费米-狄拉克分布实验讲义

实验六 费米—狄拉克分布实验讲义

一、实验目的：

（１）通过实验验证费米——狄拉克分布。 （２）学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。

二、理论分析：

近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为

[]1

/)(exp 1

)(+-=

kT g f εεε （1）

金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级相互靠得很近，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为εf (εf 称费米能级, εf 的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。而高于费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的加剧,其能量超过ε

f

值,因而从低于费米能级的

能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。

对（1）式求导可得

[][]2

}1/)({exp /)(exp )

()(+---=

=kT kT kT d dg g f f εεεεεεε （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。

由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，εf =0，不要忘记电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε 减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能ε

ｋ

εf =ε-A （3）

此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逃出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士,Я.И符伦克尔和И.E 塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf 。考虑到这两个因素之后对费米函数作适当的修正是非常必要的，修正后的费米函数应为：

[]1

/)(exp 1

)(+-=

kT g f k k εεε （4）

对（４）式求导得

[][]2

}

1/)({exp /)(exp )

()(+---==

kT kT kT d dg g f k f k k k k εεεεεεε （5） 由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。 三、实验方法及数据处理

本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p =0）,从灯丝发射出电子,沿半径方向飞向园柱面板极(阳极)，由于阳板电压为零,所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。

由于电子的初动能各不相同，如何将它们按相等的动能间隔区分开来，并且求出电子数目的相对值，便成为本实验的焦点。由图（4）可知，从二极管灯丝（即园心）发射出的电子，沿半径方向飞向园柱面阳极（即园周），在螺线管所产生的磁感应强度Ｂ的作用下，电子将受到罗仑兹力Ｆ=-ev ×B 而作匀速圆周运动。罗仑兹力是向心力，它不改变电子的动能，由于ｖ⊥Ｂ，所以罗仑兹力公式可用下式表示：

R

mv Bev f L 2

== （6） m

BeR

v =

（7） （7）式中的ｖ是电子沿二极管半径方向的速度；或者电子的速度在半径方向的分量，R 是电子作匀速圆周运动的半径，ｍ是电子的质量，B 是螺线管中间部分的磁感应强度，B 的计算公式为：

2

2

0D

L NI B B

+=

μ （8）

（8）式中，μ0=4π×10-7(H/m)是真空中的磁导率；N 是螺线管的总匝数；Ｌ和Ｄ分别是螺线管的长度和直径，ＩＢ是通过螺线管的电流强度。将（7）、（8）代入（6）式可得真空中电子的动能为：

2

22222022)(221B k I m e D

L R N m mv +==με （9）

由（4）可看出，若电子作匀速圆周运动的半径R>4

d

(d 是园柱面阳极的直径),电子就能达到阳极,形成阳极电流,若R<

4

d

,电子就不能到达阳极,这一部分电子对阳极电流无贡献。可见电子作匀速圆周运动的半径(取决于I B )直接影响阳极电流的大小,将R=4

d

代入(9)

式可得

2

B

k KI =ε （10） (10)式中 22

2

22142)()

(210m

e

D L m d N K +?=

-π

为一常数,由(10)式可知真空中发射电子的动能与螺线管中的电流强度的平方成正比,而罗仑兹力不改变电子的动能,它只影响电子作匀速圆周运动的半径的大小,对动能一定的电子,向心力越大(即I B 2越大)匀速圆周运动的半径越小,当动能增加△εk

时,将有相应数量

的电子因其圆周运动的半径小于

4

d

而不能到达阳极,所以阳极电流将减小△I p ,又因为△εk

与I B 2成正比,所以可用I B 2代替变量εk 进行实验及数据处理。

实验中，设灯丝电流强度稳定不变，阳极电压为零，理想二极管的饱和电流为：IP 0=n 0e(11)

(11)式中的n 0以及下面的n 1;n 2;n 3;……均为单位时间内到达阳极的电子数目,当I B

2

以相等的改变量依次增加下去,我们将得到一组方程:

??

?

??

== e n IP e n IP 2211 (12)

由（11）、（12）式联立可得

???

??

?=-=-=??=-=-=? e n e n n IP IP IP e n e n n IP IP IP 221212110101)()( (13)

)11()12(得 ???

??

== 02020101////n n IP IP n n IP IP (14)

)11()13(得 ??

?

