Geometry method; Differentiation; Set of legal 1 引言 定位误差分析与计算，是机床夹具设计课程中的重点和难点。在机械加工中，能否保证工件的加工要求，取决于工件与刀具间的相互位置。而引起相互位置产生误差的因素有四个，定位误差就是重要因素之一（定位误差一般允许占工序公差的三分之一至五分之一）。定位误差分析与计算目的是为了对定位方案进行论证，发现问题并及时解决。 2 工件定位误差 2.1定位误差计算的概念 按照六点定位原理，可以设计和检查工件在夹具上的正确位置，但能否满足工件对工序加工精度的要求，则取决于刀具与工件之间正确的相互位置，而影响这个正确位置关系的因素很多，如夹具在机床上的装夹误差、工件在夹具中的定位误差和夹紧误差、机床的调整误差、工艺系统的弹性变形和热变形误差、机床和刀具的制造误差及磨损误差等。 因此，为保证工件的加工质量，应满足如下关系式： δ ?式中：?--各种因素产生的误差总和；δ--工件被加工尺寸的公差。 ≤ 2.2定位误差及其产生原因 所谓定位误差，是指由于工件定位造成的加工面相对工序基准的位置误差。因为对一批

如何进行误差计算

误差 一、直接测量和间接测量 在物化实验中需对某些物理量进行测量，以便寻找出化学反应中的某些规律，测量又可分为直接测量和间接测量。直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。如用温度计测量温度，用米尺测量长度，用压力计测量压力等。另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示，而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。如用凝固点降低法测溶质的分子量，就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据，再用冰点降低公式进行数学运算后，方可得到溶质的分子量。 在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确，测量方法的不完善，都使得测量结果不准确，以致于偏离真实值，这就是误差。在间接测量中由于直接测量的结果有误差，此误差可传递到最后的结果中，也可使其偏离真实值。 由上所述，可知误差存在于一切测量之中，所以讨论误差，了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。实验误差的分析，对人们改进实验，提高其精密度和准确度（精密度和准确度的意义在以后讨论），甚至新的发现都具有重要的意义。 二、真值 真值是一个实际上不存在的值，它只是一个理论上的数值。例如，我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准，又如，可用理论安培作为电流的计量标准，其定义为：若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体，在其上流过一安的电流时，则在二导体间产生10-7牛顿／米的相互作用力。这样的参考标准实际上是不存在的，它只存在于理论之中，因此这样的真值是不可知的。但人类的认识总是在发展的，能够无限地逐渐迫近真值。 由于真值是不可知的，所以一般国家（或国际上）都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。指定以它的数值作为参考标准。例如，以国家计量局的铯射束原子频率标准中，铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9，129，631，770赫。这样的参考标准叫做指定值。 在实际工作中，我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比，所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。在每一级的对比中，都把上一级的标准器的量值当作近似真值，而称为实际值。 三、准确度和精密度 准确度是指测量结果的正确性，即测得值与真值的偏离程度。精（密）度是指测量结果的可重复性及测得结果的有效数字位数（有效数字在以后讨论）。我们说测量值与真值越接近，则准确度越高。测量值的重复性越好，有效数字越多，则精度越高。对准确度和精度的理解，可以用打靶的例子来说明： 图II－(1) 准确度与精密度的示意图 图II－(1)中（a）、（b）、（c）表示三个射手的成绩。（a）表示准确度和精度都很高。（b）则因能密集射中一个区域，就精度而言是很高的，但没射中靶眼，所以准确度不高。（c）则不论是准确度还精度都很不好。在实际工作中，尽管测量的精度很高但准确度并不一定高。而准确度很高的测量要求其精度必定也很高。 四、误差的种类、来源及其对测量结果的影响和消除的方法 根据误差的性质，可把测量误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三类。 、系统误差 在相同条件下多次测量同一物理量时，测量误差的绝对值（即大小）和符号保持恒定，或在条件改变时，按某一确定规律而变的测量误差，这种测量误差称为系统误差。 系统误差的主要来源有：

