拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时， lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ --?存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。 0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞=+?式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 00[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ=（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞-? 3. 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换

拉普拉斯(Laplace)定理

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 3 10 120012104121 -=D 中选定第一、三行，第二、四列得到 一个二级子式M ： 1 042= M , M 的余子式为 1 020= 'M . 例2 在五级行列式55 54 5352 51 25242322211514131211 a a a a a a a a a a a a a a a D = 中, 45 43 42 252322 15 1312 a a a a a a a a a M =和54 51 34 31 a a a a M ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是 k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后 称做M 的代数余子式. 因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .

拉普拉斯变换公式

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

毕奥-萨瓦-拉普拉斯定律的两个重要推论

毕奥-萨瓦-拉普拉斯定律的两个重要推论 毕奥-萨瓦-拉普拉斯定律是恒定电流激发磁场的基本规律，它有两个重要的推论：一个是磁场的高斯通量定理，另一个是安培环路定理。在《电动力学》课程中，都有这两个定理的严密证明。 磁场的高斯通量定理的文字表述是：恒定电流激发的磁场的磁感应强度穿出任意闭合曲面的通量恒等于零。 其数学表示式是 d 0S B S ?=? 。 这个定理并非由高斯导出。高斯导出的定理是：静止磁荷激发的磁场的磁场强度穿出任意闭合曲面的通量，等于闭合曲面内包含的磁荷总量除以真空磁导率；静止磁荷激发的磁场的磁感应强度穿出任意闭合曲面的通量，等于闭合曲面内包含的自由磁荷的总量。 安培指出：磁偶极子实际上是不存在的，所谓的“磁偶极子集群发生磁化，它们激发了磁场”，或者“磁偶极子集群发生磁化，在磁体表面甚至内部出现极化磁荷，它们激发了磁场”，实际上是“分子电流圈集群发生磁化，它们激发了磁场”，或者“分子电流圈集群发生磁化，在磁介质表面甚至内部出现磁化电流，它们激发了磁场”的等效的表述。另外，自由磁荷（即磁单极子）也被认为是不存在的。所以，恒定的磁场都是由恒定电流激发的。于是，就有恒定磁场的磁感 应强度穿出任意闭合曲面的通量恒等于零的结论。因此，把d 0S B S ?=? 称为磁通连续性定理更为恰当。 至于非稳恒的磁场，激发它的源泉可以是变化的电流，也可以是变化的电场，此时磁通如何呢？麦克斯韦假设，磁感应强度穿出任意闭合曲面的通量恒等于零。 这个假设经受住了实践的考验。因此，数学表示式d 0S B S ?=? 又被叫做磁通连续性原理，也被叫做磁场的高斯通量定律。磁通连续性原理被认为是麦克斯韦的第三大理论成就。

拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则

§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 3 10 12001 2104121-= D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1 042= M , M 的余子式为 1020= 'M . 例2 在五级行列式 55 54 5352 51 25242322211514131211 a a a a a a a a a a a a a a a D = 中 45 43 42 252322 151312 a a a a a a a a a M = 和 54 5134 31a a a a M = ' 是一对互余的子式.

定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是 k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后 称做M 的代数余子式. 因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 例3 利用拉普拉斯定理计算行列式 1 31 31011 2104121-= D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 1= 和 nn n n n n b b b b b b b b b D 21 2222111211 2= 的乘积等于一个n 级行列式 nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1 2222111211 = ,