???=??=? 02020101////n n IP IP n n IP IP (15) 为了配合理论上的要求，操作时事先选好ＩＢ２

的值，使其等间隔的增加，然后以其平方根的值，作为实验测量时的电流值，进行实际测试。 四、数据记录：

１．螺线管的总匝数 N=

２．螺线管的长度 L= m ３．螺线管的平均直径 D= m ４．真空中的磁导率 μ0=4π×10-7(H/m) ５．园柱面极的直径 ｄ=8.4mm(用测量显微镜测) (1)以IP i /IP 0为y 轴,以I B 2为x 轴,作g(εk )~ ε

k 曲线。 (2) 以ΔIP i /IP 0为y 轴,以I B 2为x 轴,作g(εk )~ εk 曲线。

(3)求

∑?=

IP IP i

,检查是否满足归一化条件。 (4)计算g ′(εk ) ~ εk 曲线峰值对应的εk 值即为εf 值。

8

玻色分布和费米分布

玻色分布和费米分布 现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !!! ..ωω 取对数得：()[] ∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1 ， 若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到： ()()[]∑----=Ωl l l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln .. 约束条件： ∑=l l N a ； ∑=l l l E a ε 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗日函数为：l l l l l l D F a a a E N δβεαωβδαδδ∑??? ? ??++-- =--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln =++-l l l l a a βεαω ， 即 上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。 玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定拉氏乘子a 和β的值. 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l l l a εE 确定系统的内 能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定系统的平均 总粒子数和内能. 2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: s s s a f ω= 即: s s s a f ω= 定域系统 ：s e βεα-- 费米系统：11++s e 玻色系统： 1 1 ++s e βεα 总粒子数和能量可分别表示为: N = ∑s s f 定域系统 = ∑--s S e βε α “+”费米系统 “-”玻色系统 = ∑±+s S e 1 1 βεα

费米狄拉克分布函数解析、图像和应用

各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。 一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。 只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。 费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。 第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，E f 处于禁带E g 的中央，在绝对零度时，在导带E c 中E ＞E f ，f(E)=0；在价带E v 中E ＜E f ，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v 之中，因而此时 半导体是完全不导电的。 0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线 T 3 >T 2 >T 1 >T 0 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范 围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占随着温度的升高，能量略低于E f 的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f 的量子态被电子占据的概率增大。 在一定温度下(温度不变)，费米能级附近的部分能量小于E f 的电子会被激发到E f 以上，温度越高，被激发的概率越大。 费米分布规律不适用于非平衡状态

第八章 玻色统计和费米统计教案

热力学与统计物理课程教案

第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式 一、非简并气体和简并气体 第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为： 122 3 2>>?? ? ??= h mkT πN V e α 或 122 32 3 <

费米狄拉克统计

费米–狄拉克统计[编辑] 维基百科，自由的百科全书 （重定向自费米-狄拉克统计） 费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。 这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。[1][2] 费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。 目录 [隐藏] ? 1 概述 ? 2 历史 ? 3 费米–狄拉克分布 o 3.1 粒子的能量分布 ? 4 量子范畴和经典范畴 ? 5 参考文献 ? 6 相关条目 概述[编辑] 函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一 个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们 处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即 在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难 想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称 为最可几分布）时，体系总状态数为：

《固体物理》期末复习要点

《固体物理》期末复习要点 第一章 1.晶体、非晶体、准晶体定义 晶体：原子排列具有长程有序的特点。 非晶体：原子排列呈现近程有序，长程无序的特点。 准晶体：其特点是介于晶体与非晶体之间。 2.晶体的宏观特征 1）自限性2）解理性3）晶面角守恒4）各向异性 5）均匀性6）对称性7）固定的熔点 3.晶体的表示，什么是晶格，什么是基元，什么是格点 晶格：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点在空间有规则地做周期性无限分布，这些点的总体称为晶格。 基元：若晶体有多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。 格点：格点代表基元的重心的位置。 4.正格和倒格之间的关系,熟练掌握典型晶体的倒格矢求法 5.典型晶体的结构及基矢表示

6.熟练掌握晶面的求法、晶列的求法，证明面间距公式 7.什么是配位数，典型结构的配位数，如何求解典型如体心、面心的致密度。 一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。 面心：12 体心：8 氯化铯（CsCl ）：8 金刚石：4 氯化钠（NaCl ）：6 8.什么是对称操作，有多少种独立操作，有几大晶系，有几种布拉维晶格，多少个空间群。 对称操作： 使晶体自身重合的动作。 根据对称性，晶体可分为7大晶系， 14种布拉维晶格，230个空间群。 9.能写出晶体和布拉维晶格 10.了解 X 射线衍射的三种实验方法及其基本特点 1）劳厄法：单晶体不动，入射光方向不变。 2）转动单晶法：X 射线是单色的，晶体转动。 3）粉末法：单色X 射线照射多晶试样。 11.会写布拉格反射公式 12. 什么是几何结构因子。 几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。 第二章 1.什么结合能，其定位公式 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子) 结合成晶体时所释放的能量。 2.掌握原子间相互作用势能公式，及其曲线画法。