三、扰动稳态误差终值的计算

3.6.7、扰动稳态误差终值的计算 根据终值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86), 扰动稳态误差的终值e sn 可由 下式计算： )()(lim )(lim )(lim 0 s s sN s sE t e e en s n s sn t sn φ-===→→∞ → ∏∏∏∏=--=++==→+++++-=m j j v n i i v m l j j q i i v s s K s s s s s K s sN 1 1 1 1 20 ) 1()1() 1()1() (lim τ ττ τμμ (3-105) 比较式(3-105)及(3-87)可见，)(s en φ的分母多项式与)(s ex φ一样，但)(s en φ的分子多项 式中只有v s 项，不象)(s ex φ的分子多项式中有μ +v s 项。它说明只是控制环节传递函数) (1s G 中串联积分环节的数目v 对系统扰动稳态误差有决定性影响。 一 阶跃扰动作用下的稳态误差 在单位阶跃扰动作用下 n t N s s (),()== 11 这时扰动稳态误差终值为 )(lim 0 s e en s sn φ→= (3-106) 二 斜坡扰动作用下的稳态误差 在单位斜坡扰动作用下 n t t N s s (),()==12 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()01φ (3-107) 三 加速度扰动作用下的稳态误差 在单位加速度扰动作用下 n t t ()=122 N s s ()=13 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()0 2 1 φ (3-108) 按式(3-105)、(3-106)、(3-107)及(3-108)计算求得的各型系统在不同扰动作用下的稳态误差终值汇总列于表3-2中。

孔定位误差计算实例[1]

孔定位误差计算实例（用定位销） 例 1 钻铰图 3-65 所示的零件上φ 10H7 的孔，工件以孔 定位 求：工序尺寸 50 ± 0.07mm 及平行度的定位误差。 解： （ 1 ）工序尺寸 50 ± 0.07mm 的定位误差 Δ B = 0mm( 定位基准与工序基准重合 ) 按式（ 3-5 ）得： Δ Y = δ D + δ d ０ ＋Ｘ min =0.021+0.009+0.007= 0.037mm 则由式（３－１２）得 Δ Ｄ ＝Δ Y = 0.037mm ( 2) 平行度 0.04mm 的定位误差 同理 , Δ B = 0mm 按式（ 3-7 ）得： 则平行度的定位误差为 Δ D = Δ Y = 0.018mm

定位误差的计算 由于定位误差Δ D 是由基准不重合误差 和基准位移误差组合而成的。因此在计算定位 误差时，先分别算出Δ B 和Δ Y ，然后将两者组合而得Δ D 。组合时可有如下情况： 1 ．Δ Y ≠ 0 ，Δ B =0 时，Δ D = Δ B （ 3-1 2 ） 2 ．Δ Y =0 ，Δ B ≠ 0 时，Δ D = Δ Y （ 3-1 3 ） 3 ．Δ Y ≠ 0 ，Δ B ≠ 0 时， 如果工序基准不在定位基面上：Δ D = Δ B + Δ Y （ 3-14 ） 如果工序基准在定位基面上，Δ D = Δ B ±Δ Y （ 3-15 ） “ + ”、“—”的判别方法为： ①分析定位基面尺寸由大变小（或由小变大）时，定位基准的变动方向； ②当定位基面尺寸作同样变化时，设定位基准不动，分析工序基准变动方向； ③若两者变动方向相同即“ + ”，两者变动方向相反即“—”。 定位误差及其要示 为保证工件的加工精度，工件加工前必须正确的定位。所谓正确的定位，除应限制必要的自由度、正确地选择定位基准和定位元件之外，还应使选择的定位方式所产生的误差在工件允许的误差范围以内。 由定位引起的同一批工件的设计基准在加工尺寸方向上的最大变动量，称为定位误差。当定位误差Δ D ≤1/3 δ K ，一般认为选定的定位方式可行。 造成定位误差的原因有两个： 一个是由于定位基准与设计基准不重合，称为基准不重合误差（基准不符误差）； 二是由于定位副制造误差而引起定位基准的位移，称为基准位移误差。