实验十九_金属中电子的费米—狄拉克分布验证22

费米—狄拉克分布实验验证 【实验目的】 1.通过实验验证费米—狄拉克分布。 2.学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。 【实验原理】 近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为 （1） 金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为εf(εf称费米能级,εf的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。而高于费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加,其能量超过εf值,因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得 （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。 由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，εf=0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能εｋ εk=ε-A （3）

此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院 士,Я.И符伦克尔和И.E塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf。考虑到这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为： （4） 对（４）式求导得 （5） 由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。 【实验方法及数据处理】 本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p=0）,从灯丝发射出电子,沿半径方向飞向园柱面板极(阳极)，由于阳板电压为零,所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。 由于电子的初动能各不相同，如何将它们按相等的动能间隔区分开来，并且求出电子数目的相对值，便成为本实验的焦点。由图（4）可知，从二极管灯丝（即园心）发射出的电子，沿半径方向飞向园柱面阳极（即园周），在螺线管所产生的磁感应强度Ｂ的作用下，电子将受到罗仑兹力Ｆ=-ev× 匀速圆周运动。罗仑兹力是向心力，它不改变电子的动能，由于v⊥Ｂ，所以罗仑兹力公式可用下式表示： （6） （7） （7）式中的v是电子沿二极管半径方向的速度，或者电子的速度在半径方向的分量，R是电子作匀速圆周运动的半径，ｍ是电子的质量，B是螺线管中间部

费米狄拉克分布函数

费米狄拉克分布函数 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。 费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2] 费米-狄拉克分布公式 式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。 对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。 费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级， E越大，高能级的电子越多，反之 F E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（ F 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。

实验十九_金属中电子的费米—狄拉克分布验证22

费米—狄拉克分布实验验证 【实验目的】 1.通过实验验证费米—狄拉克分布。 2.学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。 【实验原理】 近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为 []1 kT /)(exp 1 )(g f +ε-ε= ε （1） 金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为ε f (ε f 称费米能级,ε f 的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。而高于 费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加,其能量超过ε f 值, 因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得 [][]2 f f }1kT /)({exp kT kT /)(exp d )(d g )('g +ε-εε-ε-=εε= ε （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。

由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，ε f =0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分 能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能ε ｋ ε k =ε-A （3） 此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士,Я.И符伦克尔和И.E 塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf 。考虑到 这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为： []1 kT /)(exp 1 )(g f k k +ε-ε= ε （4） 对（４）式求导得 [][]2f k f k k k k } 1kT /)({exp kT kT /)(exp d )(dg )('g +ε-εε-ε-=εε= ε （5） 由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。 【实验方法及数据处理】 本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p =0）,从灯丝发射出电子,沿半径方向飞向园柱面板极(阳极)，由于阳板电压为零,所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。

狄拉克与狄拉克方程

狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥

第八章 玻色统计和费米统计

159 第八章 玻色统计和费米统计 8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln .S k Ω= 解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4）） ()! ,!! l l l l l Ωa a ωω=-∏ （1） 取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7）） ()()ln ln ln ln .l l l l l l l l l Ωa a a a ωωωω=----????∑ （2） 另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为 () ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN U αβαβαβ???? =-- ? ????=++ ()ln ,l l l k Ξa αβε?? =++???? ∑ （3） 其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13）） () ln ln 1.l l l Ξe αβεω--=+∑ （4） 由费米分布 e 1 l l l a αβεω+= + 易得 1e l l l l a αβεωω--+= - （5） 和 ln .l l l l a a ωαβε-+= （6） 将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为 ln ln .l l l l l Ξa ωωω=-∑ （7） 将式（6）和式（7）代入式（3），有

160 ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω?? -=+ ?-? ? ∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l l k a a a a ωωωω=----????∑ （8） 比较式（8）和式（2），知 ln .S k Ω= （9） 对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 ()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1, ln 1ln 1, s s s s s s s s s s S k f f f f S k f f f f =-++????=-+--????∑∑ 其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s ∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时 证明，当1s f <<时，有 ()B.E. F.D.M.B.ln .s s s s S S S k f f f ≈≈=--∑ 解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为 ()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l l l l l l l l l l l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----???? ??-=--+?? ??∑∑ 1ln 1ln ,l l l l l l l l l l a a a a k ωωωωω??????=---+?? ? ? ?????? ∑ （1） 式中l ∑表示对粒子各能级求和. 以l s l a f ω= 表示在能量为l ε的量子态s 上的平 均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到 ~,l l s ω∑∑ 上式可改写为 ()()F.D.ln 1ln 1.s s s s s S k f f f f =-+--????∑ （2）