系统稳态误差分析

苏州市职业大学实训报告 院系 电子信息工程学院 班级 姓名 学号 实训名称 系统稳态误差分析 实训日期 一、实训目的 1、掌握终值定理求稳态误差的方法； 2、在不同输入信号作用下,观察稳态误差与系统结构参数、型别的关系； 3、比较干扰在不同的作用点所引起的稳态误差。 二、实训内容 1、给定信号输入作用下，系统的稳态误差分析。 已知控制系统的动态结构图如下所示，其中112()21G s K s =?+，24()0.41 G s s =+，反馈通道传递函数()1H s =。 （1)建立上述控制系统的仿真动态结构图；令开环增益为K1=1,分别对系统输入阶跃信号和斜坡信号，用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线；并分别计算不同输入信号下的稳态误差值 ； （2)改变系统增益K1（自行选取增益值，如K1=10），用示波器观察系统的稳态误差曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 如果前向通道中再串联一个积分环节，（增益值K1值同第三步），用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 建立如下图1所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图2）： 图1 单位阶跃信号作用下，K1=1的系统结构图 第 1 页 共 8 页 指导教师签名

苏州市职业大学实训报告 院系电子信息工程学院班级姓名学号 实训名称系统稳态误差分析实训日期 图2 单位阶跃信号作用下，K1=1的仿真曲线 建立如下图3所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线和单位斜坡误差响应曲线（图4）： 图3 单位斜坡信号作用下，K1=1的系统结构图 图4 单位斜坡信号作用下，K1=1的仿真曲线

自动控制系统的稳定性和稳态误差分析

实验三 自动控制系统的稳定性与稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性,验证稳定判据的正确性; 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响; 3、观察系统结构与稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性,只要求出系统的闭环极点即可,而系统的闭环极点就就是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点,或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从而判断系统的稳定性。 (1)已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++,用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性,并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下: z=-2、5 p=[0,-0、5,-0、7,-3] k=0、2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下: Transfer function: 0、2 s + 0、5 --------------------------------------- s^4 + 4、2 s^3 + 3、95 s^2 + 1、25 s + 0、5 s^4 + 4、2 s^3 + 3、95 s^2 + 1、25 s + 0、5就是系统的特征多项式,接着输入如下

MATLAB程序代码: den=[1,4、2,3、95,1、25,0、5] p=roots(den) 运行结果如下: p = -3、0058 -1、0000 -0、0971 + 0、3961i -0、0971 - 0、3961i p为特征多项式dens的根,即为系统的闭环极点,所有闭环极点都就是负的实部,因此闭环系统就是稳定的。 下面绘制系统的零极点图,MATLAB程序代码如下: z=-2、5 p=[0,-0、5,-0、7,-3] k=0、2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下: z = -2、5000 p = -3、0058 -1、0000 -0、0971 + 0、3961i -0、0971 - 0、3961i k =

控制系统的稳态误差

控制系统的稳态误差 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 式（）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通解 趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差 控制系统的误差可以表示为 式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的输出。 稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差

图单位反馈和非单位反馈系统 （a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统 在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即 式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为: 对图（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（）式意义上的误差。但如果反馈环 节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统的误差为 式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得

如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。根据拉普拉斯变换的终值定理得 即 式（）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与输入函数有关。同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。也就是说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。 3.5.2 积分环节对稳态误差的影响 式（）中的开环传递函数可以表示为 式中K表示系统的开环放大系数。N表示开环传递函数所包含的积分环节数。在分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环节数来对系统进行分类。若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。若N=I,则称为I型系统。N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。现在，我们来讨论不同类型的控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。 1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差 单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为